04第四讲 二次根式
《二次根式》课件
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
第四讲：数的开方及二次根式
数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。
教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。
当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。
注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。
2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。
二次根式的ppt课件
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
《二次根式》PPT课件4
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例题讲解
例1 判断下列式子是否是二次根式？（口答）
5x2 ; x2 1; 3 4; 2; 2x 1.
例2 x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1) x 1; (2) 1 . x 1
例3 计 算.
(1)( 0.8)2;(2) 72 ;(3) (1.1)2 .
注意：在二次根式 中，被开方数必须 满足是非负数.
(2)( a )2 a(a 0)
(3)
a2
a
a, a 0 a, a 0
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布置作业
(1)P4习题22.1的1，3；
(2)思考：( a )2与 a2的值是一样的吗？ 请举例. （3）复习今天所学的知识； （4）预习二次根式的乘除法.
《九年义务教育课程标准实验教科书.九年级（上）》
二次根式
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教材分析
教材的地位与作用
二次根式是《新课程标准》“数与代数”的重要内容. 本章是在第十二章的基础上，进一步研究二次根式的概念、 性质和运算.本章内容与已学内容“实数”、“整式”、 “勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角 三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容的 重要基础.第一节研究了二次根式的概念和性质,它是学习 本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据.
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重难点分析
第4讲二次根式及其运算(讲义)(原卷版)-2024年浙江中考数学一轮复习
第一单元 数与式第4讲 二次根式及其运算1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．（3）二次根式有意义的条件：被开方数非负2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．■考点一二次根式的相关概念►◇典例1：（2023•恩阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【变式训练】1．（2023•婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是．2．（2023•慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2■考点二二次根式的性质►◇典例2：（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32D．＝0.7【变式训练】1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3 C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a■考点三二次根式的运算►◇典例3：（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【变式训练】1．（2023•娄星区校级一模）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）深度讲练A ．B．1 C ．D．33．（2022•甘肃）计算：×﹣．4．（2023•兰州模拟）计算：．■考点四二次根式的化简求值及应用►◇典例4：（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．【变式训练】1．（2022•瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为．真题演练1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2021•杭州）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠05．（2023•萧山区一模）已知，则实数a的值为（）A．9 B．3 C．D．±36．（2023•南湖区一模）下列各式中，正确的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C．D．7．（2021•丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（）A．B．C．D．8．（2022•杭州）计算：＝；（﹣2）2＝．9．（2022•萧山区一模）计算：＝．10.（2023•青山区模拟）计算：﹣3＝．11．（2023•杭州）计算：＝．12．（2023•浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．13．（2023•龙游县一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．14．（2023•临汾模拟）计算：＝．15．（2023•萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．16．（2021•永嘉县校级模拟）计算：﹣+3+．17．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．18．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．。
人教版数学中考知识点梳理-二次根式
第4讲二次根式青海一中李清
一、知识清单梳理
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经人死后，和上帝喝茶。
帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。
刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?阎王说：地狱的小。
2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。
因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。
只有做困难的事，才能推动社会发展进步。
二次根式及其运算ppt课件
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
8．(1)(2015·嘉兴)与无理数31 最接近的是 ( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2015·杭州)若k< 90 <k+1(k是整数)，
则k=
（ D）
A．6
B．7
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
(2) 135 3 15 ， 450 15 2 ，180 6 5 ，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.
整理得出即可． 【答案】(1)原式＝ 2
23
2
23
2，
32
2
2
故答案为： 2 ；
(2) 3( 2 3) 24 6 3 6 3 2 6 (3 6)
=-6. 故答案为：－6. 13
【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握 二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次 根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质
和运算法则． 6
类型一 平方根、算术平方根、立方根
例1 (1)(2015·黄冈)9的平方根是
() A．±3
1
B． 3
C．3
D．－3
(2)(2015·湖州)4的算术平方根是 2( )
A．±2
B．2 C．－2 D.
(3)(2015·荆门)64的立方根是
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
第四讲：二次根式教案
第四讲：二次根式知识点1：二次根式的概念及条件例1：x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B ．0x <C ．0x ≠D ．0x >例2．．．，则x 的取值范围是（ ） A ． 2x ≥ B ．2x > C ．2x < D ．2x ≤1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A.14 B. 48C.ba D.44+a 1.（2009年湖北省荆州市）下列根式中属最简二次根式的是（ ）2.（2009 ）A ．BC ．D 3.（2009年绵阳市）已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．3知识点2：二次根式的性质A ．1 B.－1 C. 2 D. －2练习：1.若实数x y ，2(0y =，则xy 的值是 ．2.已知：=-=-++b a b a ，则081 。
1.（20093a =-，则a 与3的大小关系是( )A ． 3a < 8．3a ≤ C ． 3a > D ．3a ≥2.（2009年贵州黔东南州）方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ）知识点3：二次根式的化简例1：已知mn ﹤0,化简n m 2例2：已知4423+-=+x x x x ，求x 的范围练习：1. =-2)3(__________； 2x =___________2.将（a-1）a -11根号外的因式移至根号内1.（2009年泸州市）计算：=+-3)23(2 。
2.（2009年山东济宁）已知a ）A ．aB ．a -C ．1-D ．0知识点3：二次根式的运算例1：计算：825-= ．例2：若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -练习：1.的结果是 ．2.化简1.（09年衡阳市）下面计算正确的是（）A ． 3333=+B ． 3327=÷C ． 532=⋅D ．24±=2.（09年湖南省娄底市）先化简，再求值：-4-2x x +24-4+4x x ÷-2xx ，其中x过关检测一、选择题1下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．23aB ．31 C ．5.2 D ．22b a - 2．下列式子中二次根式的个数有（ ）⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸2)31(-；⑹)1(1>-x x ；⑺322++x x .A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是（ ）A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D．a≠－24．若===94,70,7。
初二-第4讲-二次根式的化简与计算
估算一、专题精讲题型一、估算无理数在哪两个整数之间例1．（1）判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（）A．22、23 B．23、24 C．24、25 D．25、26考点：估算无理数的大小．分析：先算出与的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案．解答：解：∵×=，又∵24＜25，∴×之值会介于24与25之间，故选C．点评：本题考查了估算无理数大小，掌握的大约值是解题的关键，是一道基础题．（2）如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4考点：估算无理数的大小．分析：先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．解答：解：∵2＜3，m=，∴m的取值范围是1＜m＜2；故选B．点评：此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题．变式训练1．估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间解答：解：∵2=＜=3，∴3＜＜4，故选B．2．若n=﹣6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（）A．4＜n＜5 B．3＜n＜4 C．2＜n＜3 D．1＜n＜2解答：解：∵49＜59＜64，∴7＜＜8，∴7﹣6＜﹣6＜8﹣6，即1＜n＜2．故选D．题型二、按要求估算例2．（1）估算下列各数的大小．（1）（误差小于0.1）；（2）（误差小于1）．考点：估算无理数的大小．分析：（1）（2）借助“夹逼法”先将其范围确定在两个整数之间，再通过取中点的方法逐渐逼近要求的数值，当其范围符合要求的误差时，取范围的中点数值，即可得到答案． 解答：解：（1）∵有62=36，6.52=42.25，72=49， ∴估计在6.5到7之间，6.62=43.56，6.72=44.89；∴≈6.65；（2）∵43=64，53=125， ∴4.53=91.125，4.43=85.184，∴≈4.45．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．变式训练1、估算下列数的大小.（1）（误差小于0.1） ; （2）（误差小于1）. 解答：（1） ∵3．6＜＜3.7,∴≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）. （2） ∵9＜＜10,∴≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）.题型三、用估算比较两个数大小例3．（1）通过估算，比较下面各数的大小. （1）与 ; （2）与3.85. 解答： （1）∵＜2,∴-1＜1,即＜. （2）∵3.85=14.8225,∴＞3.85.变式训练1．（2010•杭州二模）估计大小关系是﹣1________ 0.5． 解答：解：∵0.5=﹣1，＜3．∴﹣1＜0.5．题型四、用估算法求解实际问题的近似解例4．（1）某小区有一块长为8米、宽为4米的长方形草坪，计划在草坪面积不减少的情况 下，把它改造成一个正方形，如果改造后的正方形草坪的边长为x 米．求正方形的边长（估 算到0.1）考点：算术平方根；估算无理数的大小．分析：根据面积相等列出关系式，解得x ，进即可得到正方形的边长．13.6380013.613.63800380031212153331212215解答：解：根据题意得：x2=8×4=32 x≈5.6．答：正方形的边长约为5.6米．点评：本题主要考查长方形、正方形的面积，根据面积相等得到方程是解题的关键．变式训练1．能否用面积为400cm2的正方形纸片裁出面积为300cm2且长、宽之比为3：2的长方形纸片？说明理由．（友情提示：不能对裁出的长方形进行拼接）解答：答：不能．理由：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，得3x•2x=300，6x2=300，x2=50，∴x=或x=﹣（舍去），∴长方形纸片的长为，∵50＞49，∴＞7，∴3＞21，∴长方形纸片的长应该大于21cm，又∵已知正方形纸片的边长大只有20cm，∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．题型五、表示一个无理数的小数部分例5．（1）（2010•巫山县模拟）已知，m、n分别是的整数部分和小数部分，那么，2m﹣n的值是（）A．B．C．D．考点：估算无理数的大小．专题：探究型．分析：先估算出的值，进而可得出m、n的值，再代入2m﹣n进行计算即可．解答：解：∵≈1.732，∴6﹣的整数部分为4，小数部分为6﹣﹣4，即n=2﹣，∴2m﹣n=8﹣2+=6+．故选B．点评：本题考查的是估算无理数的大小，熟记≈1.732是解答此题的关键．（2）（1）已知数M的平方根是a+5及﹣3a+11，求M．（2）已知5+与5﹣的小数部分分别是a、b，求3a+2b的值．考点：估算无理数的大小；平方根．专题：探究型．分析：（1）由于M的平方根是a+5及﹣3a+11，所以这两个数互为相反数，据此可求出a的值，进而得出数M；（2）先估算出的取值范围，再得出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可．解答：解：（1）∵M的平方根是a+5及﹣3a+11，∴a+5=3a﹣11，解得a=8，∴a+5=8+5=13，∴M=132=169；（2）∵3＜＜4，∴5+的小数部分是﹣3；5﹣的小数部分是，4﹣，∴a=﹣3，b=4﹣，∴3a+2b=3（﹣3）+2（4﹣）=﹣1．点评：本题考查的是估算无理数的大小及平方根的定义，在解答（2）时要先估算出的大小，再进行计算．变式训练1．（2013•吴江市模拟）3+的整数部分是a ，3﹣的小数部分是b ，则a+b 等于__________．解答：解：∵1＜＜2，∴4＜3+＜5， ∴3+的整数部分a=4； ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴1＜3﹣＜2，设3﹣的整数部分为m ，则m=1， ∴3﹣的小数部分b=3﹣﹣m=2﹣， ∴a+b=4+2﹣=6﹣．故答案为6﹣．2．设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x ﹣y ﹣3|． 解答：解：∵＜＜， ∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣|=7﹣．二次根式的化简及计算一、专题精讲题型一：二次根式的概念例1．（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．当x 是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥2331xx 04221x y+x y +2x 02x y +331x421x y+31x -31x -13A ． 3到4之间B ． 4到5之间C ． 5到6之间D ． 6到7之间解答：解：∵正方形的面积为28，∴它的边长为， 而5＜＜6． 故选C ．2、（宝坻区二模）估算的值在（ ） A ．在4和5之间 B ．在5和6之间 C ．在6和7之间 D ．在7和8之间 解答：解：∵＜＜， ∴2＜＜3，∴5+2＜5+＜5+3， 即7＜5+＜8， 故选：D ．3、通过估算比较大小： _________．解答：解：∵2＜＜3， ∴0＜﹣2＜1， ∴＜．4.化简：=-2)3(π 。
第4讲 最简二次根式与同类二次根式(教师版)
第4讲 最简二次根式与同类二次根式【学习目标】最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础．重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简．【基础知识】1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【考点剖析】考点一：最简二次根式的概念例1．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）42a ； （2）324x ；（3）a b -；（4）22a b +．【难度】★【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以（1）（3）（4）是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例2．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）； （212x - （3 1.5()a b +．【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例3．判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）23(21)(1)a a a ++≥-；（2）22()()(0)x y x y x y --≥≥；（3）2961a a ++． 【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是．【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，因为已知的三个二次根式中，每个被开方数里都含有指数为2的因式，所以这三个二次根式均不是最简二次根式．【总结】本题考查了最简二次根式的概念．例4．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）12；（2）324(0)x y y >； （3）（0a <，0b <，0c <）．【难度】★【答案】（1）23； （2）2xy x ； （3）233abc ac ．【解析】（1）1223=； （2）3242x y xy x =； （3）32522733a b c abc ac =． 【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例5．将下列二次根式化成最简二次根式：（12248xy y -0y <）； （222()()(0)a b a b a b -+≥≥；（3322(1)x x x x -+>．【难度】★★【答案】（1）22y x --； （2）()a b a b +- （3）(1)x x - 【解析】（1222484(2)22xy y y x y x ----； （2222()()()()()a b a b a b a b a b a b -++-+- （33222(1)(1)x x x x x x x -+=--．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例6．将下列二次根式化成最简二次根式： （1）；（2）31.5a ；（3）23b a（0b <）（4）（0a >，0b >，0c >）．【难度】★★ 【答案】（1）263； （2）62a a ； （3）33b aa-； （4）． 【解析】（1）；（2）333361.5==222a a a a a a =； （3）223==333b b b aa a a-； （4）．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．例7．将下列二次根式化成最简二次根式：（1）2(0)()a ba b a b +<<-；（2）(0)m nm n m n+>>-； （3）53(2)(2)(2)a a a +>-．【难度】★★【答案】（1）； （2）22m n m n --； （3）222(2)4(2)a a a +--． 【解析】（1）；（2）22==m n m n m n m n m n m n++----； （3）55222323(2)(2)(2)2(2)4===(2)(2)(2)2(2)a a a a a a a a a a a +++++------． 【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．例8．如果174a ++2311a a +【难度】★★【答案】．【解析】12a +=，1a ∴=；原式=2311211+=． 【总结】本题考查了二次根式的化简以及最简二次根式的概念．简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足： （1）被开方数的因数是整数版，字母因式是整式； （2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式 所以把式子化成最简二次根式时1、当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简2、当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简3、当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为（a?）2或者（a?）2·a 的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号.4、被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简 考点二：同类二次根式的概念：例1．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ （1）24，48，；（2）4x y ，33(0)x y x <，32(0)xy y -<．【难度】★【答案】（1）不是； （2）不是． 【解析】（1）24=26；48=43；13=126．（2）42=x y x y ；333x y x xy =-；322xy y xy -=．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例2．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？师生总结1、 满足最简二次根式的条件是什么？2、如何将一个二次根式化成最简二次根式？（1）和；（2）22345+和．【难度】★【答案】（1）是； （2）不是．【解析】（1）26279a abb b =；．（2）223415+=；115496-=． 【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例3．合并下列各式中的同类二次根式： （1）112232323-++； （2）3xy a xy b xy -+；（3）；（4）．【难度】★ 【答案】（1）72332+； （2）(3)a b xy -+； （3）342； （4）(3)2b a ab b b ab +--． 【解析】（1）11723223232332-++=+ （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．例4．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ （1）32a a a +和；（2）和．【难度】★★【答案】（1）不是； （2）不是． 【解析】（1）3221a a a a a +=+；． （2）；2323232a a ab a b a b+=++．【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．例5．若最简二次根式2a b a b +-3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．【难度】★★【答案】53a b ==-，． 【解析】由题意得：，解得：．【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求解．例6．当3x =-时，二次根式2257m x x ++的值为5，求m 的值．【难度】★★ 【答案】．【解析】把3x =-代入得：105m =，解得：22m =． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．例7．合并下列各式中的同类二次根式： （1）12112127333-+；（2）1(40.540.125)2123--+； （3）4223141361234xy x x y x x+-． 【难度】★★ 【答案】（1）233； （2）4323+； （3）452x ．【解析】（1）；（2）122343(40.540.125)212=2242323433--+-⨯-+=+； （3）4223141361234xy x x y x x+-= ．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．例8．计算：（132775282x =+ （2）773549x x +【难度】★★ 【答案】（1）116x =； （2）57x <． 【解析】（1）63656116x ==； （2）772x ->- 572x ->， 57x <．【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式和方程．【过关检测】1.（2019宝山实验10月考17）【答案】D；【解析】解=答案选D.2.（市西2020期末1）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）【答案】C【解析】解：A. 与不是同类二次根式; B. 与不是同类二次根式;C.=;故选C.=2x3.（嘉定区2019期中16）B.【答案】C【解析】解：A BC D C．4.（浦东新区2020期末1）下列各式中，属于同类二次根式的是（）B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：A所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、C、3它们是同类二次根式；故本选项正确；D C．5.（徐汇龙华2019期中16）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）C.【答案】D【解析】解：A 、20a =4×5a ，被开方数含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；B 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；C 、a 2b 4=（ab 2）2，被开方数含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意；D D.6（浦东四署2019期中3 ）【答案】A ；【解析】解：A =B能合并；C D A.7.（徐教院附2019期中15）化简0)y <=________ 【答案】【解析】解：由二次根式的概念可知，20xy -≥，∴0x -≥，又∵y <0=-8.（西延安2019期中3222=2.9. （2019大同10月考7中，最简二次根式是 .【解析】解中被开方数含分母，3a 指数不是1.10. （松江区2019期中3）若最简二次根式122-x 和x 334-是同类二次根式，那么=x ________． 【答案】7；【解析】解：因为最简二次根式是同类二次根式，所以21343x x -=-，解得x=7.11.（2019浦东四署10月考15）是同类二次根式，则ab 的值是 . 【答案】18；22534a b b =⎧⎨+=-⎩，解得，所以ab=18.。
二次根式的概念和性质PPT课件
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2
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察： 上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即:a0
.
3
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
解：(1) (3- p)2 =|3- p|
∵ 3- p< 0
∴ (3- p)2 = p- 3 (2) x2-2x+1=(x-1)2=|x-1|
当x＝- 3 时，x－１<０
∴ x2-2x+1=1-x=1+3
∴当x＝- 3 时. ， x2- 2x+1=1+ 3 20
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
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4
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
|a |
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0
a + | b |= 0 ? a 0, b = 0
a 2 + | b |= 0 ? a 0, b = 0
......
.
21
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
二次根式的性质课件
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
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1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
《二次根式的概念》课件
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目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程
二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程二次根式是高中数学中的一个重要知识点，它具有广泛的应用背景。
本文将从定义、性质以及简化与化简的方法三个方面来介绍二次根式，并通过示例演示其应用过程。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
√a读作"根号a"，表示a的非负平方根。
例如，√9=3，√16=4。
二次根式的定义性质：1. 非负性质：√a≥0，即二次根式的值不小于零。
2. 封闭性质：如果a≥0，那么√a也是非负实数。
二、二次根式的性质了解二次根式的性质，有助于我们在运算过程中灵活应用。
以下是二次根式的常见性质：1. 拆分性质：√(a×b)=√a × √b，其中a、b分别为非负实数。
这意味着我们可以将根号下的乘法拆分为两个根号的乘积。
2. 合并性质：√(a+b)≠√a + √b。
二次根式不满足普通的加法性质，不能将根号下的两个数相加。
3. 有理化性质：有时候会遇到分子或分母含有二次根式的分数。
为了消除分母中的二次根式，可以采用有理化的方法，即将二次根式的分母有理化为有理数。
三、二次根式的简化与化简方法简化二次根式意味着将二次根式转化为最简形式，即化简得去掉根号下的平方数。
化简二次根式的方法：1. 分解质因数法：将根号下的数按照质因数分解，然后将成对的质因数提取出来，剩下的数保留在根号内。
例如，对于√72，我们可以将72分解为2^3 × 3^2，然后取出成对的2和3，得到2 × 3√2，即简化为2√2。
2. 合并同类项法：对于根号下的数，如果有相同的因子，可以将它们合并在一起。
例如，√27 = √(3^3) = 3√3。
3. 有理化分母法：对于含分母的二次根式，可以通过有理化的方法将分母有理化为有理数。
假设要化简的二次根式为1/√2，我们可采用乘以√2/√2的方式，得到1/√2 × √2/√2 = √2/2，即化简为√2/2。
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代数（三）
根式计算（三）
——二次根式
【知识要点】
1．二次根式：
定义：()0a ≥叫做二次根式。
性质：①
()()2200a a a a =≥=≥,反之
()0a a =≥,反之)0a a =
≥
2．二次根式的乘、除法运算 （1）乘法运算：ab b a =
⋅()0,0a b ≥≥；
（2)0,0a b =≥> 3．二次根式的加、减法运算
（1）最简二次根式：
①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。
（2）同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时，注意以下三点：
①都是二次根式，即根指数都是2；
②必须先化成最简二次根式；
③被开方数相同。
（3）加减法步骤：
先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。
4．分母有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
由分式的基本性质和二次根式的性质可以得到分母有理化的方法：
)0,0a b ===≥> 【典型例题】
例1 计算化简下列各题：
①(2
②2⎝⎭ ③2-
⑤⎛- ⎝
例2 计算化简下列各题：
①(()20b ≥ ②(2
③212ab ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ④2
⑤()0,08543≥≥c a c b a )0ab ≥
例3 （1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？（其中0x >，0y >）。
，
（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？
，
（3）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）
，2x
例4 比较大小：（1）4 （2
例5 计算下列各题：
（1）⎛- ⎝ （2）⎛⎛- ⎝⎝
（3）⎛ ⎝
（4（5）3a
【练 习】
A 组
1(),0x y a =
>>。
2()0x y =
>≥ 3．化简：
（1（2
（3 （4⎛ ⎝
4．计算：
（1）（2
（3（4（5
（6（7）
B 组
1）
A B．
2是同类根式的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3是同类二次根式的是（）
A．只有② B．有②、③ C．有①、③ D．不存在
4．下列各组二次根式，同类二次根式是（）
A． D，
5．填空题
（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=；
（5）=；
（6）=；
（7）=；。