二次函数应用数形结合
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尚城学校初中数学组 汪小年
考考你的眼力
(回答正确有奖）
数学大师华罗庚说过：“数形结合百般好，数 形分离万事难”。
1号题：
1、函数y=2（X-1）2+2的开口：向上 ， 对称轴： 直线X=1， 顶点坐标（：1，2）。
2、 函数y=（X-1）（X-3）的图象与x轴的交点 坐标为：（1，0）（3，0），对称轴是：直线X=2， 顶点坐标是：（2，-1）。
（2）已知A（-1，0），B（2，0），则 AB= 2-（-1 ）=3 。 （3）已知A（x2+2x+1 ，0），B（x+1，0）， 点A在点B的右边，则AB= x2+x 。
(4)已知A（X1 ，y1），B（X2，y2），则 AB= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例1：如图，直线y=-x+3与抛物线y=-X2+2X+3
知识储备： 1、小牛去小河喝水后回家，要走最短的路程， 请你帮助画出喝水点点P。（河水很浅，小牛 可通过）
小牛
A
小牛
A
B 牛家
P
小河
B 牛家
P
小河
A1
2、小牛去小河喝水后回家，要走最短的路程， 请你帮助画出喝水点点P。
Fra Baidu bibliotek
1、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0， 4），B（1，0），C（4，0），其对称轴与x轴 相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∆PAB 的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)连接AC,在直线AC的下方的抛物 线上,是否存在一点N,使∆NAC的面 积最大?若存在,请求出点N的坐标; 若不存在,请说明理由.
（1）当x= -1或3 时 ，y=0；
（2） -1<x<3 时 y<0；
（3）x<-1或x>3 时 y>0；
5号题：
二次函数的图象如图，设二次函
数的解析式：y=a（x-2）2+2
6号题：
二次函数的图象如图，设二次函数的 解析式： y=a（x-1)(X-3)
新知探究（一）知识储备：
（1）点P（2，3） 到x轴的距离为： 3 ， 到y轴的距离是： 2 。
1、两点之间的距离： （1）A、B在同一水平线上：AB=x右-x左
（2）A、B在同一竖直线上：AB=y上-y下
（3）已知A（X1 ，y1），B（X2，y2），则 AB= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2、求最值：建立二次函数模型，利用函数求 最值。
完成学案练习
你会画它的大致图象吗？
2号题：
如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，你 能判断a、b、C、b2-4ac，a-b+c符号吗？
a<0 b<0 C>0 b2-4ac>0
a-b+c>0
3号题：
二次函数y=2x2-1大致图象是：（ C ）
A
B
C
4号题： 已知抛物线y=x2-2x-3与X轴交于A、 B两点。
交于点A、B，点B在x轴上。
（1）求点B的坐标；
（2）点F是线段AB上的点，EF x轴，点E在
抛物线上，若点F的横坐标为m，
则EF=
。
（3）求EF的最大值。
1、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0， 4），B（1，0），C（4，0），其对称轴与x轴 相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∆PAB 的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)连接AC,在直线AC的下方的抛物 线上,是否存在一点N,使∆NAC的面 积最大?若存在,请求出点N的坐标; 若不存在,请说明理由.
考考你的眼力
(回答正确有奖）
数学大师华罗庚说过：“数形结合百般好，数 形分离万事难”。
1号题：
1、函数y=2（X-1）2+2的开口：向上 ， 对称轴： 直线X=1， 顶点坐标（：1，2）。
2、 函数y=（X-1）（X-3）的图象与x轴的交点 坐标为：（1，0）（3，0），对称轴是：直线X=2， 顶点坐标是：（2，-1）。
（2）已知A（-1，0），B（2，0），则 AB= 2-（-1 ）=3 。 （3）已知A（x2+2x+1 ，0），B（x+1，0）， 点A在点B的右边，则AB= x2+x 。
(4)已知A（X1 ，y1），B（X2，y2），则 AB= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例1：如图，直线y=-x+3与抛物线y=-X2+2X+3
知识储备： 1、小牛去小河喝水后回家，要走最短的路程， 请你帮助画出喝水点点P。（河水很浅，小牛 可通过）
小牛
A
小牛
A
B 牛家
P
小河
B 牛家
P
小河
A1
2、小牛去小河喝水后回家，要走最短的路程， 请你帮助画出喝水点点P。
Fra Baidu bibliotek
1、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0， 4），B（1，0），C（4，0），其对称轴与x轴 相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∆PAB 的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)连接AC,在直线AC的下方的抛物 线上,是否存在一点N,使∆NAC的面 积最大?若存在,请求出点N的坐标; 若不存在,请说明理由.
（1）当x= -1或3 时 ，y=0；
（2） -1<x<3 时 y<0；
（3）x<-1或x>3 时 y>0；
5号题：
二次函数的图象如图，设二次函
数的解析式：y=a（x-2）2+2
6号题：
二次函数的图象如图，设二次函数的 解析式： y=a（x-1)(X-3)
新知探究（一）知识储备：
（1）点P（2，3） 到x轴的距离为： 3 ， 到y轴的距离是： 2 。
1、两点之间的距离： （1）A、B在同一水平线上：AB=x右-x左
（2）A、B在同一竖直线上：AB=y上-y下
（3）已知A（X1 ，y1），B（X2，y2），则 AB= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2、求最值：建立二次函数模型，利用函数求 最值。
完成学案练习
你会画它的大致图象吗？
2号题：
如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，你 能判断a、b、C、b2-4ac，a-b+c符号吗？
a<0 b<0 C>0 b2-4ac>0
a-b+c>0
3号题：
二次函数y=2x2-1大致图象是：（ C ）
A
B
C
4号题： 已知抛物线y=x2-2x-3与X轴交于A、 B两点。
交于点A、B，点B在x轴上。
（1）求点B的坐标；
（2）点F是线段AB上的点，EF x轴，点E在
抛物线上，若点F的横坐标为m，
则EF=
。
（3）求EF的最大值。
1、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0， 4），B（1，0），C（4，0），其对称轴与x轴 相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使∆PAB 的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)连接AC,在直线AC的下方的抛物 线上,是否存在一点N,使∆NAC的面 积最大?若存在,请求出点N的坐标; 若不存在,请说明理由.