优选数字信号处理基础变换.

n0
x(nT)esnT ;令z
Biblioteka Baidu
esT或s
1 T
ln
z
x(z) x(n)zn z esT
n0
x(z) x(n)zn n0
z e sT
令T 1
z es
xs (t)
x(n)
定义：一个离散时间序列 x (n )的Z变换 为Z 1的一 个幂 级数(洛朗级数的特例), Z 一般为复变数,每一项的系 数为x(n)相应的值数值。 [x(n)的生成函数 z n ]
u (n) z n
n0
n0
zn
1
1 z
1
z z 1
(z
1)
将上式两边分别对 z1求导后,两边各乘 z1得(p46)
ZT [nu(n)]
nu(n) z n
n0
1 (1 z 1)2
z (z 1)2
ZT [a nu(n)]
n0
an z n
1 1 az1
z
z a
( z a)
z
由此可以看出z变换的基本形式： z a
z z e j0
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[cos0n] ZT[(e j0n e j0n ) / 2]
z
z
( z e j0 z e j0 ) / 2
z(z cos0 ) z 2 2z cos0 1
ZT[ ne j0n ]
z
z e j0
ZT[ ne j0n ]
正弦序列的 Z 变换
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[e j0n ]
z z e j0
ZT[sin 0n] ZT[(e j0n e j0n ) / 2 j]
(
z
z e
j0
z z e j0 ) / 2 j
z2
z sin 0 2z cos0
1
余弦序列的 Z 变换
ZT[e j0n ]
1,级数发散。
1,不能肯定。
*捡根法(柯西准则) 1,级数收敛。
设：limn an 1,级数发散。 n 1,不能肯定。
如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的 且当n 时是指数阶的，则它的Z变换存在 于z R之范围，这里R是收敛半径。
指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系， 定义：如有一序列x(n)当n 时存在正数A, a和N 使所有的n N时都有
X (Z ) F[x(n)] x(n)zn n0
借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换
抽样信号的拉氏变换：
xs (t) x(t).T (t) x(nT)(t nT) n0
对上式取拉氏变换：
xs
(t)
0
xs
(t)est
dt
0
n 0
x(nT
)(t
nT
)est
dt
交换积分与求和次序：
xs (s)
z
z e j0
ZT[ n c os0n] ZT[ n (e j0n e ) j0n / 2]
z
z
( z e j0 z e j0 ) / 2
z2
z(z cos0 ) 2z cos0 2
(z )
Z变换的收敛域
1.根据级数理论
x(n)zn
n0
2.借助于S平面与Z平面的映射
3.几类序列Z变换的收敛域 有限长序列 右边序列
4.例子：
左边序列 双边序列
说明: 对于单边z变换,序列x(n)与变换式X(z)一一对应,这时只有一种
可能的收敛域.而对于双边z变换,不同序列在不同的收敛条件下,可有
同样的z变换.
1.根据级数理论
lim *比项法：设
an1
a n
n
1,级数收敛。
n0
(2) ZT[ (n m)] (n m)zn n0
(r) z (rm) z m ( p63 : 位移性）
rm
(mm 00 z z 0, )0
(mm 00, zz0)
1
(3) ZT[ (n 1)] (n 1)zn (n 1)zn
n
n0
z1 0 z
(0 z )
ZT[u(n)]
数字信号处理基础变换
本部分的内容安排
Z变换 DFT [离散傅里叶变换] FFT [快速傅里叶变换] 数字滤波器
Z变换
序列 对离散信号的分析和处理时，按一定的先 后次序排列，在时间上不连续的一组数的 集合。 表示为：
x {x(n)} n {,}
Z变换
定义
序列x(n)的Z变换定义为
X (Z ) F[x(n)] x(n)zn n
（4）双边序列：只在 n 区间内，
有非零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn
n
n
1
X (z) x(n)z n x(n)z n
n
n0
j Im[z]
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1 Rx2 Rx1
有环状收敛域 没有收敛域
Re[ z ]
求下列序列的Z变换,并标标明收敛域，画出极图。
x(n) Aan 称x(n)为指数阶函数。
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
nn1
n1 0时，z 和n2 0时z 0外，所有z值都收敛
z 收敛域为除了0和 的整个 平面 j Im[z]
•
Re[ z ]
• •• 0 T 2T 3T 4T
t
• ••
n
0 1 2 34
Z变换定义，典型序列的Z变换
单: X (z) x(n)zn n0
典型序列的Z变换
双 : X (z) x(n)zn n
• 单位样值序列 • 单位阶跃序列 • 斜变序列 • 指数序列 • 正弦余弦序列
典型序列的Z变换
(1) ZT [ (n)] (n)zn 1 (z 0)
1.x(n) ( 1 )n u(n) 3
2.x(n) ( 1 )n u(n 1) 3
3.x(n) ( 1 )n[u(n)u(n 8)] 3
（2）右边序列：只在 n n1区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X (z) x(n)zn nn1
n1 n
圆外为
收敛域
lim n x(n)zn 1
n
j Im[z]
lim n
n
x(n)
Rx1
z
Rx1
z Rx1
Re[ z ]
收敛半径
（3）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X (z) x(n)zn
n n2
圆内为收敛域，
n
mn
nm
X (z) x(m)zm x(n)zn
若 n2 0
则不包括z=0点
mn2
nn2
j Im[z]
lim n x(n)zn 1
Rx2
n
lim n x(n) z 1
n
•
Re[ z ]
1
z
lim n
x(n)
Rx2
n
收敛半径