中考数学模拟题汇总《锐角三角函数》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《锐角三角函数》专项练习(附答案解析)
一、综合题
1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.
（1）求证：AD为⊙O切线；
（2）若sin∠BAC＝3
，求tan∠AFO的值.
5
2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠
．
BAC= 3
4
（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；
（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．
3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．
（1）当AE＝8时，求EF的长；
（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P
到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系
式，并写出t的取值范围．
⌢的中点．4．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点 E，点 D，且D是BE
（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．
（2）求证：AB＝AC．
（3）若⊙O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．
5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．
6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射
线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．
（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）连结BC．当S△AMC=S△BOC时，求AC的长．
7．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
，其他条件不变，求线段（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√2
2
AM的长．
8．
（1）【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DE
的值．
BC
（3）【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC 于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．
9．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．
（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；
（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE的面积；
（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.
（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.
的值是否会变化？若不变，求（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1
tan∠2
出该比值；若变化，请说明理由.
（3）在整个运动过程中，当△DCG为等腰三角形时，求BE长.
11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝．
（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的
长．
（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C
（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．
⌢的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，12．如图，已知BC为⊙O的直径，点D为CE
交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
13．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥
CP于Q，交⊙O于H，
（1）如图1，求证：PQ＝PE；
（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3 √3，求∠C 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．
14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

如图1，△ABC中，AD为中线，若∠DAC=30°，则△ABC为美妙三角形。

（1）下列三角形中，不是美妙三角形的是（）
A．B．
C．D．
（2）如图2，锐角△ABC是美妙三角形，AD为中线，∠DAC=30°，BE为高。

求证：AD=BE；
（3）如图3，在（2）的条件下，设AD与BE相交于点N，作△ADC的外接圆⊙O，BA刚好是⊙O的切线，求△ABN与△ABC的面积之比。

15．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF. 已知AD=3 √3，CD=3，设CP的长为x，
（1）线段PB的最小值，当x=1时，∠FBP=；
（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH 的长度；
（3）当点P在运动的过程中，
①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由；
②当x为何值时，ΔAFP是等腰三角形？
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线BC上一点，作直线AD，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，连接CE．
（1）当点D在如图1的位置时，请直接写出线段EA、EB、EC之间的数量关系；
（2）当点D在如图2的位置时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；
（3）当点E是线段AD中点时，请直接写出tan∠ADC的值．
参考答案与解析
1．【答案】（1）证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，∠3＝∠4， ∴∠4＝∠2， ∵AB 为直径， ∴∠AEB ＝90°， ∵∠2+∠BAE ＝90°
∴∠4+∠BAE ＝90°，即∠BAD ＝90°， ∴AD ⊥AB ， ∴AD 为⊙O 切线； （2）解：∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°，
在Rt △ABC 中，∵sin ∠BAC ＝ BC
AB =3
5 ， ∴设BC ＝3k ，AC ＝4k ，则AB ＝5k. 连接OE 交OE 于点G ，如图，
∵∠1＝∠2， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OE ⊥AC ，
∴OE ∥BC ，AG ＝CG ＝2k ， ∴OG ＝ 12 BC ＝ 3
2 k ， ∴EG ＝OE ﹣OG ＝k ， ∵EG ∥CB ， ∴△EFG ∽△BFC ， ∴FG CF =EG BC =k 3k =1
3 ，
∴FG ＝ 14 CG ＝ 1
2 k ，
在Rt △OGF 中，tan ∠GFO ＝ OG
FG =3
2k 12
k =3 ，
即tan ∠AFO ＝3.
2．【答案】（1）解：过点B 作 BD ⊥AC 交AC 于点D.
∵BD ⊥AC ∴∠BDA =90° ∵tan ∠BAC =
34∴BD AD =34
∵AB =3m ∴BD =AB ⋅sin ∠BAD =3×
3
5
=1.8m 答：点B 离开地面的距离为 1.8 m.
（2）解：过E 作 EF ⊥AC 交AC 、AB 于点F 、G.
∵∠EFA =∠EBG =90°,∠AGF =∠EGB ，∴∠GAF =∠GEB ，
∴tan ∠GEB =
GB EB =3
4
. ∵EB =2,∴BG =BE ⋅tan ∠GEB =2×
3
4
=1.5.∴EG =2.5. ∵EF =3.1，∴FG =EF −EG =0.6.
∴AG =
FG sin ∠BAC
=
0.6
0.6
=1，AB =1+1.5=2.5m. 答：AB 的长为2.5m.
3．【答案】（1）解：在Rt △ABC 中，∵AB ＝12，∠A ＝30°， ∴BC ＝ 1
2 AB ＝6，AC ＝ √
3 BC ＝6 √3 ， ∵四边形EFPQ 是矩形， ∴EF ∥BC ， ∴EF BC ＝ AE
AB ， ∴EF 6 ＝ 8
12 ， ∴EF ＝4
（2）解：①∵AB ＝12，AE ＝x ，点E 与点A 、点B 均不重合， ∴0＜x ＜12，
∵四边形CDEF 是矩形， ∴EF ∥BC ，∠CFE ＝90°， ∴∠AFE ＝90°，
在Rt △AFE 中，∠A ＝30°， ∴EF ＝ 1
2 x ，
AF ＝cos30°•AE ＝ √3
2 x ，
在Rt △ACB 中，AB ＝12， ∴cos30°＝ AC
AB ， ∴AC ＝12× √32 ＝6 √3 ，
∴FC ＝AC ﹣AF ＝6 √3 ﹣ √3
2
x ，
∴S ＝FC •EF ＝ 1
2 x （6 √
3 ﹣ √32 x ）＝﹣ √3
4
x 2
+3 √3 x （0＜x ＜12）；
②S ＝ √34
x （12﹣x ）＝﹣ √3
4
（x ﹣6）2+9 √3 ，
当x ＝6时，S 有最大值为9 √3
（3）解：①当0≤t ＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN ，
S ＝S 矩形EFPQ ﹣S △EMN ＝9 √3 ﹣ √32
t 2＝﹣ √3
2
t 2+9 √3 ．
②当3≤t ≤6时，重叠部分是△PBN ，
S ＝ √3
2
（6﹣t ）2
，
综上所述，S ＝ {
−
√32t 2+9√3(0≤t <3)
√32
(t −6)2
(3<t ≤6)
4．【答案】（1）解：连接OD ，交BE 于点H ，连接ED ，
∵D 是 BE
⌢ 的中点， ∴DE
⌢=DB ⌢ ， OD ⊥BE ，BH =EH ∴DE =DB ，∠DEB =∠DBE ∵AB 为直径，则∠ AEB =90° ∴∠BEC =90°
∴∠CBE +∠BCE =90° ， ∠BED +∠CED =90° ∴∠CBE +∠CED =90°
∴∠C=∠CED
∴DC=DE
∴DC=DB
∵OA=OB
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD // AC
∴∠DOB=∠CAB，∠ODB=∠C
∵∠CAB=80°，则∠DOB=80°
∴∠ODB=∠OBD=1
2
(180°−80°)=50°
又∠OBE=90°−80°=10°，
则∠DBE=∠OBD−∠OBE=50°−10°=40°（2）证明：由（1）得OD是△ABC的中位线，
∴OD=1
2AC=1
2
AB
∴AB=AC
（3）解：连接AC，
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
∵BC=12cm
∴CD=BD=1
2
BC=6cm
又AC=2OD=10cm
由勾股定理得，AD=√AC2−CD2=√102−62=8cm
∴sinC=AD
AC =8
10
=4
5
∴sin∠ODB=sin∠C=4
5
∴BH
BD =4
5
∴BH=4
5BD=24
5
∴BE =2BH =
485
cm.
5．【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点B （3，0），C （0，3）， ∴{−9+3b +c =0c =3 ，解得 {b =−2c =3 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x 2
+2x+3， ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， ∴顶点D 的坐标为（1，4）
（2）解：抛物线的对称轴为直线x=1， ∵点C 与E 点为抛物线上的对称点， ∴E （2，3），
作EH ⊥BC 于H ，如图1，
∵OC=OB ，
∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴∠OCB=45°，BC= √2 OB=3 √2 ， ∴∠ECB=45°，
∴△CHE 为等腰直角三角形， ∴CH=EH= √2
2 CE= √2 ， ∴BH=BC ﹣CH=2 √2 ，
在Rt △BEH 中，tan ∠EBH= HE
BH = √2
2√2
= 12 ， 即tan ∠CBE 的值为 1
2 ；
（3）解：直线x=﹣1交x 轴于F ，如图2，
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）∵A（﹣1，0），D（1，4），
∴AF=2，DF=4，
∴tan∠ADF= AF
DF = 1
2
，
而tan∠CBE= 1
2
，
∴∠CBE=∠ADF，
AD= √22+42 =2 √5，BE= √(3−2)2+32 = √10，BC=3 √2，当点M在点D的下方时，设M（1，m），
当DM
BE = DA
BC
时，△DAM∽△BCE，
即
√10 = √5
3√2
，解得m= 2
3
，
此时M点的坐标为（1，2
3
）；
当DM
BC = DA
BE
时，△DAM∽△BEC，
即
3√2 = √5
√10
，解得m=﹣2，
此时M点的坐标为（1，﹣2）；
当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，
综上所述，满足条件的点M坐标为（1，2
3
），（1，﹣2）
6．【答案】（1）解：∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：
①当△AMC∽△BOD时，AC
MC =BD
DO
=tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴AC
4
=2，解得AC=8；
②当△AMC∽△OBD时，AC
MC =BD
DO
=tan∠EOF=2，
∵MC=4，∴4
AC
=2，解得AC=2．故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似
（2）解：△ABO为直角三角形．理由如下：∵MC∥BD，∴△AMC∽△ABD，∴MC
BD =AM
AB
=AC
AD
，∠AMC=∠ABD，
∵M为AB中点，∴C为AD中点，BD=2MC=8．∵tan∠EOF=2，∴OD=4，∴CD=OC﹣OD=8，∴AC=CD=8．
在△AMC与△BOD中，{
AC=BD=8
∠ACM=∠BDO=90∘
CM=DO=4
，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，
∴△ABO为直角三角形
（3）解：连结BC，设OD=a，则BD=2a．∵S△AMC=S△BOC，S△AMC= 1
2
AC MC=2AC，S
△BOC = 1
2
OC BD=12a，
∴2AC=12a，
∴AC=6a．
∵△AMC∽△ABD，
∴MC
BD =AC
AD
，即4
2a
=6a
6a+12−a
，
解得a1=3，a2=﹣4
3
（舍去），
∴AC=6×3=18．
7．【答案】（1）解：∠B=90°，∠MCN=90°，∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，{
AC=BC
∠ACM=∠BCN MC=NC
△MAC≌△NBC，
∠NBC＝∠MAC=90°，
又∠ACB=90°，∠EAC=90°，∠NDE=90°
（2）解：不变，
在△MAC和△NBC中，{
AC=BC
∠ACM=∠BCN MC=NC
△MAC≌△NBC，
∠N＝∠AMC，
又∠MFD＝∠NFC，
∠MDF＝∠FCN＝90°，即∠NDE＝90°；（3）解：如图4，作GK⊥BC于K，
∠EAC=15°，∠BAD＝30°．
∠ACM＝60°，
∠GCB＝30°，
∠AGC＝∠ABC+∠GCB=75°,
∠AMG＝75°，AM=AG，
△MAC≌△NBC，∠MAC＝∠NBC，
∠BDA=∠BCA=90°,
BD= √6+√2
2
，AB= √6+√2
AC=BC= √3 +1，
设BK=a，则GK=a，CK= √3 a，
a+ √3 a= √3 +1，
a=1，KB=KG=1，BG= √2，
AG= √6 ,AM= √6．
8．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．
∴DG
BF =AG
AF
，EG
CF
=AG
AF
∴DG
BF =EG
CF
∵BF=CF，
∴DG= EG．
（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，
∴CE=CD=6．
∵AE=3，
∴AC=AE+CE=9．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴DE
BC =AE
AC
=1
3
（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，
BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．
∵EG∥BD，
∴由(1)得ME=GE，
∵EF⊥EG，
∴FM=FG=10，
∴∠EFM=∠EFG．
∵∠EGF=40°，
∴∠EFG=50°．
∵FG平分∠EFC，
∴∠EFG=∠CFG=50°，
∴∠BFM= 180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．
∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=5 √3，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，
∴BN= MN=5，
∴BF=BN+FN=5+ 5√3．
9．【答案】（1）90
（2）解：∵△ABC≌△DBE，∴BA=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，∴BA
BC =BD
BE
．∵∠ABD=∠CBE，∴△ABD∽△CBE，
∴S△ABD
S△CBE
=（AB
BC
）2= 16
25
．∵S△ABD=4，∴S△CBE= 25
4
（3）解：∵M是AB的中点，∴BM= 1
2
AB=2．如图③，过点B作BF⊥AC，F为垂足．
∵△ABC为锐角三角形，∴点F在线段AC上．在Rt△BCF中，BF=BC×sin45°= 5√2
2
，以B为圆心，BF为
半径画圆交AB于G，BP'有最小值BG，∴MP'的最小值为MG=BG﹣BM= 5√2
2
﹣2，以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H，BP'有最大值BH．此时MP'的最大值为BM+BH=2+5=7，∴线段MP'的最大值为7，最小
值为5√2
2
﹣2．
10．【答案】（1）解：过点F作FN∥AB交BD于点N，如图1，
∴△EBG ∽△FNG ，△DNF ∽△DBA ∴DF
DA =NF
BA ,
∵矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6， ∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝6 ∴BD ＝ √AB 2+AD 2=10 ， DF
6=NF 8
∴DF
NF =3
4 , ∵BE ＝2，DF ＝BE
∴AE ＝AB+BE ＝8+2＝10，AF ＝AD ﹣DF ＝6﹣2＝4 ∴EF ＝ √AE 2+AF 2=√102+42=2√29 ∵△EBG ∽△FNG ∴EG
FG =BE
NF =DF
NF =3
4 , ∴EG ＝ 3
7 EF ＝ 6√29
7
（2）解：
tan ∠1tan ∠2
的值不变.
过点G 作GP ⊥AD 于点D ，GQ ⊥CD 与点Q ，如图2，
∴四边形PDQG 是矩形 ∴PG ＝DQ ，DP ＝QG
设DF ＝BE ＝a ，则AF ＝6﹣a ，AE ＝a+8 ∵GP ∥AE ∴△PGF ∽△AEF
由（1）得EG ＝ 3
7 EF ，即 FG
FE =4
7
∴PF AF =PG AE =FG FE =4
7
∴PF ＝ 47 AF ＝ 47 （6﹣a ），PG ＝ 47 AE ＝ 4
7 （a+8） ∴CQ ＝CD ﹣DQ ＝CD ﹣PG ＝8﹣ 47 （a+8）＝ 247−4
7a ， QG ＝DP ＝DF+PF ＝a+ 47 （6﹣a ）＝ 247+3
7a , ∴tan ∠1＝ QG
CQ =247+3
7a 247−47
a =
24+3a 24−4a
=34
⋅
8+a
6−a
，tan ∠2＝ PG
PF =4
7（a+8）4
7
（6﹣a ）=
8+a 6−a
，
∴
tan ∠1tan ∠2
=34
为定值.
（3）解：①若DG ＝DC ＝8，如图3，过点G 作GM ∥AD 交AB 于点M
∴BG ＝BD ﹣DG ＝2， BM BA =
GM DA =BG BD =1
5
∴BM ＝ 1
5 BA ＝ 8
5 ，GM ＝ 1
5 DA ＝ 6
5 设BE ＝x ，则AE ＝8+x ，EM ＝BE+BM ＝x+ 8
5 ∵GM ∥AF ∴EM EA =EG EF =3
7 ∴
x+
8
5
8+x =37
解得：x ＝ 16
5
②若CG ＝CD ＝8，如图4，
过点G 作GM ⊥AE 于点M ，过点C 作CN ⊥BD 于点N ∵DN ＝ 45 DC ＝ 32
5
∴DG ＝2DN ＝ 64
5
∴BG ＝DG ﹣BD ＝ 64
5−10=
145
设BE ＝DF ＝x ，则AF ＝DF ﹣AD ＝x ﹣6 ∵GM ∥AF ∴GM
AF =EG
EF =3
7 又∵BG
GM =5
3
∴BG ＝ 5
3 GM ＝ 5
3⋅3
7 AF ＝ 5
7 （x ﹣6） ∴5
7 （x ﹣6）＝ 14
5 解得：x ＝ 248
25
③若CG ＝DG ，设EF 与BC 交于点R ∴BG ＝DG ＝CG
∴△BGR ≌△DGF （AAS ） ∴BR ＝DF ＝BE ，不成立 ∴CG 不能与DG 相等
综上所述，当BE ＝ 16
5 或时，△DCG 为等腰三角形 11．【答案】（1）115°
（2）解：①如图1，∠B ＝∠D ＝90°时，延长AD ，BC 交于点E ，
∵∠DAB ＝60°， ∴∠E ＝30°， 又∵AB ＝4，AD ＝3
∴BE ＝4 √3 ，AE ＝8，DE ＝5， ∴CE =
DE cos30
°
=5
cos30
°
=10√3
3 ， ∴BC ＝BE ﹣CE ＝
4 √3 ﹣ 10√33
=
2√33
，
∴AC =√AB 2+BC 2 ＝ √42+(2√33
)2 ＝
2√39
3
， ②如图，∠A ＝∠C ＝60°时，过D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于点F ，
∵∠DAB ＝∠BCD ＝60°， 又∵AB ＝4，AD ＝3， ∴AE =3
2 ，DE ＝BF ＝ 3√3
2
， ∴BE =DF =5
2 ，
∴CF =DF ⋅tan30°=5
2×√3
3
=
5√3
6
，
∴BC ＝CF+BF ＝
5√36+3√3
2
=
7√33
，
∴AC =(7√33)＝ √291
3 ，
综合以上可得AC 的长为
2√393 或 √291
3
． （3）解：∵A （﹣2，0）、C （2，0）、B （﹣1，﹣ √3 ）， ∴AB ＝2，BC ＝2 √3 ，AC ＝4， ∴AB 2
+BC 2
＝AC 2
， ∴∠ABC ＝90°， ∵AD ＝CD ，AB ≠BC ， ∴∠BAD ≠∠BCD ，
∵四边形ABCD 是“等对角四边形” ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°， ∴D （0，2）
∵抛物线y ＝ax 2
+bx+c 过点A （﹣2，0）、D （0，2）， ∴{4a −2b +c =0
c =2 ，
解得：c ＝2，b ＝2a+1，
∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+（2a+1）x+2，
若x ＝2时，函数y ＝ax 2+（2a+1）x+2取得最大值为3， ∴4a+4a+2+2＝3， ∴a ＝﹣ 1
8 ，
此时抛物线的对称轴为x ＝3， ∴a =−1
8 满足题意，
若二次函数y ＝ax 2+（2a+1）x+2在顶点取得最大值3，则有：
8a−(2a+1)2
4a
=3 ，
解得：a ＝﹣1+ √3
2
或a ＝﹣1﹣ √3
2
，
当a ＝﹣1+ √3
2
时，对称轴在直线x ＝2的右侧，不合题意，舍去，
∴a =−1−√3
2
，
综合以上可得a＝﹣1
8或﹣1﹣√3
2
．
12．【答案】（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为CE
⌢的中点，
∴CD
⌢=ED⌢，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD//BE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵AD//CE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DG//CE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝BF
EF
，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝√CE2+BE2=10，∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝BE
BC =6
10
=3
5
，
∴sinA＝sin∠ECB＝3
5
，
在Rt△AOD中，sinA＝OD
OA =3
5
，OD＝5，
∴OA＝25
3
，
∴AC＝OA﹣OC＝10
3
．
13．【答案】（1）证明：如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，
∴OP⊥CP于点P，
又∵BQ⊥CP于点Q，
∴OP∥BQ，
∴∠OPB=∠QBP，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∴∠QBP=∠OBP，
又∵PE⊥AB于点E，
∴PQ=PE；
（2）解：如下图2，连接OP，∵CP切⊙O于P，
∴∠OPC=∠OPQ=90°
∴∠C+∠COP=90°
∵PD⊥AB
∴∠PEO=∠AEF=∠BEF=90°
∴∠EPO+∠COP=90°
∴∠C=∠EPO
在Rt ΔFEA中,∠GAB=30°
∴设EF=x，则AE=EF÷tan30°=√3x 在Rt ΔFEB中,tan∠BFE=3 √3
∴BE=EF·tan∠BFE=3√3x
∴AB=AE+BE=4√3x
∴AO=PO=2√3x
∴EO=AO−AE=√3x
∴在Rt Δ PEO中, sin∠EPO=EO
PO =1
2
∴∠C=∠EPO= 30°
（3）解：如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于K，又BQ⊥CP，
∴∠OPQ=∠Q=∠OKQ=90°，
∴四边形POKQ为矩形，
∴QK=PO,OK//CQ，
∴∠C=∠KOB= 30°，
∵⊙O 中PD⊥AB于E ，PD=6 √3，AB为⊙O的直径，
∴PE= 1
2
PD= 3 √3，
根据(2)得∠EPO=30°，在Rt Δ EPO中，cos∠EPO=PE
PO
，
∴PO=PE÷cos∠EPO=3√3÷cos30°=6，
∴OB=QK=PO=6，
∴在Rt ΔKOB中，sin∠KOB=KB
OB
，
∴KB=OB⋅sin300=6×1
2
=3，
∴QB=9，
在△ABG中，AB为⊙O的直径，
∴∠ AGB=90°，
∵∠ BAG=30°，
∴BG=6，∠ ABG=60°，
过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，∴BN=BQ·cos∠GBQ=3，GN=BQ·sin∠GBQ= 3√3，
∴QN=QB+BN=12，
∴在Rt△QGN中，QG= √122+(3√3)2=3√19，
∵∠ABG=∠CBQ=60°，
∴BM是△BQG的角平分线，
∴QM：GM=QB：GB=9：6，
∴QM= 9
15×3√19=9√19
5
.
14．【答案】（1）C
（2）解：过点D作DF⊥AC于点F,
∴∠AFD=90°∵∠DAC=30°，∴AD=2DF，
∵AD为中线
∴BC=2CD
∵BE⊥AC
∴BE∥DF
∴CD
BC =DF
BE
=1
2
∴BE=2DF
∴BE=AD.
（3）解：作直径AE，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F,
∴∠ADE=90°
∴∠AED+∠DAE=90°
∵AB是切线
∴BA⊥AE，
∴∠BAD+∠DAE=90°
∴∠AED=∠BAD
∵弧AD=弧AD，
∴∠AED=∠BCA
∴∠BAD=∠BCA
∵∠ABD=∠CBA ∴△ABD∽△CBA
∴AB
BC =BD
AB
=AD
AC
∴AB2=BD·BC=2BD2
∴AB=√2BD，
∵AD=BE
AC=√2AD=√2BE，
∵BE=2DF，CF=EF
设DF=x，则BE=AD=2x，AF=√3x ∴AC=2√2x，
∴CF=EF=AC-AF=(2√2−√3)x
∴AE=AF-EF=2(√3−√2)x，
∵NE∥DF
∴△ANE∽△ADF
∴AN
AD =AE
AF
即AN
AD
=√3−√2)x
√3x
=6−2√6
3
∴S△ABN
S△ABD =AN
AD
=6−2√6
3
∵S△ABD=1
2
S△ABC
∴S△ABN
1
2
S△ABC
=6−2√6
3
∴S△ABN
S△ABC =3−√6
3
.
答：△ABN与△ABC的面积之比为3−√6
3
.
15．【答案】（1）3√3
2
；30°
（2）解：∵P为AC中点，
∴AP=PC=AB=3，
∴∠ABP=∠APB=∠BAP=60°，
在Rt △ABF 和Rt △PBF 中，AB=BP ，BF=BF ， ∴Rt △ABF ≌Rt △PBF ， ∴AG=PG ，∠AGB=∠PGB=90°， ∴BF 垂直平分AP ，
在Rt △BFP 中，∠PBF=30°，BP=3， ∴PF=tan30°×3= √3 ， ∵H 为PF 中点， ∴GH 为Rt △PGF 的中线， ∴GH= 1
2 PF= √3
2
;
（3）解：①∠FBP=30°， 过P 作PN ⊥BC 交AD 于M ， ∵∠PBN=∠FPM ，∠BPN=∠PFM ， ∴△FMP ∽△PNB ，
设CP=x ，则PN= x
2 ，NC= √3
2
x ，MP=3- 1
2 x ，BN=
3 √3 - √3
2
x ，
∴tan ∠FBP= FP BP = MP
BN = √3
3
，
∴∠FBP=30°；
②（i ）若AF=FP ，则∠FPA=∠FAP=30°， ∴AB=BP ，且△ABP 为等边三角形， ∴BF 为△ABP 垂直平分线， ∴AB=BP=3，即x=3；
（ii ）若AP=FP ，则∠APF=120°＞90°（舍去）；
（iii ）若AP=AF ，则∠CBP=∠CPB=75°，BC=PC ，此时x=3 √3 . 16．【答案】（1）解： EA +EB =√2EC （2）解：不成立， EB −EA =√2EC ． 证明：如图2，在BE 上截取BF ＝AE ，连接CF ，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠BAC﹣∠ABE＝90°﹣45°﹣∠BAD＝45°﹣∠ABE，∵∠CBF＝∠ABC﹣∠ABE＝45°﹣∠ABE，
∴∠CBF＝∠CAE，
∵BF＝AE，BC＝AC，
∴△CBF≌△CAE（SAS），
∴CF＝CE，∠BCF＝∠ACE，
∵∠ACE+∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴在Rt△ECF，EF=√CE2+CF2=√2CE2=√2CE，
∵EF＝EB﹣BF＝EB﹣EA，
∴EB−EA=√2EC．
（3）解：tan∠ADC=√2−1或√2+1
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