外接球的几种常见求法

高三微专题：外接球

解决外接球的三种处理方法：总的原则是找到几何体特征元素之间的关系。1、找截面。通过截面找到球心，得出特征元素间的关系。如：正方体中的三种球。2、放到特殊几何体中即补形法，熟悉几种常见的补形。3、找球心，建立关系。找球心的基本方法是过某个面的外心作其垂线。常见的有线面垂直和面面垂直两类。

一、由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．

二、球体公式

1.球表面积S=4π2

R 2.球体积公式V=3

3

4

R

π

三、球体几个结论：

（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直

四、外接球几个常见模型

O

1.长方体（正方体）模型

例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

答案：14

练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

（ ） 答案：12π

2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）

球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上

半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，

r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理

r A

a

2sin = （一边一对角)

例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为

，体积为，则这个球的表面积是____

. 【解析】

正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．

正四棱锥

的外接球的球心在它的高

上，记为，

，

，

，在中，

，由勾股定理

得

．所以，球的表面积

.

练习2．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该

三棱锥的外接球体积等于 .

解析：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3

4

60sin 22==

R ，外接球半径3

2=

R ，

或1)3(2

2+-=R R ，3

2=

R ，外接球体积27

33233834343π

ππ=

⋅==

R V 3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）

(1) 侧棱与底面垂直：

球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）

半径公式：222)2

(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r A

a

2sin = （一边一对角)

(2) 直棱柱(圆柱)

球心位置：上下底面外心连线中点处

公式公式：222)2

(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r A

a

2sin = （一边一对角)

例3.在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC

则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.

C π3

40

.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=

BC AB AB AC BC ，

7=BC ，ABC ∆的外接球直径为3

722

37sin 2=

=∠=

BAC BC r ， ∴310

,)2(

2222=+=R SA r R ，3

40π=

S ，选D S ABC -

练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,

，则此球的表面积等于 。

解析：32=BC ，4120

sin 3

22==

r ，2=r ，5=R ，π20=S （2）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球面上，则该圆柱的体

积为 。

答案：

π4

3 4.侧面与底面垂直的锥体

例4

三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△

ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .

解析：3460sin 22221==

=

r r ，3221==r r ，3

1

2=H O ， 111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=

︒

3

5

343121222=+=+=r H O R ，315=R ；

练习4（1）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，

︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积

为 。π16

解析：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=

r ，11=OO ，

231=+=R ；法二：

231=M O ，2

13

22==D O r ，44

13

432=+=

R ，2=R ，π16=S

（2）（2017新课标）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________

答案：π36（提示;直径所对的球周角为直角）

5.补形法：将不规则几何体外接球问题转化为长方体或正方体模型，实现锥，柱转化 适合条件;

（1）墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

B