路与路及路与圈笛卡尔积图的树核度

路与路及路与圈笛卡尔积图的树核度
张婷;朱恩强
【摘要】Using the combined method,we investigated the tree-coritivity of Cartesian products graphs of path and path,and path and cycle.In particular,we gave the exact value of tree-coritivities for Cartesian products of path and path,and path and cycle,and characterized a relation between the tree-coritivity of Cartesian product and that of its original graphs.%利
用组合的方法研究路与路、路与圈笛卡尔积图的树核度。

特别地，给出了路与路、路与圈笛卡尔积图树核度的精确值，并刻画了笛卡尔积图树核度与原图树核度间的关系。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2016(054)004
【总页数】5页(P759-763)
【关键词】树核度;树核;笛卡尔积;路;圈
【作者】张婷;朱恩强
【作者单位】兰州文理学院师范学院，兰州 730010;北京大学信息科学技术学院，北京 100871
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
图的连通性是用来描述图的基本属性之一, 而刻画图连通性的参数为图的连通度(包括边连通度)[1-3]. 但实际存在许多图, 它们的连通性不同, 而连通度相同[4], 因而需要其他参数进一步衡量图的连通程度. Chvtal[5]提出了图的坚韧度概念, 并说明坚韧度越大的图连通性越好; Jung[6]为了研究图的Hamilton问题提出了图的离散数; Shih等[7]证明了任意图的离散数≤该图的最小路覆盖数; 欧阳克智等[8]给出了图的断裂度概念; 许进等[9]将图的相对断裂度称为图的核度, 并将其推广到可靠通讯网络、神经网络、社会心理学以及网络图的连通性等领域; Zhang等[10]证明了图的离散数可以用来衡量图的脆弱性; Wu等[11]将图的离散数应用到求解社交网络中影响最大化问题. 考虑判定一个图的坚韧度是否为1的问题是coNP-完全的[12], Broersma等[13]研究表明，判断一个图的离散数是否为0的问题也是coNP-完全的, 并给出了求解区间图离散数的线性时间算法; 文献[14-17]也得到了图离散数研究的相关结果.
除了图的坚韧度和离散数外, 还有许多其他参数, 如图的完整度[18]、图的韧性度[19]及图的毁度[20]等. 朱恩强等[21]在图离散数的基础上, 提出了树核度的概念刻画图的连通性. 因为存在一些连通性不同的图, 它们具有相同的离散数, 但树核度却不同[21], 从而图的树核度可以用来进一步衡量这些图的连通性. 文献[21]证明了求图的树核度是NP-完全的, 并刻画了图树核度的界, 以及一些特殊图类的树核度. 本文主要考虑笛卡尔积图的树核度, 给出了路与路、路与圈积图的树核度的精确值. 本文所涉及图的定义都是标准的, 且只考虑简单无向图, 未说明的定义与符号可参见文献[22]. 对于图G, V(G),E(G)分别表示G的顶点集和边集, ω(G)表示图G中连通分支的个数, Δ(G),δ(G)分别表示G的最大度与最小度. 对于G中任意顶点v, dG(v)表示v在G中的度数. 对于V(G)的子集V′, 若G-V′不连通, 则称V′为G的顶点割. 特别地, 如果G-V′不含圈, 则称V′为G的破圈割. 设H是图G的一个子图, 如果V(H)=V(G), 则称H是G的一个生成子图.
定义1[21] 对于非完全图G, 令B(G)表示G中所有破圈割构成的集合, 则称
为图的树核度. 若∈C(G)满足
则称为图G的树核. n-阶完全图Kn树核度定义为2-n, 其中任意含有n-1个顶点的子集都是它的一个树核.
由树核度的定义容易验证：除K2外, 树(或森林)的树核度大于0, 即若一个阶数大于3的图的树核度≤0, 则该图必含圈.
对于简单图G, 设S⊆V(G), 若S中的任意两个顶点在G中均不相邻, 则称S为G的一个独立集. 如果G中不存在其他的独立集S′使得, 则称S为G的一个最大独立集. G的最大独立集所含的顶点个数称为G的独立数, 用α(G)表示.
令G1,G2为点不交的两个图,
G1与G2的笛卡尔积记作G1□G2, 是指顶点集为V(G1)×V(G2), 两个顶点(ui,vj),(ui ′,vj′)相邻当且仅当vj=vj′, uiui ′∈E(G1), 或ui=ui ′, vjvj′∈E(G2). 用分别表示G1□G2的n个子图, 其中:
显然≅ G1, j=1,2,…,n.
引理1[21] 设H是G的生成子图, 则
引理2[21] 设G是一个n-阶简单图, 则
引理3[23] 设Pm,Pn分别表示阶数为m和n的路, 则α(Pm□Pn)=.
定理1 设Pm,Pn分别表示阶数为m和n的路, m,n≥2, 则
证明: 由引理2和引理3, 有
当n=2时, 容易验证ht(Pm□P2)=0, 且Pm□P2的任意树核是恰含m个顶点的独立集. 令是Pm□Pn的一个树核, 并记(j=1,2,…,n). 考虑如下两种情形.
情形1) mn≡0(mod 2). 不失一般性, 令n是偶数, 则
此时结论成立.
情形2) mn≡1(mod 2). 一方面, 有
另一方面, 令
显然, 是Pm□Pn的一个破圈割, 且
所以ht(Pm□Pn)≥1.
综上, 当mn≡1(mod 2)时, ht(Pm□Pn)=1, 且是Pm□Pn的一个树核.
下面考虑Cm□Pn的树核度.
引理4 设Cm是阶数为m的圈, m≥3, 则
证明: 因为Pm□P2是Cm□P2的生成子图, 故由引理1和定理1, 有
当m为偶数时, 令
则从而
故此时ht(Cm□P2)=0, 且是Cm□P2的一个树核.
当m为奇数时, 若ht(Cm□P2)=0, 令是它的一个树核, 并令(i=1,2). 则
表明是独立集, 且m/2(i=1,2). 此外, 若ht(Cm□P2)=0, 则必有
即
从而m/2, 矛盾. 故ht(Cm□P2)≤-1. 令
则是Cm□P2的一个破圈割, 且从而
故此时ht(Cm□P2)=-1, 且是Cm□P2的一个树核.
定理2 设Cm,Pn分别表示阶数为m和n的圈, 3≤m≤n, 则
证明: 分两种情形讨论.
情形1) m为偶数. 因为Pm□Pn是Cm□Pn的生成子图, 故由引理1和定理1, 有另一方面, 令
显然, 是Cm□Pn的一个破圈割, 且
从而ht(Cm□Pn)=0.
情形2) m为奇数. 令是Cm□Pn的一个树核, 并令(i=1,2,…,n). 结合引理4, 当n为偶数时,
当n为奇数时,
另一方面, 令
显然, 是Cm□Pn的一个破圈割, 且
从而ht(Cm□Pn)=-n/2.
定理3 令G1和G2分别表示阶数为m和n的连通图, 则
ht(G1□G2)≤min{nht(G1),mht(G2)}.
证明: 令S*为G1□G2的一个树核, 并令(j=1,2,…,n). 根据树核度的定义, 对于任意的j∈{1,2,…,n}, 有
又因为
从而有
同理可证ht(G1□G2)≤mht(G2), 从而结论成立.
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