奥本海姆《信号与系统》配套题库【章节题库】(连续时间傅里叶变换)

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奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)-第3章周期信号的傅里叶级

6．共轭及共轭对称将一个周期信号 x(t)叏它的复数共轭，在它的傅里叶级数系数上就会有复数共轭幵迚行时间反转的结果。即若
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。（3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理（1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级数系数也为奇。
4．时域尺度发换时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：

奥本海姆《信号与系统》(第2版)配套模拟试题及详解(上册)

奥本海姆《信号与系统》（第2版）配套模拟试题及详解一、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分；在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。

）1．用下列差分方程描述的系统为线性系统的是______。

A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】A项，方程右边出现常数3，是非线性关系。

B项，出现y（k－1）y（k－2）项，是非线性关系。

D项，出现|f（k）|，是非线性关系。

2．单边Z变换的原序列，f（k）等于______。

【答案】A查看答案【解析】3．系统的幅频特性和相频特性如图1（a）、（b）所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是______。

图1A．B．C．D．【答案】B查看答案【解析】由系统的幅频特性和相频特性可知：若输入信号的频率均处于w＝－5~5之间，既不产生幅度失真又不产生相位失真。

只有B满足这一条件。

4．试确定序列是否为周期序列。

若是，其周期N为______。

A．不是周期序列B．是，N＝24C．是，N＝12D．是，N＝8【答案】B查看答案【解析】因为，得，得。

又因为是有理数，因此是周期序列。

设共同周期为N，则有。

5．信号f（t）的傅里叶变换为，则的傅里叶变换为______。

【答案】B查看答案【解析】因为，由傅里叶变换的时移性质，有，由傅里叶变换的频移性质，有二、填空题（本大题共5小题，每题3分；共15分。

）1．对连续时间信号，按采样频率采样得到的离散时间信号＝______。

【答案】查看答案【解析】，其中，为离散域的频率，为连续域的频率，。

2．周期性方波x（t）如图2所示，T＝2，它的四次谐波频率＝______rad/s。

图2【答案】查看答案【解析】基波频率，则四次谐波频率为。

3．周期矩形信号f（t）的波形如图3，则该信号的谱线间隔为0.1Hz，其中，直流分量为______。

图3【答案】0.4查看答案【解析】由f（t）波形可知T＝l0S，基波频率即谱线间隔为0.1Hz。

《信号与系统》奥本海姆4.1

~ x(t)
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x(t) t
T (t), t | | x(t) = x 2
-T1 0 T1

T
ake
jk w 0 t T /2
2、狄里赫利条件
(1)、x(t)绝对可积

绝对可积
| x ( t ) | dt
| x ( t ) | dt | X ( jw ) |=

| x ( t ) e jw t | dt
(2)、任意有限区间内，有有限个极大和极小值。 (3)、任意有限区间内， x(t)有有限个不连续点，且值是有限的。应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。
1 x (t ) = 2 X ( jw ) =

X ( jw ) e x (t )e
jw t
jw t
dw

dt
连续时间FT
离散时间傅里叶变换对:
x[n ] = X (e
jw
1 2 ) =

2
X (e
jw
)e
jw n
dw
n =

x [ n ]e
jw n
离散时间FT
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三.常用信号的傅里叶变换：
1
x (t )
1. x(t ) = e u (t ),
X ( jw) =
0

奥本海姆《信号与系统》第2版上册配套题库

奥本海姆《信号与系统》第2版上册配套题库奥本海姆《信号与系统》（第2版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】（上册）目录第一部分考研真题精选一、选择题二、填空题三、判断题四、简答题五、画图题六、证明题七、计算题第二部分章节题库第1章绪论第2章线性时不变系统第3章周期信号的傅里叶级数表示第4章连续时间傅里叶变换第5章离散时间傅里叶变换第6章信号与系统的时域和频域特性•试看部分内容考研真题精选一、选择题1下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（）。

[西安电子科技大学2012研]A．f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）B．f（t）δ（t）＝f（0）δ（t）C．D．【答案】A查看答案【解析】A项，正确结果应该为f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）－f′（0）δ（t）。

2x（t）＝asi n t－b si n（3t）的周期是（）。

[西南交通大学研]A．π/2B．πC．2πD．∞【答案】C查看答案【解析】因为asin t的周期为T1＝2π/1＝2π，bsin（3t）的周期为T2＝2π/3，因为T1/T2＝3/1为有理数，因此x（t）是周期信号，且x（t）＝asint－b sin（3t）的周期是3T2＝T1＝2π。

3序列f（k）＝e j2πk/3＋e j4πk/3是（）。

[西安电子科技大学2012研]A．非周期序列B．周期N＝3C．周期N＝6D．周期N＝24【答案】B查看答案【解析】f1（k）＝e j2πk/3的周期N1＝2π/（2π/3）＝3，f 2（k）＝e j4πk/3的周期N2＝2π/（4π/3）＝3/2，由于N1/N2＝2为有理数，因此f（k）为周期序列，周期为2N2＝N1＝3。

4积分[西安电子科技大学2011研] A．2B．1C．0D．4【答案】A查看答案【解析】5序列乘积δ（k＋1）δ（k－1）＝（）。

[西安电子科技大学研]A．0B．δ（k）C．δ（k＋1）D．δ（k－1）【答案】A查看答案【解析】根据f（k）δ（k－k0）＝f（k0）δ（k－k0），因此δ（k＋1）δ（k－1）＝δ（2）δ（k－1）＝0。

奥本海姆《信号与系统》(第2版)(下册)章节题库-拉普拉斯变换(圣才出品)

（1）由于
的拉普拉斯变换收敛域是的公共部分，因而可分以下三种情况讨论。
①当 s2＞s1 时，
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②当 s2＜s1 时，集合 Re（s）＞s1 与 Re（s）＜s2 的交集为空集，因而拉普拉斯变换不
存在。
③当 s2＝s1 时，这时相当于求 es1t 的拉普拉斯变换，收敛域仍为空集，因而拉普拉斯变
余
弦
的
拉
普
拉
斯
变
换
，
cost
s2
s +2
，及
s
域平移特性
f (t)e−at F(s + a) ，有
又由尺度变换性质，有
（3）同前，由拉普拉斯变换性质有
5．用拉普拉斯变换的性质求如图 9-2 所示波形函数的拉普拉斯变换。
图 9-2
图 9-3
答：利用时域微积分性质，将 f（t）进行两次微分，得
和
图 9-3（a）、（b）所示。于是有
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第 9 章拉普拉斯变换
一、选择题
1．信号
的拉普拉斯变换及收敛域为（）。
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】本题考查拉普拉斯变换的定义及收敛域范围的确定，有
2．信号（t）＝1 的双边拉普拉斯变换为（）。 A． B． C． D．【答案】D 【解析】由积分公式可知 f（t）＝1 的傅里叶变换不存在，因此，双边拉普拉斯变换也不存在。
换也不存在。
（2）因为
是一个因果信号，所以它的双边拉普拉斯变换就等于其
单边拉普拉斯变换。又因为

奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(下册)-z变换(圣才出品)

第10章z变换10.1 复习笔记一、z变换1．z变换的定义一个离散时间信号x[n]的z变换定义为其中z是一个复变量。

简单记为2．z变换与傅里叶变换的关系X（re jω）是序列x[n]乘以实指数r-n后的傅里叶变换，即指数加权r-n可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1。

若r＝1，或等效为|z|＝1，z变换就变为傅里叶变换，即（1）在连续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，即在虚轴jω上的拉普拉斯变换是傅里叶变换。

（2）在z变换中是当变换变量z的模为1，即z＝e jω时，z变换演变为傅里叶变换。

即傅里叶变换是在复数z平面中半径为1的圆上的z变换。

在z平面上，单位圆在z变换中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换中所起的作用。

二、z变换的收敛域1．性质1X（z）的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。

2．性质2收敛域内不包含任何极点。

3．性质3如果x[n]是有限长序列，那么收敛域是整个z平面，可能除去z＝0和/或z＝∞。

4．性质4如果x[n]是一个右边序列，并且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么|z|＞r0的全部有限z 值都一定在这个收敛域内。

5．性质5如果x[n]是一个左边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么满足0＜|z|＜r0的全部z值都一定在这个收敛域内。

6．性质6如果z[n]是双边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含|z|＝r0这一圆环的环状区域。

7．性质7如果x[n]的z变换X（z）是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。

8．性质8如果x[n]的z变换X（z）是有理的，并且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，亦即半径等于X（z）极点中最大模值的圆的外边。

而且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n＜0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z＝∞。

奥本海姆《信号与系统》配套题库【名校考研真题】(周期信号的傅里叶级数表示)

______。[四川大学 2007 研]
【答案】4
【解析】因是周期信号，其角频率
2π T
π
，则： a0
2 T
2 f (t)dt 2
0
T
2 dt 2，k 0
0
2
ak T
2 f (t) cos(kt)dt 2
0
T
2
cos(kπt)dt
sin(kπt)
2
0， k
1, 2,
0
kπ 0
所以：
ak 2 4
k
3 ． x t 是一连续时间周期信号，其基波频率为 1 ，傅里叶系数为 ak ，现已知
y(t) x(1 t ) x(t 1，) 问 y(t) 的基本频率 2 与 1 是什么关系？______； y(t) 的傅里叶级数
系数 bk 与 ak 的关系是什么？______。[华南理工大学 2007 研]
t0 T
1
bk T
T
t0 T x 1 t
x
t 1
e jkt dt
1 T
T
x 1t
t0 T
e jktdt 1 T
T x t 1 e jktdt
t0 T
1 T
T x 1 t ejktd 1 t 1
t0 T
T
T
x
t0 T
t 1
e jkt d
t 1
ak ak
2．一连续时间
LTI
系统的频率响应
H ( j)
1, 0,
≥250 ，当输入基波周期 T＝ π ，
其余
7
傅立叶级数系数为 ak 的周期信号 x t 时，发现输出 y(t) x(t) 。ak 需满足什么条件？（）

奥本海姆信号与系统第一章部分习题答案

(e)
x[n], n 1

y[n] 0,
n0
x[n 1], n 1

(e)
Байду номын сангаас[n], n 1

y[n] 0,
n0
x[n 1], n 1

(g )
y[n] x[4n 1]
+++
1.31 在本题中将要说明线性时不变性质的重要结果之一，即一旦知道了一个线性
∴ 1 = 3，1 = 0，2 = −3，2 =1（或-1）
1.19判定下列输入-输出关系的系统是否具有线性性质、时不变性质，或两者俱有。
线
性： 3 = 1 + 2
时不变性： 2 = 1 ( − 0 )
(a) = 2 ( − 1)
∴ 是线性的
∴ 不是时不变的
基波周期0 ：使[] = + 成立的最小正整数。

离散时间复指数信号的周期： 0 ， 0 = 是有理数，则是周期的，
2
2 0

且和无公因子时，基波周期为，角频率为 =
常数通常不讨论它的周期性，但可以认为周期为1。
1
4
2
=
= ，1 = 7
2 7 × 2 7
1
3
1
[] = [cos + cos( )]
2
4
4
N1
2
* m 8, m 3
3 / 4
N1
∴ 是周期的，基波周期为 =8
2
* m 8, m 1
/4
+ + + 1.27 这一章介绍了系统的几个一般性质，这就是一个系统可能是或不是：

奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(线性时不变系统)

第2章线性时不变系统2.1 设x[n]＝δ[n]＋2δ[n－1]－δ[n－3]和h[n]＝2δ[n＋1]＋2δ[n－1]，计算下列各卷积：；；。

解：（a）（b）（c）2.2 考虑信号将A和B用n来表示，以使下式成立：解：故A＝n－9，B＝n＋3。

2.3 已知输入x[n]和单位脉冲响应h[n]为，求输出y[n]＝x[n]*h[n]，并画出y[n]。

解：设,h1[n]＝u[n]，则x[n]＝x1[n－2]，h[n]＝h1[n＋2]即y[n]的波形如图2-1所示。

图2-1 2.4 计算y[n]＝x[n]*h[n]，这里解：当，即12≤n≤18时，当，即7≤n＜12时，当即18＜n≤23时，当n为其他值时，y[n]＝0，故2.5 设和，式中，N≤9是一个整数。

已知y[n]＝x[n]*h[n]和y[4]＝5，y[14]＝0，试求N为多少。

解：当n＜0及n＞9＋N时，y[n]＝0。

由于y[14]＝0，故9＋N ＜14，即N＜5。

而当即N≤n≤9时，有又y[4]＝5，由此可得N＝4。

2.6 计算卷积y[n]＝x[n]*h[n]，其中解：当n≥0时，当n＜0时，故2.7 一个线性系统S有如下输入-输出关系：y[n]＝，式中g[n]＝u[n]－u[n－4]。

（a）当x[n]＝δ[n－1]时，求y[n]；（b）当x[n]＝δ[n－2]时，求y[n]；（c）S是线性时不变的吗？（d）当x[n]＝u[n]时，求y[n]。

解：（a）（b）（c）S是线性的但非时不变的，因为当x[n]向右平移了1个单位时，y[n]向右平移了2个单位，故S不是线性时不变的。

（d）2.8 确定并并粗略画出下列两个信号的卷积：解：则y（t）的波形如图2-2所示。

奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(周期信号的傅里叶级数表示)

第3章周期信号的傅里叶级数表示基本题3.1 有一实值连续时间周期信号x（t），其基波周期了T＝8，x（t）的非零傅里叶级数系数为a1＝a－1＝2，a3＝a－3＝4j。

试将x（t）表示成：解：3.2 有一实值离散时间周期信号x[n]，其基波周期N＝5，x[n]的非零傅里叶级数系数为，试将x[n]表示成：解：3.3 对下面连续时间周期信号求基波频率ω0和傅里叶级数系数a k，以表示成解：即非零的傅里叶级数系数为3.4 利用傅里叶级数分析式计算下连续时间周期信号（基波频率ω0＝π）的系数a k：解：因ω0＝π，故3.5 设x1（t）是一连续时间周期信号，其基波频率为叫ω1，傅里叶系数为a k，已知x2（t）＝x1（1－t）十x1（t－1），问x2（t）的基波频率ω2与ω1是什么关系？求x2（t）的傅里叶级数系数b k与系数a k之间的关系。

解：x1（1－t）和x1（t－1）的基波频率都是ω1，则它们的基波周期都是T1＝2π/π。

因为x2（t）是x1（1－t）和x1（t－1）的线性组合，所以x2（t）的基波周期，即ω2＝ω1。

又故即3.6 有三个连续时间周期信号，其傅里叶级数表示如下：利用傅里叶级数性质回答下列问题：（a）三个信号中哪些是实值的？（b）哪些又是偶函数？解：（a）与式对照可知，对于x1（t），有由共轭对称性可知，若x1（t）为实信号，则有显然故x1（t）不是实信号。

同理，对于x2（t），对于x3（t），由于故可知x2（t）和x3（t）都是实信号。

（b）由于偶函数的傅里叶级数是偶函数，由上可知，只有x2（t）的a k是偶函数，故只有x2（t）是偶信号。

3.7 假定周期信号x（t）有基波周期为T，傅里叶系数为，的傅里叶级数系数为b k。

已知，试利用傅里叶级数的性质求a k用b k和T表达的表达式。

解：当k＝0时，故3.8 现对一信号给出如下信息：（1）x（t）是实的且为奇函数；（2）x（t）是周期的，周期T＝2，傅里叶级数为a k；（3）对|k|>1，a k＝0；（4）试确定两个不同的信号都满足这些条件。

奥本海姆《信号与系统》配套题库【名校考研真题】(连续时间傅里叶变换)

研]
）。[西安电子科技大学 2010
A． f1 t t0 f2 t t0 f t B． f t t f t
C． f t t f t
D． f1 2t f2 2t f 2t
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换性质和卷积定理， f1 2t f2 2t 的傅里叶变换为：
1 2
F1
f
(t)
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
的傅里叶变换
F j
等于（
）。[西安电子科
技大学 2008 研]
A．1 j
B．1 j
C．-1
D． ej
【答案】C
【解析】由于
f
(t )
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
t t ，根据常用傅里叶变换和时域微分
定理，可知 t j 。再根据频域微分性质，可得 t t 1。

求 cos0t 的傅里叶变换：
cos
0t
cos
0
t
0
FT
j
πe 0
0
0
所以：
1 2π
F
F
cos 0t
ej 0
0
2
F
0
ej 0
0
2
F
0
则其频带宽度为 0 W ，因为 0 W ，所以 0 W 0 。
6．设 f t f1 t f2 t ，则下列卷积等式丌成立的是（
tf (t) j dF ；再由时秱性质，可知 (1 t) f (1 t) j dF() ej 。
d
பைடு நூலகம்
d
10．已知信号 f (t) 的频带宽度为，则信号 y(t) f 2 (t) 的丌失真采样间隔（奈奎斯

《信号与系统》考研奥本海姆版配套2021考研真题库

《信号与系统》考研奥本海姆版配套2021考研真题库第一部分考研真题精选一、选择题1下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（）。

2x（t）＝asint－bsin（3t）的周期是（）。

[西南交通大学研]A．π/2B．πC．2πD．∞【答案】C查看答案【解析】因为asint的周期为T1＝2π/1＝2π，bsin（3t）的周期为T2＝2π/3，因为T1/T2＝3/1为有理数，因此x（t）是周期信号，且x（t）＝asint－bsin （3t）的周期是3T2＝T1＝2π。

3序列f（k）＝e j2πk/3＋e j4πk/3是（）。

[西安电子科技大学2012研]A．非周期序列B．周期N＝3C．周期N＝6D．周期N＝24【答案】B查看答案【解析】f1（k）＝e j2πk/3的周期N1＝2π/（2π/3）＝3，f2（k）＝e j4πk/3的周期N2＝2π/（4π/3）＝3/2，由于N1/N2＝2为有理数，因此f（k）为周期序列，周期为2N2＝N1＝3。

4积分[西安电子科技大学2011研]A．2B．1C．0D．4【答案】A查看答案【解析】5序列乘积δ（k＋1）δ（k－1）＝（）。

6信号f1（t）＝2，f2（t）的波形如图1-1-1所示，设y（t）＝f1（t）*f2（t），则y（11）＝（）。

[西安电子科技大学2011研]图1-1-1A．1B．0C．2D．3【答案】B查看答案【解析】7已知一连续系统在输入f（t）作用下的零状态响应为y（t）＝f（4t），则该系统为（）。

奥本海姆《信号与系统》(第2版)课后习题-第7章至第9章(下册)(圣才出品)

第二部分课后习题第7章采样基本题7.1已知实值信号x（t），当采样频率时，x（t）能用它的样本值唯一确定。

问在什么ω值下保证为零？解：对于因其为实函数，故是偶函数。

由题意及采样定理知的最大角频率即当时，7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？解：因为x（t）是某个截止频率的理想低通滤波器的输出信号，所以x（t）的最大频率就为＝1000π，由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样m点恢复出x（t），需采样频率即采样时间问隔从而有（a）和（c）两种采样时间间隔均能保证x（t）由其采样点恢复，而（b）不能。

7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。

试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（b）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（c）x（t）的频谱函数为由此可见，当故奈奎斯特频率为7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）因为的傅里叶变换为可见x（t）的最大频率也是的最大频率，故的奈奎斯特频率为0 。

（b）因为的傅里叶变换为可见x （t）的最大频率也是的最大频率．故的奈奎斯特频率仍为。

（c）因为的傅里叶变换蔓可见的最大频率是x（t）的2倍。

从而知x 2（t）的奈奎斯特频率为2（d）因为的傅里叶变换为，x（t）的最大频率为，故的最大频率为，从而可推知其奈奎斯特频率为7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。

当某一滤波器以Y（t）为输入，x（t）为输出时，试给出该滤波器频率响应的模和相位特性上的限制。

解：p（t）是一冲激串，间隔对x（t）用p（t-1）进行冲激采样。

先分别求出P（t）和P（t-1）的频谱函数：注意0ω是x（t）的奈奎斯特频率，这意味着x（t）的最大频率为02ω，当以p（t-1）对x（t）进行采样时，频谱无混叠发生。

奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(信号与系统的时域和频域特性)

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第 6 章信号与系统的时域和频域特性
基础题
6.1 考虑一个频率响应为
且实值单位冲激响应为 h（t）的连
续时间线性时丌变系统。假设在该系统上斲加一个输入
所得到的输出可表示成如下形式：y（t）＝Ax（t-t0）
其中 A 是一个非负实数，代表一个幅度放大因子，t0 是一个延时。
向原点集中。
6.6 考虑一个离散时间理想高通滤波器.其频率响应是
（a）若 h[n]是该滤波器的单位脉冲响应，确定一个凼数 g[n]，使乊有，
（b）当 ωc 增加时，该滤波器的单位脉冲响应是更加向原点集中呢，还是丌是？
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故 A＝1
（b）
H(
j)
1 1
j j
12 2 12
j
H(
j)
arctan
1
2
2
() d( H ( j)) d(arctan 2 ) / d 2
d
12
12
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故
，所以说法（2）是正确的。
6.4 考虑一个频率响应为 H（ejω）且实值单位脉冲响应为 h[n]的离散时间线性时丌变系统，该系统的群时延凼数定义为
故
（对某整数 k）
6.3 一个因果稳定线性时丌变系统具有如下频率响应：
（a）证明：|H（jω）|＝A，并求出 A 的值。
（b）对该系统的群时延，试判断下面哪种说法是对的。注意
其中
表示成丌包含仸何丌连续点的形式。
（1）

奥本海姆《信号与系统》配套题库【章节题库】(周期信号的傅里叶级数表示)

第3章周期信号的傅里叶级数表示一、计算题1．求如图3-1所示信号的傅里叶级数。

答：（1）求三角傅里叶级数。

傅里叶级数展开表达式图3-10111()[cos()sin()]2n n n a f t a nw t b nw t ∞==++∑利用分部积分三角傅里叶级数为（2）指数形式傅里叶级数展开：11()()jnw t n f t F nw e ∞=-∞=∑，其中011011()t T jnw t n t F f t e dt T +-=⎰求指数傅里叶级数。

指数傅里叶级数为2．将如图3-2所示的三角形信号在时间区间(,)ππ-上展开为有限项的三角傅里叶级数，使其与实际信号间的方均误差小于原信号()f t 总能量的1％。

写出此有限项三角傅里叶级数的表达式。

图3-2解：如图3-2所示三角形信号的数学表达式为由()f t 在(,)ππ-上的偶对称特性知其傅里叶系数0n b =。

又展开的时间区间为(,)ππ-，故2T π=，从而1Ω=。

下面求系数0a 和n a 。

于是在(,)ππ-上，另一方面，信号的总能量若取()f t 傅里叶级数中第一项来近似()f t ，则方均误差为再考虑取()f t 傅里叶级数中前两项来近似()f t ，则方均误差为由于满足要求，所以此有限项三角傅里叶级数的表达式为24()cos 2A Af t t π≈+3．求如图3-3所示信号f （t ）的傅里叶级数。

图3-3答：f'（t ）、f''（t ）的波形如图3-4（a ）、（b ）所示，于是得f''（t ）的傅里叶系数为图3-4故f （t ）的傅里叶系数为所以f （t ）的傅里叶级数为111(1)()2222n jn t jn tn n n jf t A e e n π∞∞⋅ΩΩ=-∞=-∞-=+=+∑∑ （原书中有错，第二项的2j n 应改为2jπ）讨论傅里叶级数的时域微分性质：这样，若已知f （k ）（t ）的傅里叶系数，则f （t ）的傅里叶系数这里注意此式不适用于n=0的情况。

信号与系统-华工-奥本海姆-各章例题-4

此时有 H (ω ) =
已知一个LTI因果系统的单位冲激响应为例：已知一个因果系统的单位冲激响应为试求该系统的频率响应H(ω) 。试求该系统的频率响应
∞ ∞
h(t ) = [e t e 2 t ]u (t )
解：因为
∞
∫
h(τ ) dτ = ∫ e τ e 2τ dτ < ∞
0
所以系统稳定。所以系统稳定。则系统的频率响应为
解：单脉冲信号
fT (t )
f 0 (t ) F0 (ω ) = τ Sa (
ωτ
2
)
T
1
由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有
0 τ
2
T
f 0 (t )
1
t
nω0τ nω0τ τ 1 1 Fn = F0 (ω ) = τ Sa( ) = Sa ( ) T T 2 T 2 ω = nω0
∞ ∞
H (ω ) =
∞
∫
h(τ )e
jωτ
dτ = ∫ (e τ -e 2τ )e jωτ dτ
0
1 1 1 = = 1 + jω 2 + jω ω 2 + 2 + j 3ω
已知一个零状态LTI系统由下列微分方程表征例：已知一个零状态系统由下列微分方程表征
d3y d2y dy dx + 10 2 + 8 + 5 y ( t ) = 13 + 7 x (t ) 3 dt dt dt dt
解：将冲激序列信号展开成傅立叶级数
1 jnω0t 1 2 ∞ x (t ) = ∑ e = + ∑ cos(nω0t ) T T n =1 n = ∞ T

奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(离散时间傅里叶变换)

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又
（当 ω0＝0 时，里叶变换）
所以
，故可由
的傅里叶变换得到１的傅
区间－π≤ω＜π 上，有
5.4 利用傅里叶变换的综合公式求下列逆变换：
解：（a）为了方便起见，在迚行傅里叶逆变换时，取积分区间为－π＜ω≤π。由定义有

令上式两端的 ω＝0，有
即 A 的值为 2。
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可知
，其中
对于
，当 n＜－1 时，该和式等于 0；当 n＝－１时，该和式等于１；当 n＝0
时，该和式等于 2；当 n≥１时，该和式等于 3。故
于是得
由于
，所以也可将 x[n]表示为
5.9 对某一特殊的 x[n]，其傅里叶变换为 X（#），已知下面四个条件：（1）（2）（3）（4）求 x[n]。解：要确定 x[n]，一开始无法从条件（1）、（2）、（4）入手，只能考虑从条件（3）入手。对于实信号 x[n]来说，有
，丌难看出，F（ejω）是一个实奇函数。一般
我们知道，一个实偶函数 x[n]的傅里叶变换 X（ejω）也是实偶函数，而一个实奇函数 x[n]
的傅里叶变换 X（ejω）则是纯虚且奇的函数。若假设 f[n]是纯虚且奇的函数，则可将其表
示为 f[n]＝jp[n]。
式中，p[n]是一个实奇函数。那么，p（ejω）就是一个纯虚且奇的函数，从而 F（ejω）
由条件（3），可得
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于是由傅里叶变换的时秱性质，对上式求逆变换，有
对比上式左右两边，并注意到条件（1），可以得到

奥本海姆《信号与系统》笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)(信号与系统的时域和频域特性)

第6章信号与系统的时域和频域特性6.1 复习笔记一、傅里叶变换的模和相位表示1．基本表示方法傅里叶变换是复数值的，可以用它的实部和虚部，或者用它的模和相位来表示。

（1）连续时间傅里叶变换X（jω）的模-相表示是（2）离散时间傅里叶变换X（e jω）的模-相表示是2．振幅与相位（1）模|X（jω）|所描述的是一个信号的基本频率含量，也即给出的是组成x(t)的各复指数信号相对振幅的信息。

是x(t)的能谱密度，即可认为是信号x(t)中位于频率由ω到ω＋dω之间这样一个无限小的频带内所占有的能量。

（2）相位角不影响各个频率分量的大小，但提供的是有关这些复指数信号的相对相位信息。

二、线性时不变系统频率响应的模和相位表示1．基本表示（1）根据连续时间傅里叶变换的卷积性质，一个线性时不变系统的输入和输出的傅里叶变换X（jω）和Y（jω）的关系：Y（jω）＝H（jω）X（jω）其中H（jω）是系统的频率响应，也即系统单位冲激响应的傅里叶变换（2）在离散时间情况下，一个频率响应为H（e jω）的线性时不变系统，其输入和输出的傅里叶变换X（e jω）和Y（e jω）的关系是Y（e jω）＝H（e jω）X（e jω）因此，一个线性时不变系统对输入的作用就是改变信号中每一频率分量的复振幅。

（3）在连续时间情况下，|Y（jω）|＝|H（jω）||X（jω）|且①线性时不变系统对输入傅里叶变换模特性的作用就是将其乘以系统频率响应的模。

②由线性时不变系统将输入的相位变化成在它基础上附加了一个相位（系统的相移）。

系统的相移可以改变输入信号中各分量之间的相对相位关系。

2．线性与非线性相位（1）线性相位①在连续时间情况下，当相移是ω的线性函数时，具有这种频率响应特性的系统所产生的输出就是输入的时移，即y(t)＝x（t－t0）②在离散时间情况下，当线性相位的斜率是一个整数时，线性时不变系统所产生的输出就是输入的简单移位，即y[n]＝x[n－n0]（2）非线性相位、如果输入信号受到的是一个ω的非线性函数的相移，那么在输入中各不同频率的复指数分量都将以某种方式移位，从而在它们的相对相位上发生变化。