勒贝格控制收敛定理

勒贝格控制收敛定理

勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。利用这一定理可以证明列维（Levi ）定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。 勒贝格控制收敛定理：设

（1）{n f }是可测集E 上的可测函数列；

（2）()n f x (x)a.e.F ≤于E ，n=1,2，，且(x)F 在E 上可积分（称{n f }为(x)F 所控制，而(x)F 叫控制函数）；

（3）()()n f x f x ⇒，则()f x 在E 上可积分，且()()n n lim E E

f x dx f x dx =⎰⎰（注：将条件（3）换为()()n f x f x a.e.→于E ，定理结论仍成立。

应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数，且要求控制函数是可积的。下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理在分析学中的应用。

1 利用定理的证明

勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式判断函数连续等等问题。

例1：设12f f ，，