对数函数及其运算
对数的运算及对数函数
§2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. C. D. 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）8； （2）9log9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）. A.12B. 1C. 24．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.AC3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4．函数y ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6．函数y = . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 1f x x =++； （2）y =9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<< C ．10,1n m -<<> D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 . 7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新4251c 4c 3c 2c 110．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是（ ）.A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4). （1）求输入x =234时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10．设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值； （2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2x m +恒成立，求实数m 的取值范围．。
对数函数加减乘除
对数函数加减乘除对数函数是数学中的一种重要函数，它在科学、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨对数函数的加减乘除运算。
我们来看对数函数的加法运算。
对数函数的加法运算可以用以下公式表示：log(a*b) = log(a) + log(b)其中，a和b是对数函数的底数，log(a*b)表示a和b的乘积的对数，log(a)和log(b)分别表示a和b的对数。
这个公式的意义是，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
接下来，我们来看对数函数的减法运算。
对数函数的减法运算可以用以下公式表示：log(a/b) = log(a) - log(b)其中，a和b是对数函数的底数，log(a/b)表示a除以b的对数，log(a)和log(b)分别表示a和b的对数。
这个公式的意义是，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
然后，我们来看对数函数的乘法运算。
对数函数的乘法运算可以用以下公式表示：log(a^b) = b*log(a)其中，a是对数函数的底数，b是一个实数，log(a^b)表示a的b 次方的对数，log(a)表示a的对数。
这个公式的意义是，一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以这个数的幂。
我们来看对数函数的除法运算。
对数函数的除法运算可以用以下公式表示：log(a^(1/b)) = log(a)/b其中，a是对数函数的底数，b是一个正整数，log(a^(1/b))表示a 的b次方根的对数，log(a)表示a的对数。
这个公式的意义是，一个数的根的对数等于这个数的对数除以这个数的根的次数。
对数函数的加减乘除运算是非常重要的，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
我们需要掌握这些运算规律，以便更好地应用对数函数解决实际问题。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数函数的运算与性质
对数函数的运算与性质对数函数是数学中常见的一类函数，具有独特的运算性质和特点。
本文将探讨对数函数的运算规则、性质以及其在实际应用中的重要意义。
一、对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意实数x>0和正实数a (a ≠ 1)，称满足a^x = y的x为以a为底y的对数，记作x=log_a y。
对数函数有以下基本运算性质：1. 对数与指数的互为反函数关系：log_a a^x = x，a^log_a y = y。
2. 对数的运算法则：log_a (xy) = log_a x + log_a y，log_a (x/y) =log_a x - log_a y，log_a x^m = mlog_a x。
3. 对数函数的定义域和值域：对数函数log_a x的定义域是x>0，值域是实数集。
4. 对数函数的图像特点：不同底数的对数函数在x轴的正半轴上有不同的图像特点。
以e为底的自然对数函数y=lnx是单调递增函数，底数大于1的对数函数是增函数，底数在0和1之间的对数函数是减函数。
二、对数函数的运算法则1. 对数的乘方法则：log_a x^p = plog_a x。
其中，对于底数相同的对数函数，指数相加等于原来两个数的乘积的对数。
例如，log_a (x^2y^3) = 2 log_a x + 3 log_a y。
2. 对数的换底公式：log_a x = log_b x / log_b a。
该公式用于将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
例如，log_3 2 = log_10 2 / log_10 3。
3. 对数的消去法则：如果log_a x = log_a y，则x=y。
该法则用于解方程时，当两个对数底相同时，如果其对数相等，那么其底数也相等。
三、对数函数的应用对数函数在实际应用中有广泛的用途，以下介绍几个常见的应用领域：1. 科学计算与统计学：对数函数可以简化复杂计算和数据分析过程，特别适用于大数据的处理和处理结果的可视化呈现。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是数学中的一种重要函数。
它主要由幂函数的逆运算演变而来，可以描述幂函数的指数部分。
对数函数的定义如下：对于任意的正实数 a 和正实数 x，我们将 b 称为以 a 为底 x 的对数，记作 logₐ(x) = b，如果且仅如果 a^b = x。
在实际问题中，对数函数常被用于解决各种指数增长和指数衰减的问题。
我们先来看一下对数函数的基本特性。
1.对数函数的定义域是正实数集，即x∈(0,+∞)。
2.对数函数的值域是全部实数集，即y∈(-∞,+∞)。
3. 对数函数的图像是由直线 y = x 和平行于 x 轴的直线 y =logₐx 组成。
当a>1时，对数函数是增函数；当0<a<1时，对数函数是减函数。
4.对数函数的性质：(a) logₐ(xy) = logₐx + logₐy(b) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy(c) logₐ(x^n) = nlogₐx(d) logₐ(1/x) = -logₐx(e) logₐ1 = 0(f) logₐa = 1(g) log₁₀x = loga(x)/loga(10)下面我们来看一些常见的对数函数运算公式。
1. 换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)，其中 c 是任意的正实数。
2. 对数的乘法运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy3. 对数的除法运算公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy4. 对数的幂运算公式：logₐ(x^n) = nlogₐx5. 对数的倒数运算公式：logₐ(1/x) = -logₐx6. 底数为 10 的对数与底数为 a 的对数的转换关系：log₁₀x = loga(x) / loga(10)7. 自然对数和常用对数的转换关系：logₑx = ln(x) / ln(ₑ10)8. 对数函数与指数函数的逆运算关系：a^logₐx = x有了以上的对数函数运算公式，在解决实际问题中，我们可以更方便地进行计算和分析。
对数运算及对数函数
学习内容一、对数概念二、对数的运算三、对数函数性质内容一：知识清单讲解一、对数概念1. 定义：一般地，如果x a N=(0,1)a a>≠，那么数x叫做以a为底N的对数，记作log(0)ax N N=>，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数10log N简记为lg N，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作ln N。
3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a>≠时，log baN b a N=⇔=。
4. 负数与零没有对数；log10a=，log1aa=。
二、对数的运算对数的运算法则：其中0,1a a>≠且，0,0,M N n R>>∈，以下七条法则是有力的解题工具，能化简与求解复杂对数式的值；log()log loga a aM N M N∙=+log log loga a aMM NN=-log logna aM n M=log logbNaaNM Mb=换底公式：logloglogbabNNa=如果令b=N，得：1loglogabba=log a ba b=推论：log log log1a b cb c a∙∙=二、对数函数性质1．对数函数的概念：一般地，函数log(01)ay x a a=>≠且叫做对数函数，其中x表示自变量，定义域是（0，+∞），思考题：（1）为什么函数的定义域是（0，+∞）？（2）对数函数log(01)ay x a a=>≠且与指数函数(01)xy a a a=>≠且的定义域，值域之间有什么关系?结论：指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y x=对称，它们具有相同的单调性。
2. 对数函数的图像的基本性质：其中性质（3）可用两句话概括：对数函数都必过（1，0）；其它部分都遵循“底真同范围函数值为正，底真异范围函数值为负”。
对数函数计算全
§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 (1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)②log a MN＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R ) 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．2．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____.1．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，7) B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞)2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg24．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞)5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.136．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.1357．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 8．log (2－1)(2＋1)＝________.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 365.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．2．2.1 对数与对数运算(一)自学导引 1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(1)1的对数为零； (2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝52．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( ) A ．log 6a ＝a B ．log 6b ＝a C ．log a b ＝6 D ．log b a ＝63．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 54．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．3105．2·log 25＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．25 5C ．2＋52D ．1＋52二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值； (2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．10．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.对数与对数运算(二)自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c.。
对数函数的运算规则证明
对数函数的运算规则证明在数学中，对数函数是一种常见的数学函数，它在许多领域都有广泛的应用。
对数函数具有一些特殊的运算规则，本文将对这些规则进行证明。
1. 对数函数的定义对数函数可表示为y = logₐ(x)，其中a为底数，x为真数，y为结果。
定义中有一条重要的性质：底数为a时，a的对数等于1，即logₐ(a) = 1。
2. 对数函数的乘法规则定理：logₐ(x * y) = logₐ(x) + logₐ(y)证明：假设logₐ(x) = A，logₐ(y) = B。
因为a的A次方等于x，a的B次方等于y，所以有a^A = x，a^B = y。
那么，x * y可表示为a^A * a^B = a^(A + B)。
根据对数的定义，logₐ(x * y) = A + B = logₐ(x) + logₐ(y)。
3. 对数函数的除法规则定理：logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)证明：同样假设logₐ(x) = A，logₐ(y) = B。
那么，x / y可表示为a^A / a^B = a^(A - B)。
根据对数的定义，logₐ(x / y) = A - B = logₐ(x) - logₐ(y)。
4. 对数函数的幂运算规则定理：logₐ(x^k) = k * logₐ(x)证明：假设logₐ(x) = A。
那么，x^k可表示为(a^A)^k = a^(A * k)。
根据对数的定义，logₐ(x^k) = A * k = k * logₐ(x)。
5. 对数函数的换底公式定理：logₐ(x) = logₐ(b) / log_b(x)证明：假设logₐ(x) = A，logₐ(b) = B，log_b(x) = C。
那么，x可表示为a^A，b可表示为a^B，x可表示为b^C。
由于x = a^A，可以得到a = x^(1/A)。
将b表示为a^B，那么就有b = (x^(1/A))^B = x^(B/A)。
对数函数及其运算
2.2对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．课堂练习对数函数与指数函数的混合运算： 1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m na-=_________2、若1a >且01b <<，则不等式log (3)1b x a ->的解集为________3、已知35,abA ==且112a b+=，则A 的值是________ 4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。
对数运算与对数函数(修改版)
对数与对数运算一、对数的概念若N a x=)1,0(≠>a a ，则x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ）， 记作：N x a log = 其中a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：1、注意底数的限制0>a ，且1≠a ；2、x N N a a x=⇔=log ； 3、 注意对数的书写格式．二、对数的基本运算法则如果0,1,0,0a a M N >≠>> 有：log ()log log log log log log log ()a a a aa a n a a MN M N MM N NM n M n R =+=-=∈三、对数的性质1、负数和零没有对数；0N >；2、1的对数是零：01log =a ；3、底数的对数是1：1log =a a ；4、对数恒等式：N a Na =log ； 5、n a n a =log ．四、一些推论1、对数换底公式： aNN m m a log log log = ( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)．2、两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ． ② b mnb a na m log log =（a ,b ＞0且均不为1）． 五、两种特殊的对数： 1、常用对数10log lg N N 记为；2、自然对数 e log ln N N 记为；（无理数e=2.718 28……） 六、典型例题例1、将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）45625=；（2）61264-=；（3）1() 5.733n=；(4) 12log 164=-；(5) lg0.012=-；(6) ln10 2.303=.例2、求下列各式中x 的值: (1) 82log 3x =-；(2) 3log 274x = ；(3) 25log log 1x =（） ；(4) 3log lg 0x =（）。
对数函数及其运算
对数函数及其运算2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算1) 对数的定义如果 $a=N(a>0$ 且 $a\neq 1)$，则 $x$ 叫做以 $a$ 为底$N$ 的对数，记作 $x=log_aN$，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式的互化：$x=log_aN \Leftrightarrowa=N(a>0,a\neq 1,N>0)$。
2) 几个重要的对数恒等式log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=b$。
3) 常用对数与自然对数常用对数：$lgN$，即 $log_{10}N$；自然对数：$lnN$，即 $log_eN$（其中$e=2.…$）。
4) 对数的运算性质如果 $a>0,a\neq 1,M>0,N>0$，那么：加法：$log_aM+log_aN=log_a(MN)$。
减法：$log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N})$。
数乘：$nlog_aM=log_a(M^n)$，其中 $n\in R$。
log_aN=N^a$。
log_{ab}M=\frac{log_aM}{log_ab}$，其中 $b\neq 0,n\in R$。
5) 换底公式：$log_aN=\frac{log_bN}{log_ba}$。
2.2.2 对数函数及其性质1) 对数函数函数名称：对数函数。
定义：函数 $y=log_ax(a>1,a\neq 1)$ 叫做对数函数。
图象：图象过定点 $(1,0)$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。
定义域：$(0,+\infty)$。
值域：$(-\infty,+\infty)$。
过定点：图象过定点 $(1,0)$。
奇偶性：非奇非偶。
单调性：在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，在 $(0,1)$ 上是减函数。
函数值的变化情况：当 $x>1$ 时，$y=log_ax>0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
对数函数运算公式
对数函数运算公式对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和科学运算中都有广泛的应用。
对数函数有着丰富的性质和运算规则，下面将介绍对数函数的运算公式。
1.对数函数的定义：对数函数是指关于求对数的函数，一般表示为y = logₐx，其中a是底数，x是真数，y是对数。
对数函数的定义域是x > 0，值域是实数集。
2.对数的含义：对数的含义是指一个数相对于一个给定底数的幂次。
对数函数的运算公式是以底数为底的指数函数的反函数。
即x = a^y，y = logₐx。
3.基本对数函数的性质和运算规则：- logₐa = 1：任何数以自己为底的对数都等于1- logₐ1 = 0：任何底数为自然数的对数都等于0。
- logₐaⁿ = n：任何底数为幂的对数等于指数。
- logₐxy = logₐx + logₐy：两个数的乘积的对数等于它们的对数之和。
- logₐ(x/y) = logₐx - logₐy：两个数的商的对数等于它们的对数之差。
- logₐxⁿ = nlogₐx：一个数的幂的对数等于幂次与对数的乘积。
- logₐa = 1/logₐa：对数函数的互逆性，任何数以底数为底的对数等于指数函数的互逆。
4.对数函数的换底公式：换底公式是指当给定一个对数的底不是我们所熟悉的常用底数，需要将其换成我们所熟悉的底数的公式。
换底公式如下：logₐx = logᵦx / logᵦa其中，a,b,x为正实数，且a≠1,b≠15.对数函数与指数函数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即对数函数是指数函数的反函数，反之亦然。
对数函数可以用来求解指数方程，而指数函数可以通过对数函数求解指数方程的解。
6.常用对数函数：在实际应用中，常用的对数函数是以10为底的常用对数函数（log₁₀x），以及以自然对数e为底的自然对数函数（lnx）。
常用的对数函数主要用于科学计算、对数缩尺、音量、酸碱度等方面。
总结起来，对数函数的运算公式包括对数函数的性质和运算规则、换底公式、对数函数与指数函数的关系等。
对数函数的运算
对数函数的运算1. 什么是对数函数对数函数是指以一个常数为底数的幂函数的反函数。
常见的对数函数有自然对数（以e为底数的对数）和常用对数（以10为底数的对数）。
对数函数通常表示为log_x(y)，其中x为底数，y为真数，结果表示为x的多少次方等于y，即 log_x(y) = x^a = y。
对数函数的一些性质： - 若x > 1，则log_x(1) = 0； - 若x > 1，则log_x(x) = 1； - 若x > 1，则log_x(xy) = log_x(x) +log_x(y)； - 若x > 1，则log_x(a^m) = m * log_x(a)；2. 对数函数的运算规则2.1. 对数的乘法规则若log_x(a) + log_x(b) = log_x(ab)。
例如： log_2(4) + log_2(8) = log_2(4 * 8) = log_2(32) = 5.2.2. 对数的除法规则若log_x(a) - log_x(b) = log_x(a/b)。
例如： log_2(8) - log_2(4) = log_2(8/4) = log_2(2) = 1.2.3. 对数的幂规则若log_x(a^m) = m * log_x(a)。
例如： log_2(4^3) = 3 * log_2(4) = 3 * 2 = 6.2.4. 对数的换底公式若log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。
通过换底公式，可以将一个对数转换为以不同底数的对数。
例如： log_2(16) = log_10(16) / log_10(2)。
3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，以下介绍一些常见的应用场景：3.1. 财务管理在财务管理中，对数函数经常用于计算复利问题。
由于复利增长是指数增长，所以对数函数可以用来计算复利增长的速度和数量。
3.2. 动力学和科学实验对数函数在描述动力学和科学实验方程中起着重要的作用。
对数的运算法则及公式是什么
对数的运算法则及公式是什么对数是数学中比较重要的知识点之一，那么对数都有哪些公式呢?下面是由编辑为大家整理的“对数的运算法则及公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
运算法则loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNn=nlogaN；(n,M,N∈R)；如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。
定义：若an=b(a>0，a≠1)则n=logab。
换底公式logMN=logaM/logaN；换底公式导出：logMN=-logNM。
推导公式log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)；loga(b)*logb(a)=1；loge(x)=ln(x)；lg(x)=log10(x)。
拓展阅读：学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。
“兴趣是最好的老师”。
做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。
但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。
有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。
如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。
建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。
2、要有端正的学习态度。
首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。
因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。
其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。
3、要有“持之以恒”的精神。
要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。
即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。
对数函数的运算法则及公式
对数函数的运算法则及公式对数函数是数学中常见的一种函数类型，它在许多领域中都有着重要的应用。
本文将介绍对数函数的运算法则及公式，以及其在实际问题中的应用。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底数的幂函数的反函数，即函数f(x) = loga(x)，其中a为正数且a≠1，x为正实数。
对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
二、对数函数的运算法则1. 对数函数的乘法法则loga(MN) = logaM + logaN这个法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
例如，log10(1000) = log10(10×10×10) = log1010 + log1010 + log1010 = 3。
2. 对数函数的除法法则loga(M/N) = logaM - logaN这个法则表明，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
例如，log10(100/10) = log10(100) - log10(10) = 2 - 1 = 1。
3. 对数函数的幂次法则loga(Mp) = plogaM这个法则表明，一个数的幂的对数等于该数的对数乘以这个幂。
例如，log10(1000²) = 2log101000 = 6。
4. 对数函数的换底公式logaM = logbM / logba这个公式表明，一个数在不同底数下的对数之间存在一个比例关系。
例如，log10(1000) = log2(1000) / log210 = 3log22/ log210 = 3/ log210。
三、对数函数的公式1. 常用对数函数常用对数函数是以10为底数的对数函数，记作log(x)。
它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
2. 自然对数函数自然对数函数是以e为底数的对数函数，记作ln(x)。
它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 对数函数的反函数对数函数的反函数是指底数为a的指数函数，记作f(x) = a^x。
对数函数的运算
一、对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果且ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N.（3）对数式与指数式的互化ax=N⇔x=logaN .2．对数的性质根据对数的概念，知对数且logaN(a>0,且a≠1)具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即N>0 ；（2）1的对数等于0，即loga1=0；（3）底数的对数等于1，即logaa=1；（4）对数恒等式alogaN=N(N>0) .3．对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0,N>0那么：（1）logaMN=logaM+logaN ;（2）logaMN=logaM−logaN；（3）logaMn=nlogaM(n∈R) .4．对数的换底公式对数的换底公式：且且logbN=logcNlogcb(b>0,且b≠1;c>0且c≠1;N>0) .换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）且logambn=nmlogab(a>0且a≠1;b>0)；（2）且且logab=1logba(a>0且a≠1;b>0且b≠1)；（3）logab·logbc·logcd=logad (其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).。
对数函数的概念和计算
对数函数的概念和计算对数函数是数学中常见且重要的函数之一，它在很多领域都有着广泛的应用。
本文将介绍对数函数的概念及其计算方法，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、对数函数的概念在数学中，对数函数是指以某个固定的正数为底的对数。
常见的对数函数有以10为底的常用对数函数（log），以及以自然常数e为底的自然对数函数（ln）。
对数函数以“log”或“ln”开头，后面紧跟底数和真数，用“=”连接。
二、对数函数的计算方法1. 常用对数函数的计算方法以10为底的常用对数函数，可以用公式表示为：log10(x) = y，其中x为底数，y为真数。
例如，log10(100) = 2，表示以10为底，100的对数是2。
2. 自然对数函数的计算方法以自然常数e为底的自然对数函数，可以用公式表示为：ln(x) = y，其中x为底数，y为真数。
例如，ln(e^3) = 3，表示以e为底，e的平方的对数是3。
3. 对数函数的性质及运算法则对数函数具有以下性质和运算法则：- 对数函数和指数函数互为反函数。
即loga(a^x) = x和a^(loga(x)) = x，其中a为底数，x为实数。
- 对数函数具有乘法性质。
即loga(x * y) = loga(x) + loga(y)，其中a为底数，x和y为正实数。
- 对数函数具有除法性质。
即loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中a为底数，x和y为正实数。
- 对数函数具有幂函数性质。
即loga(x^n) = n * loga(x)，其中a为底数，x为正实数，n为实数。
三、对数函数的应用对数函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，以下是几个典型的应用例子：1. 在数学中，对数函数可以用于解决指数方程。
例如，若已知a^x= b，我们可以将其转化为对数方程x = loga(b)来求解x的值。
2. 在金融领域，对数函数可以用于计算复利和投资增长。
由于对数函数以指数的形式增长，因此可以用于计算复利的投资增长率。
对数函数运算公式
对数函数运算公式对数函数是数学中的一个重要函数，经常用于解决指数函数中的未知数问题。
对数函数的运算公式主要涉及到对数的性质、对数函数的四则运算以及指数与对数之间的互换等内容。
1.对数的性质：（1）对数的定义：设a和b是两个正数，并且a≠1(a>0, b>0)，那么对数等式logab=c可以表达成b=ac。
其中a称为底数，b称为真数，c 称为对数。
（2）loga1=0，任何数的对数等于1，即logaa=1（3）loga(ax)=x，对数与指数的互换性。
（4）loga(mn)=logam+logan，对数的乘法性质。
（5）loga(m/n)=logam-logan，对数的除法性质。
（6）loga(m^b)=blogam，对数的指数性质。
（7）logaa^m=m，对数函数与指数函数的互逆性。
2.对数函数的四则运算：（1）对数函数的加法运算：loga(x*y)=logax+logay。
对于乘积，可以拆分为两个单独的对数，并进行相加。
（2）对数函数的减法运算：loga(x/y)=logax-logay。
对于除法，可以拆分为两个单独的对数，并进行相减。
（3）对数函数的乘法运算：loga(x^y)=y*logax。
对于指数，可以将次方数移到对数的前面。
（4）对数函数的除法运算：loga(x^y/z)=y*logax-logaz。
对于指数除法，可以将分子和分母拆分为两个单独的对数，并进行相减。
3.对数与指数之间的互换：（1）当底数相同时，对数和指数可以互换。
例如，log2(x)=y等价于2^y=x。
（2）指数函数与对数函数互为反函数，可以通过对数函数求指数或通过指数函数求对数。
（3）利用对数函数和指数函数的互逆性，可以解决指数方程和对数方程。
4.对数函数的运算例题：例题1：已知log2(a)=3，求a的值。
解：根据对数的定义，可以得到2^3=a，即a=8例题2：已知log(b+2)=1+logb，求b的值。
对数函数及其运算
2.2对数函数2.2.1对数与对数运算(1)对数的定义①若a* =N(a ■ 0,且a "),则X叫做以a为底N的对数，记作X = Iog a N ,其中a叫做底数，N叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化：X =I Og a N= a x=N(a ∙0,a",N ■ 0).(2)几个重要的对数恒等式Iog a 1 =0 , Iog a a=I, Iog a a b=b .(3)常用对数与自然对数常用对数：Ig N ,即Iog10 N ；自然对数：In N ,即Iog e N (其中e = 2.71828…).(4)对数的运算性质如果a ∙0, a =1,M0,N ∙ 0 ,那么①加法：Iog a M ■ Iog a N=Iog a(MN )②减法：I I I M Iog a M - IOg a N -Iog aN③数乘：nIog a M =Iog a M n(n R)④ a log a N=N⑤Iog a b M ^-Iog a M (^0, R)a b⑥换底公式：IOg a N=I og b N (b . 0,且b = 1)Iog b a222对数函数及其性质⑹反函数的概念设函数y = f (X)的定义域为A ,值域为C ,从式子y = f (X)中解出X ,得式子X hF(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子X = ：：(y)，X在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子(y)表示X是y的函数，函数(y)叫做函数y = f (x)的反函数，记作X = f '(y),习惯上改写成y = f '(X).(7)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y = f (x)中反解出X= f '(y)；③将X = f」(y)改写成y = f J(X),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数y=f(χ)与反函数y = fj(χ)的图象关于直线y = χ对称.②函数y = f (X)的定义域、值域分别是其反函数y = f」(x)的值域、定义域.③若P(a,b)在原函数y=f(x)的图象上，贝U P'(b,a)在反函数y = f ~l(x)的图象上.④一般地，函数y = f (x)要有反函数则它必须为单调函数.课堂练习对数函数与指数函数的混合运算：1、若loga 2 = m,log a 3 = n,则=2、若a A1且0 cb <1 ,则不等式a log b(X^½>1的解集为____________Q b 1 13、已知3a =5b = A,且一+—=2 ,则A的值是_____________a b4、已知3 = 2，那么log 3 8 - 2log 3 6用a表示是()A、a-2 B 、5a-2 C 、3a-(1 a)2 D 、3a - a2对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如y = f I g(X)】的复合函数可分解为基本初等函数y = f (u),u = g(x),分别确定这两个函数的定义域。
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对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．课堂练习对数函数与指数函数的混合运算： 1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m na-=_________2、若1a >且01b <<，则不等式log (3)1b x a ->的解集为________3、已知35,abA ==且112a b+=，则A 的值是________4、已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是() A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、23a a -对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。
函数y =____________已知235(log ())22x f x ++=，则(0)f =___________已知62()log f x x =，那么(8)f =____________ 对数函数的值域注意复合函数的值域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域和值域。
1.函数212log (617)y x x =-+的值域是________2.设1a >，函数()log a f x x=在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =___________3.函数()log (1)xa f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为对数函数的单调性、奇偶性1、设函数(2)log a y x-=在(0,)+∞上是减函数，则a 的取值范围是________2、函数lg y x=的单调递增区间是_______3、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是()12log (1)y x =+.2log y =31log y x =.213log (43)y x x =-+4、函数212log (32)y x x =-+的递增区间是_______________5、函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于() A 、x 轴对称B 、y 轴对称 C 、原点对称D 、直线y x =对称6、函数)()lgf x x=是（奇、偶）函数。
7、已知函数1010()1010x x xx f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。
对数中的不等关系比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小 1、设0.724log 0.8log 0.9log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是_______2、设2lg ,(lg ),lg a e b e c ===,,a b c 的大小关系是_______ 3、如果3log15m <，那么m 的取值范围是______4、如果log 3log 30a b >>，那么,a b 的关系是()01a b <<<1a b <<01b a <<<1b a <<、已知2log (1)log (24)0a a x x +<+<，则不等式解集为_______ 6、若()log a f x x=在[2,)+∞上恒有()1f x >，则实数a 的取值范围是________课堂练习1. 指数函数必过定点_____________，对数函数必过定点___________.2. 函数)2lg()(-=x x f 的定义域是___________________.3. 函数)2lg()(2x x f -=的定义域是___________________. 4. 函数x y 2=图像关于x y =对称的函数是__________；他们图像的共性是_________.5. 函数xy a log =，当1>a 时它是单调________；当10<<a 时它是单调_________.6. 若)1(log )2(log +>+a a a a ，那么a 的取值范围是_____________.7. 不等式1)3(log ≤-x ２的解集是___________________.8. 函数|log |2x y =和函数|log |21x y =的图像是一样的吗？答：__________.9. 函数)1lg()(2x x f -=的奇偶性是________________. 10. 函数)1lg()(2-=x x f 的单调递增区间是___________________. 11．3log 9log 28的值是 （）A ．32 B ．1 C ．23 D ．2 12．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（） A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x13．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（）A.23 B.4521 14．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于 （）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+1215．已知2lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为（）A ．1B ．4C ．1或4D ．4或16.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1] D ．(－∞，1)17．已知函数y =log 21(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＞1B ．0≤a ＜1C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤1 18.已知f (e x)=x ，则f (5)等于 （）A ．e5B ．5eC ．ln5D ．log 5e19．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（）（）ABCD 20．若22log ()y x ax a =--在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（）OyOx y Ox yOxyA ．[223,2]-B ．)223,2⎡-⎣C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2-21．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或22.函数xy a log =，当43log )1(log 2aa x x ≤+-成立时，a 的取值范围是_________.23.若)21(log )32(log a a a a -<-，那么a 的取值范围是_____________.不等式24.1)3(log 221-≤-x x 的解集是___________________.25.53log a＜1，则a 的取值范围是______________．。