202004141浅谈数列与三角函数(20200506修改稿)(1)

浅谈数列与三角函数

邹峰 武汉职业技术学院商学院（430074）

某天，在一个教师微信群中讨论了这样一个问题：若数列{}n a 满足1(1)(1)2n n n a a a +--=-，且{}n a 的前2019项之积为3，则1a =____.

解析：由1(1)(1)2n n n a a a +--=得111n

n n

a a a ++=

-， 所以12

11

1

1111111

n n n n n

n n

n a a a a a a a a ++++-+--===+-+-，故21n n a a +=-，

所以505

135017019a a =1a a a =-g

g g 22(-1)，

5042462016201822a a =a a a a a =g g g (-1)，

因为1232018019a a 3a a a =g

g g 2，所以23a =-，从而212131

2131

a a a +--===--+. 我们在对递推式111n n n a a a ++=-进行一次迭代之后得到了21

n n

a a +-=，接着很自然的想到

42

1n n n a a a ++-==，即数列{}n a 具有周期性，那接下来的问题就迎刃而解了.

现在的问题是，你是否不通过任何计算，就可以判断出满足111n

n n

a a a ++=-的数列{}n a 是一个周期数

列？或者，你能否想到其他的递推形式，使得数列是周期数列？

仔细观察，可以发现，111n n n a a a ++=

-与三角函数中的和角正切公式1tan tan()41tan πθ

θθ

++=-结构相似，若我们进行换元令tan n n a θ=，11tan tan tan()1tan 4

n n n n θπ

θθθ++=

=+-，显然，会有如下结论： 4tan tan()tan ,n n n θθπθ+=+=即4n n a a +=.

21

tan tan()2tan n n n πθθθ+-=+=，即21n n

a a +-=.

类似的，我们还可以根据tan tan()6θπθ-== 题1：若数列{}n a

满足1)1n n n a a +-，且{}n a 的前2019项之积为3，则n a =____.

进一步思考，可以发现，借助正切的二倍角公式2

2tan tan 21tan x

x x

=-，可以编制出如下问题（略去解答）：

题2：若数列{}n a 满足12

21n

n n

a a a +=

-

，且12a =n a =____.

题3：若数列{}n b 满足211

2n n n

b b b +-=

，且12b =n b =____.)

题4：若数列{}n a

满足11n n a a +=

，且1a =，则n a =____.

另外，我们还可以得到如下：

题5：若数列{}n a 满足11a =

，3n a =

，121

1n n n n n a a a a a ++++=-，求2020a =____.

除了正切外，我们还可以利用余弦的二倍角公式2

cos 22cos 1x x =-，三倍角公式

3sin 33sin 4sin x x x =-和3cos34cos 3cos x x x =-编制试题：

题6：若数列{}n a 满足2

121n n a a +=-，且114a =，则n a =____.

题7：若数列{}n b 满足212n n b b +=-，且112

b =，则n b =____.题8：若数列{}n b 满足2

1329n n b b +=-，

且11b =，则n b =____.(提示这里n b 就是第7题的3n a )

当然，也可以探讨：

题9：若数列{}n a 满足3

143n n n a a a +=-，且11

4a =

，则n a =____. 题10：若数列{}n a 满足3

13n n n a a a +=-，且114

a =，则n a =____.

数列是一种特殊的函数，所以这些玩法也可以用到函数上去，已知一个数列()f x ，如果满足

()1

(1)()1

f x f x f x --=

+，相比你就可以很快说出它的一个周期，对吧？