向量的数量积 导学案
平面向量数量积导学案(3课时)
平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案（1）学习目标：1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何 意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；3、了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.学习过程 一、课前准备 复习：1、向量加法和减法运算的两个法则是 和 .2、向量数乘运算的定义是 . 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学探究1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即cos a b a b θ⋅=.其中θ是a 和b 的夹角（０≤θ≤π）说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。
② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角（两向量必须是同起点的）特别地：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b反向；当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。
探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关。
《空间向量的数量积运算》导学案
3.1.3 空间向量的数量积【使用说明及学法指导】1.阅读课本85-88页并限时完成导学案，书写规范。
2.找出自已的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
3.提出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现结论。
【学习目标】1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2.掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。
重点：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法。
难点：掌握两个向量的数量积的计算方法、并解决立体几何中的一些简单问题．【学法指导】学会将几何问题转化为向量问题，对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键。
【问题生成评价单】新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . 试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= . 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a •= （选0还是0） ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>． （2）a b a b ⊥⇔⋅= ． （3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律 反思：⑴)()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明. ⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明. ⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？【问题解决评价单】探究一 垂直问题在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
空间向量数量积导学案
空间向量数量积学习目标：类比平面向量数量积的有关知识，理解并掌握空间向量的数量积的概念以及运算，体会空间向量数量积在证明空间几何问题中的应用。
学习重点：空间向量数量积的概念、运算律，空间向量数量积在空间几何证明问题中的运用学习难点：体会空间向量数量积在空间几何证明问题中的运用。
一、知识准备1、平面向量夹角的概念：________________________________________________2、平面向量数量积的定义:______________________________________________3、平面向量数量积的几何意义：__________________________________________4、平面向量数量积的运算律：____________________________________________________________________________________________________________________________________5、用数量积计算向量的模和夹角的方法：二、新知学习1、请仔细阅读教材P90的内容，对比平面向量的有关知识，自主掌握空间向量夹角的概念、空间向量数量积的定义及其几何意义、空间向量的运算律。
2、完成P90页的“思考”问题。
三、应用练习1、用数量积证明几何命题例1：证明直线与平面垂直的判定定理：若直线与平面内两条相交直线垂直，则直线与平面垂直。
2、用数量积求夹角例2: 如图1，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为_______图1 图23、应用数量积求空间距离。
例3：如图2，线段AB 、BD 在平面α内，B D ⊥AB ，线段AC ⊥α，且AB=a,BD=b,AC=c,求C 、D 两点间的距离。
四、课堂小结1、空间向量数量积的定义2、空间向量数量积的运算律3、空间几何证明中的向量方法五、课后练习1、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a, （1）求A 1B 和B 1C 的夹角；（2）求证：A 1B ⊥AC 1。
平面向量的数量积导学案
平面向量数量积的定义【课标要求】理解平面向量数量积的定义，以及运用数量积进行计算，掌握一些基本变形.【学习目标】平面向量数量积的定义.【重难点】平面向量数量积的定义.【知识回顾】1、对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做两向量之间的夹角当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .<a ，b >＝<b ，a >，规定零向量与任一向量平行．2．向量在轴上的正射影(1)已知向量a 和轴l 如图所示，作OA →＝a ，过点O 、A 分别作轴l的垂线，垂足分别为O 1、A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)．(2)a 在轴l 上的正射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，记作a l ，a l ＝θcos a . (3)射影的坐标是数量，当α为锐角时，a l 为正值；当α为钝角时，a l 为负值；当α＝0时，a l ＝a ；当α＝π时，a l ＝a-. 3．向量的数量积(内积)(1)θcos b a 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝θcos b a .(2)两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)向量数量积的几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的正射影的数量|b |cos<a ，b >的乘积，或看作是向量b 的长度b 与a 在b 方向上正射影的数量b a a ，cos 的乘积．4．向量数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝e a a ，cos (2)a ⊥b ⇔0=⋅b a ；(3)2a =a ·a ＝|a |2(4)cos<a ，b >＝b a ba ⋅（a ≠0，b ≠0)；（5）b a ≤⋅5、平面向量数量积的运算律a.a b b a ⋅=⋅（交换律）b.()()()b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律） c.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+（分配律）【随堂练习一】1、若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( )A ．a ＝bB ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等2、已知a 、b 为两个单位向量，则下列说法正确的是( )A ．a ＝bB ．如果a ∥b ，那么a ＝bC ．a ·b ＝1D ．a 2＝b 23、在△ABC 中，AB →·CB →<0，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4、若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．45、|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86、向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－53B ．5C ．－5D ．537、对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c8、已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29、有下列四个式子：①0·a ＝0；②0·a ＝0；③0－MN →＝NM →；④|a ·b |＝|a ||b |，其中正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10、已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．－7B ．7C ．28D ．－2811、已知a ·b ＝16，若a 与b 方向上的射影数量为4，则|b |＝________.12、若等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________.13、已知|a |＝4，|b |＝5，则a 在b 上的射影的数量与b 在a 上的射影的数量的比值λ＝________.14、对于任意向量a 、b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角)．利用这个新知识解决：若|a |＝1，|b |＝5，且a ·b ＝4，则a ⊗b ＝________.15、已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.16、如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.17、已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．【随堂练习二】1、若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π6，则|a ＋b|＝( ) A ．3 B ．3 C ．21 D ．212、若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝12，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π63、设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2等于( )A ．1B ．2C ．4D ．54、已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b5、下列各式中正确命题的个数为( )①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．A ．1B ．2C ．3D ．46、若非零向量a 、b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 7、若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对8、若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2B ．2C ．1D ．229、对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b |B ．|a －b|≤||a|－|b||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 10、已知|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k 等于( )A ．－6B ．6C ．3D ．－311、设a 、b 、c 是单位向量，且a －b ＝c ，则向量a 与b 的夹角等于________．12、已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为120°，且向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a·b ＝________.13、已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.14、关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题：①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)15、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．16、已知a 、b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．17、已知|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝a ＋2b ，d ＝m a －6b (m ∈R )．若c ∥d ，求|c ＋d|.18、已知|a |＝1，|b |＝ 2.(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a ＋b |(3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．19、已知向量|a |＝1，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋2b |； (2)若(2a －b )·(3a ＋b )＝3，求a 与b 的夹角．。
1.1.2空间向量的数量积运算导学案-高二上学期数学人教A版选择性
1.1.2 空间向量的数量积运算【学习目标】1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角2.掌握空间向量数量积的性质及运算律3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题【学科素养】通过对空间向量数量积运算的学习，培养学生数学抽象的核心素养，通过应用空间向量数量积运算解决立体几何问题，提高学生的数学运算能力.【使用说明】高二年级第一学期、选修第一册新课学习.【学法指导】1.课前认真阅读教材68页；用红笔标注自己不明白的问题或提出你的疑问；用心记住最基础的知识和概念并完成预学单；2．课中积极参与探究学习，完成探究单，在老师导学过程中做好笔记；3．课后通过自主思考或小组合作完成拓展单.【课前—预 学 单】一、学生预学指导单1、我们上学期学习了平面向量的夹角以及数量积，那么它们的定义是什么呢？ 阅读教材第68页，回答下列问题：问题1：在平面向量的数量积的定义基础之上，我们还学习了投影的概念，那在空间之中投影又该如何定义呢？问题:2：平面向量数量积中的运算律在空间中是否满足？证明方法是否一致呢？【课中—探 究 单】一、新知探究探究1：如图，在正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中E 为AA ′的中点，点F 为C ′D ′上靠近D ′的三等分点处，如何确定BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角？探究2：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的定义及其满足的运算律吗？探究3：类比平面向量的投影，在空间中，（1）向量a 向向量b⃗ 的投影有什么意义？ （2）向量a 向直线l 的投影呢？（3）向量a 向平面β的投影呢？二、归纳总结1、空间向量夹角的定义：已知两个 向量a ，b⃗ ，在空间 一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则∠AOB 叫做向量a ，b⃗ 的夹角，记作 . 如果<a ，b >= ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .2、空间向量数量积定义：已知两个 向量a ，b ⃗ ，则|a ||b ⃗ |cos <a ，b⃗ >叫做a ，b ⃗ 的数量积，记作a ∙b⃗ .即 . 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.由向量的数量积定义，可以得到：①a ⊥b ⃗ ⟺a ∙b ⃗ =0；②a ∙a =|a ||a |cos <a ，a >=|a |2.三、典例精析例1：判断正误.(1)向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.（ ）(2)若a ∙b ⃗ =0，则a =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ .（ ）(3)若a ∙b ⃗ =b ⃗ ∙c ，且b ⃗ ≠0⃗ ，则a =c .（ ）(4)若a ，b ⃗ 均为非零向量，则a ∙b ⃗ =|a ||b ⃗ |是a 与b⃗ 共线的充要条件. （ ） 例2.如图，在平行六面体ABCD −A ’B ’C ’D ’中，AB =5，AD =3，AA ’=7，∠BAD =60°，∠BAA ’=∠DAA ’=45°.求：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)AC ’的长.四、当堂检测1、变式训练1.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于m ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，求下列向量的数量积.(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(3)GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(4)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 2. 已知a =3p −2q ，b ⃗ =p +q ，p 和q ⃗ 是相互垂直的单位向量，则a ∙b ⃗ =（ ）.A 、1B 、2C 、3D 、4五．课堂小结本节课学了哪些主要内容？【课后—拓 展 单】一．学生拓展1、如图，m,n 是平面α内的两条相交直线.如果l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α.2、如图，在空间四边形OABC 中，OA =8，AB =6，AC =4，BC =5，∠OAC =45°，∠OAB =60°，求OA 与BC 所成角的余弦值.3、如图，在平行六面体ABCD −A ′B ′C ′D ′中AB =1， AD =1，AA ′=2，∠BAD =90°，∠BAA ′=∠DAA ′=60°.(1)用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长； (3)求证AC ′⊥ BD ；(4)求异面直线AC ′与B ′C 所成角的余弦值.二．课后作业1、导学案上未完成的部分.2、尝试用GeoGebra 软件复现课堂中的两个视频.。
苏教版必修四第二章第四节向量的数量积导学案
向量的数量积（1）班级 姓名一、学习目标：1.从实例理解平面向量数量积的概念；2.通过例题熟悉平面向量数量积计算.二．重点与难点：数量积的概念与数量积的运算三．学习过程问题：前面我们学习了向量的加法，减法和数乘三种运算，那么向量与向量之间能否相乘呢？通过力对物体做功引入向量与向量相乘。
四．构建数学1.向量的数量积2.当0θ=时，a 与b ；当180θ=时，a 与b ；当90θ=时，a 与b .3.当a 与b 同向时，⋅a b = ；当a 与b 反向时，⋅a b = ； 特别地，⋅= ；||=a .4.运算律（1）⋅a b = （2）()λ⋅a b = （3）()+⋅a b c =五、例题分析例1.已知向量a 与向量b 的夹角为θ，||2,||3==a b .分别在下列条件下，求⋅a b ：（1）135θ=； （2）//a b ； （3）⊥a b .例2．已知||2,||3==a b ，a 与b 的夹角为120，求①⋅a b ② ||+a b ③||-a b 的值.五、巩固练习1. 已知,,a b c 是三个非零向量，试判断下列结论正确的是 .=； ⑵若⋅=⋅，则=a b ； ⑶若+=-a b a b ，则⊥a b2. 在四边形ABCD 中，·0BC =，且AB =,则四边形ABCD 是 .3. 已知221,2,()0==-⋅=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 .4. 已知3,|4,()()k k ==+⊥-|a |b |a b a b ，那么实数k 的值为 .5. 设向量a 和b 的长分别为6和5，夹角为120°，求+a b 与||-a b 的值.6. 已知4,6==a b ，a 与b 的夹角为60,求：⑴⋅a b ； ⑵()⋅+a a b ；⑶(2)(3)-⋅+a b a b .向量的数量积（二）班级 姓名一、学习目标: 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法；2．掌握两个向量垂直的坐标条件； 3．通过求模来推导平面内两点间的距离公式；4．运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度和垂直等问题.二、数学建构问题1：若两个向量为1122(,),(,)x y x y ==a b ，如何用,a b 的坐标来表示它们的数量积？1.向量的数量积的坐标表示：若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则⋅a b = . 特别地，设(,),x y =a 则2=a ，=a .两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离公AB = .2.设两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义可得： cos θ= = .特别地，⊥⇔a b三、例题分析例1.已知()()2,1,3,2,=-=-a b )1,2(=c ,求: (1) )(⋅和()⋅的坐标； (2) ()()32--a b a b 与的数量积；(3)()()32--a b a b 与夹角的余弦值。
§2.4.1 平面向量的数量积运算导学案
利川市第五中学数学导学案§2.4.1 平面向量的数量积运算【课程学习目标】：1. 知识与技能：了解平面向量数量积的概念及几何意义2. 过程与方法：掌握数量积的运算法则3. 情感、态度与价值观：提高学生分析问题、解决问题的能力【教学重难点】：1. 重点：平面向量的坐标运算与共线的坐标表示.2. 难点：平面向量坐标表示的原理.【课时】：2自主学习过程 一、知识链接，忆旧迎新 平面向量的夹角：已知两个 向量a 与b ，作a OA =，b OB =，则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角.二、读教材，理要点 1.向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量_________________叫做向量a 与b 的数量积（或内积）.记作 ，即 . 其中，θ是a 与b 的夹角， 叫做向量a 在b 方向上的投影. 叫 做向量b 在a 方向上的投影.规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________.2.向量数量积的几何意义 b a ⋅的几何意义是：数量积b a ⋅等于 与b 在a 方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的性质 若a 与b 是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则：（1）⇔⊥b a .上课时间： 学生姓名：（2）当a 与b 同向时，b a ⋅= . 当a 与b 反向时，b a ⋅= .（3）=⋅a a . =a = .（4）=θcos .（5）b a ⋅ b a .4.数量积的运算律①交换律：_____________________________②数乘结合律：_________________________③分配律：_____________________________三、疑点探究问题1：向量的数量积是一个向量还是数量？向量的投影是向量还是数量？ 问题2：对于向量c b a ,,，等式)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅一定成立吗？为什么？问题3：等式2222)(b b a a b a +⋅+=+和22)()(b a b a b a -=-⋅+成立吗？若成立，请给出证明.问题4：非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么（1）当0>⋅b a ，θ的范围是 ； （2）当0<⋅b a ，θ的范围是 ；（3）当0=⋅b a ，θ的范围是 ；四、典型例题 例1.已知2=a ，4=b 分别求满足下列条件的向量b a ,的数量积.（1）b a // （2）b a ⊥ （3）b a ,夹角为65π例2.在直角ABC ∆中，3=AB ,3=BC ,23=CA ，求AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅.例3.已知3=a ，4=b ，21=+b a 。
112空间向量的数量积运算导学案高二上学期数学人教A版选择性
宾川县高平第一完全中学151生本高效课堂课时案1.1.2空间向量的数量积运算一、教学目标（学科核心素养）1.掌握空间向量的夹角、模的概念及表示方法.2.掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律.3.能运用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等一些简单问题.二、教学方法以学生为主体，诱导式教学，精讲多练，多媒体教学三、教学重难点1.重点：空间向量数量积的计算及其应用.2.难点：运用空间向量的数量积解决立体几何中的问题.（一）导：（复习导入、问题导入）问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题?问题2:在必修中我们已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法以及数乘运算，那么空间向量中，什么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题?（二）学：【独学】：空间向量的夹角任务1：空间向量夹角如何定义，怎么样表示？任务2：向量夹角的取值范围有要求吗？任务3：怎样定义向量垂直？【对学】：空间向量的数量积任务1：类比平面向量数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？任务2：空间向量数量积有哪些注意点？任务3：向量数量积与向量数乘有区别吗？任务4：类比平面向量数量积运算规律，你能够发现空间向量数量积有什么规律吗？【群学】：向量的投影任务1：回顾平面向量的投影概念原则：共起点任务2：类似的，在空间，向量a在向量b的投影有什么意义？向量a在直线l的投影呢？向量a在平面 的投影呢？思考：空间向量投影有哪些需要注意的地方？（三）当堂练习1. 教材第7页例2，例32．教材第8页练习题1,33．如图，（1）求A1B和B1C的夹角；（2）判断A1B和AC1的位置关系四、课堂小结1.空间向量的夹角2.空间向量的数量积3.向量的投影五、课后反思。
6.2.4向量的数量积 导学案-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
《6.2.4向量的数量积》导学案使用日期：一、自主学习1、理解平面向量的数量积的概念及物理意义会计算平面向量的数量积；2、通过几何直观，了解平面向量投影概念及投影向量的意义。
1.了解向量数量积的物理背景，培养数学抽象的核心素养；2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
重点：平面向量的数量积的运算掌握平面向量数量积的性质及其运算律难点：投影向量的概念探究数量积的性质及其应用1.本节所处教材的第页.2.复习——向量的加法、减法：向量的数乘运算：3.预习——数量积：数量积的性质：创设情境，生成问题：物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？1.向量的夹角【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移S,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( ) 定义已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角范围特殊情况a与b同向a与b反向a与b垂直，记作a bA．60° B．120°C．30° D．150°2.向量的数量积【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?特别提醒：数量积的结果为数量,不再是向量。
【做一做2】已知向量a，b满足|a|=2,|b3,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于( )A.1B.3C.3D.333.投影向量【探究1】如图，已知向量AB=a和向量b，过两个端点A，B，分别作向量b所在直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到向量11BA，我们称上述变换为向量a向向量b投影，11BA叫做向量a在向量b上的投影向量。
向量数量积导学案
平面向量的数量积导学案【考纲考情】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义；2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
【知识梳理】1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质4. 数量积的运算律5. 平面向量数量积的坐标表示设向量a =(x1，y1)，b =(x2，y2)，向量a 与b 的夹角为θ，则考点1 平面向量数量积的运算【例1】(1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b 的夹角为60°，c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t=________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则的值为________，的最大值为________.【规律方法总结】向量数量积的两种求法：(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b =|a||b |cos θ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.【练1】(1)在边长为1的等边△ABC 中，设则=( )(2) 1.若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a -b )·c =30，则x=( )A.6B.5C.4D.3DE CB ⋅DE DC ⋅BC 2BD,CA 3CE ==，AD BE ⋅1111A. B. C. D.3432--3π，考点2 平面向量的垂直与夹角问题【例2】(1)(2014·九江模拟)若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则a与b的夹角是( )(2)设两个向量a,b，满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为若向量2t a＋7b与a＋t b的夹角为钝角，求实数t的范围．【规律方法总结】平面向量数量积的两个应用(1)若a,b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ=（夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【练2】（1）(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_______.(2)设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a⊥(a-b)，则x=______.考点3 平面向量的模及应用【例3】(1) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. 求|a+b|和|a-b|.(2)(2013·湖南高考)已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c－a－b|=1,则|c|的取值范围是( )A．］B．-1］C．［1］D．［1］242A. B. C. D.3333ππππ-⋅a ba b【练3】(1)(2014·嘉兴模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3，a·(a-2b)=0，则|a-b|=( ) A.2 B.3 C.4 D.6(2) (2013·重庆高考)在平面上，若则||的取值范围是( )【课堂自测】1.给出下列结论：①向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量；②两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量；③由a·b=0可得a=0或b=0；④(a·b)c=a(b·c).其中正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.③④2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4，且a·b=2,则a与b的夹角为( )3.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )A.9B.4C.0D.-44.已知单位向量a，b的夹角是120°，则|a+b|=( )5.(2014·西安模拟)已知平面向量a,b的夹角为120°，|a|=2,|b|=2,则a+b与a的夹角是_______.【课堂小结】总结本节课的题型及对应的解题方法，在表格中笔记：A. B. C. D.6432ππππ1A.21212AB AB OB OB1⊥==，，12AP AB AB=+．1OP2<，OA。
平面向量的数量积学案
平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。
掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。
3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。
4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。
b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。
c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。
3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。
b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。
c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。
4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。
b. a · b = |a| * |b| * cosθ。
5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。
b. |a| = √(a · a)。
四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。
向量的数量积导学案
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义编制人：赵琳卓【学习目标】1、知识与技能:了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其几何意义；理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用。
2、过程与方法：通过对向量数量积的学习及探索，不断培养学生自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
3、情感、态度与价值观：通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高理性认识。
【重、难点】1、重点:平面向量数量积的含义与几何意义，向量数量积的运算律及其应用。
2、难点：平面向量数量积的概念、向量投影及运算律的理解。
一、物理背景问题：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功 W= ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 二、新知探究探究一 向量的夹角： 两个非零向量夹角的概念：特别的： 1、当θ＝０时，a 与b；2、 当θ＝π时，a 与b；3、当2πθ=时，a 与b ，记作 ；探究二 投影：向量b在a方向上的投影向量a 在b方向上的投影探究三：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量 叫做a 与b的数量积（或内积）,记作 ，即 ，其中θ是a 与b的夹角.探究四：向量的数量积（或内积）几何意义a b∙的几何意义是探究五:向量的数量积的性质：☆☆☆设a 与b都是非零向量，θ为a 与b的夹角.（1）ab ⊥⇔ ；（2）当a 与b 同向时，a b ∙= ，当a 与b反向时，a b ∙= .（3）a a ∙= 或2a a a a=∙=；（4）cos θ= ； （5）a b∙a b .(填“=”、“≥”“≤”)探究六：向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 和实数λ，则 （1）a b ∙= ；（交换律）（2）()a b λ∙= =；（与数乘的结合律）（3）()a b c +∙= .（分配律）三、典例探究 探究一：基本概念 例1（1）已知a =5，b =4，a 与b的夹角θ为120，求a b ∙（2）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=2,求AB BC ∙.探究二：熟练运用性质例2 已知单位向量12e e 、的夹角为60°，求向量1221,a e e b e e ==+-2的夹角。
高中数学《2.5.1平面向量的数量积》导学案 新人教版必修4
2.5.1 平面向量的数量积一、课前自主导学【学习目标】1．理解平面向量数量积的概念；2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π； 3．掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4．掌握向量数量积的性质。
【重点、难点】向量数量积及其重要性质； 【温故而知新】 预习填空：1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤ ）叫做向量a 与b 的夹角。
当0θ= 时，a 与b 同向； 当180θ=时，a 与b 反向； 当90θ=时，a 与b 的夹角是90 ，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数 量；实数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：如图，OA a = ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ= ．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ= 时，它是0；当0θ= 时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -（2）a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。
（3）数量积的性质：图（2）111设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则①cos ||||a b a b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅= ；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=- ；特别地：2||a a a ⋅=或||a = ||||||a b a b ⋅≤ ； ④a b ⊥ 0a b ⇔⋅=；⑤若e 是与b 方向相同的单位向量，则||cos e a a e a θ⋅=⋅=平面向量数量积的运算律1．交换律：a b b a⋅=⋅2．数乘结合律：b a ⋅）（λ =）（b a⋅λ = ）（b a λ⋅3．分配律：c b c a c b a⋅+⋅=⋅+)（说明：（1）一般地，）（（c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅) （2）ba c cbc a =⇒≠⋅=⋅0，（3）有如下常用性质：22a a =，))d c b a +⋅+（（＝c a ⋅＋d a ⋅＋c b ⋅＋d b ⋅2222)(b b a a b a +⋅+=+【我的困惑】二、课堂互动探究【例1】2.()1(,120,32220-==求与 解：（1）59422-=-=-=- （27====【例2】已知正ABC ∆的边长为2，设BC a = ，CA b = ，AB c = ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅ ．解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅122()362=⨯⨯-⨯=-．AB C【例3】（1）已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a+k b 与a -k b 互相垂直?（2）已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b|,求向量b 与a -b 的夹角.解:（1）a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )²(a-k b )=0,即2a -2k 2b =0.∵2a =9,2b =16,∴169-2k =0.∴k =±43.也就是说,当k =±43时,a+k b 与a -k b 互相垂直.（2）∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ²b +|b |2.∴a ²b =-21|b |2 b ²(a -b )=b ²a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2(a -b )2=a 2-2a ²b +b 2=|b |2-2³(21-)|b |2+|b |2=3|b |2∴|a -b |=3|b |.∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］, ∴〈b ,a -b 〉=65π. 【例4】（1）设向量c =m a +n b (m,n ∈R),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ²c=-4,且b 与c的夹角为120°,求m,n 的值.（2）已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.解:（1）∵a ⊥c ,∴a ²c =0. 又c =m a +n b ,∴c ²c =(m a +n b )²c ,即|c |2=m a ²c +n b ²c .∴|c |2=n b ²c . 由已知|c |2=16,b ²c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b . ∵b ²c =|b ||c |cos120°=-4, ∴|b |²4²(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ²c =m a 2-4a ²b ,∴8m -4a ²b =0,即a ²b =2m. 再由c =m a -4b ,得b ²c =m a ²b -4b 2.∴m a ²b -16=-4,即m a ²b =12. 联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4 （2）λ<68511--或λ>68511+- 【我的收获】三、三、课后知能检测1. 判断下列说法的正误，并说明理由.(1) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆是锐角三角形. （ 错 ）(2) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅>，则ABC ∆是钝角三角形. （ 对 ） (3) ABC ∆为直角三角形，则必有0AB BC ⋅=. （ 错 ）2. 在平面直角坐标系中，向量||4AB = ，AB 与x 轴正方向的夹角为120，则AB在x 轴、y 轴上的射影分别为 （ C ）A. B. 2,-- C. - D. 2,-3. 已知向量a b 、满足0a b ⋅= ，||1,||2a b == ，则|2|a b -=（ B ）A. 0B. 4D. 84. 设两个向量a 与b 的夹角为θ，a b ⨯为向量a 、b 的“外积”，其长度为||||||sin a b a b θ⨯= ，已知||1a = ，||5b = ，4a b ⋅=- ，则||a b ⨯=（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a 、b 满足：||1a = ，||2b = ，||2a b -= ，则||a b +=（ D ）A. 16. 已知(1,1)a =，且a 与2a b + 的方向相同，则a b ⋅ 取值范围是 (1,)-+∞ .7. 已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b 夹 角的取值范围是 ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8. 已知||2a = ，||1b = ，a 与b 的夹角为60，则2m a b =+ 与4n a b =- 的夹角θ的余弦值为 - .9. 设两个向量1e ，2e 满足1||2e = ，2||1e = ，1e 与2e 夹角为60，若向量1227te e + 与12e te + 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是1(7,()222---- 10. 设向量a 、b 、c 满足0a b c ++= ，()a b c -⊥ ，a b ⊥ ，若||1a =，求222||||||a b c ++ 的值【答案】411．已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =- ， 1223b e e =-(1)求a b ⋅ ; (2)求a b + 与a b -的夹角【答案】 (1) 112a b ⋅= (2) 2π。
高中数学(新教材)《向量数量积的概念》导学案
8.1.1 向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义． 教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.【知识导学】知识点一 两个向量的夹角(1)定义：给定两个□01非零向量a ，b (如图所示)，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称□02[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作□03〈a ，b 〉．(2)规定□040≤〈a ，b 〉≤π.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝□05〈b ，a 〉．(3)垂直：当〈a ，b 〉＝□06π2时，称向量a 和向量b 互相垂直，记作□07a ⊥b .在讨论垂直问题时，规定□08零向量与任意向量垂直． (4)①当〈a ，b 〉＝□090时，a 与b 同向； ②当〈a ，b 〉＝□10π时，a 与b 反向； ③当〈a ，b 〉＝□11π2或a 与b 中至少有一个为零向量时，a ⊥b .知识点二 向量数量积(内积)的定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称□01|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 和b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝□02|a ||b |cos 〈a ，b 〉．由定义可知，两个非零向量a 与b 的数量积是一个实数． 知识点三 平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝□01|a |cos 〈a ，e 〉． (2)a ⊥b ⇒□02a ·b ＝0，且□03a ·b ＝0⇒a ⊥b . (3)a ·a ＝□04|a |2，即□05|a |＝a ·a .(4)cos 〈a ，b 〉＝□06a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)．(5)|a ·b |□07≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立． 知识点四 向量的投影如图1，设非零向量AB→＝a ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则称向量A ′B ′→为向量a 在直线l 上的□01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l上的投影称为a 在向量b 上的□02投影．如图2中，向量a 在向量b 上的投影为□03A ′B ′→.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量□04共线，但它们的方向既有可能□05相同，也有可能□06相反． 知识点五 向量数量积的几何意义 如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向□01相同，而且|A ′B ′→|＝□02|a |cos 〈a ，b 〉； 当〈a ，b 〉＝π2时，A ′B ′→为零向量，即|A ′B ′→|＝□030； 当〈a ，b 〉>π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向□04相反，而且|A ′B ′→|＝□05－|a |cos 〈a ，b 〉．一般地，如果a，b都是非零向量，则称□06|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是□07非负数，也可能是□08负数．两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．【新知拓展】1．a在b方向上的投影的数量也可以写成a·b|b|，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a·b的符号与a与b的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.(2)a·b＝0⇔θ＝π2或a与b中至少有一个为0.(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．(2)利用公式变式cosθ＝a·b|a||b|求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ·b ＝0，则a ⊥b .( )(2)两个向量的数量积是一个向量．( ) (3)当a ∥b 时，|a ·b |＝|a |·|b |.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知向量a 与轴l 的夹角为30°且|a |＝3，则a 在轴l 上的投影的数量为________．(2)已知|a |＝4，|b |＝22，且a 与b 的夹角为135°，则a·b ＝________. (3)在直角坐标系xOy 内，已知向量AB→与x 轴和y 轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x 轴、y 轴上的投影的数量分别为________和________．答案 (1)32 (2)－8 (3)12|AB →| －32|AB →|题型一 两个向量的夹角例1 已知向量a ，b 的夹角为60°，试求下列向量的夹角： (1)－a ，b ；(2)2a ，23b .[解] 如图，由向量夹角的定义可知： (1)向量－a ，b 的夹角为120°. (2)向量2a ，23b 的夹角为60°.(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意区别向量的夹角和直线的夹角，两者的范围不同，前者是[0°，180°]，后者是[0°，90°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角，作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA→与AB →的夹角．[跟踪训练1] 已知向量a 与b 的夹角为60°且|b |＝12|a |，求a －b 与a 的夹角． 解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠BOA ＝60°，连接BA ，则BA→＝a －b .取OA 的中点D ，连接BD ， ∵|b |＝12|a |，∴OD ＝OB ＝BD ＝DA ， ∴∠BDO ＝60°＝2∠BAO ， ∴∠BAO ＝30°.∴a －b 与a 的夹角为30°. 题型二 向量的数量积定义 例2 已知|a |＝5，|b |＝2，若： (1)a ∥b ； (2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°.[解] (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向， 则它们的夹角为0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝5×2×1＝10； 若a 与b 反向，则它们的夹角为180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝5×2×(－1)＝－10. (2)当a ⊥b 时，则它们的夹角为90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时， a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝5 3. 金版点睛求平面向量的数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积． (2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.[跟踪训练2] 已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10. 题型三 向量在直线上的投影例3 已知直线l ，(1)向量|OA →|＝4，〈OA →，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；(2)向量|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1； (3)向量|OC →|＝4，〈OC →，l 〉＝120°，求OC →在l 上的投影的数量OC 1. [解] (1)OA 1＝4cos60°＝4×12＝2；(2)OB 1＝4cos90°＝4×0＝0； (3)OC 1＝4cos120°＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.金版点睛对向量在直线上的投影的理解从定义上看，向量b 在直线上的投影是一个向量，其在直线上的投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，该数量为正实数．(2)当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，该数量为负实数．(3)当θ＝0时，该数量为|b |. (4)当θ＝π时，该数量为－|b |. 注意：此处b 为非零向量． (5)当θ＝π2时，该数量为0.[跟踪训练3] 已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为π3时，a 在e 方向上的投影的数量为( )A ．4 3B ．4C ．4 2D ．8＋32答案 B解析 因为a 在e 方向上的投影的数量为|a |cos π3＝4，故选B. 题型四 向量数量积的几何意义例4 已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为( ) A ．3 B.92 C ．2D.12[解析]a·b＝|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ＝3×32＝92.[答案] B金版点睛利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量．代入向量数量积的公式即可．[跟踪训练4]已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝________.答案4解析设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，∴|a||b|cosθ＝16.又∵a在b方向上的投影的数量为4，∴|a|cosθ＝4，∴|b|＝4.1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.125B．3C．4 D．5答案A解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b |b|＝12 5.2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π3时，a·b＝() A．4 3 B．4C．8 3 D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cos π3＝4.3．设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是()A ．e 1·e 2＝1B ．e 1·e 2＝－1C ．|e 1·e 2|＝1D ．|e 1·e 2|<1答案 C解析 当e 1，e 2同向时，e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝1×1×cos0°＝1，当e 1，e 2反向时，e 1·e 2＝|e 1||e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝1×1×cos180°＝－1.4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析 由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝6，且AB →·AC →＝18，则△ABC 的形状是________．答案 等边三角形解析 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ， ∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.又∵|AB→|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．若|a |＝2，|b |＝12，〈a ，b 〉＝60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.14 C ．1D ．2答案 A解析 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×12×12＝12.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16答案 D解析 解法一：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ，△ACB 为直角三角形，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·|AC →||AB→|＝|AC→|2＝16.故选D. 解法二：∵△ACB 为直角三角形，∴AB →在AC →上的投影为AC →，∴AB →·AC→＝AC →2＝16.3．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a·b ＝b·a ；③a 2＝|a |2；④|a·b |≤a·b ；⑤(a·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①②③正确，④⑤错误，(a·b )2＝(|a ||b |·cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2. 4．向量a 的模为10，它与x 轴正方向的夹角为150°，则它在x 轴正方向上的投影的数量为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．53答案 A解析 a 在x 轴正方向上的投影的数量为|a |cos150°＝－5 3. 5．关于菱形ABCD 的下列说法中，不正确的是( ) A.AB→∥CD → B ．(AB→＋BC →)⊥(BC →＋CD →)C ．(AB →－AD →)·(BA →－BC →)＝0 D.AB →·AD →＝BC →·CD → 答案 D解析 ∵四边形ABCD 为菱 形，∴AB ∥CD ，∴AB→∥CD →，A 正确；∵对角线AC 与BD 互相垂直，且AB→＋BC →＝AC →，BC →＋CD →＝BD →，∴AC →⊥BD →，即(AB →＋BC →)⊥(BC →＋CD →)，B 正确；∵AB →－AD →＝DB →，BA →－BC →＝CA →，∵DB →⊥CA →，即DB →·CA →＝0，∴(AB →－AD →)·(BA →－BC →)＝0，C 正确；易知〈AB →，AD →〉＝180°－〈BC →，CD →〉，且|AB →|＝|AD →|＝|BC →|＝|CD →|，∴AB →·AD →＝－BC →·CD→，D 错误．故选D. 二、填空题6．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝1，∠C ＝30°，则BC →·CA→等于________． 答案 －332解析 BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos(180°－30°) ＝ab cos150°＝－332.7．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________. 答案 －8解析 |b |＝2|a |＝4，且b 与a 反向，∴〈a ，b 〉＝180°. ∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝2×4×(－1)＝－8. 8．给出下列命题：①若a ＝0，则对任一向量b ，有a ·b ＝0； ②若a ≠0，则对任意一个非零向量b ，有a ·b ≠0； ③若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；④若a ·b ＝0，则a ，b 至少有一个为0； ⑤若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；⑥若a ·b ＝a ·c ，且b ≠c ，当且仅当a ＝0时成立． 其中真命题为________． 答案 ①解析 由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题9．已知正方形ABCD 的边长为1，分别求： (1)AB →·CD →； (2)AB →·AD →； (3)AC →·DA →. 解 如图，(1)〈AB →，CD →〉＝π，∴AB →·CD →＝－1. (2)〈AB →，AD →〉＝π2，∴AB →·AD→＝0. (3)〈AC→，DA →〉＝3π4， ∴AC →·DA→＝2×1×cos 3π4＝－1. 10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．解 ∵AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0， ∴cos θ>0，∴θ为锐角，如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.由题意，AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6， ① S ＝12|AB ||CD | ＝12|AB →||BC →|sin θ. ②由②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4.B 级：“四能”提升训练1．给出下列命题：①在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形； ②在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形； ③△ABC 是直角三角形⇔AB →·BC →＝0. 其中，正确命题的序号是________． 答案 ②解析 利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角．①∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →＝－AB →·BC→>0， ∴∠B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角．所以推不出△ABC 是锐角三角形． 故命题①是假命题．②∵AB →·BC →>0，∴BA →·BC →＝－AB →·BC→<0， ∠B 是钝角，因而△ABC 是钝角三角形．故命题②是真命题． ③若△ABC 是直角三角形，则直角可以是∠A ，也可以是∠B ，∠C . 而AB →·BC →＝0仅能保证∠B 是直角．故命题③是假命题． 2．已知a ，b 是两个非零向量．(1)若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角； (2)若|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解 (1)∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉| ＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝6. 又|a |＝3，|b |＝4，∴|cos 〈a ，b 〉|＝6|a ||b |＝63×4＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a|＝|b|＝|a－b|，即|OA→|＝|OB→|＝|AB→|，所以∠AOC＝π，即a与a＋b的夹6角为π6.。
平面向量的数量积导学案
§ 2,4.1平面向量的数量积导学案(一)学习目标1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3．了解用数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；(二)教学重点： 平面向量的数量积定义教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用(三)学习过程一、 复习回顾1、已知两个非零向量a 和b ,作,,→→→→==b OB a OA ,则___叫做向量a 与b 的夹角。
2、向量夹角θ的范围是__ __,a 与b 同向时,夹角___＿;a 与b 反向时,夹角____。
3、如果向量a 与b 的夹角是___,则a 与b 垂直,记作______。
二、新课导学:1.数量积的概念：已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积（或______）记作______即a b ⋅＝________________其中θ是a b 与的夹角。
规定：零向量与任意向量的数量积为___________。
注意：（12.数量积的几何意义 （1）投影的概念______叫做向量a 在b 方向上的投影；______叫做向量b 在a 方向上的投影.（2）向量的数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的投影_____ 的乘积。
3.向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅＝___________（______律）。
表示向量的另一种运算，不能写成→→→→→→⨯⨯⋅b a b a b a )2(②()a b λ⋅＝___________= = ③()a+b c ⋅＝_________ __三、例题讲解例1 已知5a =，4b =，a 和b 的夹角为120，求a b ⋅？变式1：若a b ⊥，求a b ⋅.变式2：若//a b ，求a b ⋅.变式3：已知5a =，4b =，a b ⋅=-10，求a 与b 的夹角θ.变式4：已知5a =，4b =，a b ⋅=-10，求向量a 在向量b 的方向上的投影. 总结：平面向量数量积的性质设a b 与均为非零向量：①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，b a ⋅＝ __ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_____ ，特别地，aa ⋅= 或= 。
2.4向量的数量积 导学案
2014级 人教版数学必修4 编号：2.4.1 编制时间： 2014. 编制人： 审核人： 审批人: 班级： 小组： 姓名： 教师评价： 组内评价：第二章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.结合图形理解数量积的含义和几何意义，并牢记定义公式2.体会平面向量的数量积与投影的关系，掌握向量数量积的性质与运算律的应用3.理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。
【考纲要求】1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【学习目标叙写】1、通过对向量数量积定义的学习，牢记定义式，理解运算律。
2、通过定义式中两向量夹角的特殊情况，总结出两非零向量垂直的条件及求模公式。
【使用说明与学法指导】1、认真阅读课本103-105页,45分钟内完成，并在【归纳总结】中按题目要求把【探究案】和【训练案】中的题目分类。
2、认真思考、规范作答；不会的，模棱两可的问题标记好，准备上课讨论。
【预习案】1、在等边三角形ABC 中,求：__________)1(的夹角与AC AB__________)2(的夹角与BC AB_________)3(的夹角与CB AB2、一些特殊角的余弦值：3、注意在两向量的夹角定义，两向量夹角的范围___________________4、b 在a上的投影是：________________________5、数量积b a⋅的几何意义：_________________________________________________6、零向量与任一向量的数量积等于____________7、b a⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8、总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确：（1）00=⋅a（ ）（2）00=⋅a （ ） （3）b a b a=⋅ （ ）（4）若0≠a ，则对于任一非零向量b 有0≠⋅b a （ ）（5）若22b a b a =是两个单位向量，则与 （ ） （6）对任意向量c b a,,，都有)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ （ ）（7）若0=⋅b a，则0 =a 或0 =b （ ）（8）a 与b 平行b a b a=⋅⇒ （ ）9、求模公式=a ___________________________;10、a 与b都不是零向量，⇔=⋅0b a ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（两向量的关系）【探究案】例1. )2()2(,)1(,120,4,50b a a b a b a b a -⋅⋅=== 求的夹角与已知θ（提示：21120cos 0-=）α00 0300450600900120013501500180αcos2014级 人教版数学必修4 编号：2.4.1 编制时间： 2014. 编制人： 审核人： 审批人: 班级： 小组： 姓名： 教师评价： 组内评价：例2.向量a b 与夹角为060，1,2==b a，求b a 2-的值。
向量的数量积学案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
OA=a，OB=b，。
，，过AB的起点CD所在a bAB CD==|a b≤__________【知识点五】向量数量积的运算律；。
5,4,a b==当a与b的夹角θa b⋅为（B.-10C.20D.-2012,9,a b==542a b⋅=-，则a与b的夹角θ为（B.34π- C.4πD.4π-2a=，4b=，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C.32D.32-若向量a为单位向量，向量4b=，a b⋅=8，则向量a在向量b上的投影的数量等于（B.-1C. 2D. -2ABC中，AB a=，BC b=，当0a b⋅>时，则ABC的形状为（）．直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.二、合作探究深度学习学习目标一：向量数量积概念的形成如上图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功||||cos W F S F S θ=⋅=.其中，力是向量，位移是向量，功是数量，θ 是F S 与的夹角.1.2类比物理背景，形成概念①两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．注意：①当θ＝0时，向量a 与b ；②当θ＝π2时，向量a 与b ，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b ．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．②向量的数量积已知两个 向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的 (或 )，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．③归纳总结：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos a b θ规定：0⋅a =0，对比向量的线性运算发现，线性运算的结果是向量，而数量积的运算结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b 模的大小有关，还和它们的夹角有关．学习目标二：向量的投影若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为|a|cos θ e. 当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝π2时，投影向量为 ； 当θ＝π时，投影向量为 .小结：对于任意的[0π]θ∈，，都有||cos a b a e θ=向量在向量上的投影向量.学习目标三：向量数量积的性质小组合作探究：从上面的探究我们看到，两个非零向量a 与b 相互平行或垂直时，向量a 在向量b 上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积小结：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：a b ，是非零向量，它们的夹角是e 是与b 方向相同的单位向量，则1）||cos a e e a a θ==.2）（2）0a b a b ⊥⇔=. 3）当a 与b 同向时，||||a b a b =；当a 与b 反向时，||||a b a b =-.）特别地，2||a a a =或||a a a =.注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的|cos |1θ≤还可以得到||||||a b a b ≤.32π，求b a ⋅。
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B
向量的数量积 导学案
一．知识要点：1.a b ⋅=r r
2.运算律：()a b c +⋅=r r r 2()a b ±=r r ，22
a b -=r r
22
a b a b ++-=r r r r ，其几何意义是
3.注意：（1）0,a a b a c ≠⋅=⋅r r r r r r 能推出b c =r r
吗？ （2）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 吗？
（3）a b ⋅r r 为锐角与0a b ⋅>r r 等价吗？ a b ⋅r r 为钝角与0a b ⋅<r r
等价吗？
4.基本应用：（1）求模：a =r a b +=r r （2）求角：
cos ,a b a b a b
⋅=⋅r r
r r r r 二.典例分析：
例1：平面向量,,a b c r r r 两两所成的角相等且1a =r ，2b =r ，3c =r ，求a b c ++r r r 及a b c ++r r r 与,,a b c r r r
所成的角。
例2：(1)P 为边长为1的正三角形ABC 内切圆上任一点，则PA PB PC ++=uu r uu r uu u r
(2)P 为半径为1的圆O 上任一点，正三角形ABC 内接于圆O,则222
PA PB PC ++=uu r uu r uu u r
（3）
（4）如图，M 是AB 的中垂线，设,,OA a OB b ==uu r r uu u r r 且ON OB λ=uuu r uu u r
,则λ=
(5)已知AB BC BC CD CD DA DA AB ⋅=⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,则四边形ABCD 为
（6）ABC ∆内存在一点P 使得222
PA PB PC ++uu r uu r uu u r 最小，则P 为ABC ∆的
(7)已知G 为ABC ∆的重心，P 为GBC ∆内一点且AP AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r
，λμ+的范围为
(8) 如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运
动，设，则
的取值范围是
(9)已知(2,0),(2,2),,)OB OC CA αα===
，则OA 与OB 夹角的取值范围是
(10) 已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，恒有|,|||AC BC k OB OA ≥--则ABC ∆一定是 三角形。
例3：等腰ABC ∆两腰上的中线'CC uuu r 和'BB uuu r 满足'CC uuu r 'BB ⋅uuu r
=0，求cosA.
三.反馈练习：
1.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙
的最小值为 ( )
(A) 4- (B)3-+ (C) 4-+ (D)3-+
2.已知ABC ∆中，0
3,2,120,AB AC BAC ==∠=点O 是ABC ∆的外心，且AO AB AC λμ=+ ，则 λμ+= .
3.已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件:
2OB OC OP += (),||cos ||cos AB AC
R AB B AC C
λλ++∈ ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
4.如下图，给定两个平面单位向量OA 和OB
，它们的夹角为120°,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且
OC xOA yOB =+
（其中,x y R ∈），则满 足 x y +的概率为（ ）
A 1
B ．34
C ．4π
D ．2
π
5如图MN 是半圆O 的直径，MN=2，等边三角形OAB 的顶点A 、B 在半圆弧上， 且AB//MN ，点P 半圆弧上的动点，则⋅的取值范围是（ ）
A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32323，
B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡233-23，
C .⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+3233-23， D .⎥⎦⎤⎢⎣
⎡2323-3， 6.【2009年海南宁夏理9】已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，
且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，
则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )
（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心
7. O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出下列命题：
①0OA OB OC ++= ； ②0OD OE OF ++=
；
③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC; ④R λ∃∈，使得()||sin ||sin AB AC
AD AB B AC C
λ=+
以上命题正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4；
8. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，C=3
π
．若OD aOE bOF =+ ，且D 、E 、F 三点共线
（该直该不过点O ），则△ABC 周长的最小值是（ ） A ．
1
2
B ．
54
C ．
32
D ．
94
9. 如图，已知O 为ABC ∆的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，
且满足CO AB BO CA ⋅=⋅。
（1）推导出三边,,a b c 之间的关系式； （2）求tan tan tan tan A A
B C
+的值。
10.已知O ，H 分别为三角形ABC 的外心和垂心，求证：OH OA OB OC =++
(欧拉定理)
C
A B
O
答案：
例题1：（1）,,a b c r r r
两两所成的角为0，则a b c ++r r r =6，夹角为0
（2）,,a b c r r r 两两所成的角为23π
，a b c ++=r r r 5,,,,,626
a b c a a b c b a b c c πππ++=++=++=r r r r r r r r r r r r 例题2：（1
）2 （2）8. （3）6 （4）222()a b b a b λ-=-r r r r r （5）矩形 （6）重心 （7）2(,1)3
（8）5(1,)3
（9）5,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ （10）直角
例题3：4
5
三.反馈练习：
1.D
2. 8737
,,9618
λμλμ==+= 3.C 4.B 5. B 6.C 7.B 8.C
9. 解： 11.解:（1）取AB 、AC 的中点E 、F ，则
()()
()2211
()422
CO AB CE EO AB CE AB CB CA CB CA a b ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=- 分
同理()
22
2
1a c -=⋅；所以2222c b a += ……………………………8分 （2）()2
222sin sin tan tan cos cos sin 212tan tan sin sin cos sin sin cos 2B C A
A A
B
C A a b c a B C B C A B C A
bc bc
+⋅⎛⎫+=+⋅
=== ⎪+-⋅⋅⎝⎭⋅
分。