二次插值法课件
计算方法课件：第2次课 计算方法插值
2.3.2 Lagrange插值公式
Lagrange插值多项式 令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数
多项式和零多项式构成的集合，假设函数y=f(x) 的已知值(xi，yi)(yi=f(xi)，xi互异，i=0，1，…，
n)，寻找一个多项式p(x) R[x]n+1，满足：
p(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)
插值问题中的一个非常典型的问题
插值方法 8
2.1 问题的提出(数值预测)
计算函数值
Y
Q：函数关系复杂，没 有解析表达式，或者函数形 式未知。
常见的有：由观测数据
0
(离散数据)计算未观测到的
点的函数值。
X
0
——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替
要寻求的函数——插值法。
代数插值——简单函数为代数多项式
内存在n+1阶有界导数，则当x [a,b]，必存在一点
ξ(a，b) ，使得
r(x)
f n1( )
(n 1)!
n
(x xk )
k 0
插值方法 25
证明——《数学分析》
误差分析 x偏离插值节点比较远，则误差大，尤
其是外推误差大； 被插函数足够光滑，否则导数过大，用
代数多项式插值不合适。
插值方法 26
谢谢！
插值方法
点x为插值点； 内插——插值点位于插值区间内的插值过程；
外插——插值点位于插值区间外的插值过程，也 叫外推。
插值方法 15
要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式。
代数插值法——g(x)=p(x)，为插值多项式 Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值公式
二次插值
二次插值法是多项式逼近法的一种，是 用目标函数在若干点的函数值或导数值 等信息，构成一个与目标函数相近似的 低次插值多项式。用多项式的最优解作 为目标函数的最优解近似值。
1、二次插值函数的构成
设一维目标函数的初始区间为[a,b]，取 x1 , x2 , x3 点使 x1 a, x3 b 并设 x2 0.5( x1 x3 )
p ( x)
插值函数的极小点，令一阶导数为零
得
xp
*
x p*
b , 将a, b, c代入，得 2a 1 ( x2 2 x32 ) f1 ( x32 x12 ) f 2 ( x12 x2 2 ) f 3 2 ( x2 x3 ) f1 ( x3 x1 ) f 2 ( x1 x2 ) f 3 f 3 f1 x3 x1 c2 ( f 2 f1 ) ( x2 x1 ) c1 x2 x3
2 1 2 1 1 2 2 3
f p*
2ห้องสมุดไป่ตู้
3 终止准则
*( k 1) x （1）当相继两次插值函数极值点 p
， *( k ) x p 之 间 的 距 离 小 于 某 一 个 预 定 的 精 度 时 ,即 *( k ) *( k 1)
xp xp
k2
计算终止 （2）函数下降准则 在上一个框图中，加一判据 c2 0 ，若成立 x x )c 0 即 c ( f f )x ( 便终止 x
令c1 则x p
*
c1 1 ( x1 x3 ) 2 c2
2 区间的缩短
* * x f ( x ) p p 方法计算 点的函数值
* p
记做 比较 f 与 f 取较小者所在对应的点作为 新的 x2 ，以此点左右两邻点分别取做新 的 x1 和 x3 ，得新的区间[ x1 x3]。 在实际操作中，会出现一下4种情况：
二次插值法的基本原理
二次插值法的基本原理二次插值法是一种用于近似估计函数曲线的方法。
它的基本原理是通过已知数据点构造一个二次函数，然后利用该函数来预测未知数据点的值。
这种方法常用于数学建模、数据分析和图像处理等领域。
二次插值法的基本步骤包括：确定已知数据点、构造二次函数模型、求解二次函数参数、进行插值计算。
首先，我们需要确定已知数据点的横坐标和纵坐标值。
这些数据点应该尽可能地靠近我们要预测的未知数据点，以提高插值的准确性。
接下来，我们通过已知数据点构造一个二次函数模型。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待定系数。
我们可以通过已知数据点的坐标值，列出一系列的二次方程，然后求解这些方程组，得到二次函数的参数。
求解二次函数参数的方法有多种，常见的有拉格朗日插值和牛顿插值。
在拉格朗日插值中，通过已知数据点构造一个基于拉格朗日插值多项式的二次函数模型。
在牛顿插值中，通过已知数据点构造一个基于差商的二次函数模型。
这些方法都可以得到一个满足已知数据点的二次函数模型。
我们利用求解得到的二次函数模型来进行插值计算。
对于给定的未知数据点，我们将其横坐标代入二次函数模型中，即可得到对应的纵坐标值。
这个纵坐标值就是我们通过二次插值法预测出来的未知数据点的值。
二次插值法的优点是可以通过已知数据点构造一个光滑的曲线，从而更准确地预测未知数据点的值。
它适用于数据点较少、曲线变化较平缓的情况。
但是，如果数据点过于密集或者曲线变化较大，则二次插值法可能会产生较大的误差。
在实际应用中，二次插值法常常与其他插值方法或拟合方法结合使用，以提高估计的准确性。
例如，我们可以使用线性插值法来近似估计曲线的斜率，然后再利用二次插值法来计算未知数据点的值。
二次插值法是一种常用的近似估计函数曲线的方法。
通过已知数据点构造一个二次函数模型，然后利用该模型来预测未知数据点的值。
它可以在一定程度上提高估计的准确性，但在使用时需要考虑数据点的分布和曲线的变化情况。
二次插值算法
二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间搜索极小点的一种方法。
它属于曲线拟合方法的畴。
一、基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。
如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。
这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。
利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式（1）式中、、为待定系数。
图1根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。
上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）二、迭代过程及算法框图(1)确定初始插值结点通常取初始搜索区间的两端点及中点为，，。
计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。
(2)计算二次插值函数极小点按式(8)计算，并将记作点，计算。
若本步骤为对初始搜索区间的第一次插值或点仍为初始给定点时，则进行下一步(3);否则转步骤(4)(3)缩短搜索区间缩短搜索区间的原则是：比较函数值、，取其小者所对应的点作为新的点，并以此点左右两邻点分别取作新的和，构成缩短后的新搜索区间。
线性插值与二次插值公式ppt课件
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
2次插值
，并求这个插值函数
该法是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，进行区 是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点， 的一维搜索方法。 间缩小的一维搜索方法。 α 设一元函数 f (α ) ，在单峰区间 [ α 1 , α 3 ] 内取一点 2 且 α 1 < α 2 < α 3 这三点对应的函数值分别为
之值代入式 将B，C之值代入式(2-32)，可求得 ， 之值代入 ，
α2 2 2 B 1 (α 2 − α32 ) f1 + (α32 − α12 ) f 2 + (α12 − α 2 ) f3 α =− = 2C 2 (α 2 − α3 ) f1 + (α3 − α1 ) f 2 + (α1 − α 2 ) f3
∗
图2-25（a） （ ）
图2-25 （b） ）
图2-25（c） （ ）
图2-25（d） （ ）
判断迭代终止条件
α 在一般情况下，因α 2 是前一次插值函数的极小值点， * 是本次插值函数的极 在一般情况下， 是前一次插值函数的极小值点， p * * * α 小值点， 的距离足够小时， 小值点，若α p 和α 2 的距离足够小时，即满足 α p − α 2 ≤ ε ，或 α p 和 2 两者原函数 值已很接近， 则停止迭代，这时， 值已很接近，即满足 | f 4 − f 2 |≤ ε ，则停止迭代，这时，若 f 4 < f 2 ，输出极小 值点 4 = α ∗ ，极小值 = f (α ∗ ) ; α f4 ∗ 否则， 否则，即 f 4 ≥ f 2 时，输出极小值点α 2 = α ，极小值 f 2 = f (α ∗ ) 。如不 满足上述迭代终止条件，则返回步骤(3)，再次缩短搜索区间，直至最后满足终止 满足上述迭代终止条件，则返回步骤 ，再次缩短搜索区间， 条件。 条件。
数值分析 第2章 插值PPT课件
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
04.第四讲 二次插值法
，并将
x
* p
记作x4，计算
f4，若此时为第一次插值或者x2点仍为初始给定点时，显 然x2和x4不是前后两次插值函数的极小值，不能进行终止判 断，故转入步骤 4）
4）缩短搜索区间。原则是：比较f2、f4，取较小者为新的x2 点，并以此点左右邻点分别取作新的x1点和x3点，这样就 有新的搜索区间[x1, x2 ] 。
x1 a, x2 0.5(a b), x3 b 计算它们的函数值 f1 f (x1 ), f 2 f (x2 ), f3 f (x3 ) 并且满足 f1 f 2 f 3 （“大—小—大”）变化关系。
a)第一次迭代
b)第二次迭代
（虚线为拟合函数图像，实线为原目标函数图像）
将a1，a2带入上式得：
x*p
x4
1 [ (x22 2 (x2
x32 ) f1 (x32 x12 ) f2 (x12 x22 ) f3 ]
x3 )
f1
( x3
x1 )
f21
( x1
x2 )
f 13
为方便计算，可将上式改写成
x
* p
0.5( x1
x3
C1 ) C2
根据原区间里X2和X4的相对位置和f2和f4的大小，区间的 收缩有四种情况：
x2 x4
f2 f4
f2 f 4
x1
x2 x4
x3
x2 x4
f2 f4
f2
f4
x1
x2
x4 x3
x2 x4
f2 f4
f4
f2
x1
二次插值法课件
为保证二次插值 P(t ) 有极小点，要求 2 1 '1 (t2 t1 ) 或 '2 0 由条件易得
P(t ) A(t t1 )2 B(t t1 ) C
' C B 其中 1 1
A
2 1 1' (t2 t 1 )
(t2 t1 )
然后求 P(t ) 的极小点。 令 P' (t ) 0，可解得 2 2 2 2 1 (t2 t3 ) 2 (t3 t12 ) 3 (t12 t2 ) 2 (t2 t3 )1 (t3 t1 )2 (t1 t2 )3
点 即为 (t ) 的极小点的一次近似，然后算 出在点 处的函数值 ( ) 。现在我们已有四 个点(t1 , 1 ) ， (t3 , 3 ) 和 ( , ) ，从中找 (t2 , 2 ) ， 出相邻的且满足“两头高中间低”的三点，然后 又以这三点作二次抛物线，……，如此重复下去， 就得到 (t )的极小点的新估计值，直至满足一定 的精度要求（ t2 ）为止。这个方法称 为三点二次插值法。
即从“两头高中间低”的搜素区间开始，我们可以 通过 三点作一条二次插值多项 (t1 , 1 ) (t2， , 2 ) (t， 3 , 3 ) (t1 , t3 ) 式曲线（抛物线），并且认为这条抛物线在区间 上近似于曲线 (t )。于是可以用这条抛物线 P(t ) 的极小点 ，作为 (t ) 极小点的近似。
2
令
P' (t ) 0
，得
' 1 2
(t2 t1 ) t1 ' 2 1 1 (t 2 t1 ) 2
它可作为 (t ) 的极小点的估计值，其算法与前边 类似，此方法称为二点二次插值法。
二次插值
#include<stdio.h>#include<math.h>#define e 0.000002/*主函数*/int main(){double a, b ,*m ,*n, digital;m=&a; n=&b;double function(double x);void searching(double *m,double *n);double chazhi(double x1,double x3);printf("输入初始数值\n");while(scanf("%lf",&a)!=EOF){searching(&a,&b);digital=chazhi(a,b);printf("区间为%lf %lf\n",a,b) ;printf("用二次插值法所求的点=%lf 函数值为%lf\n",digital,function(digital)) ; }return 0;}/*定义函数*/double function(double x){double y;y=x-1/(1-x);return y;}/*进退法确定最优点所在区间*/void searching(double *m,double *n){double x1,x2,x3,f1,f2,f3,f,t;double h=1.0;x1=*m; x2=x1+h;f1=function(x1);f2=function(x2);if(f1>f2) /*判断方向，向前走*/{h=2.0*h;x3=*m+h;f3=function(x3);while(f2>f3) /*缩小区间*/{h=2.0*h;x1=x2; f1=f2;x2=x3; f2=f3;x3=*m+h; f3=function(x3);}*m=x1; *n=x3;}else /*判断方向，向后走*/{h=-h;t=x1; f=f1;x1=x2; f1=f2;x2=t; f2=f;x3=*m+h; f3=function(x3);while(f2>f3) /*缩小区间*/{h=2.0*h;x1=x2; f1=f2;x2=x3; f2=f3;x3=*m+h; f3=function(x3);}*m=x3; *n=x1;}}/*二次插值法*/double chazhi(double x1,double x3){double xp,x2,f1,f2,f3,fp,k;x2=(x1+x3)*0.5;f1=function(x1);f2=function(x2);f3=function(x3);xp=(((x2*x2-x3*x3)*f1+(x3*x3-x1*x1)*f2+(x1*x1-x2*x2)*f3)/((x2-x3)*f1+(x3-x1)*f2+(x1-x2) *f3))*0.5;fp=function(xp);while(fabs(x2-xp)>e){if(fp<f2) /*当fp<f2的情况下*/{if(xp<x2){x3=x2; f3=f2;x2=xp; f2=fp;xp=(((x2*x2-x3*x3)*f1+(x3*x3-x1*x1)*f2+(x1*x1-x2*x2)*f3)/((x2-x3)*f1+(x3-x1)*f2+(x1-x2) *f3))*0.5;fp=function(xp);}else{x1=x2; f1=f2;x2=xp; f2=fp;xp=(((x2*x2-x3*x3)*f1+(x3*x3-x1*x1)*f2+(x1*x1-x2*x2)*f3)/((x2-x3)*f1+(x3-x1)*f2+(x1-x2) *f3))*0.5;fp=function(xp);}}else /*当fp>f2的情况下*/{if(xp<x2){x1=xp; f1=fp;xp=(((x2*x2-x3*x3)*f1+(x3*x3-x1*x1)*f2+(x1*x1-x2*x2)*f3)/((x2-x3)*f1+(x3-x1)*f2+(x1-x2) *f3))*0.5;fp=function(xp);}else{x3=xp; f3=fp;xp=(((x2*x2-x3*x3)*f1+(x3*x3-x1*x1)*f2+(x1*x1-x2*x2)*f3)/((x2-x3)*f1+(x3-x1)*f2+(x1-x2) *f3))*0.5;fp=function(xp);}}}if(fp<f2)k=xp;elsek=x2;return k; }。
第四节黄金分割_二次差值法
f(a1)
f(b1)
a
a1
b1
b
a
a1
f1<f2
f1>f2
b1
b
a
a1
b1
b
f1=f2
(1)f1<f2, 新区间为[a,b1]; (2)f1>f2, 新区间为[a1,b]; (3)如f1=f2, 新区间为[a1,b1]
f(b1) f(a1) f(a1) f(b1)
f1 f 2
f(a1)
新区间为 [a1 , b]
迭代次数
a 2 2
2.8775 3.4165 3.7509 4.2920 b x1 x2 y1 5.7080 3.4165 4.2920 -2.2430 3.4165 -1.8601 4.2920 2.8775
5.7080 比较 y2 < > < > > -1.6227 -2.2430 -2.1870 -2.2430 -2.2480
由于f1>f2, 应继续向前探测
x3= x0+2h=0+2=2 f3=f(x3)=18 由于f2<f3,可知初始区间已经找到，即
[a,b]=[x1,x3]=[0,2]
§3.3
黄金分割法
2）用黄金分割法缩小区间 第一次缩小区间： x1=0+0.382×(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618×(2-0)=1.236, f2=2.72 由于f1<f2, 故新区间[a,b]=[a,x2]=[0, 1.236] 由于 b-a＝1.236>0.2,应继续缩小区间 第二次缩小区间： 令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0+0.382× (1.236-0)=0.472, f1=0.317 由于f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472, 1.236] 由于 b-a=1.236-0.472=0.764>0.2, 应继续缩小区间
《插值方法基本思想》课件
牛顿插值法
总结词
牛顿插值法是一种利用差商来构造插值多项式的方法，具有计算简便、精度高 等优点。
详细描述
牛顿插值法基于差商的性质，通过差商构造出一个插值多项式，该多项式在已 知数据点上与实际值相等，从而实现对未知点的估计。该方法计算简便、精度 高，适用于大规模数据的插值处理。
样条插值法
05
插值方法的发展趋势和未来展望
改进插值算法的稳定性
算法鲁棒性
提高算法对异常值和噪声的鲁棒性，使其 在复杂数据中仍能保持稳定。
适应性调整
根据数据分布特点，自适应地调整插值算 法的参数，以提高稳定性。
多方法融合
结合多种插ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法，取长补短，提高整体 稳定性。
探索更高效的计算方法
并行计算
利用多核处理器或多线程技术，实现插值算法的并行 化，提高计算效率。
插值方法基本思想
CONTENTS
• 插值方法的定义和分类 • 插值方法的数学原理 • 插值方法的应用场景 • 插值方法的优缺点 • 插值方法的发展趋势和未来展
望
01
插值方法的定义和分类
线性插值
总结词
线性插值是一种简单的插值方法，通过 连接两个已知数据点的直线来估计中间 的值。
VS
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过 已知的两个数据点，计算出它们之间的线 性方程，然后利用该方程来估计中间的值 。线性插值的公式为(y = y_1 + (x - x_1) * (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1))，其中(x_1)和 (y_1)是第一个已知数据点，(x_2)和(y_2) 是第二个已知数据点。
优化算法
简化算法步骤，减少不必要的计算量，提高计算速度 。
二次差值法
----对应前面四种情况
stop
第三节 二次插值法
4 .二次插值法注意的几点：
（1）判别框c2=0? 若成立，说明３个插值点在一条 直线上． （２)判别框(x4-x1)(x3-x4)>0? 区间［x1,x3] ． （3) 开关k=0 状态 k=1 别 x2 ，说 x4
第三节 二次插值法
5.练习:
第三节 二次插值法
2.二次插值法区间缩短的4种情况
start Input: a,b,epson x1 x3 ， x2=0.5(x1+x3), fi=f(xi),(i=1,2,3) k=0
3. 程 序 流 程 图
c1←(f3-f1)/(x3-x1), c2←[(f2-f1)/(x2-x1)-c1]/(x2-x3) Y c2=0? N x4←0.5(x1+x3-c1/c2) N (x4-x1)(x3-x4)>0? Y f4←f(x4) Y k=0? N |x4-x2|≤ epson? N Output: x*=x2, f(x*)=f2 Y f4<f2? Output: x*=x4, f(x*)=f4 Y N Y N x4>x2? x3←x4 f3←f4 N f2>f4? x1←x2 f1←f2 Y x3←x2 f3←f2 Y f2>f4? x1←x4 f1←f4 N x2←x4,f2←f4,k←1
若近似程度不满足精度要求时可以反复使用此法从四个点中选取三个点使函数值呈现高低高变化的前提下逐渐的缩短搜索区间二次插值多项式的极小点就逼近原目标函数的极小点
机械优化设计.二次插值法基本思路：
二次插值法又称抛物线法，它的基本思路是： 在寻求函数f(α)极小点的搜索区间内，取三个 点的函数值来构造一个二次插值多项式p(α),用 它的极小点（第四个点）近似地作为原目标函数 的极小点。若近似程度不满足精度要求时，可以 反复使用此法，从四个点中选取三个点，使函数 值呈现“高-低-高”变化的前提下逐渐的缩短搜 索区间，二次插值多项式的极小点就逼近原目标 函数的极小点。
第2章 插值法(1)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 数 值 分 析 》
(2―6) (2―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(2―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
(2―5)
第2章 插值法
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点
《 数 值 分 析 》
x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
第2章 插值法
(2―15)
第2章 插值法
显然
0, j i li ( x j ) , i, j 0,1,2, 1, j i
,n
《 数 值 分 析 》
(2―14)式的Pn(x)是n+1个n次多项式li(x)(i=0,1,2,…,n)的 线性组合,因而Pn(x)的次数不高于n。我们称形如多项式 (2―14)的Pn(x)为拉格朗日插值多项式。Pn(x)还可以写成下 列较简单的形式:
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
第2章 插值法
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
《 数 值 分 析 》
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
2 插值法 计算方法课件及实验 教学课件
xk1 )( x xk1 )( x xk 1 )( xk xk 1 )( xk
xn ) xn
)
称为基本插值多项式.
2.2 Lagrange插值-Lagrange插值多项式
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
n k0
yk
( x x0 ) ( xk x0 )
故可设 Rn( x) K ( x)n1( x)
其中 K ( x) 待定,
对于 [a,b] 上异于 xi的任意一点 x xi 作辅助函数
F (t ) f (t) Pn (t ) K ( x) n1 (t )
则F(t)满足：
(1) F ( x) F ( xi ) 0 (i 0,1,, n)
L1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
显然， l0 (x)及l1 (x)也是线性插值多项式，在节 点x0,x1上满足条件：
l0(x0)=1 , l0(x1)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1.
即
1 lk (x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
于是
F (n1) ( ) 0
f (n1) ( ) K ( x)(n 1)! 0
f (n1) ( )
K(x) (n 1)!
从而定理得证.
例2 估计例1中的截断误差
f ( x) x
解
R1 ( x)
f
" (
2!
)
2
(x)
1 8
32
(
x
x0
)(x
x1
)
[x0 , x1 ]
max R1 (115)
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
二次插值法
一维无约束优化算法——二次插值法二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。
它属于曲线拟合方法的范畴。
一、基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。
如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。
这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。
利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式，式中、、为待定系数。
图1根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。
上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）二．程序框图三．例题及其程序代码1.用二次差值法求f(α)=sinα在4≤α≤5上的极小值2.程序(1) function y=f(x)y=sin(x); …………………….%定义f文件（2）c1=(y3-y1)/(x3-x1);c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);yp=f(ap);……………………%定义f1文件（3）x1=4;x2=4.5;x3=5;e=0.001;y1=f(x1);y2=f(x2);y3=f(x3); ………………%确定初始差值节点h=0.1;c1=(y3-y1)/(x3-x1);c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);yp=f(ap);…% 计算二次插值函数极小点while (abs((y2-yp)/y2)<e)....%判断迭代终止if ((ap-x2)*h>0) 条件if(y2>=yp)x1=x2;y1=y2;x2=ap;y2=yp;f1;elsex3=ap;y3=yp;f1;endelseif (y2>=yp)x3=x2;y3=y2;x2=ap;y2=yp;f1;elsex1=ap;y1=yp;f1;…………………..%缩短搜索区间endendif (y2<yp)xo=x2;yo=y2;elsexo=ap;yo=yp;endxoyo二次插值法四结果分析经过MATLAB运算，结果如上，与解析法运算结果相同，说明二次差值的效果很好。
二次插值
三点二次插值法例1. 用三点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。
解：首先找出满足123()()()t t t ϕϕϕ><且123t t t <<的1t ，2t ，3t ； 易知，10t =，20t =，30t =；第一次迭代：1()1t ϕ=，2()0t ϕ=，3()22t ϕ=，代入公式，得：0.625μ=，由于()()20.0060t ϕμϕ=-<=， 并且20.375t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.625t μ==，321t t == 第二次迭代：()11t ϕ=，()20.006t ϕ=-，()30t ϕ=， 代入公式，得：0.808μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-<=-， 并且 20.183t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：120.625t t ==，20.808t μ==，331t t == 第三次迭代：()10.006t ϕ=-，()20.089t ϕ=-，()30t ϕ=， 代入公式，得：0.815μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-==-， 并且 20.007t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.815μ=或0.808μ=。
三点二次插值法例1 用二点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。
解：首先找出'1()0t ϕ<，'2()0t ϕ>且12t t <的1t ，2t ，由于'2()32t t ϕ=-，则易知10t =，22t =， 第一次迭代：1()1t ϕ=，1()2t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.5μ=，由于{}12()0.125min (),()t t ϕμϕϕ=<，() 1.250ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.5i i t με=-=>，则继续迭代； 这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.5t μ==，222t t ==，第二次迭代：1()0.125t ϕ=，1() 1.25t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.7083μ=，由于{}12()0.0613min (),()t t ϕμϕϕ=<，()0.49490ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.5833i i t με=-=>，则继续迭代； 这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.7083t μ==，222t t ==，第三次迭代：1()0.0613t ϕ=-，1()0.4949t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.7916μ=，由于{}12()0.0872min (),()t t ϕμϕϕ=-<，()0.12010ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.0833i i t με=-=>，则继续迭代；这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.7916t μ==，222t t ==，第四次迭代：1()0.0872t ϕ=-，1()0.1201t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.8084μ=，由于{}12()0.0885min (),()t t ϕμϕϕ=-<，()0.03950ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.0178i i t με=-=>，则继续迭代；这时迭代点：()0ϕμ'<，1()0t ϕ'<，2()0t ϕ'<，12t t μ<<， 则令：10.8084t μ==，222t t ==，第五次迭代：1()0.0885t ϕ=-，1()0.0395t ϕ'=-，2()5t ϕ=， 代入公式，得：0.8139μ=，由于{}12()0.0886min (),()t t ϕμϕϕ=-<，()0.01270ϕμ'=-<，2()()0t ϕμϕ''<， 并且1,2min 0.0055i i t με=-=<，则停止迭代，输出近似最优解：0.8139μ=。
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ti ，若 min ti 则停止迭 3. 判断 min i 1,2 i 1,2 代，输出函数值最小的那点；否则转到4；
2. 求
和 ( )
；
3. 判断 t2 ，若 t2 则停止迭代，输 出函数值最小的那点；否则转到4；
4.找新的 t1， t 2 ， t 3 ，从 (t1 , 1 ) ，(t2 , 2 ) ，(t3 , 3 ) 和 ( , ) 找出满足 “两头高中间低”的相邻三 点分别作为新的 ， ，转到2。 t1 t 2 ， t 3
2
令
P' (t ) 0
，得
' 1 2
(t2 t1 ) t1 ' 2 1 1 (t 2 t1 ) 2
它可作为 (t ) 的极小点的估计值，其算法与前边 类似，此方法称为二点二次插值法。
1' (t2 t1 ) 2 t1 ' 2 2 1 1 (t2 t1 )
4.3 二次插值法（抛物线插值法）
演讲者：刘楠
4.3.1 基本思想
(t ) 的解 t * 问题求解 min ，我们利用 (t ) 在某些点 t R 的信息去构造一个插值多项式 P(t ) ,用 P(t ) 去拟合 (t ) ，然后求出P(t ) 的极小点 ，以 作为 t * 的估计值。通常取 P(t ) 为二次或三次多项式， 即得到二次或三次插值法。二次插值法的特点就是把 插值多项式 P(t ) 取为二次多项式。
1
4.3.2 三点二次插值法
设已知函数在三点 t1 ， t 2 ， t 3 且 t1 t2 t3 2 和 3 ，为了保证在区间 处的函数值为 1 ， (t1 , t3 ) 内存在着函数 (t ) 的一个极小点，在选取 t1， t 2 和 t 3 时要求它们满足条件
(t1 ) (t2 ) (t3 )
(t2 , 2 ) 和 ( , ) 找 4.找出新的 t1 ， t 2 ，从(t1 , 1 ) ， 出函数值最小的那点和与其满足满足 条件1的另一 t 2 ， 转到2。 点作为新的 t1 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.3.3 二点二次插值法
如果知道一点的函数值和导数值及另一点的函数 值，也可以用二次插值法。
已知 (t ) 在 t1 处的函数值 1 和导数值 1 0 以及在另一点 t 2 处的函数值 2，我们可以作 二次多项式 P(t ) ，使其满足下列条件 P(t1 ) 1 P' (t1 ) '1 P(t2 ) 2
2 2 2 2 1 (t2 - t3 ) 2 (t3 - t12 ) 3 (t12 - t2 ) 2 (t2 - t3 )1 (t3 - t1 )2 (t1 - t2 )3 t2 ， t 3 ， 满足 t1 t2 t3 1. 找 t1 ， 和 (t1 ) (t2 ) (t3 ) ；
即从“两头高中间低”的搜素区间开始，我们可以 通过 三点作一条二次插值多项 (t1 , 1 ) (t2， , 2 ) (t， 3 , 3 ) (t1 , t3 ) 式曲线（抛物线），并且认为这条抛物线在区间 上近似于曲线 (t )。于是可以用这条抛物线 P(t ) 的极小点 ，作为 (t ) 极小点的近似。
(t 3, 3 ) 的抛物线为 (t 2 , 2 ) ， 设通过三点 (t1 , 1 ) ，
P(t ) a0 a1t a2t , a2 0
2
使得
P(t1 ) a0 a1t1 a t 1
2 21
P(t2 ) a0 a1t2 a2t2 2
2
'
为保证二次插值 P(t ) 有极小点，要求 2 1 '1 (t2 t1 ) 或 '2 0 由条件易得
P(t ) A(t t1 )2 B(t t1 ) C
' C B 其中 1 1
A
2 1 1' (t2 t 1 )
(t2 t1 )
P(t3 ) a0 a1t3 a t 3
2 23
从上面的三个方面解出 a0 , a1 , a2 可以得到
(t t2 )(t t3 ) (t t3 )(t t1 ) (t t1 )(t t2 ) P(t ) 1 2 3 (t1 t2 )(t1 t3 ) (t2 t3 )(t2 t1 ) (t3 t1 )(t3 t2 )
然后求 P(t ) 的极小点。 令 P' (t ) 0，可解得 2 2 2 2 1 (t2 t3 ) 2 (t3 t12 ) 3 (t12 t2 ) 2 (t2 t3 )1 (t3 t1 )2 (t1 t2 )3
点 即为 (t ) 的极小点的一次近似，然后算 出在点 处的函数值 ( ) 。现在我们已有四 个点(t1 , 1 ) ， (t3 , 3 ) 和 ( , ) ，从中找 (t2 , 2 ) ， 出相邻的且满足“两头高中间低”的三点，然后 又以这三点作二次抛物线，……，如此重复下去， 就得到 (t )的极小点的新估计值，直至满足一定 的精度要求（ t2 ）为止。这个方法称 为三点二次插值法。