二元一次方程组讲义

二元一次方程组讲义

题型一：二元一次方程（组）的概念

①二元一次方程： 含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。

注意：满足的四个条件：1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.

②二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。 注意：1）满足的三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。

2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。

①二元一次方程：

例1、下列方程①x x 263=+，②3=xy ，③42=-x y ，④y y x 24

10=-，⑤21=+y x ，⑥532=+xy x ，⑦03=+-z y x ，⑧1332=+y x 中，二元一次方程有 个。 例2、方程14-=-x y ax 是二元一次方程，则a 的取值范围为 . 例3、已知方程()132-=++m y m mx 是关于y x ,的二元一次方程，则m 的取值范围是 .

例4.若关于x ，y 的方程021=+-+n m y x

是二元一次方程，则n m +的和为 . 例5、若1342=+--b a y x 是关于x ，y 的二元一次方程，其中3≤+b a ，则=-b a ．

②二元一次方程组：

例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 .

（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21122y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+211y x y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-=211y x xy ；（4）⎩⎨⎧==+01x y x ；（5）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+2111y x y x ；（6）⎩⎨⎧=+=+212z y y x ；（7）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y

x y x ；（8）⎩⎨⎧=-=-1y x xy y x .；（9）()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-2312y y x x y x

例5、若方程组()⎩

⎨

⎧=-=+-+-43332b a y x xy c x 是关于y x ,的二元一次方程组，则代数式c b a ++的值是 ．

题型二：二元一次方程（组）的解的概念

二元一次方程的解:

注意：1)二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的

解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。

例1 、判断下列数值是否是二元一次方程3x+2y=24的解（ ）

（1）⎩⎨⎧==92y x （2）⎩⎨⎧==12y x （3）⎩⎨⎧==98y x （4）⎩⎨⎧==6

4y x

针对性练习

1判断下列数值是否是二元一次方程3x+y=11的解（ ）

（1）⎩⎨⎧-==13y x （2）⎩⎨⎧==2

3y x

2 下列数值，是二元一次方程t-2s=-8的解的是（ ）

A ⎩

⎨⎧==12s t B ⎩⎨⎧==23s t C ⎩⎨⎧==42s t D ⎩⎨⎧==64s t

②二元一次方程组的解：

注意：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；2）二元一次方程组需用大括号“{”

表示，方程组的解也要用大括号“{”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如()⎩⎨⎧=+=+4

22y x y x ，有的方程组无解，如⎩⎨⎧=+=+63y x y x . 例2、下列二元一次方程组中，以⎩⎨⎧==2

1y x 为解的是（ ） A ．⎩⎨⎧=+=-531y x y x B ．⎩⎨⎧=+-=-5332y x y x C ．⎩⎨⎧-=+=-5

31y x y x D ．⎩⎨⎧=+=-433y x y x 针对性练习

1.下列各对数值是方程组⎩⎨⎧-=+=+2

222n m n m 的解的是（ ） A ．⎩⎨⎧-==22n m B ．⎩⎨⎧=-=22n m C ．⎩⎨⎧==20n m D ．⎩

⎨⎧==02n m

常用方法：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时才能说这对数值是此方程组的解。否则不是

例3、判断下列各组数是不是二元一次方程组⎩

⎨⎧=+=-10352b a b a 的解。 （1）⎩⎨

⎧==77b a （2）⎩⎨⎧==13b a

例4、若⎩⎨

⎧-==2

2y x 是二元一次方程3=+by ax 的一个解，则=--1b a .

例5、若⎩

⎨

⎧==b y a x 是方程2x+y=0的解，则=++236b a .

题型三：解多元一次方程（组）的问题

解二元一次方程组的方法：代入消元法；加减消元法，整体思想（整体代入法；整体加减

法）；换元法、分类讨论法。

①二元一次方程：

例1、把方程32=+y x 改写成用含x 的式子表示y 的形式，得=y .

例2、写出满足方程92=+y x 的一对整数值 .

例3、二元一次方程103=+y x 的非负整数解共有 对．

例4、若0034≠=-x y x 且，则

=+-y x y x 5454 .

②二元一次方程组：

例1、由方程组⎩⎨

⎧=-=+m

y m x 36可得出x 与y 的关系式是 . 1）代入消元法 : 由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，在代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

例1、用代入法解方程组⎩⎨

⎧=+-=+8

32152y x y x