数学讲义：对数的近似值与应用

对数的近似值与应用
一般来说，我们可以利用(工程用)计算机求出任何一个对数值，但计算机只提供计算以10为底的对数log ，因此还需利用换底公式才可求出任意对数值。

举
例来说，当我们欲求出7log 3的值时，由于7log 3=3
log 7
log ，因此只要依序按下log 7
÷ log 3 =，即可得到7log 3的值。

除了使用计算机，我们也可利用“常用对数表”得到以10为底的对数近似值，如下表或见课本附录一，表中最左一行之直栏中的二位数字10, 11, 12,…, 99分别代表1.0, 1.1, 1.2,…, 1.9，最上方横栏中数字0, 1, 2,…, 9分别代表第二位小数，表尾差之横栏中数字1, 2,…, 9分别代表第三位小数，而表中每一个四码数字是代表介于0至1间的一个小数，只是省去了小数点，例如：0414, 1761分别代表0.0414, 0.1761。

举例来说，要查27.3log 的值，先在左边直栏找到32(划一横线)，接着在最上方横栏中找到7的位置(划一直线)，两线的交会处即是27.3log 的近似值0.5145。

若要查278.3log 的值，可将27.3log 的值0.5145加上表尾差之值(5145+11=5156)，可得278.3log 的近似值0.5156。

换你查查看： =34.2log ， =345.2log 。

我们也可以由已知的对数値，反查真数的値。

例如： 1959.0log =a ，=a 。

3630.0log =b ，=b 。

利用上页的常用对数表，只能查到1到10间小数不超过三位的数之对数値，至于小数超过三位的其他数(例:2984.3log )，便无法查得。

此时我们可以利用线性的内插法来估算这些数的数值。

线性内插法的原理是利用在平滑曲线上取足够小的一段时，取出的图形与线段很接近，再利用相似形对应边成比例的概念，去推算所需数值的近似值。

而对数函数图形即为一平滑曲线，因此我们可以利用线性内插法求对数函数的近似值，观念如下：
图中ADE ABC ∆∆~，因此 121
121y y y y x x x x BC
DE AC AE --'=
--⇒=y '⇒= 。

当1x 和2x 很接近时，DE PE ≈ ，因此可用y '来估计y ，也就是y y '≈= 。

将上次运算简化如下：
例题1
(1)已知log 7.45＝0.8722，log 7.46＝0.8727，求log 7.454之近似值．
(2)已知log x ＝0.4722，且log 2.96＝0.4713，log 2.97＝0.4728，求x 之近似值．
例题2
已知9222.036.8log =，利用对数的性质求83600log 及00836.0log 的値。

由于常用对数表中只能查到1到10间小数的对数值，若真数不在此范围内，便可仿照例题2的方法求其对数值，一般做法如下：
求对数A log ()0>A 的近似值时，都先将真数A 化为 10n A a =⨯， 其中1≤ a ＜10，而n 是一个整数（正整数、零或负整数），当一个正数A 表 示成a ⨯10 n 时， 我们说这是A 的科学记号表示法， 例如： 490000 ＝ ； 0.000234 ＝ ； ● 3.14 ＝
1
21121y y y y x x x x --=--()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⋅-+=⇒121121x x x x y y y y
当A 的科学记号表示法是n a 10⨯时，10n A a =⨯，其中1≤ a ＜10，n 是整数， 此时 ()n a a a A n n +=+=⨯=log 10log log 10log log 其中 1log 010log log 1log <≤⇒<≤a a
因此任意一个正数A 的对数值A log 皆可写成一个整数n 与一个小于1的非负小数log a 的和，即log log A n a =+，我们称此整数n 为A log 的“首数”，而log a 为A log 的“尾数”。

例如：
1log 3.5216x =，则1log x 的首数为 ，尾数为 。

2log 3.5216x =-，则1log x 的首数为 ，尾数为 。

例题3
(1)已知log x ＝ 4.7835， 求x log 的首、尾数及x 的近似值． (2)已知log x ＝ －2.7073，求x log 的首、尾数及x 的近似值．
练习3
已知log x ＝ －3.2408， 求x log 的首、尾数并利用对数表求x 的近似值．
Ans: 首数=-4, 尾数=0.7592, 410744.5-⨯=x
例题4
现在我们来讨论正数A 与其对数的首数及尾数的关系：
例题5
(1)2 99 是几位数？最高位数字是多少？末位数字为何？ (2)2 999 是几位数？（log 2 ＝ 0.3010）
练习5
3 20 是几位数？（ log 3 ＝ 0.4771 ） Ans: 10位数 例题6
将(2
3
)100以十进制小数表示时， 在小数点后第几位才出现不是0 的数 字？又此数字为何？（log 2 ＝ 0.3010， log3＝0.4771）
练习6
(0.9) 1000 在小数点后第几位才出现不是0 的数字？ Ans: 第46位数 例题7
已知log2＝0.301﹐log3＝0.4771﹐试问2106＋366为几位数？最高位数字为何？ 练习7
已知log2＝0.301﹐log3＝0.4771﹐log7＝0.8451. 若将27
12＋1713表为小数时﹐ 则小数点之后第 8 位才不是零.
例题8 [活用园地题型一]
设10＜x ＜100 ﹐ 又log x 与log 1
x
尾数相同﹐ 求x ＝？ 练习8
设A ＞0，log A 的首数为3，若log 5
A
之尾数为log A 的尾数之两倍，则A ＝ 2000 .
例题9 [活用园地题型三]
(1)设n S ＝1＋35＋(35)2＋……＋(35
)1n -﹐ 若lim n n S →∞
＝S ﹐则S ＝______ .
(2)承上题﹐ 若|n S －S |＜103-﹐ 则n 之最小值为______. (log2＝0.301﹐log3＝0.4771) 练习9
无穷等比级数11
1()2
n n ∞
∑－＝之和为S ﹐ 其前n 项之和为n S ﹐ 则使S －n S ＜105-的最
小自然数n 之值＝ 18 .
利息问题：
◆单利计息：=(1+)⨯⨯本利和本金期利率期數
[每期的本金皆为一开始存入的金额，不因期数改变]
例：甲银行计息方式为年利率5%，每年单利计息一次，若阿棋现存入10000 元，则t 年后可领回多少元？
一年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%5110000%5100001000050010000+⨯=⨯+=+
10500=
二年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%510000%511000050010500⨯++⨯=+ ()110002%5110000=⨯+⨯= 三年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%5100002%511000050011000⨯+⨯+⨯=+ ()115003%5110000=⨯+⨯= M
t 年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()()()t t ⨯+⨯=⨯+-⨯+⨯%5110000%5100001%5110000 ❖复利计息：=(1+)⨯期數本利和本金期利率
[本期本金+利息=下期新本金]
例：甲银行计息方式为年利率5%，每年复利计息一次，若阿棋现存入10000 元，则t 年后可领回多少元？
一年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%5110000%5100001000050010000+⨯=⨯+=+ 10500=
二年后：当次利息=()525%5%5110000%510500=⨯+⨯=⨯；
本利和=()()%5%5110000%511000052510500⨯+⨯++⨯=+
()11025%51100002
=+⨯=
三年后：当次利息()%5%51100002
⨯+⨯=；
本利和()()%5%5110000%51100002
2
⨯+⨯++⨯=
()25.11576%51100003
=+⨯=
M
t 年后：当次利息()%5%51100001
⨯+⨯=-t ；
本利和()()%5%5110000%51100001
1
⨯+⨯++⨯=--t t
()t
%5110000+⨯=
例题
买政府公债100 万元， 六年期满可得本利和1,126,162 元， 若利息是逐 年复利计算， 则年利率为何？。