第三章连续小波变换和离散小波变换.

ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
然后在尺度因子 a=1 处的小波向右移动 τ 个单位到 b=τ 处，在 a=1，b=τ 处计算 CWT，这相当于得到了时 间—尺度平面上对应于点 a=1，b=τ 的变换值。 重复上述过程， 直到到达信号的结束。 这时对应于尺 度因子 a=1 的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。 然后 a 的值增加一点点。本来这是一个连续变换， 因此 b 和 a 的值应该连续增加。但如果用计算机来计算 小波变换的话，则 b 和 a 都必须以小步长增加。这就相 当于对时间—尺度因子相平面进行采样。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
在地图中，在同样的图幅中，比例尺越大，地图所表示 的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越 小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度 越低。小比例尺（小于一百万分之一）得到的是整个地区的 地形概貌，细节不多，而大比例尺（大于万分之一）得到的 是局部地区的细节。类似地，在信号分析中，低频率段（大 尺度因子段，相当于小比例尺）对应一个信号的整体信息（ 时间跨度大），而高频率段（小尺度因子段，相当于大比例 尺）对应信号中一个内在模式的详细信息（时间跨度小）。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |

4
)
ˆ ( )=ie h

4
它就是后面提到的 db1 小波。

Morlet 小波
(t)=e e i t ， 5
t2 2
0
0
ˆ
( )=
2
e

( 0 ) 2 2
Marr 小波(墨西哥草帽小波)
(t)=(1-t2)e
ˆ ( )=
2
2

t2 2
Hale Waihona Puke 定义 3.3 设ψ(t)是一个小波函数， 则连续小波变换(CWT) 定义如下：WT f(a,b)=
1 a

R
f (t ) (
t b )dt a
从定义可知，小波变换与 Fourier 变换一样，都是一种 积分变换，但从上述方程可以看出，变换后的信号是两个变 量的函数：一个是平移参数 b，另一个是尺度参数 a。即小 波变换将一个时域函数变换到二维的时间—尺度相平面上。 函数 f(t)在某一尺度因子 a、平移参数 b 上的小波变换系数 ，表征的是在 b 位置处，时间段 2a t 内包含的中心频率为
首先将小波置于信号的起始（t=0）。尺度因子为 1 的小波函数与信号相乘，然后关于 t 在 R 上积分。积分值 乘以常数
1 a （主要是为了使能量规范化，以便变换后的信
号有每个尺度上都有相同的能量）。最后所得的结果就是 CWT 在 a=1，b=0 时的值，这对应于时间—尺度因子平 面上点 a=1，b=0 的变换值。
1
2

2
R
t | (t ) | 2 dt ，
2
0= || ˆ || R | ˆ ( ) |

1
d
t= || || [
2
1
R
(t t 0 ) 2 | (t ) | 2 dt
] ，
1
1 2

=
1 ˆ || 2 ||
[
R
ˆ ( ) | 2 d ] 2 ( 0 ) 2 |
t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，’db3’，’plot’)； title(’对不同的尺度小波变换系数值’)； Ylabel(’尺度’)； Xlabel(’时间’)；
2
2
e

Daubechies小波（dbN小波）
Db4尺度函数与小波
1.4
2
1.2
1.5
1 0.8 0.6 0.4
0 1 0.5
0.2
-0.5
0 -0.2 -0.4
-1 -1.5 -2
0
1
2
3
4
5
-1
0
1
2
3
Db6尺度函数与小波
Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 图1.5
3.4 离散小波变换(DWT， Discreet Wavelet Transform)
由于大量的计算都要由计算机来进行。显然 Fourier 变换、WFT 和小波变换都不能用它们的积分形式计算。变 换需要进行离散化。 而且由于 CWT 中存在信息表述的冗余 性（Redundancy） ： （1）由 CWT 恢复原信号的重构公式 不唯一； （2）小波函数存在许多可能的选择（如非正交、 半正交、双正交和正交小波等） ，从数值计算和数据压缩的 角度看， 我们总希望尽量减少 CWT 的冗余度。 因此就像在 Fourier 变换和 WFT 中一样，要对时间—频率（尺度）相 平面进行采样。在小波变换中，随着尺度的改变采样率也 可加以改变。在低频段，采样率可减低以节省大量计算时 间。
第三章 连续小波变换和离散小波变换
3.1 连续小波变换（CWT， Continuous Wavelet Transform）
CWT 用来代替窗口傅里叶变换(WFT)以克服分辨率不 能随时间与频率的不同而改变不变的问题。 当窗口函数选定 之后，对 WFT 来说，时-频窗的窗口形状是固定的，它不能 随着所欲分析的信号成分是高频信息或低频信息而相应变 化，而非平稳信号都包含丰富的频率成分，所以，它们对非 平稳信号的分析能力是很有限的。小波变换类似于 WFT， 即信号用小波相乘，对时域信号的不同时间段计算小波变 换。
ˆ (0) = R (t )dt =0。“母”指的是小波变换中用到的基函数
都是从它生成的。即母小波是生成其它窗函数的样本。
定义 3.2 设 ψ(t)是一个小波函数。 对它进行伸缩和平移变 换得
a ,b (t )
1 t b ( )，a 0，b R a |a|
其中 a 为伸缩因子（尺度因子，scale） ，b 为平移因子。称
对 a 的每个值重复上述过程。对每个 a 的计算都 得到时间—尺度平面上对应一行的点的变换值。 当对所 有需要的 a 进行完毕时， 我们就得到了信号的 CWT 在 各种尺度、各个位置上的小波系数。 通过平移小波， 我们得到了信号的时域局部化， 而 通过改变 a 的值，我们得到了信号的频域局部化。
如果该信号有一个对应于当前尺度因子 a 的频率 成分， 则在该频率成分出现的地方， 小波和信号的内积 （对应时间—尺度平面上的点的 CWT）有一个较大的 值。如果该信号没有一个对应于当前尺度因子 a 的频 率成分， 则小波和信号的内积 （对应时间—尺度因子平 面上的点的 CWT）有一个较小或为 0 的值。 因此，对每对尺度因子值和时间（段） ，我们计算 出了时间—尺度因子相平面上的一个点。 对应于一个尺 度因子值的计算结果对应于平面上的一行， 不同尺度因 子上的计算结果对应于平面上的列。
2）海森堡测不准原理告诉我们：在任何尺度因子 a 和 平移因子 b 上，小波基函数 a,b (t ) 的时—频窗面积是不变的， 即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提得很高。
小尺度因子 高频 持续时间短 窄的时间窗口，宽的频率窗口 大尺度因子 低频 持续时间长 宽的时间窗口，窄的频率窗口
程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深，表示系数的值 越大。
图1.11
3.3 几种常用的连续小波基函数
Harr 小波（1910 年由数学家 A. Harr 提出）
1 0 t 1 2 1 t 1 1 2 0 else

2
h(t)=
i
sin 2 (
和 WFT 在所有时间和频率都有相同的分辨率不一 样， 小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分 辨率，而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨 率。 即小尺度因子 （对应高频段） 有更好的尺度分辨率 （即能更精确地确定尺度因子的值） ，大尺度因子对应 于更差的尺度分辨率。
例 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下：