一个定价问题的数学模型

定价问题
2008年05月08日星期四11:54
[摘要]本文认为景区门票最优价格需同时满足游客旅游效用最大化和景区利润最大化。

基于此，本文将闲暇时间约束引入最优化博弈模型，计算出景区最优门票价格的理论值，并给出了相关的经济解释和政策建议，为日后实践中的门票定价提供理论基准。

[关键词]资源景区；门票价格；最优化；博弈
引言
在世界范围内，景区的门票定价都需要兼顾景区经营单位的利益和作为国家资源享受者的游客的权利。

首先，市场的供求关系是影响景区价格的首要因素。

高书军和董玉明(2002)依据经济学的均衡价格理论，从企业和旅游者双方的理性行为出发，探讨了影响景区价格的各种因素，并建立了景区门票价格的模型。

但是，基于景区具有一定的公共物品属性和外部性，因此，很多学者主张景区门票价格应考虑多个要素或多项原则(戴斌，1995；胡林，2004)，进而需要引入政府对门票的管理(朱建安，2004)。

其次，景区定价可以遵循质价相符的原则，戴斌(1995)认为，景区价值、生产费用和其他因素共同决定景区价格，并在此基础上建立了景区价格形成函数。

第三，有观点指出，景区价格还应考虑社会效益(田勇，2003；欧阳泉等，2003)，持这种观点的学者普遍反对景区确定较高的门票价格。

另外，宋子千(2004)认为，差别产品、垄断竞争导致景区价格自动趋向垄断价格，从而大大减少消费者剩余，造成社会福利损失。

因此，门票价格决策应该民主化，必要时要召开听证会。

最后，环境因素也是景区价格的影响因素之一。

景区定价要考虑生态保护，门票价格要体现环保性，以调控环境容量(田勇，2003)。

但宋子千(2004)认为，控制容量不应被当作景区提价的理由，等级较低的景区提价，会增加等级较高景区的环境压力；对于等级较高的景区而言，其接待的主要是外地游客，门票不会对游客人数产生多大的影响。

另外，有部分学者不主张用单一价格作为景区门票价格，门票价格应该有多样的表现方式，应该做到灵活性与相对稳定性相结合，但不能大涨大落。

现有的对景区门票定价的相关研究，从多方面论述了景区门票定价的方法和原则，但尚未对具体的定价方式进行模型推导和数理性证明，因此在定价的结论上缺乏一定的可量化数理依据。

本文拟从景区与游客各自的最优化问题人手，建立一个静态博弈模型来推导景区门票的最优定价机制
游客与景区的最优化博弈
继2005年后，2007年2月国家发改委发出《国家发展改革委关于进一步做好当前游览参观点门票价格管理工作的通知》(以下简称《通知》)，对景区门票价格上调的幅度和间隔时间做出明确规定，严于此前市场一致预期。

通知对各景区均产生程度不同的影响。

这再一次引发对景区如何科学、合理、合法进行定价的讨论与争鸣。

在我国，旅游景区属于国家资源，归国家所有，作为合法公民，既有游览的权利，也有保护景区的义务。

因此，景区的门票既要保证公民合法游览的权利，提高其旅游效用，同时还要保证景区的经营单位能获得合理的利润回报，以维持正常的经营和景区的保护、修缮。

如何权衡景区和游客的利益，是否存在最优点，这正是本文理论建模的出发点。

为此，我们建立一个包含利益相关
者收益、景区空间特征和禀赋特性的静态博弈模型来求取景区的最优定价。

通过理论模型抽象模拟现实定价，可以在方向上和原则上确认在市场经济条件下景区定价的条件、范围和注意要点，而在时间操作中，尽管可以有因地制宜的做法，但理论模型所展现的原则与要点却具有普适性。

我们的模型考虑了景区和游客的利益，考虑了政府因素(对景区的承载力要求)和市场因素(游客所面临的时间与预算约束)，因此是一个结合了商业环境和景区资源特点的现实模型，其推导出的结论对实践具有指导性。

在理论模型中，博弈参与方为代表性游客和景区，不失一般性，模型假设市场上只有两个景区1和2可供游客选择。

游客在闲暇时间约束和旅游预算约束下最大化自己的旅游效用①，景区在承载力约束下最大化自身的利润。

在市场信息透明与双方同时决策的前提下，同时满足两个最大化问题的纳什均衡所对应的均衡门票价格就是我们求解的最优门票价格。

通过分析最优价格的构成，我们可以研究最优定价的影响因素、可选方法和政策意义。

1、问题重述
为了获得更大的效益，企业应如何对商品定价。

表面看定得越高越赚钱，可是购买者太少会影响总收入。

反过来定得太低时单位商品的利润太低也会使总收入降低。

请你给出确定一个商品价格时所应考虑的各种因素并讨论其间的关系(最好不要建立产销平衡假设)。

另外，一个离市区50公里的滑雪场只有冬天才能营业，因此价格比较高，游客在柜台交款的价格是滑雪每人每天120元（由于离市区较远，来的游客主要是滑一天的）。

为了更多地招揽顾客，雪场又想设计几种其他收费方式：1）销售20次卡。

顾客一次性购买后，使用时每人每次打一个孔，打满20个孔的卡就作废了，没用完也不再退款；
2）年卡。

在一年期间内只要滑雪场开放，可随时来滑雪。

不计次数和时间，不再收取其他费用，只限固定一人使用，雪场为其提供各种方便条件，购买时需交纳一定费用。

每年的雪季长大约是4个月；
3）俱乐部组团可享受优惠价格。

滑雪场对每个俱乐部指定其中一人为经纪人，该俱乐部组织人员来滑雪时，滑雪场与经纪人结算，然后经纪人再向俱乐部人员收取一定费用。

显然，经纪人是会有一定收入的，但滑雪者所交的费用又要比在柜台交时的少；
4)自带雪具者由于只用雪场的缆车与雪道，应该享受较低价格。

请针对以上的各种情况，分别设计各种交款方式的价格并做效益分析。

按雪季中平日来客人600人/天，周末来客人2000人/天来估计（不特殊考虑新年和春节）。

2、基本假设
2.1代表性游客的效用最大化
假定游客集合是一个数量为M的连续统，这意味着代表性游客的数量非常
大。

游客有如下的旅游效用函数：U(t1，t2)=At a
2t2
1-
a其中t
i
表示
游客在第i个景区停留的时间(i=1，2)，相当于对第i个景区禀赋的消费量；a 是效用U对停留时间t
1
的弹性，表示在其他条件不变时，在景区1多停留一单位时间，效用增加的百分比；1—a有类似含义；A表示外界其他变动因素对效用的影响，通常标准化为1。

游客在景区的支出机制是，他每在景区i多停留一天，就平均②多花费门票
价格的一个固定比例，即如果R
i 是游客在景区i的总花费，则有dR
i
/dt
i
=k
i
p
i
(其
中p
i 是景区i的门票价格，k
i
是景区i的冰山交易效率系数，它表示在景区内每
多停留一天，游客会将相当于门票k
i 比例的金钱用于景区内消费，因此k
i
＞0，
其具体取值由景区的吸引力、设施等级、当地物价等外生因素决定)，解此微分
方程得到R
i =k
i
p
i
t
i。

游客的决策是：
MaxlnU=αlnt
1+(1-α)lnt
2
③
(2.1a)
s.t. t
1+t
2
≤t
(闲暇时间约束)(2.1b)
k 1p
1
t
1
+k
2
p
2
t
2
≤m
(旅游预算约束) (2.1c)
t 1≥0，t
2
≥0
(角点约束)
其中，是游客的可自由支配时间，是游客能用于此次旅游的可自由支配收入。

为了满足博弈的参与约束条件，我们给定和，不能同时为，即游客不会选择不旅游。

其次，为保证约束条件是相容的，需要满足，，即游客的旅游可自由支配收入应能保证他至少能进入门票较便宜的那个景区。

问题的拉格朗日函数是，和是拉格朗日系数。

由于效用函数的凹性和约束函数的线性性质，可知问题的目标函数和约束函数对决策变量，和都是凹的，而且，如果约束条件是相容的，我们能找到一个，组合使＞且＞即条件满足，所以，以下条件是问题全局最大化的充要条件：，０，０，，由式有。

若，则、、、都是有限的自然数，因此不可能趋于无穷，这说明只可能＞。

同理，＞。

又因为效用函数对和都是单调的，所以在非边界的内点上不存在局部最大值。

所以，问题只可能在非内点的边界上取得最大值即在图中的折线上。

落在线段上的局部最大值求解就是在约束条件下求的古典非线性最优规划，得到线段上的。