概率论与数理统计第七章习题

第七章习题
2. 设X1,X2,…,Xn为总体的一个样本, x1,x2,…,xn为一相应的样本值;求 下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值.
c x ( 1) , x c 其中c>0为已知,>1,为未知参数. (1) f ( x ) 其它 0, 解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可. 1 E( X ) xf ( x)dx x c x ( 1)dx c c x 1 c c x dx c c
6 3 6 3 1 1 E (T2 ) [ E ( X1 ) 2 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) 4 E ( X 4 )] (1 2 3 4) 2 5 5 1 1 E (T3 ) [ E ( X1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 ) E ( X 4 )] (1 1 1 1) 4 4

xi
n
L( x1 , x2 ,, xn , )
n
n

xi
i 1
xi !
e

e
n
i 1
n i 1
取对数得 ln L n ln xi ln( xi ! )
n
( xi ! )
d 1 n 令 ln L n xi 0 d i 1 1 n 得到的最大似然估计值 xi x n i 1 1 n 的最大似然估计量 X i X n i 1

3. 求1题中各未知参数的最大似然估计值和估计量. c x ( 1) , x c (1) f ( x ) 其中c>0为已知,>1,为未知参数. 其它 0,
n n ( 1) n c xi ( c ) ( xi )( 1) xi c, i 1,2,, n L( , x1 , x2 , , xn ) f ( xi , ) i 1 i 1 i 1 0 其它 xi>c ( i =1,2,…,n)时,取对数得 n
i 1 n i 1
ai ( ai 0) 是的无偏估计量.
i 1 n n n
n
n
证 E(X1)= E(X2)=…= E(Xn)= E(X)=
E[( ai X i )
i 1 n i 1
ai ] ai E ( X i ) ai ai ai
i 1 n


n2 ( ln X i )2
i 1 n
4.(2) 设X1,X2,…,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试 求的最大似然估计量及矩估计量. xe , x 0,1,2, , 解 泊松分布的分布律为 P { X x }
x!
总体一阶矩1=E(X)=, 将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X , 得到参数的矩估计量 X 设x1,x2,…,xn为相应的样本值, 似然函数
16.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信 水平为0.95 的置信区间. 解 未知,的置信水平为1-的置信区间为 (
n 1S
2 / 2 ( n 1)
,
n 1S
12 / 2 ( n 1)
n n 0xi1 ( i =1,2,…,n)时,取对数得 l n L l n ( 1) l n xi 2 i 1
令
d n 1 n ln L ln xi 0 d 2 2 i 1


得到的最大似然估计值
的最大似然估计量
n2 ( ln x i ) 2



Hale Waihona Puke Baidu
解出

1 c
1
1
1
将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,

得到参数的矩估计量 X X c
x 矩估计值 xc

x 2.(2) f ( x ) 0,
1
,0 x 1 其它
其中>0,为未知参数.
解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.
由于D(T1)>D(T3),所以T3比T1较为有效.
12.设从均值为,方差为2>0的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两独 立样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小. 解 由p168(2.19)得 E(X1)=E(X2)=, D(X1)=2/n1, D(X2)=2/n2 .
1 6
1 3
因此T1,T3是的无偏估计量. (2) X1,X2,X3,X4相互独立
1 1 1 5 2 2 1 D(T1 ) [ D( X1 ) D( X 2 )] [ D( X 3 ) D( X 4 )] 2 ( ) 36 9 36 9 18 1 1 5 D(T3 ) [ D( X1 ) D( X 2 ) D( X 3 ) D( X 4 )] (1 1 1 1) 2 2 16 16 20
18. 随机地从A批导线中抽取4根,又从B批导线中抽取5根,测得电 阻(欧)为 A批导线:0.143 0.142 0.143 0.137 B批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立.又1, 2,2均为未知.试求1 -2的置信水平为0.95 的置信区间. 解 两正态总体相互独立, 方差相等,但方差未知, 其均值差1 -2的 一个置信水平为1- 的置信区间为
故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=, (a+b=1) 所以,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计. 由于两样本独立,故两样本均值X1和X2独立,所以
a 2 (1 a ) 2 2 a 2 b2 2 ] D(Y ) a 2 D( X 1 ) b 2 D( X 2 ) [ ] [ n1 n2 n1 n2 dD(Y ) 2a 2(1 a ) 2 由极值必要条件 [ ] 0 da n1 n2
( x1 x2 t / 2 ( n1 n2 2) sw
1 1 2 (n1 1) S12 (n2 1) S22 2 ) Sw , Sw Sw . n1 n2 n1 n2 2
n1=4,n2=5,1-=0.95, =0.05, t/2(n1+n2-2)=t0.025(7)= 2.3646
d 2 D(Y ) 2 2 2 由于 [ ] 0 故D(Y)必有唯一极小值即最小值. 2 n1 n2 da
n1 解得 a n1 n2
n2 而 b 1 a n1 n2
14. 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布N(,2),求的置信水平为0.95 的置信 区间. (1)若由以往经验知 =0.6, (2)若为未知. 2已知,的置信水平为1- 的置信区间为 X z / 2 解 (1) n n=9, 1-=0.95, =0.05, (z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96, 0.6 =0.6 ,x=6, (6 1.96) (6 0.392) 3 的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.608, 6.392). 2未知,的置信水平为1- 的置信区间为 X S t (2) / 2 ( n 1) n n=9, 1-=0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060 0.5745 s=0.5745, 6 2.3060 6 0.442 3 的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.558, 6.442).
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
10.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知.
设有估计量 T1 ( X1 X 2 ) ( X 3 X 4 ) T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,
T3=(X1+X2+X3+X4)/4 . (1)指出T1,T2,T3中哪几个是的无偏估计量; (2)在上述的无偏估计量中指出哪一个较为有效. 解 Xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为的指数分布,故 E(Xi)=, D(Xi)=2 , 1 1 1 1 (1) E (T1 ) [ E ( X1 ) E ( X 2 )] [ E ( X 3 ) E ( X 4 )] 2 ( )
i 1
i 1
8 (1)验证第六章§2定理四中的统计量
2 2 n1 1 n2 1 ( n1 1) S1 ( n2 1) S2 2 2 2 Sw S1 S2 n1 n2 2 n1 n2 2 n1 n2 2
是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2 而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2, 2 2 ( n1 1) S1 (n2 1) S2 2 E( Sw ) E( ) n1 n2 2 1 2 2 [(n1 1) E ( S1 ) (n2 1) E ( S2 )] 2 n1 n2 2 (2)设总体X的数学期望为. X1,X2,…,Xn是来自X的样本. a1,a2,…,an 是任意常数,验证 ( ai X i )
)
n=9, 1-=0.95, =0.05, 2 /2 (n-1)=2 0.025(8)= 17.535 2 1-/2 (n-1)=2 0.975(8)= 2.18,
8 11 7 .4 , 17.535
又s=11,
8 11 21.1, 2.18
标准差的置信水平为0.95 的置信区间为(7.4, 21.1).
1 E( X )
1 0
xf ( x)dx.
1 1 0
x dx x 1 1 2 解出 ( ) 1 1

1
将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,
得到参数的矩估计量
矩估计值
X 2 ( ) 1 X

x 2 ( ) 1 x

n
i 1
ln X i n ln c
n
x 3.(2) f ( x ) 0,
解 似然函数
n
1
,0 x 1 其它
其中>0,为未知参数.
n n 1 n/ 2 ( x i ) ( xi ) 1 ,0 xi 1, i 1,2, , n L( , x1 , x2 , , xn ) f ( xi , ) i 1 i 1 i 1 0 其它
解 似然函数
ln L n ln n ln c ( 1) ln xi i 1 n 令 d ln L n n ln c ln x 0 i d i 1
得到的最大似然估计值 的最大似然估计量
n


n
i 1
ln xi n ln c
n