基本不等式(方法归纳)

x 1 4.已知x 0, y 0,且 1 1 1,求x y的最小值.
xy
基本不等式
(方法归纳)
复习
（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
【知识点运用】
下列函数中，最小值为4的是_____③___.
①
y x 4 x
② y sinx 4 0 x
sinx
③ y 4e x e-x
④ y log3 x log x 30 x 1
x 1
于是x＝2或者x＝0（舍去）
变式1： x>0,y>0 且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法二：由题意得y 2x y 0 x 8 x8
则x y x 2x x8
x 2(x 8) 16 x8
(x 8) 16 10 x8
10 2 16 18
变式2： 设函数 f (x) 2x 1 1(x 0) ，则函数f(x) 的最大值为_____x 负变正
解： x 0,(2x) ( 1) 2 2,
x
2x 1 2 2, x
f (x) 2x 1 1 2 2 1. x
当且仅当 2x 1 即x 2 时取等号。
x
2
作业:
1.当x 2时,求y x(6 3x)的最大值. 2.求函数y 1 x(x 3)的最小值.
x3 3.求函数y x2 8 (x 1)的最小值.
解：ab=a+b+3 2 ab 3 ab 2 ab 3 0
ab 3或 ab 1(舍去)
ab 9
2.如果log3m+log3n≥4,那么m+n的最小值为
____1_8__.
解：由题意log3mn ≥4从而mn ≥ 81
m n 2 mn 2 81 18
3.已知 x 0, y
2 y
的最小值是___2___.
练习：正数x, y满足x y 20,lg x lg y的最大值____;
小结：
几种利用基本不等式求最值的技巧: 1.凑项 2.凑系数 3.分离 4.“1”的妙用
【基础训练】
1.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值
范围是_[_9_,+_∞__) _.
(1)设x 1, x 1 4 的最小值是 ____; x 1
1.凑项 ：使积成为定值
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变式(1).设x 1, x 4 的最小值是____ . x1
练习1.已知x 5 ,求函数f (x) 4x 2 1 的最大值.
4
4x 5
2.求 f (x) 4x 9 (x 5) 的最小值。
x5
(2)设0 x 1,则函数y x(1 x)的最大值是____;
值___9____.
0
，则(x
y)(
1 x
4 y
)的最小
解：原式 5 4x y 5 2 4 9
yx
例2：已知x＞1，求x＋
取得最小值时x的值。
1 x 1
的最小值以及
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
2 x 1 1 1
x 1
3
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
2.凑系数 ：使和成为定值
变式(2).设0 x 1 , y x(1 2x)最大值是____ . 2
练习2：已知
0
x
1
，求
y
x(1 3x) 的最大值。
3
3.分离
例.求y
x2
7x 10 (x
1)的最小值.
x1
练 习:
若x 1,求当x ____时, y x2 2x 2 有 2x 2
2
2y x
5x y
5
7
2
2y 5x xy
7 2 10
当且仅当
2y x
5x
y 时取等号
例.已知a 0, b 0, a b 1,求t 1 1的最小值. ab
练习: 1、已知x > 0,y > 0,且 1 + 9 =1,求x + y的最小值.
xy
5.基本不等式与对数相结合
例：已知lgx+lgy＝1，5 x
最 小 值_________.
4.“1”的妙用
例：已知x 0, y 0 ，2 5 1 ,求x+y
的最小值。
xy
取等条 件不同
误解：由
2 x
5 y
1
2
25 2 xy
10 xy
得 xy 2 10 而 x y 2 xy 4 10
【典例解析】
正解：(x y) 1 (x y)( 2 5 ) xy