概率习题答案5

第五章数理统计的基础知识

5.1 数理统计的基本概念

习题一

已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知),X1,X2,⋯,Xn为X的样本，则().

(A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；(B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量；

(C)X1+X2是一个统计量；(D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量.

解答：

应选(C).

由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.

习题2

观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm),得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),⋯,[150,160),将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率),并画出频率累积的直方图.

解答：

分组数据统计表

分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(X¯),E(S2).

解答：

由X∼B(10,3100),得

E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以

E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.

习题6

设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料

f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,

又X(1)的概率密度为

f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.

习题9

设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：

(1)没有元件在800h之前失效的概率；

(2)没有元件最后超过3000h的概率.

解答：

(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,

分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,

{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800},有

P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6

=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.

(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}

P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6

=[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6

≈0.93517.

习题10

设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,若至少要以95%的概率保证∣X¯-μ∣<0.1σ,问样本容量n应取多大？

解答：

因当n很大时，X¯-N(μ,σ2n),于是

P{∣X¯-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ

≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,

则Φ(0.1n)≥0.975,查表得Φ(1.96)=0.975,因Φ(x)非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16,故样本容量至少取385才能满足要求.

5.2 常用统计分布

习题1

对于给定的正数a(0

χ2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是().

(A)z1-a(n)=-za(n);(B)χ1-a2(n)=-χa2(n);

(C)t1-a(n)=-ta(n);(D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).

解答：

应选(B).

因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F∼F(n1,n2),则

1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)

由于1F∼F(n2,n1),所以

P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,

即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的.

习题2(1)

2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42;

解答：

因为Xi∼N(0,1),i=1,2,⋯,n,所以：

X1-X2∼N(0,2),X1-X22∼N(0,1),X32+X42∼χ2(2),

故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422∼t(2).

习题2(2)

2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+⋯+Xn2;

解答：

因为Xi∼N(0,1),∑i=2nXi2∼χ2(n-1),所以

n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)∼t(n-1).

习题2(3)

2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?

(3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.

解答：

因为∑i=13Xi2∼χ2(3),∑i=4nXi2∼χ2(n-3),所以：

(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)∼F(3,n-3).

习题3