二次函数与圆综合(精编)

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B 级要求

C 级要求

二次函数

1.能根据实际情境了解二次函数的意义；

2.会利用描点法画出二次函数的图像；

1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；

2.能从函数图像上认识函数的性质；

3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；

4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；

1.能用二次函数解决简单的实际问题；

2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；

一、二次函数与圆综合

【例1】 已知：抛物线2:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，

，两点， 且12x x <．

（Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式；

（Ⅱ）若1211x x <>，，求m 的取值范围；

（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，

，若存在，求出2:(1)(2)M y x m x m =+-+-的值；若不存在，试说明理由；

（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，

，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使1

2

PF FQ =，求直线l 的解析式．

【例2】 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式

2y x =-+并且线段CM 的长为22（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的

长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

例题精讲

二次函数与圆综合

【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y kx k =-的图象与x 轴交于点A ，抛物线

2y ax bx c =++经过O ，A 两点． ⑴试用含a 的代数式表示b ；

⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧 沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的 解析式；

⑶设点B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点

P ，使得4

3

POA OBA =∠∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

B

【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，

AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动

时间为t (秒)．

⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．

【例5】 如图，点()40M ，，

以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物21

6

y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵ 点()8Q m ，在抛物线21

6

y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最

小值．

⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【例6】 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l 经过点()

20A -，和点0B ⎛

⎝

，直线2l 的函数表达式

为y =+1l 与2l 相交于点P ．C ⊙是一个动圆，圆心C 在直线1l 上运动，设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM x ⊥轴，垂足是点M ．

⑴ 填空：直线1l 的函数表达式是 ，交点P 的坐标是 ，FPB ∠的度数是 ；

⑵ 当C ⊙和直线2l 相切时，请证明点P 到直线CM

的距离等于C ⊙的半径R ，并写出2R = 时a 的值．

⑶ 当C ⊙

和直线2l 不相离时，已知C ⊙的半径2R =，记四边形NMOB 的面积为S (其中点

N 是直线CM 与2l 的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若

不存在，请说明理由．

【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与

二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过

()01-，点．

⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；

⑵ 判断以线段tan x CA α=⋅为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；

⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 轴交于M N ，两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F M N ，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

【例8】 如图1，O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为()50，，顶点D 在O 上运动．

⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与O 相切；

⑵ 当直线CD 与O 相切时，求OD 所在直线对应的函数关系式；

⑶ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最

大值与最小值．

图1

【例9】 如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作

菱形OABC ，使点B C ，在第一象限内，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设

点A 运动了t 秒，求：

⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；

⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．