向量的数量积 导学案

B

向量的数量积 导学案

一．知识要点：1.a b ⋅=r r

2.运算律：()a b c +⋅=r r r 2()a b ±=r r ，22

a b -=r r

22

a b a b ++-=r r r r ，其几何意义是

3.注意：（1）0,a a b a c ≠⋅=⋅r r r r r r 能推出b c =r r

吗？ （2）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 吗？

（3）a b ⋅r r 为锐角与0a b ⋅>r r 等价吗？ a b ⋅r r 为钝角与0a b ⋅

等价吗？

4.基本应用：（1）求模：a =r a b +=r r （2）求角：

cos ,a b a b a b

⋅=⋅r r

r r r r 二.典例分析：

例1：平面向量,,a b c r r r 两两所成的角相等且1a =r ，2b =r ，3c =r ，求a b c ++r r r 及a b c ++r r r 与,,a b c r r r

所成的角。

例2：(1)P 为边长为1的正三角形ABC 内切圆上任一点，则PA PB PC ++=uu r uu r uu u r

(2)P 为半径为1的圆O 上任一点，正三角形ABC 内接于圆O,则222

PA PB PC ++=uu r uu r uu u r

（3）

（4）如图，M 是AB 的中垂线，设,,OA a OB b ==uu r r uu u r r 且ON OB λ=uuu r uu u r

,则λ=

(5)已知AB BC BC CD CD DA DA AB ⋅=⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

,则四边形ABCD 为

（6）ABC ∆内存在一点P 使得222

PA PB PC ++uu r uu r uu u r 最小，则P 为ABC ∆的

(7)已知G 为ABC ∆的重心，P 为GBC ∆内一点且AP AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r

，λμ+的范围为

(8) 如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运

动，设，则

的取值范围是

(9)已知(2,0),(2,2),,)OB OC CA αα===

，则OA 与OB 夹角的取值范围是

(10) 已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，恒有|,|||AC BC k OB OA ≥--则ABC ∆一定是 三角形。

例3：等腰ABC ∆两腰上的中线'CC uuu r 和'BB uuu r 满足'CC uuu r 'BB ⋅uuu r

=0，求cosA.

三.反馈练习：

1.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙

的最小值为 ( )

(A) 4- (B)3-+ (C) 4-+ (D)3-+

2.已知ABC ∆中，0

3,2,120,AB AC BAC ==∠=点O 是ABC ∆的外心，且AO AB AC λμ=+ ，则 λμ+= .

3.已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件:

2OB OC OP += (),||cos ||cos AB AC

R AB B AC C

λλ++∈ ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )

A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

4.如下图，给定两个平面单位向量OA 和OB

，它们的夹角为120°,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且

OC xOA yOB =+

（其中,x y R ∈），则满 足 x y +的概率为（ ）

A 1

B ．34

C ．4π

D ．2

π

5如图MN 是半圆O 的直径，MN=2，等边三角形OAB 的顶点A 、B 在半圆弧上， 且AB//MN ，点P 半圆弧上的动点，则⋅的取值范围是（ ）

A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32323，

B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡233-23，

C .⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+3233-23， D .⎥⎦⎤⎢⎣

⎡2323-3， 6.【2009年海南宁夏理9】已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，

且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，

则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )

（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心

7. O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出下列命题：

①0OA OB OC ++= ； ②0OD OE OF ++=

；

③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC; ④R λ∃∈，使得()||sin ||sin AB AC

AD AB B AC C

λ=+

以上命题正确的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4；

8. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，C=3

π

．若OD aOE bOF =+ ，且D 、E 、F 三点共线

（该直该不过点O ），则△ABC 周长的最小值是（ ） A ．

1

2

B ．

54

C ．

32

D ．

94

9. 如图，已知O 为ABC ∆的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，

且满足CO AB BO CA ⋅=⋅

。 （1）推导出三边,,a b c 之间的关系式； （2）求tan tan tan tan A A

B C

+的值。

10.已知O ，H 分别为三角形ABC 的外心和垂心，求证：OH OA OB OC =++

(欧拉定理)

C

A B

O