单调有界数列必有极限例题

单调有界数列必有极限例题

例题：考虑数列 an = (-1)^n / n，证明该数列是单调有界的，

并求其极限。

证明该数列是单调有界的：

首先，我们观察到该数列的前几项：a1 = -1, a2 = 1/2, a3 = -1/3, a4 = 1/4, … 可以发现，奇数项是递减的，偶数项是递增的。

因此，该数列是交替的递减递增的，即单调的。

其次，我们来证明该数列有上下界。数列的所有项的绝对值都小于等于1，因此数列有上界。此外，当 n 趋向无穷时，数列的绝对值趋向于0，表明数列有下界。

因此，根据单调有界数列的定理，该数列必有极限。

求极限：

我们来计算该数列的极限。

当 n 是偶数时，an = 1/n，当 n 是奇数时，an = -1/n。不失一般性，我们只考虑 n 是偶数的情况，因为奇数的情况可以类似地进行讨论。

当 n 是偶数时，

an = 1/n = 1/(2k)，其中 n = 2k。当 k 趋向无穷时，lim (k→∞) 1/(2k) = 0。

因此，该数列的极限是0。