第五章 t检验1
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t0.05(18) 2.101 t0.01(18) 2.878
P（| t|>2.101）= P（t>2.101）+ P（t <-2.101）=0.05 P（| t|>2.878）= P（t>2.878）+ P（t<-2.878）=0.01
魏泽辉讲义
17
构造检验统计量
若取 ＝5％，则否定域：
1 P(t0.05 t t0.05 ) 0.05
否定域 2.5%
接受域 95%
否定域 2.5%
-2.101
2.101
否定域：t> 2.101 或 t < -2.101，即|t| > 2.101
魏泽辉讲义
18
3、否定或接受无效假设（假设推断）
－ 差异不显著：在 ＝5％水平下，检验统 计量的观察值落在接受域中
－ 差异显著：在 ＝5％水平下，检验统计 量的观察值落在否定域中
魏泽辉讲义
28
t检验主要内容：
显著性 检验
u检验：总体方差已知 单个总体 t检验：总体方差未知
两个总体
非配对试验 配对试验
u检验：总体方差已知
t检验：总体方差未知 方差齐性检验
总体方差未知相等
百分数的比较 总体方差未知不等
标准误
！！ 自由度
魏泽辉讲义
t值和临界值
32
5.2 样本平均数与 总体平均数差异显著性检验
表面效应可以计算，实验误 差可以估计，根据这些推断 处理效应是否显著。
魏泽辉讲义
10
x1 1 1, x2 2 2 x1 x2 (1 1) (2 2 ) (1 2 ) (1 2 )
1 2 : 处理效应 1 2 : 试验误差
x1 x2 : 表面效应
目的就是分析表面效应主要 是由处理效应引起，还是由 实验误差引起。从而分析处 理效应是否存在。
－ 差异极显著：在 ＝1％水平下，检验统 计量的观察值落在否定域中
魏泽辉讲义
19
假设推断
若随机事件的概率很小，例如小于0.05，0.01，0.001，称 之为小概率事件；
在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际上不 可能发生的事件，称为小概率事件实际不可能原理。
t0.05(18) 2.101 本例t 2.426
根据题意，本例应进行双侧t检验。
1.提出无效假设与备择假设 H0：µ=114，HA：µ≠114 2.计算t值
经计算得： x 114.5 ，S=1.581
t x u0 114 .5 114 0.5 1
df＝n-1=10-1=9
Sx
1.581 10 0.5
3、查临界值，作出统计推断
由df=9查值表（附表3）得 t0.05(9) 2.262 ，因为|t|<t0.05， P>0.05，故不能否定： µ=114，表明样本平均数与总体平
魏泽辉讲义
13
5.1.2显著性检验的基本步骤
例（续）：随机抽测10头长白猪和10头大白猪经产母猪的 产仔数，资料如下
长白：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 大白：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7
x2 =11头， S1=1.76头 x1 =9.2头，S2=1.549头
魏泽辉讲义
14
5.1.2显著性检验的基本步骤
2) 构造合适的检验统计量
• 检验统计量：用于检验原假设能否成立的统
计量，满足以下条件
x x – 必须利用原、 假设提供的信息
t – 抽样分布已知
S S x1x2
(x1 x1)2 (x2 x2 )2 ( 1 1 )
(n1 1) (n2 1)
－ 差异不显著：|t|< t0.05，P>0.05 ； t值的右上方标记“ns”或不标记符号
－ 差异显著：t0.05≤|t|<t0.01, 0.01 <P≤0.05 ; t值的右上方标记“*”
－ 差异极显著：|t|≥t0.01, P ≤0.01 ; t值的右上方标记“* *”
魏泽辉讲义
21
5.1.3显著水平与两种类型的错误
即E（ ）=xμ。
3、根据统计学中心极限定理，样本平均数 服从或逼近正态分布。
魏泽辉讲义
7
两个总体平均数的比较
பைடு நூலகம்x1 x2 1 2
为了比较两个总体均数的差异，不可能对两个总 体的所有个体进行测定，只能通过样本来推断总 体。
魏泽辉讲义
8
两个总体平均数的比较
设有一个样本，含有n次重复观察值，其数据 为x1、x2……xn，假定总体均数（实验处理的理论值） 为μ ，第i个观察值的实验误差为εi，
1
界
值
拒绝H0
23
5.1.3显著水平与两种类型的错误
影响 II 型错误概率大小的因素 － 显著性水平 － 样本含量 n － 假设分布与真实分布总体平均数之差 － 两个分布的总体方差
检验功效 一个错误的原假设能够被否定的概率 检验功效 ＝ 1 － II 型错误概率 ＝1-β
魏泽辉讲义
24
5.1.3显著水平与两种类型的错误
魏泽辉讲义
26
五、显著性检验中应注意的问题
（一）为了保证试验结果的可靠及正确，要有严密 合理的试验或抽样设计，保证各样本是从相应同 质总体中随机抽取的
（二）选用的显著性检验方法应符合其应用条件 （三）要正确理解差异显著或极显著的统计意义 （四）合理建立统计假设，正确计算检验统计量 (五) 结论不能绝对化
按题意，此例应采用单侧检验。
1、提出无效假设与备择假设 H 0 ： =246， H A ： >250
魏泽辉讲义
36
1
2、计算 t 值
2
经计算得： x =252，S=9.115
3
所以 t x u = 252 246 = 6 =2.281
魏泽辉讲义
12
3、否定或接受无效假设
根据小概率事件原理，比较检验统计量和临界值的关系，确 定其落在否定域还是接收域。
显著水平：0.01；0.05
（1）差异不显著：接受原假设 （2）差异显著：在 0.05 水平下，否定原假设，接受备择假设 （3）差异极显著：在 0.01 水平下，否定原假设，接受备择假设
魏泽辉讲义
16
构造检验统计量
确定否定域
• 在检验统计量抽样分布的尾部（1侧或2侧）中划定 一小概率区域，一旦计算的检验统计量的实际值落 入此区域，就否定原假设，接受备择假设。
• 这个小概率也称为显著性水平，用 表示 • 通常取 ＝5％或 ＝1％
自由度df =（n1-1)=(n2-1)＝(10-1)+(10-1)=18
第五章 t 检 验
魏泽辉讲义
统计推断的内容之一
1
统计推断 (statistical inference)
统计推断是根据带随机性的观测数据（样本） 以及问题的条件和假设模型，而对未知事物作 出的，以概率形式表达的推断。
参数估计 (parameter estimation)用样本
统计量对总体参数进行估计
则 xi= μ+ εi(i=1、2……n)
则，x
xi
n
i
n
总体均数 试验误差
魏泽辉讲义
9
x1 1 1, x2 2 2 x1 x2 (1 1) (2 2 ) (1 2 ) (1 2 )
1 2 : 处理效应 1 2 : 试验误差
x1 x2 : 表面效应
目的就是分析表面效应主要 是由处理效应引起，还是由 实验误差引起。从而分析处 理效应是否存在。
n1 n2
12 x1 x2
S x1x2 叫做均数差异标准误；
n1、n2为两样本的含量。
统计量t 服从自由度df =（n1-1)=(n2-1)的t分布
魏泽辉讲义
15
构造检验统计量
t x1 x2 S x1x2
S x1x2
(x1 x1)2 (x2 x2 )2 ( 1 1 )
(n1 1) (n2 1)
x1 x2 1.8头
1）提出假设（对试验样本所在的总体作假设）
• 原假设(无效假设，null hypothesis)：
•
H0: 1 2 1
备择假设(alternative
2 0 hypothesis)：
HA: 1 2 1 2 0
其意义是指试验的表面效应，除包含试验误差外，
还含有处理效应在内。
本例：试验的表面效应是试验误差的概率在0.01─0.05之间，
小于0.05，故有理由否定H0: 1 2 ，从而接受HA：1 2
结论：可以认为长白猪与大白猪两品种经产母猪产仔数
总体平均数µ1和µ2不相同
魏泽辉讲义
20
5.1.3显著水平与两种类型的错误
• 用来确定否定或接受无效假设的概率标准叫显 著水平（significance level），记作α。 在生物学研究中常取α=0.05或α=0.01
均数差异不显著，可以认为该样本取自母猪怀孕期为114
天魏的泽总辉讲体义 。
35
【例 5.2】 按饲料配方规定，每 1000kg 某种饲料中维 生素 C 不得少于 246g，现从工厂的产品中随机抽测 12 个样 品，测得维生素 C 含量如下：255、260、262、248、244、245、 250、238、246、248、258、270g/1000kg，若样品的维生素 C 含量服从正态分布，问此产品是否符合规定要求？
魏泽辉讲义
4
5.1.1 显著性检验的意义
例：随机抽测10头长白猪和10头大白猪经产母猪的产仔 数，资料如下
长白：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 大白：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7
x1 =11头， S1=1.76头 x2=9.2头，S2=1.549头
x1 - x2 =1.8头
真实情况 (未知)
H0为真 H0不真
魏泽辉讲义
所作决策
接受H0
正确
拒绝H0
犯第I类错误
犯第II类错误
正确
25
5.1.4双侧检验和单侧检验
•双侧检验：否定域在检验统计量分布的两尾 •单侧检验：否定域在检验统计量分布的一侧
– 左侧检验：否定域在检验统计量分布的左侧 – 右侧检验：否定域在检验统计量分布的右侧
检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异 （检验该样本是否来自某一总体）
已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值 或期望数值。
（正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄）
魏泽辉讲义
33
X 0 X 0
t X 0
n
n
标准 正态 分布
显著性检验步骤
S n
S2
2
(n1)S 2 2
n 1
两类错误 任何假设检验的结果都有犯错误的可能
• 一类错误：以真为假 - 原假设正确但被否定。 P(一类错误) =
• 二类错误：以假为真 - 原假设错误但被接受。 P(二类错误) =
一般无法计算！
魏泽辉讲义
22
5.1.3显著水平与两种类型的错误 I 型错误和 II 型错误图示
魏泽辉讲义
1-
0
不拒绝H0
魏泽辉讲义
5
造成差异可能原因:
• 可能是品种造成的差异 • 可能是试验误差（或抽样误差）
如何区分两类性质的差异
怎样通过样本来推断总体
魏泽辉讲义
6
样本平均数作为检验对象的原因
1、离均差的平方和∑（ x - x ）2最小。
说明样本平均数与样本各个观测值最接 近，平均数是资料的代表数。
2、样本平均数是总体平均数的无偏估计值，
n1 n2
28 21.6 ( 1 1 )
(10 1) (10 1) 10 10
0.742
t x1 x2 11 9.2 2.426
S x1 x2
0.742
P（| t|>2.101）= P（t>2.101）+ P（t <-2.101）=0.05 P（| t|>2.878）= P（t>2.878）+ P（t<-2.878）=0.01
Χ2分 布
1、提出假设
（1） H0：μ＝μ0；HA：μ≠μ0 双侧检验
2、计算t值 t x 0
Sx
df n 1
3、查临界t值，作出统计推断
Sx
S n
魏泽辉讲义
34
【例5.1】 母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别 为116、115、113、112、114、117、115、116、114、113（天）， 试检验所得样本的平均数与总体平均数114天有无显著差异？
表面效应可以计算，实验误 差可以估计，根据这些推断 处理效应是否显著。
魏泽辉讲义
11
5.1.2显著性检验的基本步骤：
1、提出假设
H0：原假设或零假设，被直接检验的假设
HA：备择假设，一旦否定原假设就接受备择假设
2、构造合适的统计量
在无效假设成立的前提下，构造合适的统计量，并研究试 验所得统计量的抽样分布，计算无效假设正确的概率
假设检验 (hypothesis test)利用样本统计量
对总体的分布特征进行检验
魏泽辉讲义
2
假设检验
• 假设(hypothsis)
– 对总体的某些未知的或不完全知道的性质 所提出的待考察的命题
• 假设检验(显著性检验)
–对假设成立与否做出的推断
（t检验、F检验、2检验 ）
魏泽辉讲义
3
5.1 显著性检验的基本原理
P（| t|>2.101）= P（t>2.101）+ P（t <-2.101）=0.05 P（| t|>2.878）= P（t>2.878）+ P（t<-2.878）=0.01
魏泽辉讲义
17
构造检验统计量
若取 ＝5％，则否定域：
1 P(t0.05 t t0.05 ) 0.05
否定域 2.5%
接受域 95%
否定域 2.5%
-2.101
2.101
否定域：t> 2.101 或 t < -2.101，即|t| > 2.101
魏泽辉讲义
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3、否定或接受无效假设（假设推断）
－ 差异不显著：在 ＝5％水平下，检验统 计量的观察值落在接受域中
－ 差异显著：在 ＝5％水平下，检验统计 量的观察值落在否定域中
魏泽辉讲义
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t检验主要内容：
显著性 检验
u检验：总体方差已知 单个总体 t检验：总体方差未知
两个总体
非配对试验 配对试验
u检验：总体方差已知
t检验：总体方差未知 方差齐性检验
总体方差未知相等
百分数的比较 总体方差未知不等
标准误
！！ 自由度
魏泽辉讲义
t值和临界值
32
5.2 样本平均数与 总体平均数差异显著性检验
表面效应可以计算，实验误 差可以估计，根据这些推断 处理效应是否显著。
魏泽辉讲义
10
x1 1 1, x2 2 2 x1 x2 (1 1) (2 2 ) (1 2 ) (1 2 )
1 2 : 处理效应 1 2 : 试验误差
x1 x2 : 表面效应
目的就是分析表面效应主要 是由处理效应引起，还是由 实验误差引起。从而分析处 理效应是否存在。
－ 差异极显著：在 ＝1％水平下，检验统 计量的观察值落在否定域中
魏泽辉讲义
19
假设推断
若随机事件的概率很小，例如小于0.05，0.01，0.001，称 之为小概率事件；
在统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是实际上不 可能发生的事件，称为小概率事件实际不可能原理。
t0.05(18) 2.101 本例t 2.426
根据题意，本例应进行双侧t检验。
1.提出无效假设与备择假设 H0：µ=114，HA：µ≠114 2.计算t值
经计算得： x 114.5 ，S=1.581
t x u0 114 .5 114 0.5 1
df＝n-1=10-1=9
Sx
1.581 10 0.5
3、查临界值，作出统计推断
由df=9查值表（附表3）得 t0.05(9) 2.262 ，因为|t|<t0.05， P>0.05，故不能否定： µ=114，表明样本平均数与总体平
魏泽辉讲义
13
5.1.2显著性检验的基本步骤
例（续）：随机抽测10头长白猪和10头大白猪经产母猪的 产仔数，资料如下
长白：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 大白：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7
x2 =11头， S1=1.76头 x1 =9.2头，S2=1.549头
魏泽辉讲义
14
5.1.2显著性检验的基本步骤
2) 构造合适的检验统计量
• 检验统计量：用于检验原假设能否成立的统
计量，满足以下条件
x x – 必须利用原、 假设提供的信息
t – 抽样分布已知
S S x1x2
(x1 x1)2 (x2 x2 )2 ( 1 1 )
(n1 1) (n2 1)
－ 差异不显著：|t|< t0.05，P>0.05 ； t值的右上方标记“ns”或不标记符号
－ 差异显著：t0.05≤|t|<t0.01, 0.01 <P≤0.05 ; t值的右上方标记“*”
－ 差异极显著：|t|≥t0.01, P ≤0.01 ; t值的右上方标记“* *”
魏泽辉讲义
21
5.1.3显著水平与两种类型的错误
即E（ ）=xμ。
3、根据统计学中心极限定理，样本平均数 服从或逼近正态分布。
魏泽辉讲义
7
两个总体平均数的比较
பைடு நூலகம்x1 x2 1 2
为了比较两个总体均数的差异，不可能对两个总 体的所有个体进行测定，只能通过样本来推断总 体。
魏泽辉讲义
8
两个总体平均数的比较
设有一个样本，含有n次重复观察值，其数据 为x1、x2……xn，假定总体均数（实验处理的理论值） 为μ ，第i个观察值的实验误差为εi，
1
界
值
拒绝H0
23
5.1.3显著水平与两种类型的错误
影响 II 型错误概率大小的因素 － 显著性水平 － 样本含量 n － 假设分布与真实分布总体平均数之差 － 两个分布的总体方差
检验功效 一个错误的原假设能够被否定的概率 检验功效 ＝ 1 － II 型错误概率 ＝1-β
魏泽辉讲义
24
5.1.3显著水平与两种类型的错误
魏泽辉讲义
26
五、显著性检验中应注意的问题
（一）为了保证试验结果的可靠及正确，要有严密 合理的试验或抽样设计，保证各样本是从相应同 质总体中随机抽取的
（二）选用的显著性检验方法应符合其应用条件 （三）要正确理解差异显著或极显著的统计意义 （四）合理建立统计假设，正确计算检验统计量 (五) 结论不能绝对化
按题意，此例应采用单侧检验。
1、提出无效假设与备择假设 H 0 ： =246， H A ： >250
魏泽辉讲义
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1
2、计算 t 值
2
经计算得： x =252，S=9.115
3
所以 t x u = 252 246 = 6 =2.281
魏泽辉讲义
12
3、否定或接受无效假设
根据小概率事件原理，比较检验统计量和临界值的关系，确 定其落在否定域还是接收域。
显著水平：0.01；0.05
（1）差异不显著：接受原假设 （2）差异显著：在 0.05 水平下，否定原假设，接受备择假设 （3）差异极显著：在 0.01 水平下，否定原假设，接受备择假设
魏泽辉讲义
16
构造检验统计量
确定否定域
• 在检验统计量抽样分布的尾部（1侧或2侧）中划定 一小概率区域，一旦计算的检验统计量的实际值落 入此区域，就否定原假设，接受备择假设。
• 这个小概率也称为显著性水平，用 表示 • 通常取 ＝5％或 ＝1％
自由度df =（n1-1)=(n2-1)＝(10-1)+(10-1)=18
第五章 t 检 验
魏泽辉讲义
统计推断的内容之一
1
统计推断 (statistical inference)
统计推断是根据带随机性的观测数据（样本） 以及问题的条件和假设模型，而对未知事物作 出的，以概率形式表达的推断。
参数估计 (parameter estimation)用样本
统计量对总体参数进行估计
则 xi= μ+ εi(i=1、2……n)
则，x
xi
n
i
n
总体均数 试验误差
魏泽辉讲义
9
x1 1 1, x2 2 2 x1 x2 (1 1) (2 2 ) (1 2 ) (1 2 )
1 2 : 处理效应 1 2 : 试验误差
x1 x2 : 表面效应
目的就是分析表面效应主要 是由处理效应引起，还是由 实验误差引起。从而分析处 理效应是否存在。
n1 n2
12 x1 x2
S x1x2 叫做均数差异标准误；
n1、n2为两样本的含量。
统计量t 服从自由度df =（n1-1)=(n2-1)的t分布
魏泽辉讲义
15
构造检验统计量
t x1 x2 S x1x2
S x1x2
(x1 x1)2 (x2 x2 )2 ( 1 1 )
(n1 1) (n2 1)
x1 x2 1.8头
1）提出假设（对试验样本所在的总体作假设）
• 原假设(无效假设，null hypothesis)：
•
H0: 1 2 1
备择假设(alternative
2 0 hypothesis)：
HA: 1 2 1 2 0
其意义是指试验的表面效应，除包含试验误差外，
还含有处理效应在内。
本例：试验的表面效应是试验误差的概率在0.01─0.05之间，
小于0.05，故有理由否定H0: 1 2 ，从而接受HA：1 2
结论：可以认为长白猪与大白猪两品种经产母猪产仔数
总体平均数µ1和µ2不相同
魏泽辉讲义
20
5.1.3显著水平与两种类型的错误
• 用来确定否定或接受无效假设的概率标准叫显 著水平（significance level），记作α。 在生物学研究中常取α=0.05或α=0.01
均数差异不显著，可以认为该样本取自母猪怀孕期为114
天魏的泽总辉讲体义 。
35
【例 5.2】 按饲料配方规定，每 1000kg 某种饲料中维 生素 C 不得少于 246g，现从工厂的产品中随机抽测 12 个样 品，测得维生素 C 含量如下：255、260、262、248、244、245、 250、238、246、248、258、270g/1000kg，若样品的维生素 C 含量服从正态分布，问此产品是否符合规定要求？
魏泽辉讲义
4
5.1.1 显著性检验的意义
例：随机抽测10头长白猪和10头大白猪经产母猪的产仔 数，资料如下
长白：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 大白：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7
x1 =11头， S1=1.76头 x2=9.2头，S2=1.549头
x1 - x2 =1.8头
真实情况 (未知)
H0为真 H0不真
魏泽辉讲义
所作决策
接受H0
正确
拒绝H0
犯第I类错误
犯第II类错误
正确
25
5.1.4双侧检验和单侧检验
•双侧检验：否定域在检验统计量分布的两尾 •单侧检验：否定域在检验统计量分布的一侧
– 左侧检验：否定域在检验统计量分布的左侧 – 右侧检验：否定域在检验统计量分布的右侧
检验一个样本平均数与已知的总体平均数是否有显著差异 （检验该样本是否来自某一总体）
已知的总体平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值 或期望数值。
（正常生理指标、怀孕期、家禽出雏日龄）
魏泽辉讲义
33
X 0 X 0
t X 0
n
n
标准 正态 分布
显著性检验步骤
S n
S2
2
(n1)S 2 2
n 1
两类错误 任何假设检验的结果都有犯错误的可能
• 一类错误：以真为假 - 原假设正确但被否定。 P(一类错误) =
• 二类错误：以假为真 - 原假设错误但被接受。 P(二类错误) =
一般无法计算！
魏泽辉讲义
22
5.1.3显著水平与两种类型的错误 I 型错误和 II 型错误图示
魏泽辉讲义
1-
0
不拒绝H0
魏泽辉讲义
5
造成差异可能原因:
• 可能是品种造成的差异 • 可能是试验误差（或抽样误差）
如何区分两类性质的差异
怎样通过样本来推断总体
魏泽辉讲义
6
样本平均数作为检验对象的原因
1、离均差的平方和∑（ x - x ）2最小。
说明样本平均数与样本各个观测值最接 近，平均数是资料的代表数。
2、样本平均数是总体平均数的无偏估计值，
n1 n2
28 21.6 ( 1 1 )
(10 1) (10 1) 10 10
0.742
t x1 x2 11 9.2 2.426
S x1 x2
0.742
P（| t|>2.101）= P（t>2.101）+ P（t <-2.101）=0.05 P（| t|>2.878）= P（t>2.878）+ P（t<-2.878）=0.01
Χ2分 布
1、提出假设
（1） H0：μ＝μ0；HA：μ≠μ0 双侧检验
2、计算t值 t x 0
Sx
df n 1
3、查临界t值，作出统计推断
Sx
S n
魏泽辉讲义
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【例5.1】 母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别 为116、115、113、112、114、117、115、116、114、113（天）， 试检验所得样本的平均数与总体平均数114天有无显著差异？
表面效应可以计算，实验误 差可以估计，根据这些推断 处理效应是否显著。
魏泽辉讲义
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5.1.2显著性检验的基本步骤：
1、提出假设
H0：原假设或零假设，被直接检验的假设
HA：备择假设，一旦否定原假设就接受备择假设
2、构造合适的统计量
在无效假设成立的前提下，构造合适的统计量，并研究试 验所得统计量的抽样分布，计算无效假设正确的概率
假设检验 (hypothesis test)利用样本统计量
对总体的分布特征进行检验
魏泽辉讲义
2
假设检验
• 假设(hypothsis)
– 对总体的某些未知的或不完全知道的性质 所提出的待考察的命题
• 假设检验(显著性检验)
–对假设成立与否做出的推断
（t检验、F检验、2检验 ）
魏泽辉讲义
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5.1 显著性检验的基本原理