七章非平稳时间序列
非平稳时序 计量经济学 EVIEWS建模课件
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确定性趋势过程中的趋势可以是线性的也可以是 非线性的，如：Yt = β0 +β1t + εt；Yt = β0 +β1t + β2t2 + εt； Yt = β0 +β1t + β2t2 + β3t3 + εt等等。
对于线性趋势模型而言，其均值是时间的线性函 数，方差是固定的常数，具体形式如下：
在社会经济现象中，多数是非平稳过程。但是它 们经过一、两次的差分之后，基本上就可以转化为平 稳的序列了。
ARIMA(p,d,q) 的不同表现形式： ⑴当p＞0、d＝0、q = 0时，为AR(p)过程； ⑵当p = 0、d＞0、q = 0时，为I(d)过程； ⑶当p = 0、d＝0、q＞0时，为MA(q)过程； ⑷当p＞0、d＝0、q＞0时，为ARMA(p,q)过程； ⑸当p＞0、d＞0、q = 0时，为ARI(p,d)过程； ⑹当p＝0、d＞0、q＞0时，为IMA(d,q)过程； ⑺当p＞0、d＞0、q＞0时，为ARIMA(p,d,q)过程；
⒈AR(p)过程中的平稳条件是p个自相关系数及 其各系数之和都要小于1；
⒉MA(q)过程的平稳条件是q个移动平均系数及 其各系数之和都要小于1；
⒊当基础模型中的上述两类系数有大于等于1 的时候，就会使时序的变化趋势不平稳。
㈡ 单位根过程
将AR⑴模型写成自回归的形式：A(L)Yt=εt；其 中滞后多项式为A(L)=1- α1L的特征根，即1- α1L=0的 根为L=1/α1；存在单位特征根的过程就叫单位根过程， 对其理解可以从如下两个方面着手：
非平稳时间序列概述
非平稳时间序列概述非平稳时间序列是指其统计特性在不同时间上发生了变化的时间序列数据。
与平稳时间序列不同，非平稳时间序列在时间上存在趋势、季节性、周期性等变化。
这些变化使得序列的平均值、方差和协方差随着时间的推移而变化，从而使得非平稳时间序列的分析和预测更加复杂。
非平稳时间序列的主要特点包括以下几个方面：1. 趋势性：非平稳时间序列在长期内呈现出明显的趋势变化。
例如，股票价格在长期内可能会呈现上升或下降的趋势。
2. 季节性：非平稳时间序列在特定的时间段内存在周期性波动。
例如，零售销售额可能会在节假日季节出现明显的周期性增长。
3. 周期性：非平稳时间序列可能呈现出长期的周期性波动。
例如，经济增长率可能会在数年或数十年内出现周期性的波动。
4. 自相关性：非平稳时间序列的自相关性通常不会随着时间的推移而衰减。
这使得使用传统的时间序列分析方法变得困难。
非平稳时间序列的分析和预测需要使用特殊的技术和方法。
常用的方法包括差分法、季节性调整、趋势拟合、转换等。
差分法可以通过对序列的差分来消除趋势性和季节性，使得序列变得平稳。
季节性调整可以通过季节性分解或回归模型来消除季节性效应。
趋势拟合可以使用线性回归、移动平均或指数平滑等方法来拟合趋势。
转换可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，例如取对数、平方根等。
非平稳时间序列的分析和预测对于许多领域的决策非常重要，如经济学、金融学、工程学等。
准确理解和预测非平稳时间序列的变化趋势可以帮助我们做出合理的决策，优化资源配置，提高效率和盈利能力。
非平稳时间序列的分析和预测在许多领域中具有重要的应用价值。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学：非平稳时间序列分析在宏观经济学中具有重要意义。
经济指标如GDP、通货膨胀率、失业率等往往呈现出明显的趋势和周期性变化。
对这些经济指标进行分析和预测有助于了解经济发展的趋势和周期，以及制定相应的经济政策。
2. 金融学：金融市场中的价格、交易量、股票收益等数据通常呈现出较强的非平稳性。
(6)141非平稳时间序列的概念讲解
(14.1.2)
(14.1.2)式表明yt的均值不随时间的变化而变化。
为了求出yt的方差，我们将(14.1.1)式进行一系列的迭代：
yt = yt-1 +来自ut= yt-2 + ut-1+ ut
= yt-3 + ut-2+ ut-1+ ut
= y0+ u1+ u2+…+ ut
y0 ui
§14.1 非平稳时间序列基本概念
时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随
着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数
据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要
宽平稳的三个条件不全满足，则该时间序列便是非
平稳的。当时间序列是非平稳的时候，如果仍然应
用OLS进行回归，将导致虚假的结果或者称为伪回归。
△yt = yt–yt-1 = ut
稳的。
（14.1.5）
（14.1.5）式表明随机游走序列的一阶差分式是平
2.带漂移项的随机游走（random walk with drift）序列 带漂移项的随机游走序列由下式确定： yt = μ+ yt-1 + ut （14.1.6）
式中μ为非零常数，称之为“漂移项”，ut为白噪声序列。
3. 带趋势项的随机游走序列 随机游走序列(14.1.1) 和（14.1.6）是比较简单的 非平稳序列，它们是
yt = μ + β t + yt-1 + ut
(14.1.11)
的特例。 (14.1.11) 式称为带趋势项的随机游走序
列，容易证明，该时间序列也是非平稳时间序列。
由（14.1.11)有
μ所以被称之为“漂移项”，是因为（14.1.6）的一阶差
非平稳时间序列解析
动态乘子的比较
趋势平稳过程 动态乘子:
xt t+( B) t
xt s t
2 趋势平稳过程满足 j 0 j , 所以
xt s lims 0. t
单整序列
差分一次变为平稳过程，记为I(1) 平稳过程记为I(0) 如果差分n-1次不平稳，差分n次平稳，称 为n阶单整的，记为I(n)
趋势平稳过程和单位根过程比较
预测比较
H 0 : xt xt 1 t H1 : xt t ( xt 1 t ) t ,| | 1
包含一个确定性趋势和一个随机趋势
单位根过程
满足下面表达式的过程成为单位根过程
(1 B) xt t 1 t 1
其中
(B) t
(1) 0, j 0 2 j , (u ) 0根在单位圆外.
单位根过程对时间序列的增量进行刻画，增 量平稳，但水平变量不平稳。
2.方差有界并且不随时间变化,是常数. 称为方差齐性
平稳ARMA模型, 可表示为
xt t 1 t 1
,
i 0
| i |
t WN (0, )
2
此类模型的特点 3. 长期预测趋于无条件均值 4. 预测误差的方差有界
序列分解
xt l t l 1 t l 1 et (l )
预测误差
l 1 t 1 l t l 1 t 1 ˆt (l ) x
预测值
ˆ (l ) E ( xt l xt , xt 1 , ) x Var ( xt l xt , xt 1 , ) Var[et (l )]
第七章 非平稳时间序列模型
缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。
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二、通过自相关函数(ACF)判断
平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的， 要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性 来判断时间序和减号以随机的方式出现
检验方法：给定显著性水平α(一般取0.05) 查标准正态分布表，得出抽样分布的临界
值-z α,+z α。并计算统计量: Z r E(r) D(r)
判定：若-z α <z<+z α,则不能拒绝零假设，即 不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设， 序列是非平稳的。（例见P151例6.5）
食物多样化才能摄入更多有益的植物化学物质。 谷类为主是平衡膳食的基本保证。 粗细搭配有利于合理摄取营养素。
二、多吃蔬菜水果和薯类
蔬菜水果是维生素、矿物质、膳食纤维和植物化 学物质的重要来源，水分多、能量低。薯类含有丰富 的淀粉、膳食纤维以及多种维生素和矿物质。
富含蔬菜、水果和薯类的膳食对保持身体健康， 保持肠道正常功能，提高免疫力，降低患肥胖、糖尿 病、高血压等慢性疾病风险具有重要作用。
参数检验方法就不可靠，甚至会发生较
大偏差。
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非参数检验：非参数检验是一种不依赖于总 体分布知识的检验方法。
由于非参数检验不对总体分布加以限制性假 定，所以它也称为自由分布检验。
非参数检验与参数检验相比有如下优点： a.检验条件比较宽松，适应性强 。 b.参数检验对样本容量的要求极低。 c.检验方法灵活，用途更广泛。 非参数检验主要用顺序统计量进行检验，因此它既可检验
第七章 非平稳时间序列模型
第七章非平稳时间序列分析解读
ˆ 1 t ˆ ˆ
W 1 1 W 1 W r dr ˆ 1 N L 0 1 2 2 12 2 1 1 ˆ (N 2 2 ˆ) W r dr [ W r dr]
二、单位根过程检验统计量分布基础
如前所述，对单位根过程这种非平稳序列 的分析，传统分析方法失效，需寻找新的 处理方法和技巧。这些新的分析方法都是 建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心 极限定理之上。
（一）维纳过程
设 W (t ) 是定义在闭区间[0， 1]上一连续变化的随机过程， 若 该过程满足： （a） W(0)=0； （b） 独立增量过程：对闭区间 [0 ， 1] 上任意一组分割 0 t1 t 2 t k 1 ， W (t ) 的 变 化 量 ：
模拟一、 模拟二
二、非平稳序列的分类
（一） 随机趋势非平稳过程（stochastic trend process） 随机趋势非平稳过程又称为差分平稳过程 （difference stationary process）、有漂 移项的非平稳过程（non-stationary process with drift）。
H 0 : 1;
情形四：假设数据由（真实过程） (7.30)产生，在回归模型 yt yt 1 t t 中检 验假设：
H 0 : 1; 0
t统计量的极限分布依赖于回归模型形式的选
择（即是否包含常数项和趋势项）
（一） 情形一的DF检验法
y ˆ y
第七章 非平稳时间序列分析
非平稳时间序列
3 工程项目管理规划
三种情况的 的临界值是不一样的
进行单位根检验必须选择合适的回归模型. 一个简单的原 则,如果数据没有明显的趋势,则在回归模型中包括常数 项;如果有明显的趋势,则在回归模型中既要包含常数项 和时间趋势项
3 工程项目管理规划
四个问题
数据生成过程未知,有可能包括滑动平均部分 可能包括不止一个滞后项,如果实际数据生成过程是
E [Yt+s | Yt ] Yt ts (11)ts1 (11 s1)t1
预测方差为{1+(1
2 1
)
(1
2 1
2 s-1
)}
2
3 工程项目管理规划
动态乘子的比较
趋势平稳过程
xt t+(B)t
动态乘子:
xt
t
s
趋势平稳过程满足
,
j0
所以
2 j
lims
xt s
t
0.
3 工程项目管理规划
t
s
因为
|
i0
i
|
, 所以s的增加
s趋于0.
3 工程项目管理规划
非平稳过程
多数经济变量的时间序列都有随着时间增加而增长的趋势, 不具有均值回复的特点.
两种刻画:
带趋势的平稳随机过程(前面已讲) 单位根过程
3 工程项目管理规划
随机趋势过程
有一类随机过程, 如果再 t 时刻扰动项发生变化, 那么它 的影响会一直存在下去,不会随着时间 t 增大会立刻衰 减到0. 这样过程成为随机趋势过程。
41 3 工程项目管理规划
如果拒绝零假设, 这时检验 量,拒绝得出结论平稳,否则非平稳.
第七章 非平稳时间序列模型
y t = α 0 + α 1 y t − q + α 2 y t − q −1 + L + υ t
随机序列，若 lim τ = Var ( yt )
q →∞ 2 q
page 4
2011年3月21日星期一 2011年 21日星期一
对于任何一个离散平稳过程{xt } 它都可以分解为两个 不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另一 个为随机性的，不妨记作
xt = Vt + ξ t ∞ ξ {V 为确定性序列， t } {ξ 为随机序列， t = ∑ ϕ j ε t − j 其中： t } j =0
它们需要满足如下条件 ∞ （1）ϕ 0 = 1, ∑ ϕ 2 < ∞ （2）{ε t } ~ WN (0, σ ε2 ) j
安徽财经大学统计与应用数学学院
案例一：中国人口时间序列模型（file:5b2c1）（怎样建 立AR 模型）
13 12 11 10 9
8 7 6 5 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 -.1 -.2 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 .2 .1 .0 .4 DY
一、ARIMA模型结构 模型结构
使用场合 差分平稳序列拟合 模型结构
Φ ( B)∇ d xt = Θ( B)ε t E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t Ex ε = 0, ∀s < t s t
page 13 2011年3月21日星期一 2011年 21日星期一
∇ d x t = (1 − B ) d x t =
第七章非平稳时间序列分析
H0：时间序列是无趋势的； H1：序列包含趋势。
1、首先将时间序列按顺序分成 M 段，计算每段样本
数据的样本均值和样本方差，得到均值序列和方差序列：
( y1,
, yM ) 和 (12 ,
,
2 M
)
；
2、计算均值序列（或方差序列）的逆序总数
A
M 1
Ai
；
i 1
3、计算检验统计量。
在原假设下，序列为非趋势的，数据围绕水平线（常
第七章 非平稳时间序列分析
▪ 为什么研究非平稳时间序列？
精品课件
第一节 非平稳时间序列的特征
▪ 一、非平稳时间序列的概念
要判断一个序列是否是平稳的，只需判断下列三 个条件是否同时成立：
E(Yt )
Var(Yt ) 2
Cov(Yt,Ys ) rt s
（7.2）
上述三个条件中只要有一个不成立，就认为是
精品课件
二、基于相关图的平稳性检验法
▪ 一个平稳序列的自相关函数要么是截尾的， 要么是按照指数快速衰减到零，也就是说， 较长时间间隔后的自相关函数应该趋近于 0。而单位根过程的序列自相关函数没有 截尾现象，衰减是很缓慢的。
精品课件
▪ 模拟随机游走的自相关函数； ▪ 上证指数自相关函数； ▪ 上证指数收益率的自相关函数；
数）上下波动，则逆序的总数处于不大不小的适中位置；
若逆序数很小或过大，则支持备择假设，过小是趋势随时
间下降，过大是趋势随时间精品增课件加。
A 1 E(A) Z 2
D(A)
▪ 近似于标准正态分布
E(A) 1M(M1) 4
M(2M23M5)
精品D课(件A)
72
四、游程检验（略）
平稳性和非平稳时间序列分析
β1 + β 3 Xt 如果我们作下列变换 ecmt = Yt − 1− β2 α = β2 − 1 ，那么模型变为：
，
∆Yt = β 0 + β1∆X t + αecmt −1 + ε t
误差修正模型的自动调整机制类似于适应性预 期模型。如果误差修正项的系数 α 在统计上 是显著的，它将告诉我们 Y 在一个时期里的失 衡，有多大一个比例部分可在下一期得到纠正。 或者更应该说“失衡”对下一期 水平变化的 Y 影响的大小）。
16
具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
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（二）以两变量线性回归 Yt = β 0 + β1 X t + ε t 为例。 因为 ε t = Yt − β 0 − β1 X t，因此{ ε t }平稳就 是{ Yt − β 0 − β1 X t } { }平稳，这就意味着要 么 Yt 和 X t 本身都是平稳的，要么 Yt 和 X t 都是同阶单积并有协积关系。这两种 情况下模型的回归分析都是有效的。因 此只要误差序列{ ε t }平稳该模型就是有 效的。
13
对于经过差分变换仍然非平稳的时间序列，还可 以对差分序列再作差分变换，也就是对原序列 作两次差分变换。 如果两次差分变换得到的二次差分序列是平稳 的，则二次差分序列可用于计量分析。 如果二次差分序列仍然是非平稳的，还可以进 行三次差分，并根据三次差分序列的平稳性分 别处理。
14
依次类推，一个非平稳时间序列可以在 进行了d次差分才变为平稳序列。这种经 过d次差分才平稳的时间序列，称为d阶 “单积”（Integrated）的，并记为) 。 Integrated I (d
(6)14.1非平稳时间序列的概念
(14.1.4)
(14.1.4) 式表明yt的方差随时间的变化而变化，平稳性 的第二个条件遭到破坏，即随机游走时间序列是非 平稳序列。 但是，随机游走时间序列的一个很有用的一个特点 是：若将(14.1.1)式写成差分形式便有
△yt = yt–yt-1 = ut
稳的。
（14.1.5）
i =1 t
由上式可知，同样可证明（14.1.11)是非平稳的。
§14.1 非平稳时间序列基本概念 时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随 着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数 据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要 宽平稳的三个条件不全满足，则该时间序列便是非 平稳的。当时间序列是非平稳的时候，如果仍然应 用OLS进行回归，将导致虚假的结果或者称为伪回归。 这是因为其均值函数、方差函数不再是常数，自协方 差函数也不仅仅是时间间隔的函数。
3. 带趋势项的随机游走序列 随机游走序列(14.1.1) 和（14.1.6）是比较简单的 非平稳序列，它们是 yt = µ + β t + yt-1 + ut (14.1.11)
的特例。 (14.1.11) 式称为带趋势项的随机游走序 列，容易证明，该时间序列也是非平稳时间序列。
由（14.1.11)有
t 由于 E ( y ) = y + tµ + ∑ E ( ) = y + tµ ui t 0 0 i =1
（14.1.9） （14.1.10）
2 V ( yt ) = V ( y0 + tµ + ∑ ui ) = ∑ V (ui ) = t σ u i =1 i =1
t
t
（14.1.9）和（14.1.10）式表明yt的均值和方差都是 t的函数，而且随着时间发散到无穷大。显然，带漂 移项的随机游走时间序列也是非平稳时间序列。
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。
若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。
如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。
1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。
常用的ADF检验包括三个模型方程。
在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。
2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。
3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验：(1)EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；(2)JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）。
4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。
5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。
非平稳时间序列课件(1).ppt
非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同 的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的 随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平 稳的时间序列。
1
图5.9 中国1978年～2006年的生产法GDP序列
yt a 1 yt1 2 yt2 p yt p ut
在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得
其中
p 1
Δ yt a yt1 i Δ yti ut i 1
p
i 1 i 1
p
i j j i 1
16
ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞 后差分项来控制高阶序列相关
下判断高阶自相关序列是否存在单位根。
18
但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际 问题：
（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用 AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际 应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模 型的拟合优度等。
（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形 式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下 的渐近分布依赖于关于这些项的定义。
19
① 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列 中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所 检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检 验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检 验时添加常数项。
9
§5.3.2 非平稳序列的单位根检验
检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单 位 根 检 验 方 法 ： ADF 检 验 、 DFGLS 检 验 、 PP 检 验 、 KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、 ADF检验。
第七章 非平稳时间序序列的特征与检验
检验方法
将样本相关系数随滞后期数变化的情形描点，可以得到样本相关图 （Sample Correlogram）。根据平稳与非平稳样本相关图的不同特征，可 以得出序列平稳与否的结论。
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
14
例子： 平稳AR(1)的自相关图
(a) yt 0.5 yt 1 t ， t
Y Y drift）。其生成过程为：
t t 1
t
趋势平稳过程（trend stationary process）
Y 趋势平稳过程又称为退势平稳过程，其生成过程为：
t t
t
确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）
应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材
21
经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列 (Integrated Process)，或者叫可积序列，记为 I(1) 。 如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序 列为二阶单整序列，记为I(2) 。 如果序列经过d次差分后平稳，而d-1次差分却不平 稳，那么称为d阶单整序列，记为I(d)，d称为单 整阶数。 平稳序列为零阶单整序列，记为I(0)。
yt yt 1 t
其中 1 ，为一平稳过程，且
E( t ) 0, Cov( t , t s ) s , s 0,1, 2,
如果包含非0常数项 ，称为带漂移的单位根过程 ：
yt yt 1 t
随机漫步过程是单位根过程中退化为的一个特例。
W (t ) 的变化量： W t 2 W t1 , W t3 W t 2 , , W t k W t k 1 为相
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第七章非平稳时间序列时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。
经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。
在这些假定成立的条件下，进行的t检验、F检验与2 等检验才具有较高的可靠度。
但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。
那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。
第一节伪回归问题经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。
然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。
这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。
因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。
人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。
所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。
经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。
直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。
他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分析方法对彼此不相关联的非平稳变量进行回归，t检验值和F检验值往往会倾向于显著，从而得出“变量相依”的“伪回归结果”。
因此，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。
如果经济变量时间序列是非平稳的，则需要寻找新的处理方法。
20世纪80年代发展起来的协整理论就是处理非平稳经济变量关系的行之有效的方法。
该理论自从诞生以来，受到众多经济学家的重视，并广泛运用于对实际经济问题的研究。
所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化。
当生成序列的随机过程是非平稳的时候，其均值函数，方差函数不再是常数，自协方差函数也不仅仅是时间间隔t-s的函数，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果，前面所介绍的计量经济技术也将遇到困难。
在经济领域中，我们所得到的许多时间序列观测值大都不是由平稳过程产生的。
例如，国内生产总值GDP大多数情况下随时间的位移而持续增长；货币供给量M2在正常状态下会随时间的位移而扩大。
也就是说，2009年GDP或M2观测值的随机性质与1999年的GDP和M2的随机性质有相当的区别。
由于在实际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列，而平稳性在计量经济建模中又具有重要地位，因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验。
第二节单位根过程与检验从前面平稳过程的定义可以看出，一个平稳过程的数据图形特征为：数据围绕长期均值E(x t)=μ波动，偏离均值之后，有复归均值的调整；方差有限且不随时间改变；其自相关函数随时间衰减。
与之相对应的概念是非平稳过程，定义为对平稳过程的条件之一不能满足的过程即为非平稳过程，其数据图形特征为：不存在长期均值；方差具有时变性且趋于无穷；从理论说，自相关不随时间衰减，但对于有限样本，样本自相关亦可能较慢速的衰减。
所以我们可以根据平稳过程的数字特征对它进行平稳性检验，这是时间序列平稳性的检验方法的传统方法。
介绍传统方法的书籍较多，所以本书不作介绍，本书介绍平稳性检验的现代方法之一：单位根检验法。
一、单位根过程一般来讲，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系，这种前后依存关系是时间序列预测的基础。
假定{}t y 为一时间序列，最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，而与其前一时期以前的取值状况无直接关系，也就是说t y 主要与1t y -相关，与2t y - ，3t y -，……无关。
可用如下的一阶自回归模型来描述这种关系：1t t t y y u γ-=+ (7.1)常记作AR(1)。
如果t y 不仅与前一期1t y -有关，而且与2t y -相关，显然，在这种情况下用AR(1) 来刻画t y 的动态依存关系就不恰当了，而需要在模型中引入2t y -。
一般的，如果t y 与过去时期直到t p y -的取值相关，则{}t y 的动态关系就需要使用包含1t y - ，……，t p y -在内的p 阶自回归模型来加以刻画。
p 阶自回归模型的一般形式为：1122t t t p t p t y y y y u γγγ---=++++ (7.2)为了说明单位根过程的概念，这里侧重以AR(1)模型1t t t y y u γ-=+进行分析。
根据平稳时间序列分析的理论可知，当1γ<时，该序列{}t y 是平稳的,此模型是经典的Box-Jenkins 时间序列AR(1)模型。
但是，如果1γ=，则序列的生成过程变为随机游走过程：1t t t y y u -=+ (7.3)其中，{}t u 独立同分布且均值为零、方差恒定为2σ。
随机游走过程的方差为：121()()()t t t t t t Var y Var y u Var y u u ---=+=++2121()t t Var u u u u t σ-=++++=当∞→t 时，序列的方差趋于无穷大，这说明随机游走过程是非平稳的，同时也说明随机游走过程具有“记忆性”。
下面我们来对比一下随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征表1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较有时我们也称一个随机游动过程是一个单位根过程。
过程1t t t y y u -=+之所以被称为单位根过程是因为如下事实。
如果我们用滞后算子L 来表示过程{}t y ，则有(1)t t L y u ρ-= （7.4）而（7.4）所对应的特征函数为0|1|=-L ρ （7.5）当方程（7.5）有一个根位于单位园上即L =1,有1||=ρ时，从而可知y t 由随机趋势所决定。
这样，1=ρ刻划了数据生成过程(DGP)（7.1）的特征根位于单位园上且数据由随机趋势所支配，因此，1=ρ时称过程（7.1）为单位根过程较随机游动更一般的，是一般的单位根过程。
如果随机过程{}t y 遵从：1t t t y y u γ-=+ (7.6)其中，1=γ，}{t u 为一平稳过程，且 ,2,1,0,),(,0)(=∞<==-s u u Cov u E s s t t t μ。
则称序列{}t y 为（不带漂移的）单位根过程。
带漂移和时间趋势的单位根过程服从如下模型：1t t t y t y u αβ-=+++ (7.7)显然，随机游动过程是一般单位根过程的一个特例。
从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根的过程{}t y ，其一阶差分：1t t t t y y y u -∆=-=是一平稳过程，像这种经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(Integrated Process)，记为{}t y ~I(1)。
有时一个序列经一次差分后可能还是非平稳的，如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为{}t y ~I(2)。
一般地，如果序列{}t y 经过d 次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳，那么称{}t y 为d 阶单整序列，记为{}t y ~I （d ），d 称为整形阶数。
特别地，若序列{}t Y 本身是平稳的，则称序列为零阶单整序列，记为{}t y ~I （0）。
二、Dickey-Fuller 检验（DF 检验）我们知道大多数的经济变量，如GDP 、总消费、价格水平以及货币供给虽M2等都会呈现出强烈的趋势特征。
这些具有趋势特征的经济变量，当发生经济振荡或冲击后，一般会出现两种情形，一是受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又回到它们的长期趋势轨迹；二是这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态。
若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程(比如随机游走过程)，当运用最小二乘法时，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。
同时，如果我们所研究的经济变量(如GDP)是非平稳的，则经济出现突发性振荡(如石油价格猛增，金融危机或政府开支骤减等)所造成的影响不会在短期内消失，其影响将是持久性的。
这也是研究单位根检验的重要意义所在。
在介绍检验方法之前，先讨论检验统计量的分布。
（这部分内容理论性强，可跳过或选讲） 情形1：数据生成过程（DGP ）：1t t t y y u -=+, y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (7.8)OLS 估计过程： 1t t t y y u γ-=+ (7.9)提出假设 1:0=γH ；1:1H γ<以OLS 估计式1t t t y y u γ-=+为例，若真值0γ=，则统计量ˆ()ˆ(1)ˆ()t t T se γγγ=-， (7.10)的极限分布为标准正态分布。
若真值||1γ<，则统计量ˆ()t γ=ˆˆ()se γγγ- (7.11) 渐近服从标准正态分布。
在0H 成立的条件下1γ=，这时ˆ()t γ统计量不再服从通常的t 分布，而是服从DF 分布。
此时ˆ()t γ称为DF 统计量。
可以证明当T → ∞ 时，2ˆ()ˆ()1[((1))1]ˆ1W DF t s γγβ--==⇒ (7.12) DF 统计量是O p (1 )的，其渐近分布与σ 无关。
由于该极限分布无法用解析的方法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法研究DF 统计量的有限样本分布。
图1 在情形1下： T =100，模拟1万次的DF 统计量的分布 情形2：数据生成过程（DGP ）：y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) (7.13)OLS 估计过程： 1t t t y y u αγ-=++ (7.14) 其原假设为0:0;1;H αγ==1:0;1;H αγ≠<下面我们讨论ˆ()t γ、)ˆ(αt 的极限分布和有限样本分布特征。