二次插值法课件

然后求 P(t ) 的极小点。 令 P' (t ) 0，可解得 2 2 2 2 1 (t2 t3 ) 2 (t3 t12 ) 3 (t12 t2 ) 2 (t2 t3 )1 (t3 t1 )2 (t1 t2 )3
点 即为 (t ) 的极小点的一次近似，然后算 出在点 处的函数值 ( ) 。现在我们已有四 个点(t1 , 1 ) ， (t3 , 3 ) 和 ( , ) ，从中找 (t2 , 2 ) ， 出相邻的且满足“两头高中间低”的三点，然后 又以这三点作二次抛物线，……，如此重复下去， 就得到 (t )的极小点的新估计值，直至满足一定 的精度要求（ t2 ）为止。这个方法称 为三点二次插值法。
2
令
P' (t ) 0
，得
' 1 2
(t2 t1 ) t1 ' 2 1 1 (t 2 t1 ) 2
它可作为 (t ) 的极小点的估计值，其算法与前边 类似，此方法称为二点二次插值法。
1' (t2 t1 ) 2 t1 ' 2 2 1 1 (t2 t1 )
(t 3, 3 ) 的抛物线为 (t 2 , 2 ) ， 设通过三点 (t1 , 1 ) ，
P(t ) a0 a1t a2t , a2 0
2
使得
P(t1 ) a0 a1t1 a t 1
2 21
P(t2 ) a0 a1t2 a2t2 2
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即从“两头高中间低”的搜素区间开始，我们可以 通过 三点作一条二次插值多项 (t1 , 1 ) (t2， , 2 ) (t， 3 , 3 ) (t1 , t3 ) 式曲线（抛物线），并且认为这条抛物线在区间 上近似于曲线 (t )。于是可以用这条抛物线 P(t ) 的极小点 ，作为 (t ) 极小点的近似。
P(t3 ) a0 a1t3 a t 3
2 23
从上面的三个方面解出 a0 , a1 , a2 可以得到
(t t2 )(t t3 ) (t t3 )(t t1 ) (t t1 )(t t2 ) P(t ) 1 2 3 (t1 t2 )(t1 t3 ) (t2 t3 )(t2 t1 ) (t3 t1 )(t3 t2 )
(t2 , 2 ) 和 ( , ) 找 4.找出新的 t1 ， t 2 ，从(t1 , 1 ) ， 出函数值最小的那点和与其满足满足 条件1的另一 t 2 ， 转到2。 点作为新的 t1 ，
2. 求
和 ( )
；
3. 判断 t2 ，若 t2 则停止迭代，输 出函数值最小的那点；否则转到4；
4.找新的 t1， t 2 ， t 3 ，从 (t1 , 1 ) ，(t2 , 2 ) ，(t3 , 3 ) 和 ( , ) 找出满足 “两头高中间低”的相邻三 点分别作为新的 ， ，转到2。 t1 t 2 ， t 3
'
为保证二次插值 P(t ) 有极小点，要求 2 1 '1 (t2 t1 ) 或 '2 0 由条件易得
P(t ) A(t t1 )2 B(t t1 ) C
' C B 其中 1 1
A
2 1 1' (t2 t 1 )
(t2 t1 )
4.3.3 二点二次插值法
如果知道一点的函数值和导数值及另一点的函数 值，也可以用二次插值法。
已知 (t ) 在 t1 处的函数值 1 和导数值 1 0 以及在另一点 t 2 处的函数值 2，我们可以作 二次多项式 P(t ) ，使其满足下列条件 P(t1 ) 1 P' (t1 ) '1 P(t2 ) 2
4.3 二次插值法（抛物线插值法）
演讲者：刘楠
4.3.1 基本思想
(t ) 的解 t * 问题求解 min ，我们利用 (t ) 在某些点 t R 的信息去构造一个插值多项式 P(t ) ,用 P(t ) 去拟合 (t ) ，然后求出P(t ) 的极小点 ，以 作为 t * 的估计值。通常取 P(t ) 为二次或三次多项式， 即得到二次或三次插值法。二次插值法的特点就是把 插值多项式 P(t ) 取为二次多项式。
2 2 2 2 1 (t2 - t3 ) 2 (t3 - t12 ) 3 (t12 - t2 ) 2 (t2 - t3 )1 (t3 - t1 )2 (t1 - t2 )3 t2 ， t 3 ， 满足 t1 t2 t3 1. 找 t1 ， 和 (t1 ) (t2 ) (t3 ) ；
1
4.3.2 三点二次插值法
设已知函数在三点 t1 ， t 2 ， t 3 且 t1 t2 t3 2 和 3 ，为了保证在区间 处的函数值为 1 ， (t1 , t3 ) 内存在着函数 (t ) 的一个极小点，在选取 t1， t 2 和 t 3 时要求它们满足条件
(t1 ) (t2 ) (t3 )
1. 找 t1， t 2 ， 满足t1 t2 ' ' ( t ) 0 和 ， (t2 ) 0 ； 1 2. 求 和 ( ) ；
ti ，若 min ti 则停止迭 3. 判断 min i 1,2 i 1,2 代，输出函数值最小的那点；否则转到4；