华南理工大学数学实验实验七

x(1) 1
,
x(1) 2
,
x(1) 3
，以后第
n
代的分
布为
x(n) 1
,
x(n) 2
,
x(n) 3
。则有，
则， 代码：
1
A
=

0
1/ 2 1/ 2
0 1 ，X
(n)
=


x(n) 1
x(n) 2
,
X
(1)
=


80%
20%

0 0 0

x(n) 3
n→
=
P(limT n )P-1 n→
=
P


1

P
-1
0
11
图 7 为理论分析的结果，可以看出，最终 Aa 基因型和 aa 基因型都会消失。
图7
如图 8 所示为 20 年后的基因型分布，从结果可以看出，第 20 代以后基因型 趋于稳定，不但不会出现 aa 型品种，连 Aa 型品种也趋于消失。因此为了培育优 良品种，最好采用一些控制结合的手段。
（3）将上述代码中矩阵 A 中的-0.125 改为-0.15，即增大猫头鹰的捕食率， 该系统的演化过程如图 5 所示，从图中可以看出，由于猫头鹰捕食率的增大，老 鼠的数量逐渐减少，最终猫头鹰和老鼠都将会灭亡。
2000
1800
1600
x0
x0 1400
1200
1000
x0
x0
800
x0
x0
600
400
2000 1800 1600 1400 1200 1000
800 600 400 200
x0 x0
x0 x0
v1
x0
x0 x0 x0 x0 x0 v2
0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 || >1,|u|<1
图 4 减小老鼠的出生率
9

4 5

的倍数，所以
xk
的
2
个分量的比值约为
4
比
5，即每
4
只猫头鹰对应着 5000 只老鼠。图 2 为解的图像表示，从结果图中可以看出，该
系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。
2000 1800 1600
x0 x0
1400
x0 1200
1000 x0
x0
800
600
x0
400
v1
200
x0 v2
0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 || >1,|u|<1
图 2 不同初始分布的演化过程
当该系统处于图 2 所示的不稳定平衡状态时，该系统的稳定性非常脆弱，当 系统受到外界干扰或者系统自身的微小变化时，该系统将发生不同的演化并且有 截然不同的演化结果。具体分析如图 3~6 所示，分别为：图 3 老鼠出生率增大； 图 4 老鼠出生率减小；图 5 猫头鹰捕食率增大；图 6 猫头鹰捕食率减小。
%显示 20 年后的基因分布
结果及结果分析：
运行上面的代码，可以得到第一和第二小题的结果如图 7 和 8 所示。
对于该杂交育种的代数模型，采用特征值和特征向量及相似对角矩阵理论进
行分析。将矩阵 A 对角化，则
Ａn = (PTP−1 )n = PT nP−1 。
随着杂交育种代数的增大，有
1

limＡn
图8
3． 实验总结和实验感悟
通过这次的实验，我重新了解并掌握了很多之前学过的线性代数的知识点， 例如特征值、特征向量、特征方程、矩阵对角化等等以及使用 MATLAB 的 eig 命令来直接求出矩阵的特征值和特征向量，理解了由差分方程所描述的动态系统 的长期行为和演化过程。在这次实验中，我还学会了利用 MATLAB 函数来调用 鼠标从而获取点击位置坐标值的方法，这是一个实用性比较强的方法，不仅仅可 以使用在本次实验中，还可以用在以后的很多方面上。
lambda（按照特征值得绝对值降序排列）和对应的特征向量 pc；图 2 为不同初
始分布的演化过程。
6
图 1 A 的特征值以及对应的特征向量
这两个特征向量（即 pc 的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成 R2 的 一组基。为消除小数，选取
v1
=

4 5

,
v2
=
4
1
8
（1）将上述代码中矩阵 A 中的 1.1 改为 1.2，即增大老鼠的出生率，该系统 的演化过程如图 3 所示，从图中可以看出，该系统从原先的不稳定平衡状态转变 为稳定平衡状态，最终猫头鹰和老鼠的数量将达到动态平衡状态，两者以一定的 数量比例存在。
2000
1800
1600
1400
x0
1200
x0
1000
AA-aa 0 1 0
2、特征值与特征向量的求法
2
3、矩阵的对角化 4、离散线性动态系统
3
4
5、eig 命令
2.2. 算法、编程与结果分析
➢ 第1题 算法：
将线性变换 x → Ax 的作用分解为易于理解的成分，其中特征值和特征向量 是分析离散动态系统的关键。根据已知信息，找出系统对应的差分方程 xk+1 = Axk ，求出 A 的特征值和对应的特征向量。再根据不同特征值的个数、绝 对值大于 1 还是小于 1、是实特征值还是复特征值的情形，分析出系统的演化过 程。主要分为三步：
text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')
quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X
(2,2),0]',p)
set(h,'MarkerSize',6),grid,
end
end
结果及结果分析：
运行上面的代码，可以得到结果如图 1 和 2 所示，图 1 为矩阵 A 的特征值
D*[x1;x2;x3] %n 趋于无穷大的时候的分布
%%
%%第二小题 X=[0.8;0.2;0]; %初始分布 for i=1:20 %20 年后的基因分布
X=A*X; %按照基因型的概率进行迭代
end
format short; %保留小数点后四位
disp('X='); %显示‘X=’
disp(X);
7
xk

c1 (1.00)k
4

5

k 越大，上式的近似程度越高，所以对于足够大的 k，
xk +1

c1
(1.00)k +1

4 5

=c1
(1.00)k

4 5

=xk 上式表明，最后 xk 的每个分量（猫头鹰和老鼠的数量）几乎每个月都近似的等于
原来的数量。 xk 约为
实验七 特征值与特征向量
地
点：
实验日期与时间：
预习检查纪录：
电子文档存放位置：
电子文档文件名：
批改意见：
计算中心 202 房； 2018 年 6 月 6 日
实验台号： 评 分： 实验教师：
信息工程 4 班-03-陈邦栋实验七.doc
03 刘小兰
1． 实验目的
- 掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论。 - 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。 - 理解由差分方程 xk+1 = Axk 所描述的动态系统的长期行为或演化。 - 提高对离散动态系统的理解与分析能力。
button = 1;
while button == 1
[xi,yi,button] = ginput(1);
%用鼠标选初始点
plot(xi,yi,'go'),hold on
X0 = [xi;yi];
X = X0;
for i=1:n
X = [A*X, X0];
%用这种方式迭代，并画图
h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on

因为v1, v2 是 R2 的一组基，所以存在系数 c1 和 c2 ，使得
因为v1, v2 为矩阵 A 对应于特征值 =1，=0.6 的特征向量，所以
于是
一般的，
当 k → 时， (0.6)k 迅速趋于 0。假定 c1 > 0，则对于所有足够大的 k， xk 近似地
等于 c1v1 ，写为
第一步：求 A 的特征值和对应的特征向量； 第二步：用 v1 和 v2 表示 x0 和 xk，k = 1, 2,... ； 第三步：解的图像表示。 代码：
%%%%%%%% 实验练习 8-1 %%%%%%%%% %捕食者-被捕食者解的图像表示 %捕食参数 p 为 0.125 close all; %关闭已经打开的所有图片 clear,clc; %清空工作区和命令行窗口 a = 0; b = 2000; c = a; d = b; p = 0.1; %确定画图范围
v1
v2
200
0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 || >1,|u|<1
图 5 增大猫头鹰的捕食率
（4）将上述代码中矩阵 A 中的-0.125 改为-0.1，即减小猫头鹰的捕食率，该 系统的演化过程如图 6 所示，从图中可以看出，该系统从原先的不稳定平衡状态 转变为稳定平衡状态，最终猫头鹰和老鼠的数量将达到动态平衡状态，两者以一 定的数量比例存在。

0
X (n) = An−1 X (1)
clear,clc; %清空工作区和命令行窗口
%%
%%第一小题
A=[1 1/2 0;0 1/2 1;0 0 0]; %后代基因型概率
[p,T]=eig(A)
%特征值以及对应的特征向量
D=p*diag([1,0,0])/p
syms x1 x2 x3;
2000
1800
1600 x0
1400
1200
x0
x0
1000
800 x0
600
400
v1
x0 x0
200 0 0
v2
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 || >1,|u|<1
图 6 减小猫头鹰的捕食率
10
➢ 第2题 算法：
设当前该遗传病的人口比例状况为初始分布
[pc,lambda] = eig(A);
%求 A 的特征值和对应的特征向量
[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend'); %对特征值的绝对值降序排列
temp = diag(lambda);
lambda = temp(I)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
%输出按特征值的绝对值降序排列的特征值
pc = pc(:,I)
要求： （1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。 （2）用 MATLAB 求解初始分布为 0.8，0.2，0 时，20 年后基因分布，是否
1
已经趋于稳定？
概率
后代的
AA
Aa
基因型
aa
2.1. 实验原理
1、特征值与特征向量
表 1 基因的转移 父体—母体基因型
AA-AA 1 0 0
AA-Aa 1/2 1/2 0
12
2． 问题描述
1、当捕食者—被捕食者问题中的捕食参数 p 是 0.125 时，试确定该动态系 统的演化（给出 xk 的计算公式）。猫头鹰和森林鼠的数量随着时间如何变化？ 该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生 率或捕食率）有轻微的变动，系统会如何变化？
2、杂交育种杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。 如果农作物的三种基因型分别为 AA，Aa，aa。其中 AA 为优良品种。农场计划 采用 AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型 与其后代基因型的概率（见表 1）。问经过若干年后三种基因型分布如何？
5
n = 100;
%序列迭代次数
xlabel('|\lambda| >1,|u|<1');
axis([a b c d]); %限制画图空间 grid on,hold on; %插入网格并保持显示的图像不变
x = linspace(a,b,30);
A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];
%特征值绝对值<1
pc = -pc;
z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x; z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;
%特征向量 v1 %特征向量 v2
h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')
h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')
x0
800 x0
x0
600
x0
v1
x0
400
x0
200
v2
0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 || >1,|u|<1
图 3 增大老鼠的出生率
（2）将上述代码中矩阵 A 中的 1.1 改为 1.0，即减小老鼠的出生率，该系统 的演化过程如图 4 所示，从图中可以看出，由于老鼠出生率的减小，猫头鹰的食 物来源相应的减少，最终猫头鹰将灭亡。