第四章线性规划进一步讨论
线性规划问题的图解法
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
线性规划问题的图解法
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
线性规划教案
线性规划教案一、教案概述本教案旨在介绍线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，帮助学生掌握线性规划的基本理论和应用技巧。
通过理论讲解、示例分析和实践操作等多种教学方法，使学生能够灵活运用线性规划方法解决实际问题。
二、教学目标1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划模型的建立方法；3. 学会使用单纯形法和对偶理论求解线性规划问题；4. 能够应用线性规划解决实际问题。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和特点1.2 线性规划的基本术语和符号1.3 线性规划的应用领域2. 线性规划模型的建立方法2.1 目标函数的建立2.2 约束条件的建立2.3 决策变量的定义3. 单纯形法的基本原理和步骤3.1 单纯形表格的构建3.2 单纯形法的迭代计算过程3.3 单纯形法的终止条件和解的判定4. 对偶理论及其应用4.1 对偶问题的建立4.2 对偶问题与原始问题的关系4.3 对偶理论在线性规划中的应用5. 实际问题的线性规划求解5.1 生产计划问题的线性规划求解5.2 运输问题的线性规划求解5.3 投资组合问题的线性规划求解四、教学方法1. 理论讲解：通过教师讲解线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，让学生对线性规划有全面的认识。
2. 示例分析：通过具体的实例分析，引导学生理解线性规划模型的建立过程和解题思路。
3. 实践操作：提供一些实际问题，让学生运用线性规划方法进行求解，并对结果进行分析和讨论。
4. 讨论交流：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和经验，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
1. 课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检验学生对线性规划的理解和应用能力。
2. 作业布置：布置一些课后作业，要求学生独立完成线性规划问题的求解，检验学生的独立思考和解决问题的能力。
3. 实践项目：组织学生参与一些实际项目，运用线性规划方法解决实际问题，并进行报告和评估。
六、教学资源1. 教材：《线性规划教程》2. 多媒体教学课件：包括线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧的讲解和示例分析。
线性规划
数学建模试验报告（一）姓名 学号 班级 问题：（线性规划）某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.问题的分析和假设：此问题为用线性规划求解最佳分配方案，合理安排原料与工人使工厂利润达到最大化。
由题意：假设： 1x 为生产甲产品的百箱数2x 为生产乙产品的百箱数z （万元）为生产甲产品1x 百箱，乙产品2x 百箱所获的利润值原料（Kg ） 工人 利润（万元） 甲（/百箱） 6 10 10 乙（/百箱） 5 20 9 总计 60 150建模：目标函数：max 12109z x x =+原料分配：126560x x +=工人分配：121020150x x +=甲产量约束：108x ≤≤乙产量约束：20x ≥模型为：max 12109z x x =+S.t. 126560x x +=121020150x x +=108x ≤≤20x ≥求解的Matlab程序代码：新建.M文件，代码：c=[-10,-9];A=[6,5;10,20;1,0];b=[60;150;8];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)计算结果与问题分析讨论：计算结果：Optimization terminated.x =6.42864.2857fval =-102.8571结果分析：由计算结果可知：当甲饮料生产642箱，乙饮料生产428箱时利润达到最大值，最大利润为102.8万元。
问题讨论：（1）若增加1Kg原料，用上述模型运算得到的最大利润为104.4万元，即投资0.8万元增加1Kg原料可提高1.6万元的利润，可做这项投资。
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
2020年整理《管理运筹学》复习提纲.pdf
少量），其允许增加（减少）百分比均看作零。 （2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过 100%，
最优解或对偶价格并不一定变化。 （3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边
常数值同时变化的情况。这种情况下，只能重新求解。
学海无涯
在松弛/剩余变量栏中，约束条件 2 的值为 125，它表示对原料 A 的最低需求，即对 A 的 剩余变量值为 125；同理可知约束条件 1 的剩余变量值为 0；约束条件 3 的松弛变量值为 0。
课本重点习题：P34-38 习题 1 2 3 4 第四章 线性规划在工商管理中的应用(P39-P66)
包括：人力资源分配的问题
生产计划的问题 套裁下料问题
配料问题
学海无涯
投资问题
§1人力资源分配问题
例 1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数 如表 4-1 所示。
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作 8h， 问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备最 少司机和乘务人员的人数最少？
线性规划的进一步讨论
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
s.t.
x1
0
d1+
BБайду номын сангаас
d2+
A
d3-
G
E
D
C
d2-
所以满意域为线段GD
A
B
C
D
E
F
d1-
d2+
满意解为点E， x1=24,x2=26 d1- = d2+ =d3-=0 d4-=4
d3-
d4-
x1 + x2 + d1- - d1+ =40 st. x1 + x2 + d2- - d2+ =50 x1 + d3- - d3+ =24 x2 + d4- - d4+ =30 x1,x2, di-,di+ ≥0 i=1,2,3,4
∑aij xj ≤（=，≥） bi ，i =1，2，…，m
j =1
n
xj ≥ 0 , j =1，2，…，n
dk- ，dk+ ≥ 0 , k =1，2，…，K
S.t.
图解法求解目标规划
x2
2x1 + x2 ≤11 x1 - x2 + d1- - d1+ =0 x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10 8x1 + 10x2 + d3- - d3+ =56 x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
解退化的处理
5
3
1
2
0
0
1.一般产销不平衡运输问题 1)总产量 > 总销量 产销不平衡运输问题的处理 产销不平衡问题 产销平衡问题 假想一销地Bn+1，令销量为 ，运价c = 0
线性规划
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解，而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b，下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b，又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解，即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域，记作：
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解，同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在，则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的，那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个，故Ax=b的系数矩阵A的秩为m，于是A中必有m 个列向量是线性无关的，不妨假设A中的前m个列向量线性无关，则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵，用矩阵B表示：
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的，若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束，即：
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解，简称基可行解，称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解
线性规划教案
线性规划教案1. 引言线性规划是一种优化问题的数学建模方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。
本教案旨在介绍线性规划的基本概念、模型构建和求解方法，匡助学生理解和应用线性规划。
2. 知识目标- 理解线性规划的基本概念和特点；- 能够根据实际问题构建线性规划模型；- 掌握线性规划的求解方法。
3. 教学内容3.1 线性规划的基本概念- 定义线性规划及其应用领域；- 理解线性规划的目标函数、约束条件和可行域的概念；- 了解线性规划问题的分类。
3.2 线性规划模型的构建- 根据实际问题确定决策变量；- 建立目标函数和约束条件；- 描述可行域。
3.3 线性规划的求解方法- 图形法：通过绘制可行域和目标函数的等高线图，找到最优解；- 单纯形法：通过迭代计算，找到最优解；- 整数规划的求解方法。
4. 教学过程4.1 导入活动通过给学生提出一个实际问题，引起学生对线性规划的思量和兴趣。
4.2 知识讲解详细介绍线性规划的基本概念、模型构建和求解方法，结合实例进行讲解，匡助学生理解和掌握。
4.3 练习与讨论让学生通过练习题和小组讨论的方式，巩固所学的知识，培养解决实际问题的能力。
4.4 案例分析选择一个实际案例，引导学生运用线性规划的方法进行分析和求解，培养学生的实际应用能力。
5. 教学资源- PowerPoint演示文稿；- 练习题和答案；- 实际案例和解答。
6. 教学评估通过课堂练习、小组讨论和案例分析等方式，进行教学评估，了解学生的学习情况和掌握程度。
7. 教学延伸鼓励学生进一步探索线性规划的高级技巧和应用领域，如灵敏度分析、多目标规划等。
8. 总结通过本教案的学习，学生应能够理解线性规划的基本概念和特点，能够构建线性规划模型并运用求解方法，提高解决实际问题的能力。
9. 参考文献- Hillier, F. S., & Lieberman, G. J. (2022). Introduction to operations research. McGraw-Hill.- Chvátal, V. (1983). Linear programming. W. H. Freeman.以上是关于线性规划教案的详细内容，希翼能够对您的教学有所匡助。
Simplex Method
表格单纯形法 人工变量法
单纯形法
单纯形法的一般原理
线性规划问题的进一步讨论 改进单纯形法
2.1
• • • • • • 1 2 3 4 5 6
单纯形法的一般原理
引例 初始基可行解的确定 最优性检验 基变换 迭代（旋转运算） 解的判别定理
在上一讲中，我们已经知道，若LP问题有最优解，必在 某个顶点上达到。即在某个基本可行解上的达到最优解。 因此最容易想到的是：对LP问题，把所有基本可行解找出 来，然后逐个进行比较，求出最优解。我们称之为“枚举 法”。但此法在决策变量较多的时是不可行的，因为基本 m C n ，但随着m,n的增大迅速地增大，使得 可行解的个数 枚举法事实上不可行。如
1 2 3
(1 6)
1 引例
高斯消去法
• 将(1-6)式中x2的系数列向量变换为单位列向量。 其运算步骤是： • ③′=③/4；①′=①-2×③′;②′=②, • 并将结果仍按原顺序排列有：
1 x3 2 x1 x5 2 x4 16 4 x1 1 x2 3 x5 4
P x
j 1 j
n
j
b
xj 0
的系数构成的列向量Pj(j=1,2,…,n)中，通过直接观察，找出一 个初始可行基
1 1 B P , P2 , Pm 1 1
2 初始基可行解的确定
(2)加松弛变量
对所有约束条件为“≤”形式的不等式，利用化标准型的方 法，在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理， 重新对xj及aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)进行编号，则可得下列 方程组（x1,x2,…,xm 为松弛变量）：m 1 am xn
东北大学管理科学与工程专业运筹学辅导讲义
东北大学运筹学高分辅导讲义.........................................................................................................1 目录 ....................................................................................................................................................3 2015 年硕士研究生统一入学考试《管理与运筹学》考试大纲 ....................................................4 2016 年硕士研究生统一入学考试《运筹学》考试大纲（150 分） .............................................5 2017 年管理科学与工程专业硕士研究生统一入学考试《运筹学》考试大纲（150 分） .........7 第一章 线性规划与单纯性法.......................................................................................................10 第二章 对偶理论和灵敏度分析...................................................................................................18 第三章 运输问题...........................................................................................................................30 第五章 整数规划...........................................................................................................................36 第八章 动态规划的基本方法.......................................................................................................43 第九章 动态规划应用举例...........................................................................................................46 第十四章 对策论基础...................................................................................................................51 第十五章 单目标决策...................................................................................................................59
运用单纯形表求解线性规划问题难点
第3章 运输问题
• 产销不平衡的运输问题
产大于销： 虚设一个销地 Bk (多于物资在产地存储)，其运价为0，
销量(存储量)为产销量之差 bk =ai- bj。
产小于销： 虚设一个产地 Al (不足物资的脱销量)，其运价为0，产 量(脱销量)为销产量之差 ak = bj - ai 。 带存储费或缺货费的产销不平衡运输问题
第2章 对偶理论
初始正则解(对偶可行) 是则停止
检查可行
得最优解
否 选出基变量
进行旋转变换
选入基变量
检查 是否无可 行解
是则停止 无最优解
否
第2章 对偶理论
4、灵敏度分析
• 价值系数C发生变化的情况 • 右端常数b发生变化 • 系数阵A的元素发生变化
(1)增加1个新变量; (2) 增加1个约束条件.
第1章 线性规划
7、LP解在单纯形中的讨论
① ② ③ ④ ⑤ LP无解的条件; LP有无界解的条件; LP有无穷解的条件; LP有惟一解的条件; LP有退化解的条件.
第1章 线性规划
8、单纯形中确定最优基及其逆的方法
在初始单纯形表中, 与最终表里的单位阵对应的矩 阵即为最优基B*; 在最终表中, 与初始单纯形表里的单位阵对应的矩 阵即为最优基的逆(B*)-1.
第3章 运输问题
• 方案改进（闭回路调整法）
(1) 确定进基变量 (2) 确定离基变量
– 非基变量xlk进基之后，要求它的运量增加量按照它所在行和列的 运量保持产销平衡。保持产销平衡的方法是闭回路法。 – 闭回路法：以进基变量xlk所在格为始点和终点，其余顶点均为基 变量的封闭回路。 – 闭回路的画法：从进基变量xlk所在格开始，用水平或垂直线向前 划，每碰到一个基变量格转90º ，继续前进，直到返回始点。 – 奇偶点： 始点是偶点，依次奇偶相间标注；偶点标“+” ，表示运 量增加量；奇点标“-” ，表示运量减少量。 – 调整量：最大可调整的运量，为奇点运量的最小值。 奇点运量的最小值所在格的基变量离基。
初中 线性规划教案
初中线性规划教案课程目标：1. 了解线性规划的概念和意义；2. 学会建立线性规划模型；3. 掌握简单的线性规划解法；4. 能够应用线性规划解决实际问题。
教学重点：1. 线性规划的概念和意义；2. 线性规划模型的建立；3. 线性规划的解法。
教学难点：1. 线性规划模型的建立；2. 线性规划的解法。
教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示线性规划的相关概念和例题；2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用线性规划解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：介绍线性规划在实际生活中的应用，如物流配送、生产计划等；2. 提问：什么是线性规划？为什么需要线性规划？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解线性规划的定义和意义；2. 讲解线性规划模型的建立方法，如目标函数、约束条件等；3. 讲解线性规划的解法，如图解法、代数法等。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解一个简单的线性规划例题，引导学生跟随解题过程；2. 让学生分组讨论，尝试解决其他线性规划问题。
四、应用练习（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生应用线性规划解决；2. 引导学生思考如何将实际问题转化为线性规划模型；3. 引导学生思考如何选择合适的解法求解。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结线性规划的概念、模型建立和解法；2. 强调线性规划在实际生活中的应用价值。
教学反思：本节课通过讲解线性规划的概念、模型建立和解法，让学生了解线性规划的基本知识，并能够应用线性规划解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考实际问题与线性规划之间的联系，培养学生的应用能力。
同时，也要注意让学生掌握线性规划的解法，提高他们的解决问题的能力。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
27
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
28
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解的概 念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最 大值的可行解称为最优解。
21
清华大学出版社
2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变 量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩 余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
线性规划(单纯形法)
不难看出x 可作为初始基变量，列单纯形表计算。 不难看出 4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
单纯形法的进一步讨论－ 单纯形法的进一步讨论－人工变量法
Page 17
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： 故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： max Z = 3x1 − x2 − x3 + 0x4 + 0x5－Mx6 − Mx7
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 11 − 4x + x + 2x − x + x = 10 1 2 3 5 6 − 2x1 + x3 + x7 = 1 x j ≥ 0, j = 1,2,L,7
确定换出变量。根据下式计算并选择θ 选最小的θ对应基 ② 确定换出变量。根据下式计算并选择 ，选最小的 对应基
单纯形法的计算步骤
③
Page 6
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 用换入变量 替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 替换基变量中的换出变量 对应新的基可以找出一个新的基可行解， 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。 一个新的单纯形表。
4 4 2
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -2 1/2 -3/2
1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 1 0 0
lesson线性规划问题案例建模及讨论
进一步讨论： 5 1.将目标函数变为所用原材料“根数最少”，即minz x j 约束条件不变，利用LINGO软件计算， 用Lingo求解 最优解为：方案Ⅱ下40根，方案Ⅲ下30根，方案Ⅳ下20根。 2.约束条件的改进及完善 m i nz 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x1 2 x 2 x4 100 在求解线性规划问题时，若约束条件为等式约束， 则容易产生无可行解。 2 x 3 2 x4 x5 100 因此在建模的时候，尽量避免使用等式约束。 3 x1 x 2 2 x 3 3 x5 100 对于此例，如果条件改为“要求制作 x j 0( j 1, ,5) 29套”钢筋架子， 目标函数仍然用“余料最少”，则相应的模型为：
方案Ⅳ用 x4 根，方案Ⅴ用 x5 根。
则线性规划模型为：
m i nz 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x4 100 x1 2 x 2 2 x 3 2 x4 x5 100 3 x5 100 3 x1 x 2 2 x 3 x j 0( j 1, ,5)
min z x2 x3 x4 x5 x1 2 x2 x4 111 2 x 2 x x 111 4 5 3 3 x1 x2 2 x3 3 x5 111 x j 0且为整数( j 1, ,5)
返回 首页
结果为： 方案Ⅰ下32根， 方案Ⅱ下12根，
用Lingo求解
无可行解
线性规划退化解的进一步讨论
Further Discussion of the Meaning of Degenerate Solution in the Linear Programming 作者： 张汉斌
作者机构： 石家庄铁道学院经济管理分院,河北石家庄050043
出版物刊名： 邢台职业技术学院学报
页码： 54-56页
主题词： 退化;多重解;影子价格;资源配置
摘要：本文说明了退化情况以及出现退化情况的原因。
退化带来了一系列问题：降低了单纯形法的效率，会使最优解误判；利用互补松弛性求不出对偶问题的最优解；多重判别准则失效；资源影子价格不惟一情形的存在等。
并指出退化解与多重解反映了众多市场参与者在资源供求方面的多种均衡解，从而与经济学中的完全竞争市场理论联系起来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x1,x2,x3,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
取x3、d1-、 d2- 、 d3-为初始基变量，列初始单纯形表 4-2
cj
0
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0
CB XB b
x1
x2
x3
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 11 2 1 1 0 0 0 0 0 0
因为x2的检验数≤0且最小，故确定x2为换入变量
继续迭代，得单纯形表 4-3
cj
0
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0
CB XB b
x1
x2
x3
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 6 3/2 0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 d1- 5 3/2 0 0 1 -1 1/2 -1/2 0 0
继续迭代，得单纯形表 4-4
cj
0
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0
CB XB b
x1
x2
x3
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 3 0 0 1 0 0 2 -2 -1/2 1/2
0 d1- 2 0
0 0 1 -1 3 -3 -1/2 1/2
0 x2 4 0
1 0 0 0 4/3 -4/3 -1/6 1/6
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
2x1 + x2
≤11
x1 - x2 + d1- - d1+ =0
s.t. x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10
8x1 + 10x2 + d3- - d3+ =56
x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
3
9
销量
3
6
5
6
2) 沃格尔法
B1 3
A1
B2 11
B3 3
5
B4 产量 行罚数
10
2
7 0 0 0 70
1
9
2
8
3 A2
1
4 1 1 1 60
7
4
A3
6
销量
3
6
列 罚 数
2 2 2
5
10
5
3
9 12
5
6
1
3
1
3
1
2
1
2
2
2、解的最优性检验 1) 闭回路法
B1 3
A1 1
1
A2
3
7 A3
B2 11
i1
j1
st ui + vj ≤ cij i=1, …, 3 j=1, …,4
ui , vj无约束
检验数：σij = cij –CBB-1Pij = cij –y*Pij = cij –(u1 … um ,v1 …vn) Pij = cij – (ui+vj)
目标规划模型的一般形式：
Min
K
﹛Pl（∑k =（1
wlk-dk-
+
wlk+dk+
））,l=1,2…,L﹜
n
∑j =a1 ij xj
≤（=，≥） bi
，i =1，2，…，m
S.t.
n
∑ckj xj
+ dk- - dk+ = gk
，
k =1，2，…，K
j =1
xj ≥ 0 , dk- ，dk+ ≥ 0 ,
C
d3-
D
E
d1- F
d2+
AB
x1=24,x2=26 为满意解
d4-
4.1.4 解目标规划的单纯形法
目标规划可以用单纯形法求解。
检验数是各优先因子的线性组合，其正负首先决定于P1 的系数的正负。若为正，此时检验数的正负就决定于P2 的系数的正负，依此类推。
目标规划问题以检验数非负作为最优准则。
1 0 -1/3 1/3 1/3 -1/3 0 0
0 x1 10/3 1 0 0 2/3 - 2/3 1/3 -1/3 0 0
P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
cj-zj
P2 0 0 0 0 0 1 1 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
所以得到另一个满意解x1=10/3, x2=10/3，此解相当于图41中点D。G、D两点的凸线性组合都是例4.2的满意解。
= 4 u2
x31+x32+x33+x34= 9 u3
x11
+x21
+x31
= 3 v1
x12
+x22
+x32
= 6 v2
x13
+x23
+x33 = 5 v3
x14
+x24
+x34= 6 v4
xij≥0 , i=1, 2, 3 ; j=1, 2, 3, 4
对偶问题
3
4
max
aiui
bjv j
j =1，2，…，n k =1，2，…，K
6
x2
B
4.1.3 目标规划的图解法
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
2x1 + x2
≤11
x1 - x2 + d1- - d1+ =0
s.t. x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10
8x1 + 10x2 + d3- - d3+ =56
x34
=6 ≥0
运输问题含有m×n个变量，m+n个约束方程。其系数矩阵的结构比
较特殊，对应变量xij的系数向量，其分量中除第i个和第m+j个为1以 外，其余的都为零
模型中只有个相互独立的约束方程。因此，运输问题的任一基可行解 都有m+n-1个基变量 。
4.2.3 运输问题的表上作业法
A1 A2 A3 销量
4.2 运输问题
供应地
运价
a1=7 A1
3 11
130
1
总 产
a2=4 A2
9 2
量
8 7
a3=9 A3
4 10 5
需求地
B1 b1=3
B2 b2=6
总
销
B3 b3=5
量
B4 b4=6
当总产量 = 总销量，称为产销平衡问题 当 总产量≠总销量，称为产销不平衡问题
产销平衡的运输问题的数学模型如下
minz= 3x11 +11x12 +3x13 +10x14 +x21 +9x22 +2x23 +8x24 +7x31 +4x32 +10x33 +5x34
第四章 线性规划进一步讨论
4.1 目标规划 4.2 运输问题
4.1 目标规划基本概念
（1）偏差变量 d+：正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分 d-：负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分 按定义有：d+ ≥0， d- ≥0 ，d+ • d- = 0
（2）绝对约束和目标约束 绝对约束（硬约束）：必须严格满足的约束条件
B1 3
x11
1
x21
7
x31
3
B2 11
x12
9
x22
4
x32
6
B3 3
x13
2
x23
10
x33
5
B4
产量
10 7
x14
8 4
x24
5 9
x34
6
20
1、给出运输问题的初始基可行解（初始调运方案） 1）最小元素法
B1 3
A1
B2 11
B3 3
4
B4
产量
10
3
7
1
A2 3
9
2
1
8 4
7
4
A3
6
9
5
E
G
d1+
x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
DC
所以满意域为线段GD
d2+
d3- d2-
x1
0
A
min{ P1d1- , P2d2+ , P3d3- , P4d4- }
x1 + x2 + d1- - d1+ =40
st. x1 + x2 + d2- - d2+ =50 x1 + d3- - d3+ =24 x2 + d4- - d4+ =30 x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3,4
例4.4 试用单纯形法求解例4.2。 解：首先将此目标规划模型化为线性规划标准形式：
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
2x1 + x2 +x3
=11
x1 - x2 + d1- - d1+ =0 s.t. x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10
A1 1
1