中科院矩阵分析课件.doc
《矩阵分析》课件
方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
矩阵分析课件(2-1)
定义2.1.6. 称（2.1.3）式中右边的
对角形 - 矩阵为A （）的smith标准形， 称d1 ( )，d 2 ( ), ..., d r ( )为A （）的不变 因子。
上述定理说明，任何 - 矩阵（ A ）都 与它的smith标准形等价。
引入符号：
ri：表示矩阵的第i行；Ci：表示矩阵的第i列；
如果A1 ( )中至少有一个元素不为0，不妨设 左上角元素不为0，对A1 ( )重复A( )的讨论过 程， ； 最后将对角形中主对角线上元素变为 首系为1，因此，有 d1 ( )
. d r ( ) A( ) ， 0 . 0 其中d（ 的且d （ | di （ j ）是首1 i ） 1 ） ( j 1, 2, , r； i 1, 2, , r - 1).
r （或 Ci） rj (或C j )：表示互换矩阵的第i , j i 两行（或两列）；
Cri (或CCi )：表示矩阵的第i行（或列）乘常数C；
（） ri rj：表示将矩阵的第i行乘上 （）后
加到第j行上；
（）C i C j：表示将矩阵的第i列乘上 （）后
加到第j列上。
验证可知： 1 P ( i , j ) P ( i , j )，P ( i (c )) P ( i ( ))， c -1 P ( i , j( （） )) P ( i , j(- （） )).
-1 -1
与线性代数中的证明类似，可以证明：
定理2.1.2： 对一个m n的 - 矩阵A （）
定理2.1.4 任意一个非零的n阶 - 矩阵A( ) 都等价于一个对角矩阵，即 d1 ( ) ... d r ( ) A( ) （2.1.3） 0 ... 0 其中r 1, d i ( )是首系为1的多项式且 d i ( ) | d i 1 ( )，（i 1, 2...r - 1）。
矩阵分析第4章ppt课件.ppt
从而
A
P 1
Ir 0
D 0
Q
1
P 1
Ir 0
I
r
D Q 1
BC
其中
B
P 1
Ir
0
Crmr ,
C Ir
D
Q
1
C rn r
A BIr D Q1 B D Q1 AQ B D
所以B是A中r 个线性无关的列
例 ：分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
(1)
0 0
0 1 1 (2) A 2 0 0
解： （1）由于
1 2
AAH 0 0
0 0
1 2
0 0
0 0
5 AAH 0
0
0 0 0
0 0 0
显然 AAH 的特征值为5，0，0，所以 A 的
奇异值为 5
（2）由于
0 2
AAH
0 2
1 0
1 0
1 1
0 0
AAH
2 0
0 4
显然 AAH 的特征值为 2，4，所以 A 的
2
0
cnn
2
n Unnn ，
c11 c21
cn1
R
c22
cn
2
cnn
显然矩阵 R 是一个正线上三角矩阵。
A是列满秩也有
注：Ar 1 2
r
c11 c21
cr1
1 2
r
c22
cr
2
crr
UrR 矩阵 R 是一个正线上三角矩阵
下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式
A UR UR
1
2
1 2
1
1 2
矩阵分析第5章课件
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
中科院学习课件 矩阵分析与应用 9 Determinants
Since σ (1, 2) = +1 and σ (2, 1) = −1, we obtain the familiar formula a11 a12 a21 a22 = a11 a22 bin | UCAS
7 / 23
Determinants | Determinants
Li Bao bin | UCAS 2 / 23
Determinants | Introduction
These men had something else in common — their ideas concerning the solution of linear systems were never adopted by the mathematical community of their time, and their discoveries quickly faded into oblivion. Eventually the determinant was rediscovered, and much was written on the subject between 1750 and 1900. During this era, determinants became the major tool used to analyze and solve linear systems, while the theory of matrices remained relatively undeveloped. The study and use of determinants eventually gave way to Cayley.s matrix algebra, and today matrix and linear algebra are in the main stream of applied mathematics, while the role of determinants has been relegated to a minor backwater position. Nevertheless, it is still important to understand what a determinant is and to learn a few of its fundamental properties. Our goal is not to study determinants for their own sake, but rather to explore those properties that are useful in the further development of matrix theory and its applications.
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
矩阵分析第一章课件.ppt
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
中科院矩阵分析_第一章
矩阵的代数性质1•矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2•矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji也可以定义为：(x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为：Ax= f(x),其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。
反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。
图像压缩就是矩阵的表示问题•这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。
4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。
很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。
第一章：线性空间和线性变换1. 线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。
集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S, S'为集合映射：为一个规则：S S',使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'= (a)，或：a a'.映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
满射，单射,—映射。
若S'和S相同，则称为变换。
中科院学习课件 矩阵分析与应用 6lineartransform
Li Bao bin | UCAS
3 / 34
Linear Transformations | Introduction
If V is the space of all continuous functions from R into R, then the x mapping defined by T(f ) = 0 f (t)dt is a linear operator on V because
Li Bao bin | UCAS
11 / 34
Linear Transformations | Introduction
For T ∈ L(U , V ) and L ∈ L(V , W ), the composition of L with T is defined to be the function C : U → W such that C(x) = L (T(x)). This composition denoted by C(x) = LT, is also a linear transformation because C(αx + y) = L (T(αx + y)) = L (αT(x) + T(y)) = αL (αT(x)) + L (T(y)) = αC(x) + C(y). If B, B and B are bases for U , V and W , respectively, then C must have a coordinate matrix representation with respect to (B, B ). So it’s only natural to ask how [C]BB is related to [L]B B and [T]BB : [C]BB = [L]/ 34
矩阵分析课件
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
矩阵分析课件-2024鲜版
特征多项式求解技巧
特征多项式定义
设A为n阶矩阵，则行列式|λE-A|称为A的 特征多项式。
VS
求解技巧
通过求解特征多项式|λE-A|=0的根，可以 得到矩阵A的特征值。对于具体的求解过程， 可以采用行列式性质、降阶法、因式分解 等方法进行化简和计算。
2024/3/28
20
对角化条件及判别方法
03
$(AB)' = A'B + AB'$，其中$A(t)$和$B(t)$是可乘 的矩阵函数。
26
常见矩阵函数求导公式
若$A(t) = [a_{ij}(t)]$是对角矩阵函数，则$A'(t) = [a_{ij}'(t)]$。
若$A(t) = sin(Bt)$或$cos(Bt)$，其中$B$是常数矩 阵，则可以通过将$sin(x)$和$cos(x)$的幂级数展开
欧拉法具有一阶精度且计算简单但误差较大。
02
龙格-库塔法
一种高精度求解一阶常微分方程的数值方法，通过多步迭代提高精度。
四阶龙格-库塔法具有较高的精度和稳定性，在实际应用中广泛使用。
2024/3/28
03
有限差分法
一种求解偏微分方程的数值方法，通过将连续问题离散化并构造差分格
式进行求解。有限差分法适用于规则区域且易于编程实现但精度受限于
对角化条件
一个n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
判断一个矩阵是否可以对角化，可以通过求解其特征值和特征向量，然后判断是否有n个线性无关的特征向量。 如果存在n个线性无关的特征向量，则矩阵可以对角化；否则，矩阵不能对角化。
2024/3/28
21
中科院矩阵分析_第五章
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。
这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。
5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令1 , ,M= ma彷总a sr|若表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式|Im( )| M n(n21)|Im( )| ||A A T||2 / 2|Im( )| ||A A T||1n /2.证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y)其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B展开有i 1 j iTT X y X X T T y yy X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay(1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：(x T x+y T y)=x T (A A T )y1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2)利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2.2) .由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y||从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2)易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2)n /2.(显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1,设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从而极值转化为求解如下最大值问题：max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2,从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。
2024版第5章矩阵分析ppt课件
矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
矩阵分析课件
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的
线性组合.
四、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
基变换公式 设空间中有两组基：
矩 阵
i1 j1
度量矩阵的性质：
A
定义内积 在一个基{1，2，…， n }中定义内积 定义一个度量矩阵A 。
二、标准正交基
1 标准正交的向量组：
定义：
｛1，2，…，n｝为正交组(i，j ) =0 性质：
2 标准正交基
基｛1，
2，…，n｝是标准正交基
(i， j)=
1 0
i j i j
标准正交基的优点：
零空间 N（T）=｛：Vn(F ) ，T ( ) =0 ｝
定义：பைடு நூலகம்T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）
例题27 求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象 空间和零空间。
R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）
4 线性变换的运算 设们构T1，成T的2新都的是变空换间：Vn(F)中的线性变换，常见的用它
例3 子空间W的“直和补子空间”
1·2 内积空间
主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。
一、 欧氏空间和酉空间 1 几何空间中度量关系的定义基础 2 内积的定义 定义1·7 (P13) ：要点 • 内积(，)是二元运算：Vn(F) F • (，)的公理性质 • (，)是任何满足定义的运算。 • 讨论(，1＋2), (，k)
中科院矩阵分析_第二章
第 2 章范数理论及其应用2.1向量范数及I p范数定义：如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件：1）非负性：||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2）齐次性：iikxii=iki iixii，k K；3）三角不等式：||x+y|| ||x||+||y||.则称||x|为V上向量x的范数，简称为向量范数。
可以看出范数||||为将V 映射为非负数的函数。
注意：2）中|k|当K 为实数时为绝对值，当K 为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n 维复（或实）列向量空间，因此下面我们仅仅讨论n 维复（或实）列向量空间就足够了下面讨论如下：1•设||||为线性空间V n的范数，任取它的一个基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n其中，（1, 2,…,n）T为X的坐标。
由此定义C n（或R n）中的范数如下：|| ||C = （） = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n||则容易验证|| ||C确实为C n中的范数.2.反之, 若|| ||C 为C n中的范数，定义V n 的范数如下：||X||= （X）=|| ||c其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。
则容易验证（X）确实为V n的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n 维复（或实）列向量空间的范数之间的关系。
这也是为我们只讨论n 维复（或实）列向量空间的范数的理由.范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质 1. 范数是凸函数，即|| （1 ）X+ y|| （1 ）||X||+ ||y||其中0向量的范数类似于向量长度。
性质 2. (范数的乘法) 若|| ||为线性空间V 上的向量范数，则k|||| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3.设||||comp为R m上的范数，且对x (R+)m为单调增加的(即，若x,y (R+)m, 且X i y那么IXI Comp lyil comp 成立•),那么，对于给定的m 个n 维线性空间V 上的范数||||i,i=1,2,…,m，我们可以定义一个复合范数为llxll=llU(x)ll comp , 其中，U(X)=( ||X||1,||X|2,…,||x||m)T. 证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。
中科院矩阵分析chapt3
矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。
sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。
定理3.1 A (k) A 的充要条件为||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。
即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。
性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。
||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。
《矩阵分析》课件
行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
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矩阵分析及其应用3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A«)=(#))£Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使得数列站发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为对任给£>0存在N(E),当k,l> N(E)时有IIA(k)-A(/)ll < £其中11.11为任意的广义矩阵范数。
例 1 A(n)e~nsin(-)n y，sin(R) k=l K 7如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。
相反，由于t^< t^<v 1/m从而只要/充分大，则当m, n > /时就有nz sin(A)这样A")收定理3.1 A(k)->A的充要条件为HA'10-AII T O证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。
即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则a- A(k)+P • B(k) -> a- A+P B, V a,PeC性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则A(k)由如一A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的矩阵范数。
IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII<IIA(k)-AII-IIB(k)ll+IIAIMIB(k)-BII注意IIB(k)||_||BII,则结论可得。
特别地有性质2，. A(k U A的充要条件为A(k) x—Ax,对任意x成立或者y H A fk) x-> yH Ax,对任意x,y成立.(在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的)对于Hermite(对称)矩阵我们有如下的定理:设A«), k=l,2,・..,和A都为Hermite矩阵，那么A(k»A的充要条件为x”A时X—>x”Ax,对任意x成立推论：设A如，k=l,2,...,为半正定的Hermite矩阵，且单调减少，即状和4J")为半正定Hermite矩阵，那么4的有极限.性质3设泌幻和A都为可逆矩阵，且成则(4伏证明：因为Af(A如)所以存在K,当必K时有III-AT・(A(*))II V]/2我们有(A u))-,= A%( I- A-1- (A(k)» (A(k)r l从而ll(A(k))-,ll<IIA_,ll+ll( I- A-1- (A(k)))H-ll (Air'll当k>K时，有ll(A(k))_,ll<IIA~l ll+l/2-ll(A(k))_,ll即ll(A(k))-1ll<2-IIA_,ll因为A—、(A00)% A—】(A<k)- A) (A(k))-1从而II A-1- (A(k))~,ll<IIA_,ll-IIA tk)-AIMI(A(k))_,ll(当k>K 时) <IIA-,IMIA(k)-AII-2IIA_,ll(当krec 时) T O由定理3.1有(A W A-I定义3.2矩阵序列｛A00｝称为有界的，如果存在常数M>0,使得对一切k都有Il<M 或等价的IIA闵llvM，定理：有界的矩阵序列(A<k)｝-定有收敛的子列。
定义3.3设A为方阵，且当k->oo时有A k-»0,则称A为收敛矩阵。
定理3.2(迭代法基本定理)AkrO的充要条件为谱半径P(A)<1.证明：必要性：设A*T O,证明p(A)<l.对4的任意特征值%和相应的特征向量x有这样我们有4=4从而<IXI k-llxll=IIA k xll<IIA k IMIxll从而有IA.I k<IIA k ll->0这样有IRvl,由于尢为A的任意特征值，所以p(A)<l，即必要性得证。
充分性。
已知p(A)<l,证明A k->0.取£=(l-p(A))/2 >0,由定理2.10有，存在某种相容的矩阵范数II.II M使得IIAII M< p(A)+ £<1从而IIA k llM<(IIAII M)k<(P(A)+ e)k所以当k—8有IIAK|I MT O,从而A5定理3.3 AJ0的充分条件为存在矩阵范数II.II M使得IIAII M vl3.2矩阵级数定义3.4设矩阵序列｛A%,其中A(k)=(t/^)eC nxn,由它们形成的无穷和A%A⑴+...+A(k)+...称为矩阵级数,记为£"),即有k=000£/')=A%A“)+...+A(k)+...N oo定义3.5记S性，称其为矩阵级数Z A"')的部分和. Jt=() Jt=() 如果矩阵序列｛S(N)｝收敛，且有极限S,即有S(N)->s00那么称矩阵级数闵收敛，且和为s,记为*=0S=N A"）k=0不收敛的矩阵级数称为发散的。
显然^A（k） =S 是指£#）二%•，V/J 虹0 虹0即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。
00性质：矩阵级数闵收敛的充要条件为对任意向量X,k=000向量级数Z A“少收敛。
虹0定义3.6设矩阵级数£人°）的每个分量。
"所构成的数项k=000 S级数绝对收敛，则称矩阵级数£ A⑴绝对收敛。
k=Q k=0关于绝对收敛，我们有如下的定理：性质1.绝对收敛的£A以）交换求和次序不改变其绝对*=0收敛性和极限值。
性质2.矩阵级数£ 幻绝对收敛的充要条件为正项级数k=0£11人⑴II收敛。
k=0性质3.如果矩阵级数£人伏）（绝对）收敛，那么k=0 /t=（）也是（绝对）收敛,且有k=i）k=0性质4.设C"11的两个矩阵级数Si：A ⑴+A ⑵+..裁幻+...S2： B⑴+B⑵+...+B（k）+...都绝对收敛，其和分别为A和B.则矩阵级数S3： A⑴B⑴+ [A⑴B⑵+ A⑵B⑴]+...+[ A⑴ B很)+ A⑵ B(k-I) +.. .+A°° B⑴]+...绝对收敛且和为AB.证明：由于S「A⑴+A⑵+...+A°°+...绝对收敛的充要条件为正项级数IIA⑴II+IIA⑵ll+・..+IIA(k)||+...收敛且与排列无关。
我们证明的思路是证明正项级数：IIA ⑴ B ⑴ 11+ IIA ⑴ B ⑵+ A ⑵ B ⑴ II+...+IIA⑴ B(k)+ A⑵ B(k-1)+...+犬)B⑴II+...收敛。
引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数：IIA⑴ll・IIB⑴ 11+ { IIA⑴ II.IIB⑵ 11+ IIA⑵ IIJIB⑴ 11}+...+ {IIA⑴ IMIB(k)ll+ IIA⑵ 11・1 旧(k-1)ll+...+IIA(k) IIJIB⑴ 11}+...收敛。
这由题设正项级数IIA⑴II+IIA⑵II+.. .+1山唧+...和正项级数IIB⑴11+1旧⑵II+.. .+IIB唧+...的收敛性可得。
定理3.4幕级数I+A+A2+...+A k+...ifc敛的充要条件为A的谱半径p(A)<l,收敛时其和为(I-A)T。
若有矩阵范数11.11使得IIAIIvl,则ll(I-A)-1- (I+A+A2+.. .+A k)ll<IIAII k+7( 1 -IIAII)证明：必要性.由于I+A+A2+...+AL...收敛，从而S(k)= I+A+A2+...+A k收敛。
记T(k)= I+A+A2+...+A k+1, Ak+l=T(k)_ S(k)收敛,且T、S(k)TO,这样我们有A k^0,从而p(A)<l.充分性：设p(A)<l, (I-A)-1存在，由于I+A+A2+...+A k=(I-A)_1 -(I-A)-1 A k+1因A J O,所以I+A+A~+.. .+人杞+...—(I—A) I又因为(I-A)-1 - (I+A+A2+...+A k)= (I-A)-1 A k+1从而-(I+A+A2+...+A k)ll=ll (I-A)-1 A k+,ll设B=(I-A)-1A k+1,Affi(I-A)B=A k+,即B=AB+ A” 从而IIBII< IIAII-IIBII+ IIA k+I ll< IIAII-IIBII+ IIAII k+1因为矩阵范数ll.ll使得IIAIIvl,所以IIBII<IIAII k+1/(l-IIAII)成立。
定理3.6设帛级数f (z) = £c盘的收敛半径为尸，如果方阵A满足p(A)< r,则矩阵界级数00/（A） = Z Q A*是绝对收敛的；如果p（A）>尸，k=000是发散的。
A=0证明：利用绝对收敛的性质。
反之，设A的特征值人满足UI=/?（A）, x为入相应的特征l'*J量£以（A七）=£以（#尤）=（£ c k分）尤，k=0 A=0 A=0由于p（A） >r，那么（£c、/）x发散（注意x为非零仙景）k=0〃s从而Z Q（A%）发散，这样Z G**发散。
A=0 k=0矩阵函数定义：设一元函数Az）能展开为Z的蓦级数3/'(Z)= »N、zlvr) k=0其中r>0表示该帛级数的收敛半径。
当〃阶矩阵A的S谱半径p(A)<r时，把收敛的矩阵界级数的和k=000为f(A),即f(A)= .k=0性质1(代入规则)：若/Xz)能展开为z的蒂级数，且f (z)=g(z), 对Izl < r成立，则当p(A)< r时，f(A)=g(A).矩阵函数举例：sin⑵=々一//3!+广/5! -...则sin(A)=Z-A3/3!+A5/5!-...cos⑵=1 一『/2!+z'/4! -...cos(A)= I-A2/2!+A4/4!-...e:-1 +Z+Z2/2 ! +//3!+.../=I+A+A2/2!+A3/3!+...sir?⑵ + cos2U)= 1可得：sin2(A)+cos2(A)= I性质2二元函数f(x,y)能展开为x,.y的蓦级数J\x,y)=g(x,y).若AB=BA^\ f(A,B)=^A,B)(二元函数的代入规则).矩阵函数值的求法1.待定系数法设〃阶矩阵4的特征多项式(p(2)=det(27M).如果首1 多项式w(A)=/+b|/l T+...+b m_n+bm满足:⑴\|/(A)=0;(2)侦人)整除板人)(矩阵A的最小多项式与特征多项式均满足这些条件).那么,wQ)的零点都是A的特征值.记w(人)的互异零点为入],人焉,相应的重数为「1,...小(1"1+「2+...+板=01),则伯W(“Q)=O (/=o,l,..s・l;i=l,2,...,s)这里,表示wQ)的I阶导数(下同).00设、人沪= W(z)g(z)+r(z).其中r⑵是次数低于刀的k=0多项式，于是可由产(入i) = r(/)( 确定r(z).利用f(A)= w(A)g(A)+r(A)=r(A).因此我们的问题就是给定函数,/k),由约束条件r (z )( Ai )=fXk) /=0,l,...,r 「l;i=l,2,...,s确定r ⑵。