六年级数学圆的测试题

六年级数学圆的测试题

第一题：

已知正方形ABCD的边长为8 cm，点E是BC的中点，连接AE并延长交BD于点F。求证：△AEF是等腰三角形。

解答：

首先，连接AC、BD两条对角线。

由于正方形ABCD的边长为8 cm，所以AC的长度为√(8^2 + 8^2) = √128 = 8√2 cm。

又因为E是BC的中点，所以BE = EC = 8 / 2 = 4 cm。

所以三角形AEB和BEF是等腰三角形，即AE = BE和EF = BF。

而对角线AC和BD会互相平分，所以AE = AC / 2 = 8√2 / 2 = 4√2 cm，BF = BD / 2 = 8√2 / 2 = 4√2 cm。

因此，AE = BE = 4√2 cm，EF = BF = 4√2 cm。

所以△AEF是等腰三角形。

第二题：

已知圆O的半径为10 cm，点A是圆O上一点，直线l经过点A且与圆O相交于B、C两点，AB = 12 cm，BC = 16 cm。求证：直线l与圆O的切点D在直线AC上。

解答：

由于AB = 12 cm，BC = 16 cm，所以AC = AB + BC = 12 cm + 16 cm = 28 cm。

我们需要证明，圆O的切点D在直线AC上。

假设直线AC与圆O的切点为D。

首先，连接OA、OD两条线段。

因为O是圆心，所以OA = 10 cm。

又因为直线l与圆O相交于B、C两点，所以圆心O与直线l的距离等于圆O的半径，即OD = 10 cm。

由题意可知，直线l与圆O相交点B、C在直线AC两侧，所以OB > OA，OC > OA。

因此，在△OAB和△OAC中，OA是公共边，∠OAB和∠OAC都为锐角，且OB > OA，OC > OA。

根据三角形的性质，锐角对边较长。所以，∠OAB对应的边AB较长，而∠OAC对应的边AC较长。

由于AB = 12 cm，AC = 28 cm，所以∠OAB > ∠OAC。

而OD与OAB位于同一条直线上，所以∠OAD < ∠OAB。

综上所述，∠OAD < ∠OAB > ∠OAC。

而在△OAD和△OAC中，OA是公共边，∠OAD < ∠OAB >

∠OAC，所以AD < AC。

因此，直线l与圆O的切点D在直线AC上。

通过以上证明，我们得出结论：直线l与圆O的切点D在直线AC 上。

第三题：

已知圆O的直径为16 cm，以点A为圆心作圆弧BC，圆弧BC与直线AD相交于点B，AD与圆O的切点为D，∠BAD = 60°。求证：△BCD是等边三角形。

解答：

首先，连接OC、OD两条线段。

因为圆O的直径为16 cm，所以圆的半径为8 cm，即OC = OD = 8 cm。

由于∠BAD = 60°，所以∠BOD = 2 * ∠BAD = 2 * 60° = 120°。

而直线AD是圆O的切线，所以∠ODB = 90°。

根据△ODB的角度计算可得，∠OBD = 180° - ∠BOD - ∠ODB = 180° - 120° - 90° = 30°。

又因为OD = OB，所以△ODB是等腰三角形，即∠OBD = ∠ODB = 30°。

又∠OBD = ∠BDC，所以∠BDC = 30°。

再通过观察△BCD和△ODB，△BCD和△ODB有一共同边BD。

又因为∠BDC = ∠ODB，且OD = OB，所以△BCD和△ODB的三

边分别相等，即BD = CD，∠BDC = ∠ODB，∠BCD = ∠OBD。

综上所述，△BCD是等边三角形。

通过以上证明，我们得出结论：△BCD是等边三角形。

第四题：

已知两圆O1和O2，半径分别为R1和R2，且R1 > R2，O1、O2

的圆心距为d。求证：两圆的外切圆半径为(R1 - R2) / d。

解答：

首先，连接O1O2连线，并延长到两圆交点处，分别为A、B两点。假设外切圆的圆心为O，半径为r。

根据题意可知，两圆的外切圆与两圆的切线相切，且垂直于O1O2

连线。

连接OA、OB、O1B，可以得出△OB1O1是等腰三角形，即OB1 = O1B。

连接O1A、O1B、AB，可以得出△O1AB是直角三角形，即

△O1AB满足勾股定理，即O1A^2 = O1B^2 + AB^2。

由△O1AB的直角、角平分线的性质可得，O1O垂直于AB，即OB 和AB平行。

因此, △O1AB与△OB1O1相似。

由相似三角形的性质可知，O1A / OB1 = O1B / O1O。

即 (d - r - R1) / (R1 - r) = (R1 - R2) / r。

经过计算得：r = (R1 - R2) * (d - r - R1) / (R1 - 2R2)。

化简等式得：r = (R1 - R2) * (d - R1 - 2r) / (R1 - 2R2)。

继续化简得：r * (R1 - 2R2) = (R1 - R2) * (d - R1) - 2(R1 - R2) * r。

进一步得：r * (R1 + R2) = (R1 - R2) * (d - R1)。

再将两边同除以 (R1 + R2)，得到 r = (R1 - R2) / (d - R1)。

即外切圆的半径为 (R1 - R2) / (d - R1)。

通过以上证明，我们得出结论：两圆的外切圆半径为 (R1 - R2) / (d - R1)。