函数的对称性和周期性结论总结
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性常见结论函数周期性的定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f(x)的图像中，任意两点(x，f(x))和(x+T，f(x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。
函数周期性重要说明(1)周期函数的定义域一定是无限集；(2)由周期函数的定义可知，0不能作为函数的周期；(3)如果T是f(x)是它的一个周期，那么-T也是f(x)的周期，即周期可以为负值；(4)如果T是f(x)是它的一个周期，那么nT也是f(x)的周期，即周期函数有无数个周期；(5)如果f(x)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期；(6)周期函数f(x)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数；函数对称性函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需分析函数一侧的性质即可，从而得到整个函数的性质。
主要体现在以下几点：(1)函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称；(2)可利用对称性求得某些点的函数值；(3)在作图时，只需要作出一侧的图像，另外一侧利用对称性即可画出；(4)极值点关于对称轴或者对称中心对称；(5)在轴对称的函数中，关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的；在中心对称的函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。
轴对称函数轴对称的定义：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
中心对称函数中心对称定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
(完整版)函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2b a x +=。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。
设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ (9) )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=4(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。
新人教版高考数学一轮复习对称性与周期性的二级结论
故f(x)=0在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知在[0,2 023]上有406个解,在[-2
023,0]上有404个解.所以方程f(x)=0在闭区间 −2 023,2 023 上根的个数为810.
复习导学案
培优增分 拓展提升课三
对称性与周期性的二级结论
2
【结论总结】
一、函数的对称性相关结论
1.同一个函数的自身对称
结论❶:若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)或f(x)=f(a+b-x),则函数y=f(x)的图象关于直
+
线x= 对称.
2
[说明]轴对称问题:
( + ) = (−)
2
结论❹:函数y=f(x)与y=-f(2a-x)+2b的图象关于点A(a,b)成中心对称.
5
二、函数周期性的结论
1.函数周期性的常用结论
结论❺:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;
结论❻:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;
结论❼:若f(x+a)+f(x)=c(a≠0),则f(x)的一个周期为2a;
结论❽:若f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),则f(x)的一个周期为6a;
结论❾:若f(x+a)=
1
()
结论
:若f(x+a)=-
,则f(x)的一个周期为2a;
1
()
,则f(x)的一个周期为2a.
6
2.由对称性推得周期
结论
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
(完整版)常见函数对称性和周期性
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=。
函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中,1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如()()a x b x a b ++-=+,说明f x ()的图像具有对称性,其对称轴为2b a x +=; 2等式两端的两自变量部分相减得常数,如()()x a x b a b +--=+,说明 fx 的图像具有周期性,其周期T=a +b ;设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律1)()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ 1)()(x a f x a f -=+ a x =⇒2)()(a x f x f += a T =⇒ 2)()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ 3)()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 3 )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ 4)(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ 4 )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ 5)(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ 5 )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ 61)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ 7 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ 8 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ 9 )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ 10 )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒11 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=212 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=213 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=414 若偶函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=2a15 若奇函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称,则fx 为周期函数且T=4a16 若奇函数y=fx 满足fx+T=fx x ∈R,T ≠0,则f 2T =0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = fxx ∈R 满足f 5+x = f 5－x ,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形例2. 已知函数y = fxx ∈R 满足fx+5= fx －5,问：y = fx 是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形定理1：如果函数y = fxx ∈R 满足)()(x a f x a f -=+,那么y = fx 的图像关于直线x a=对称;证明：设点()P x y 00，是y = fx 的图像上任一点,点P 关于直线x =a 的对称点为Q,易知,点Q 的坐标为()200a x y -，;因为点()P x y 00，在y = fx 的图像上,所以f x y ()00=于是()()[]()[]()000002y x f x a a f x a a f x a f ==--=-+=-所以点()Q a x y 200-，也在y = fx 的图像上;由P 点的任意性知,y = fx 的图像关于直线x =a 对称;定理2：如果函数y = fxx ∈R 满足fa +x = fb －x ,那么y = fx 的图像关于直线x a b =+2的对称; 定理3：如果函数y = fxx ∈R 满足fx +a = fx －a ,那么y = fx 是以2a 为周期的周期函数;证明：令x a x -=',则x x a x a x a =++=+''，2代入已知条件()()f x a f x a +=-得：()()f x a f x ''++2根据周期函数的定义知,y = fx 是以2a 为周期的周期函数;定理4：如果函数y = fxx ∈R 满足()()f x a f x b +=-,那么y = fx 是以a b +为周期的周期函数;。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
完整版)常见函数对称性和周期性
完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。
即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。
推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。
2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。
3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。
4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。
5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。
推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。
三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。
2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。
函数对称性周期性结论
函数对称性周期性结论
函数对称性周期性结论（Function Symmetry Periodicity Theorem）是指在数学函数理论中，一般情况下当函数的图像具有对称性时，该函数的周期性也同样成立。
这一定理适用于任何一个函数，无论它是可导数、可积分、在复平面上，甚至是复数函数。
换句话说，函数对称性周期性结论认为，如果一个函数具有左右对称性，或者其图像具有旋转对称性，那么该函数就是周期函数。
具体来说，此结论指出，若一函数f(x)具有左右对称性，即存在常数a 使得f(x + a) = f(-x + a)，则f(x)必然具有周期性；若该函数具有旋转对称性，即存在常数b使得f(x + b) = f(b - x)，则f(x)也必然具有周期性。
这一结论可以进一步引出反函数、导数和积分存在对称性的周期性结论。
换句话说，即假定某个函数f(x)具有左右对称性，或旋转对称性，它的反函数、导数和积分，一定也都有相应的周期性特征。
此外，函数对称性周期性结论还推导出另外一条重要结论，即具有左右对称性的函数，只要它的对称轴不穿越原点，它的导数和积分也能满足相应的对称性周期性结论。
函数对称性周期性结论的实际应用场景主要集中在图像处理、音频处理、信号处理等众多领域，用于检测和生成规律性的数学函数、复数函数的图像平面及其他特征。
总之，函数对称性周期性结论可以帮助我们将数学函数的对称性、周期性等定性特征进行定量分析，具有重要的理论意义和实际应用价值。
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。
这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。
本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。
一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。
二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。
完整版)函数的周期性与对称性总结
完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。
2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。
如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。
2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。
3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。
4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。
5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。
6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。
7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。
8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。
(完整版)对称性和周期性性质总结
函数の对称性和周期性一、几个重要の结论（一）函数图象本身の对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。
4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。
5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。
6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。
我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。
那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一 函数的对称性1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。
2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。
3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy cos =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。
4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f-=+，则其图象关于直线对称。
5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。
6、曲线()x f y=关于直线a x =与b x =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。
2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。
3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。
4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。
二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y =是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()x a f+=f(x )1,则()x f y=是以 为周期的函数；3、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x )1-,则()x f y=是以 为周期的函数.4、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f=++，则()x f y=是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 则 是f(x)的一个周期.(a≠b)例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A. 1-=xB. 1=x C . 21-=x D. 21=x 2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么 A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
函数点对称线对称及周期总结
函数点对称线对称及周期总结
称。
函数对称性和周期性是高中数学中的重要内容。
首先，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定
义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数
y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
其次，对于函数y=f(x)，如果满足以下条件，就说这个函
数具有对称性：偶函数关于y轴对称，偶函数有关系式f(-
x)=f(x)；奇函数关于原点对称，奇函数有关系式f(x)+f(-x)=0.
这些关系式还可以进行拓展，例如函数y=f(x)关于x=a对称的
条件为f(a+x)=f(a-x)，可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)的
形式。
同样地，函数y=f(x)关于点(a,b)对称的条件为f(a+x)+f(a-x)=2b，也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b的形式。
最后，需要注意的是，函数自身不可能关于y=b对称，因为这样就不符合函数的定义了。
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函数的对称性和周期性结论总结
函数是数学中最基础的概念，它是描述两个数量之间关系的方程。
函数的对称性和周期性是函数的重要性质，它们的研究可以帮助我们理解更多有关函数的属性。
本文综述了函数的对称性和周期性的结论，以及它们在实际应用中的重要性。
首先，让我们看看函数的对称性。
函数的对称性是指函数的曲线在某些特定的平行线上具有相同的形状，或者说函数曲线具有对称性。
函数的对称性可以分为三类：对称、半对称和反对称。
称类型的函数具有正负对称性，这意味着函数的曲线在直线上的形状是完全一样的。
半对称的函数具有正值或负值的对称性，这意味着函数的曲线在正负一侧的形状是一样的。
反对称的函数具有不正或不负的对称性，这意味着它的曲线在正负一侧的形状是不一样的。
因此，函数的对称性是指函数曲线在一些特定的平行线上具有特定的形状特性。
其次，让我们看看函数的周期性。
函数的周期性是指函数曲线在某一特定的时间间隔内重复出现的性质。
一般情况下，函数的周期性可以用来表示这个时间间隔中某些特征的变化。
一般来说，函数的周期性也可以用来描述函数曲线在一定时间内变化的情况。
函数的周期性主要包括正弦周期性、余弦周期性、正弦余弦和正弦角周期性。
正弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如正弦函数曲线一样，产生正弦波形。
余弦周期性是指，函数曲线在特定间隔内变化如余弦函数曲线一样，产生余弦波形。
正弦余弦型是指，函数曲线同时包含正弦和余弦波形，在特定间隔内变化如正弦余弦数列一样。
正弦角周期
性的特点是，函数曲线在特定间隔内变化如正弦角函数一样，产生正弦角波形。
最后，让我们看看函数对称性和周期性在实际应用中的重要性。
函数对称性和周期性都在很多领域中有广泛的应用，如物理学、机械工程和电子信息等。
物理学中，函数的对称性和周期性可用于研究力学系统的运动，从而有助于我们更好地理解动力学中的某些问题。
在机械工程中，函数的对称性和周期性对计算机的性能也有很大的影响，可以帮助我们更好地把握计算机的运行状态。
在电子信息领域，函数的对称性和周期性也可用于研究电子信息系统，可以帮助我们更好地了解信号处理的原理。
此外，函数的对称性和周期性还可以用于分析某些函数的特性，从而使它们在实际应用中更好地发挥作用。
综上所述，函数的对称性和周期性都是关键的性质，它们的研究可以帮助我们理解函数的特征，从而在实际应用中更好地发挥作用。
函数的对称性可以分为三类：对称、半对称和反对称；而函数的周期性则有四类：正弦周期性、余弦周期性、正弦余弦和正弦角周期性。
函数的对称性和周期性可以用于研究计算机的运行状态、电子信号处理的原理和力学系统的运动等，从而为把握这些系统的运行规律提供了可靠的理论依据。