被除数、除数、商的变化规律
除数被除数商的变化规律
除数被除数商的变化规律《除数被除数商的变化规律那些事儿》嘿，朋友们！今天咱来唠唠除数、被除数和商的变化规律，这可有意思啦！你想啊，被除数就好比是咱手里的糖果总数，除数呢，就是要分给多少人，那商自然就是每个人能分到的糖果数啦。
比如说，有 10 颗糖果要分给2 个人，那每人就是 5 颗嘛，这 5 就是商啦。
要是被除数变一变呢，糖果总数多了，除数不变，那每个人分到的不就多啦，这商也就跟着变大咯。
就好像突然又多了 10 颗糖果，还是分给 2 个人，那每人现在就能分到 10 颗啦，商就从 5 变成 10 啦。
反过来，被除数少了，除数不变，商也就变小了嘛。
就像只有 5 颗糖果了，还分给 2 个人，那每人就只能分到 2.5 颗咯。
那要是除数变了呢？除数变大了，被除数不变，那每个人分到的糖果就少咯，商也就小啦。
比如说 10 颗糖果要分给 5 个人，每人就只能分到 2 颗啦。
要是除数变小了，被除数不变，哇，那每个人分到的就多啦，商就变大啦。
哎呀呀，这规律就像生活中的很多事儿一样。
有时候我们拥有的资源就像被除数，面对的情况就像除数，而得到的结果就像商。
资源多了，情况不变，那结果自然好；资源少了，情况不变，结果可能就不太理想啦。
我记得有一次，我和小伙伴们分蛋糕，蛋糕就那么大，这就是被除数咯，小伙伴的人数就是除数。
结果有几个小伙伴突然不来了，除数变小了，哇，我们剩下的人分到的蛋糕一下子就多了好多，可把我们高兴坏了，这就像商突然变大了一样。
总之呢，除数被除数商的变化规律真的很有趣，也很实用。
在生活中我们经常能遇到类似的情况呢。
好啦，今天就聊到这儿啦，希望你们也能像我一样，发现这些规律的有趣之处，并且能在生活中运用起来哟！拜拜啦！是不是感觉这规律也没那么复杂呀，哈哈，生活处处有学问呢！。
四年级上数学教案被除数、除数和商的变化规律-人教版
第七课时被除数、除数和商的变化规律月日第节教学目标: 1、学生通过观察，能够发现并总结商的变化规律。
2、会灵活运用商的变化规律。
3、培养学生用数学语言表达数学结论的能力。
教学重点:引导学生自己发现并总结商的变化规律。
教学难点：引导学生自己发现并总结商的变化规律。
教学过程：一、故事导入安排老猴子分桃子的故事1、8个桃子分2天吃完，16个桃子分4天吃完，32个桃子分8天吃完，64个桃子分16天吃完。
（将数字板书在黑板上）2、提问：老猴子运用了什么知识教育了小猴子？今天我们一起来研究一下。
二、探究新知1、出示例5提问：观察数字，你发现了什么？你怎么知道的？学生说方法，教师板书。
8 ÷ 2 = 416 ÷ 4 = 432 ÷ 8 = 464 ÷ 16= 42、我们分别用第2、3、4式与第1个算式进行比较，你发现了什么？被除数、除数分别都乘以一个相同的数。
（扩大）3、教师带领学生分别比较。
4、提问：谁能给我们总结一下，你发现了什么？5、学生讨论，并发现：在除法里，被除数、除数同时扩大相同的倍数，商不变。
（教师板书）6、提问：为什么说是“同时”，“相同”？可以举例子来证明7、我们分别用第1、2、3式与第4个算式进行比较，你又发现了什么？被除数、除数分别都除以一个相同的数。
（缩小）8、通过观察，谁能再给我们总结一下，你发现了什么？在除法里，被除数、除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
板书课题：商的变化规律四、巩固练习1、书P94 1 （填空）2、书P94 2 （填空）3、书P94 3、4五、总结在运用商的变化规律时，一定要注意什么？（“同时”，“相同”。
）教学后记：。
商不变的规律练习题.
商的变化规律练习题1、商不变的规律是：在除法里，被除数和除数( 扩大(或缩小( 倍数，( 不变。
也可以表示成被除数和除数同时乘或除以（）的数（零）除外，商不变。
2、商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数。
商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数。
商的变化规律（三）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
3、已知200÷40=5（200×4）÷（40×□）=5 （200÷2）÷（40÷□）=54、如果36÷12=3，那么判断下面各题的对错。
（36×2）÷（12×2）=3 ( （36×5）÷（12×3）=3 (（36÷6）÷（12÷2）=3 ( （36+12）÷（12+12）=3 (（36×7）÷（12×7）=3 ( 36×0）÷（12×0）=3 (（36×A）÷(12×A=3 (A不为0 ( （36÷B）÷(12÷C=3 (B、C 都不为0 (5、判断对错（1）12÷4=（12×3）÷（4×3）（）（2） 400÷25=（400×4）÷（25×4）（）（3） 80÷20=（80÷4）÷4 （）6、下列说法对不对？（1）被除数24乘2，除数4除以2，商不变。
（）（2）被除数24乘100，除数4乘100，商不变。
（）（3）被除数24乘10，除数4增加10，商不变。
商的变化规律和商不变的规律
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
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数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
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商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
商的变化规律教案（通用13篇）
商的变化规律教案作为一名辛苦耕耘的教育工作者，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
我们该怎么去写教案呢？以下是小编精心整理的商的变化规律教案，希望能够帮助到大家。
商的变化规律教案篇1教学目标：发现除法中被除数、除数和商的变化规律。
具体做到，发现被除数不变，商随着除数的扩大(缩小)而缩小(扩大)；除数不变，商随着被除数的扩大(缩小)而扩大(缩小)；被除数和除数同时乘上或除以相同的数(0除外)时，商不变。
并会根据这些规律计算除法算式。
教学重点：被除数、除数和商的变化规律。
教学难点：学生在观察时，对于被除数不变，除数扩大了商反而缩小的规律是比较难理解的。
教学过程一、计算下面两组题，我能发现规律。
(1)200 ÷ =比较一下这些式子之间，我发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数不变，除数(填怎么变) ，商(填怎么变) 。
(2)÷8=比较一下这些式子之间，我发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数(填怎么变) ，除数不变，商(填怎么变) 。
二、继续探索：我又发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数(填怎么变) ，除数(填怎么变)，商(填怎么变) 。
三、堂上学习1、交流汇报，抓住以下几个问题：板书：变、不变……转折：刚才我们发现，当被除数不变时，商和除数的变化方向是相反的；而除数不变时，商和被除数的变化方向是一致的。
为什么会这样呢？你能解释一下吗？可以举个生活中的例子(讨论)(1)为什么被除数不变，除数变大了，商会变小？(2)为什么除数不变，被除数变大了，商会变大？(可举生活中的例子：一包糖果100颗，平均分给一个班上的50个同学，每人多少颗？现在糖果不变，但分给两个班的同学，每人的糖果是多了还是少了？为什么？如果还是分给一个班的50人，现在拿来3包糖果，每个人得到多了还是少了？为什么？如果糖果拿来2包，分的班也变成2个班，每人得到的多了还是少了？为什么？)小结：被除数也就是要分的总数，当被除数不变，除数乘上几，商反而要除以几；当除数不变，被除数乘上几，商也会乘上几。
被除数、除数、商的变化规律
被除数、除数、商的变化规律（一）被除数和除数扩大或缩小的倍数相同被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；被除数不变，除数缩小了几倍，商反而扩大了几倍。
也就是说：被除数不变，除数乘几，商反而除以几；被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
（除数不能为0）除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍；除数不变，被除数缩小几倍，商就缩小几倍。
也就是说：除数不变，被除数乘几，商就乘几；除数不变，被除数除以几，商就除以几。
（除数不能为0）商不变，被除数扩大几倍，除数就扩大几倍。
商不变，被除数缩小几倍，除数就缩小几倍，也就是说：商不变，被除数乘几，除数就乘几。
商不变，被除数除以几，除数就除以几。
（除数不能为0）在被除数不变时，商随着除数的变化而变化;在除数不变时，商又随着被除数的变化而变化，假如要使商不变，被除数、除数也会作相应的变化。
三者的变化规律如下：被除数……除数（不为0）……商不变扩大→缩小不变缩小→扩大扩大不变→扩大缩小不变→缩小扩大扩大→不变缩小缩小→不变他们的变与不变是有规律的。
在运用规律解决一些实际问题时一定要注意。
同时乘（或除以）相同的数，在商不变时还应注意“0”除外。
被除数、除数、商的变化规律（二）被除数和除数扩大或缩小的倍数不相同被除数和除数同时扩大了不同的倍数，如果被除数扩大的倍数大，商就扩大了，扩大的倍数是：被除数扩大的倍数除以除数扩大的倍数的商。
如果除数扩大的倍数大，商就缩小了，缩小的倍数是：除数扩大的倍数除以被除数扩大的倍数的商。
在被除数扩大的同时除数缩小了而且扩大和缩小的倍数不相同，这时，不管扩大的倍数大还是缩小的倍数大，商都是扩大了；商扩大的倍数是：被除数扩大的倍数乘除数缩小的倍数。
在被除数缩小的同时除数扩大了而且缩小和扩大的倍数不相同，这时，不管缩小的倍数大还是扩大的倍数大，商都是缩小了；商缩小的倍数是：被除数缩小的倍数乘除数扩大的倍数。
商的变化规律.ppt
这道题余数是多少？
16 × 50 800 ＋ 40 840 因为4在十位上， 表示4个十，所以 余40。 余数是40。
余数应该是40。可 余 4。 竖式中明明写着4， 为什么是40呢？
780÷30= 26 30 26 780 6 18 18
840÷50= 16„„40 50 16 840 5 34 30 4
0
讨论交流
对比以上两题，在小组内讨论交流运用商的变 化规律进行简算时应注意什么？
归纳总结：
商的变化规律的应用： 被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变， 但余数发生了变化，去掉几个0，余数的末 尾就要加上几个0。
小试牛刀 （选题源于教材P88做一做第1题后两题）
1. 670÷30＝ 22„„10 22 30 6 7 0 6 7 6 1 980÷50＝ 19„„30 19 50 9 8 0 5 48 45 3
0
我发现：将被除数和除数同时除以10，所得到的 商不变，这样计算更简便。
对比
再对比
（2） 120÷15 ＝（120×4 ）÷（15×4） ＝ 480÷60 ＝8
这样做行吗？为什么？
被除数和除数都乘4，商不变。
小试牛刀（选题源于教材P88做一做第1题前两题、第2题） 1. 600÷40＝ 15
15 40 6 0 0 4 20 20 0 540÷20＝ 27 27 20 5 4 0 4 14 14 0
（2）计算400÷25时，可以让被除数和除数同时乘（ 4 ），
商不变，变成（1600）除以（ 100 ），结果是（ 16 ）。
（3）计算8500÷400时，在被除数和除数末尾同时划去（ 2 ）
个0，商不变，但余数发生变化，需要再添上（ 2 ）个0 是（ 100 ）。
6第六讲 商的变化规律
商的变化规律
商的变化规律 1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变， 则商就乘几。 2、两个数相除，如果被除数除以几，除数不变， 则商就除以几。 3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几， 则商就除以几 4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几， 则商就乘几。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除 数不变，则商就乘几。
3×120=360 答：商是7，余数是360。
答：商是8，余数是6。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变 ，则商就乘几。
练习二
1、两个数相除，商是450，如果被 除数乘5，除数不变。新的商是多少?
450×5=2250 答：新的商是2250。
3、两个数相除，商是27，如果被 除数乘12，除数乘6。新的商是多 少?
12÷6=2
2、两个数相除，商是450，如果被除 数不变，除数乘3，新的商是多少?
450÷3=150 答：新的商是150。
拓 展3 在除法算式128÷4中，
如果被除数乘3，除数乘6。商有
什么变化?
分析与解答：128÷4=32，被除数
乘3，即128×3，除数乘6，即4×6，
商为： （128×3）÷(4×6)
32×3÷6
=384÷24
=96÷6
=16
=16
128÷4=32 也就是 6÷3=2
32÷2=16 答：商就除以2，由原来的32变为16。
拓 展4 在除法算式144÷12中，
拓 展5 在除法算式128÷4中，
被除数乘6，除数除以3。商有什
如果被除数除以4，除数乘2。商
么变化?
有什么变化?
分析与解答：144÷12=12，在除法
分析与解答：128÷4=32，被除数
四年级数学下册积、商的变化规律
四年级数学下册积、商的变化规律一、积的变化规律：一个因数不变；另一个因数乘或除以几（0除外）积也要乘或除以相同的数。
二、商的变化规律：1、除数不变；被除数乘几；商也乘几；被除数除以几；商也除以几。
2、被除数不变；除数乘几（0除外）；商反而要除以几。
被除数不变；除数除以几（0除外）；商反而要乘几。
3、被除数和除数都乘一个相同的数；商不变。
被除数和除数都除以一个相同的数；商也不变。
4、在有余数的除法里；如果被除数和除数同时扩大和缩小相同的倍数（0除外）；商不变；余数也随着扩大和缩小相同的倍数。
入门题：1、两个数相乘（积不为0）；一个因数不变；另一个因数扩大到原来的3倍；积应该怎样变化？2、两个数相乘（积不为0）；一个因数除以3；另一个因数不变；积应该怎样变化？3、两个数相乘（积不为0）；一个因数扩大到原来的6倍；另一个因数扩大到原来的3倍；积应该怎样变化？4、两个数相乘（积不为0）；一个因数乘6；另一个因数除以3；积应该怎样变化？5、两个数相除（商不为0）；如果被除数扩大到原来的6倍；除数不变；商应该怎样变化？6、两个数相除（商不为0）；如果被除数不变；除数扩大到原来的2倍；商应该怎样变化？7、两个数相除（商不为0）；如果被除数除以6；除数不变；商应该怎样变化？8、两个数相除（商不为0）；如果被除数扩大到原来的6倍；除数扩大到原来的2倍；商应该怎样变化？9、两个数相除（商不为0）；如果被除数扩大到原来的3倍；除数缩小到原来的3倍；商应该怎样变化？10、两个数相除（商不为0）；如果除数扩大到原来的3倍；要使商缩小到原来的3倍。
被除数应该怎样变化？练习题：1、两个数相乘；积是96；如果一个因数要除以4；另一个因数要乘3。
那么积是多少？2、两个数相乘（积不为0）；一个因数要乘了6；另一个因数也乘了6；那么积应该怎样变化？3、两个数相除（商不为0）；如果被除数乘3；除数乘15；商应该怎样变化？4、两个数相除；商是4；余数是10。
被除数除数商的变化规律
被除数、除数、商的变化规律一被除数和除数扩大或缩小的倍数相同被除数不变,除数扩大几倍,商反而缩小几倍；被除数不变,除数缩小了几倍,商反而扩大了几倍.也就是说：被除数不变,除数乘几,商反而除以几；被除数不变,除数除以几,商反而乘几.除数不能为0除数不变,被除数扩大几倍,商就扩大几倍；除数不变,被除数缩小几倍,商就缩小几倍.也就是说：除数不变,被除数乘几,商就乘几；除数不变,被除数除以几,商就除以几.除数不能为0商不变,被除数扩大几倍,除数就扩大几倍.商不变,被除数缩小几倍,除数就缩小几倍,也就是说：商不变,被除数乘几,除数就乘几.商不变,被除数除以几,除数就除以几.除数不能为0在被除数不变时,商随着除数的变化而变化;在除数不变时,商又随着被除数的变化而变化,假如要使商不变,被除数、除数也会作相应的变化.三者的变化规律如下：被除数……除数不为0 ……商不变扩大→缩小不变缩小→扩大扩大不变→扩大缩小不变→缩小扩大扩大→不变缩小缩小→不变他们的变与不变是有规律的.在运用规律解决一些实际问题时一定要注意.同时乘或除以相同的数,在商不变时还应注意“0”除外.被除数、除数、商的变化规律二被除数和除数扩大或缩小的倍数不相同被除数和除数同时扩大了不同的倍数,如果被除数扩大的倍数大,商就扩大了,扩大的倍数是：被除数扩大的倍数除以除数扩大的倍数的商.如果除数扩大的倍数大,商就缩小了,缩小的倍数是：除数扩大的倍数除以被除数扩大的倍数的商.在被除数扩大的同时除数缩小了而且扩大和缩小的倍数不相同,这时,不管扩大的倍数大还是缩小的倍数大,商都是扩大了；商扩大的倍数是：被除数扩大的倍数乘除数缩小的倍数.在被除数缩小的同时除数扩大了而且缩小和扩大的倍数不相同,这时,不管缩小的倍数大还是扩大的倍数大,商都是缩小了；商缩小的倍数是：被除数缩小的倍数乘除数扩大的倍数.。
商的变化规律教学目标：发现除法中被除数、除数和商的变化...
商的变化规律教学目标：发现除法中被除数、除数和商的变化规律。
具体做到，发现被除数不变，商随着除数的扩大（缩小）而缩小（扩大）；除数不变，商随着被除数的扩大（缩小）而扩大（缩小）；被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）时，商不变。
并会根据这些规律计算除法算式。
教学重点：被除数、除数和商的变化规律。
教学难点：学生在观察时，对于被除数不变，除数扩大了商反而缩小的规律是比较难理解的。
教学过程一、课前研究课前小研究研究者班级一、计算下面两组题，我能发现规律。
(1)200 ÷ =比较一下这些式子之间，我发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数不变，除数（填怎么变），商（填怎么变）。
(2)比较一下这些式子之间，我发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数（填怎么变），除数不变，商（填怎么变）。
二、继续探索：我又发现了被除数、除数和商有这样的变化规律：被除数（填怎么变），除数（填怎么变），商（填怎么变）。
二、堂上学习1、交流汇报，抓住以下几个问题：板书：变、不变……转折：刚才我们发现，当被除数不变时，商和除数的变化方向是相反的；而除数不变时，商和被除数的变化方向是一致的。
为什么会这样呢？你能解释一下吗？可以举个生活中的例子（讨论）（1）为什么被除数不变，除数扩大了，商会缩小？（2）为什么除数不变，被除数扩大了，商会扩大？（可举生活中的例子：一包糖果100颗，平均分给一个班上的50个同学，每人多少颗？现在糖果不变，但分给两个班的同学，每人的糖果是多了还是少了？为什么？如果还是分给一个班的50人，现在拿来3包糖果，每个人得到多了还是少了？为什么？如果糖果拿来2包，分的班也变成2个班，每人得到的多了还是少了？为什么？）小结：被除数也就是要分的总数，当被除数不变，除数乘上几，商反而要除以几；当除数不变，被除数乘上几，商也会乘上几。
当被除数和除数同时乘上或除以相同的数时，商不变。
2、根据第一个式子写出下面的得数。
(人教版)商的变化规律
480÷40＝ 12 6300÷700＝ 9 8100÷300＝27
560÷80＝ 7
360÷90 ＝4 3200÷400＝8
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
2 60 1 7 0 12 5
你发现了什 么问题吗？
数学诊所
14 60 8 4 0 6 24 24 0
√
210 230 4 8 3 0 0 46 23 23 0
√
上面的计算对吗?你知道应用了什么规律吗？
我来问！
（1）被除数乘2，除数怎样变化，商不变？ （除数也要乘2）
（2）除数除以10，被除数怎样变化，商不变？ （被除数也要除以10） （3）被除数不变，除数除以2，商会怎样变化？
（商会扩大2倍） 我来答！
通过今天的学习， 你有哪些收获？ 快告诉大家吧！
商和积的变化规律
1、商不变的性质：
被除数和除数同时扩大或缩小（乘以或除以）相同的数 （0除外），商不变。
2、商的变化规律： 被除数÷除数=商
a、除数（老二）不变，被除数（老大）扩大或缩小几倍， 商也跟着扩大或者缩小几倍。
b、被除数（老大）不变，除数（老二）扩大或缩小几倍， 商反而缩小或扩大几倍。
C、如果被除数和除数都变化，则根据具体情况判断商的 变化情况。
3
根据125×48=6000，直接写出下面各式的积。
1、1.25×4.8=
2、1.25×0.048=3、0.125×4.8=4、0.125×0.48=
精选课件
4
根据47×14=658，直接写出下面各式的积。
0.47×14=
4.7×14=
47×0.14=
0.47×0.14=
根据522÷18=29
52.2÷1.8=
5.22÷1.8=
52.2÷0.18=
52.2÷18=
522÷0.18=
0.522÷0.18=
精选课件
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1
二、积的规律
1、积不变的规律：
一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数缩小或者 扩大相同的倍数，积不变。
2、积的变化规律:（因数×因数=积）
a、一个因数不变，另一个因数扩大或者缩小几倍， 积也跟着扩大或者缩小相同的倍数。
b、一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，则 积扩大m×n倍。
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2
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商的变化规律
商的变化规律嘿，咱们今天来好好聊聊“商的变化规律”这个有趣的事儿！还记得我之前教过的一个班，有个叫小明的孩子。
那时候我们刚开始接触商的变化规律，这孩子一脸迷茫，小眼睛里充满了困惑。
咱们先来说说什么是商的变化规律。
简单来讲，就是被除数和除数的变化会引起商的相应变化。
比如说，被除数扩大或缩小几倍，除数不变，商就跟着扩大或缩小相同的倍数；被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。
就拿个具体的例子来说吧。
假设咱们有 60 ÷ 20 ＝ 3 这个式子。
如果被除数 60 扩大 2 倍变成 120，除数 20 不变，商就从 3 变成 6 啦，是不是很神奇？再比如说，如果被除数不变还是 60，除数 20 扩大 2 倍变成 40，那商就从 3 变成 15 咯。
回到小明身上，刚开始他怎么都理解不了。
我就给他举了个生活中的例子。
我说：“小明啊，你想想，假如你有 10 个苹果要分给 2 个小朋友，那每人能分到 5 个。
可要是小朋友的数量不变，苹果变成 20 个，那每人不就能分到10 个啦。
但要是苹果还是10 个，小朋友变成4 个，那每人是不是就只能分到 25 个啦？”小明听完，眼睛突然亮了起来，好像一下子就开窍了。
在实际的数学计算中，掌握商的变化规律那可是大有用处。
比如说，当我们计算 900 ÷ 25 时，如果直接算可能有点麻烦。
但我们知道 25×4＝ 100，那我们可以把被除数和除数同时乘以 4，式子就变成 3600 ÷100 ＝ 36，这样一下子就简单多了。
还有啊，在解决一些应用题的时候，商的变化规律也能帮我们快速找到解题的思路。
比如有一道题说：工厂原来生产一个零件需要 8 小时，技术改进后，生产时间缩短为 4 小时。
原来一个月（按 30 天计算）能生产 360 个零件，现在能生产多少个？这时候就得用到商的变化规律啦。
原来一天工作的时间是 8×30 ＝ 240 小时，现在一天工作 4×30＝ 120 小时，时间缩短了一半，那生产的零件数量就会翻倍，所以现在能生产 360×2 ＝ 720 个零件。
商的变化规律
看算式填空
2 ）=2 （4 × 2） ÷ （2 × —） ） 2 ）=3 （3 × 2） ÷ （1 × —） ） 10）=3 （90 ÷ 10） ÷ （30 ÷ —） ） 7） 7） （28 ÷ —） ÷ （7 ÷ —）=4
14 ÷ 2 ﹦7 商
10 10 不 变
7 140÷ 20 ﹦ ÷
140÷ 20﹦7 ÷ ﹦
被除数和除数同时乘或 被除数和除数同时乘或 同时 除以相同的数商不变。 相同的数商不变 除以相同的数商不变。
14 ÷ 2 = 7
÷0 ×0 ÷0 ×0
?
被除数和除数同时乘 被除数和除数同时乘 同时 或除以相同的数外 商不变。 商不变。
这组算式的被除数和除数不 相同,为什么商不变 为什么商不变？ 相同 为什么商不变？
7商 14 ÷ 2 ﹦
×10 ×10 不 变
140 ÷20 ﹦7 商
不 变 ×2 ×2
140÷ 20 ﹦ ÷ 7
280 ÷ 40 ﹦7
被除数和除数同时乘 被除数和除数同时乘（扩 同时 相同的数 倍数） 的数（ 大）相同的数（倍数）商 不变。 不变。
填一填:
第94页第4题:从上到下,根据第1题的商写出 下面两题的商. 72÷9= 8 720÷90= 8 36÷3= 12 360÷30= 12 80÷4= 20 800÷40= 20
7200÷900= 8 3600÷300=12 8000÷400=20
判一判： 判一判：谁能不通过计算判断出下面哪些算式与
小学数学第七册
商不变的规律
执教者：金荣
算 练 展
智力大比拼
720÷80﹦9 14 ÷ 2 ﹦7 ÷ ﹦ 7 720÷80﹦9 140÷20﹦ ÷ ﹦ ÷ ﹦ 720÷80﹦9 280÷40﹦7 ÷ ﹦ ÷ ﹦ 7 720÷80﹦9 560÷80﹦ ÷ ﹦ ÷ ﹦
商的变化规律
1.被除数乘2，除数不变，商就（ 乘2 )。 2.除数乘3，被除数不变，商就（ 除以3）。
3.被除数不变， 除数乘4，商就（ 除以4 ）。
4.除数不变，被除数除以3，商就（除以3）。
4.除数不变，商要乘3，被除数应（乘3 ）。
5.被除数不变，商要除以2，除数应（ 乘2 ）。 6.两个数的商是12，如果被除数不变，除数
判断： ①48÷12=（48×3）÷（12×4）……（
x）
x √ x
）
②48÷12=（48×3）÷（12÷4）……（
③被除数不变（0除外），如果除数乘3， 商会缩小3倍。……………………………（
）
④两数相除，商是20，被除数和除数都 扩大2倍，商是40。………………………（
）
3、判断
(1)被除数和除数同时乘以相同的数,商不 变。 ( ×) (2)72÷24=(72÷6)÷(24÷6) ( √ ) (3)因为被除数和除数同时除以不是0的 数,商不变;所以被除数和除数同时减去 不是0的数,商也不变。 (× ) (4)A÷B=C,如果A除以10,要使商还是C, 那么B也要除以10. 72÷12=6 36÷12=( 3 ) 72÷6=(12 ) 72÷18=( 4 ) 36÷(18 )=2 ( 72 )÷18=4
A÷B=30 A÷(B×2)=30
A× 3÷ B=(
) )
) )=( )
(A÷2) ÷ (B÷2)=(
(A×2) ÷ (B÷2)=( (A ) ÷ (B
5600 ÷700 =9 560÷70= 9 56÷7= 9
1、被除数不变，除数扩大3倍，商（ 反而缩小3倍 ）。 2、被除数不变，除数缩小4倍，商（反而扩大4倍 ）。 3、两个数相除，商是12，如果被除数不变，除数缩 小3倍，商会变成（ 36 ）。 4、两个数相除，商是12，如果除数不变，被除数缩 小3倍，商会变成（ 4 ）。
乘法、除法的变化规律
因数与积的变化规律：
1、一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）相同的倍数。
2、一个因数扩大（或缩小）a倍，另一个因数扩大（或缩小）b倍，那么积扩大（或缩小）ab倍。
3、一个因数扩大一定的倍数，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
被除数、除数与商的变化规律：
1、除数不变,被除数扩大（或缩小）几倍,商就扩大（或缩小）相同的倍数。
（商与被除数的变化方向相同）
2、被除数不变,除数扩大（或缩小）几倍,商就缩小（或扩大）相同的倍数。
（商与除数的变化方向相反）
3、被除数扩大（或缩小）几倍,除数扩大（或缩小）相同的倍数, ,商就不变。
（商不变的性质）。
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被除数、除数、商的变化规律
（一）被除数和除数扩大或缩小的倍数相同
被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍；被除数不变，除数缩小了几倍，商反而扩大了几倍。
也就是说：被除数不变，除数乘几，商反而除以几；被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
（除数不能为0）
除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍；除数不变，被除数缩小几倍，商就缩小几倍。
也就是说：除数不变，被除数乘几，商就乘几；除数不变，被除数除以几，商就除以几。
（除数不能为0）
商不变，被除数扩大几倍，除数就扩大几倍。
商不变，被除数缩小几倍，除数就缩小几倍，也就是说：商不变，被除数乘几，除数就乘几。
商不变，被除数除以几，除数就除以几。
（除数不能为0）
在被除数不变时，商随着除数的变化而变化;在除数不变时，商又随着被除数的变化而变化，假如要使商不
变，被除数、除数也会作相应的变化。
三者的变化规律如下：
被除数……除数（不为0）……商
不变扩大→缩小
不变缩小→扩大
扩大不变→扩大
缩小不变→缩小
扩大扩大→不变
缩小缩小→不变
他们的变与不变是有规律的。
在运用规律解决一些实际问题时一定要注意。
同时乘（或除以）相同的数，在商不变时还应注意“0”除外。
被除数、除数、商的变化规律
（二）被除数和除数扩大或缩小的倍数不相同
被除数和除数同时扩大了不同的倍数，如果被除数扩大的倍数大，商就扩大了，扩大的倍数是：被除数扩大的倍数除以除数扩大的倍数的商。
如果除数扩大的倍数大，商就缩小了，缩小的倍数是：除数扩大的倍数除以被除数扩大的倍数的商。
在被除数扩大的同时除数缩小了而且扩大和缩小的倍数不相同，这时，不管扩大的倍数大还是缩小的倍数大，商都是扩大了；商扩大的倍数是：被除数扩大的倍数乘除数缩小的倍数。
在被除数缩小的同时除数扩大了而且缩小和扩大的倍数不相同，这时，不管缩小的倍数大还是扩大的倍数大，商都是缩小了；商缩小的倍数是：被除数缩小的倍数乘除数扩大的倍数。