五校联考文科数学试卷

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江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷含解析

江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（） A ．13B ．23C ．33D ．233．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（） A ．B ．C ．1D ．24．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A 3236π+ B ．836πC 323163π D ．16833π5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件6．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．134B ．866C ．300D ．50010．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省高三数学文科五校联考试卷人教版

浙江省高三数学文科五校联考试卷人教版本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合a B A a x Z x B A 的实数则满足集合≠⊂≤∈=--=}.|||{},2,1,0,1,2{可以取的一个值为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知l ,m 为两条直线，则下列条件中可以判断平面βα与平面平行的是（）A ．βα//,//l lB ．βα⊥⊥l l ,C ．βα//,l l ⊂D ．ββα//,//,,m l m l ⊂3．下列函数中是奇函数，且在),0(+∞上为增函数的是（）A ．xx y 1-=B ．3x x y +=C ．x xy 22-=- D ．xxy +-=11lg4．已知数列=+=+=++16543,96,24,}{n n n a a a a a a a 则且为等比数列（）A ．3·2n-1B ．6·(±2)n-1C ．3·2nD ．3·(±2)n5．已知△ABC 中AB=AC ，则下列各式中不一定．．．成立的是（）A ．AC BC AB =+ B ．0)(=⋅+AC BC BAC ．0)()(=+⋅-AC AB AC ABD ．0)(=⋅+BC AC AB6．某简单多面体有V 个顶点和F 个面，已知每个面均为四边形，每个顶点上有三条棱.则（）A ．V=8，F=6B ．V=6，F=8C ．V=8，F=8D ．V=6，F=6 7．函数的值域为则其中)(,21cos cos sin )(2x f R x x x x x f ∈-+⋅= （）A ．]21,22[-B ．]21,21[-C ．]22,22[- D ．]22,21[- 8．函数)1(1)(≥-=x xx x f 的反函数为（）A ．)0(24)(21≥++=-x x x x f B ．)0(24)(21≥+-=-x x x x fC ．)0(24)(21≤++=-x x x x f D ．)0(24)(21≤+-=-x x x x f 9．已知数列==-T n a T a a n n nn n :,}{,2}{9即项的积的前是数列的通项n a a a a 321.当T n 取到最大值时，n 的值为（）A ．8B ．9C ．7或8D ．8或9 10．方程1||22=+y x x 满足的性质为（）A ．对应的曲线关于y 轴对称B ．对应的曲线关于原点成中心对称C ．x 可以取任何实数D ．y 可以取任何实数11．已知直线l 过点,34181)4,2(2P x x y p 相切于且与抛的线++=若圆C 满足下列两个条件：①与直线l 切于点P ，②与y 轴相切.则圆C 的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个12．按一次电视机遥控器上的电源开关，电视机可能出现以下三种情况：①由原来的关机状态转为开机状态；②由原来的开机状态转为关机状态；③电视机保持原来的状态不变.由于电视机从关机状态转为开机状态要等待一段时间，一台电视机处于关机状态时，某人连续按了4次电源开关，结果使电视转为开机，则他所按的4次中可以发生的所有的情况种数为（） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填入答卷纸相应的位置. 13．项的系数为的展开式中含223)1(3)1(3)3(x x x x -+--+ . 14．已知的最小值为则y x y x +=+2,122.15．某校对全校男女学生共1200名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知男生比女生多抽了10人，则该校的男生人数应是 .16．已知向量定义运算),,(),,(),,(332211y x c y x b y x a ===“*”的意义为).,(1221y x y x b a =*则下列命题①);4,6(),4,3(),2,1(=*==b a b a 则若 ②;a b b a *=*③);()(c b a c b a **=** ④)()()(c b c a c b a *+*=*+中，正确的是 . 三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应这与出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）函数).,43,2(1tan 11cot 1tan )(Z k k x k x x x x x f ∈+≠≠++-+=πππ（1）化简f (x )并求出其最小正周期；（2）f (x )的图象经过怎样的平移变换可以过点)1,2(π？并求出平移后的函数解析式.（只需给出符合条件的一种平移方式及其解析式）18．（本小题满分12分）已知函数:,93)(23求--=x x x f（1）求f (x )的单调递减区间；（2）f (x )在[－2，4]上的最大值和最小值. 19．（本小题满分12分）如图，一辆车要通过某十字路口，直行时前方刚好由绿灯转为红灯.该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率为32，左转行驶的概率31.该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求：（1）前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率为多少？（2）该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）.20．（本小题满分12分）直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 底面是边长为1的菱形，且AA 1=.2 （1）求证：平面A 1DC 1⊥平面BB 1DD 1；（2）若∠DB 1C 1=60°，求二面角A 1—DB 1—C 1的平面角的余弦值.21．（本小题满分12分）已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.22．（本小题满分14分）已知数列.2,24,}{11=-=+a a S S n a n n n n 且项和的前（1）求证：对任意;,2,1C C a a N n n n 并求出这个常数为常数-∈+*（2）若.,2)11()11)(11(,221并给出证明的大小与试比较nan b b b b n +++=参考答案及评分标准一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBBBACCADDCA二、填空题 13．－6 14．5- 15．630 16．④三、解答题17．（1）)6(.)4(.tan 1tan 111tan tan )(2分分 π==++-+=T x xx x x f（2）方法1.向右平移)12().2tan()9(.4分得分个单位 ππ+=x y 方法2：向右平移)12(1)2tan()9(,1,2分得分个单位向上平移个单位 ++=ππx y （注：答案可有多种） 18．（1）)2(,63)(2分 x x x f -=')12(.7)4()(,29)2()()10(13)2(,9)0(,7)4(,29)2(,020)(,]4,2[)()2()6().2,0()(,20)4(,0)2(30)(max min 分则分或得由上连续在分的单调递减区间为得分即由 ==-=-=-=-==-=-=='-∴<<<->'f x f f x f f f f f x x f x f x f x x x x f19．（1）)6(278)31()32(2224分 =C（2）)12(2716)31()32()32(334444分 =+C C20．（1）∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1∴BB 1⊥A 1C 1又∵A 1B 1C 1D 1为菱形，∴B 1D 1⊥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1DD 1，……（3分） ∵A 1C 1⊂平面A 1DC 1，∴平面A 1DC 1⊥平面BB 1DD 1. …………（5分）（2）过A 1作A 1H ⊥DB 1于H ，连HC 1.∵A 1C 1⊥面BDD 1B 1，∴A 1C 1⊥DB 1，∴DB 1⊥面A 1C 1H ，∴HC 1⊥DB 1，∴∠A 1HC 1为二面角A 1—DB 1—C 1的平面角.（7分）)12(.31)11.(312cos ,2,23)9(.,2,2.90,21.sin sin .3,160111112112121111111111111111111111分的平面角的余弦值为则二面角分分为正方形则底面则 ----=⋅-+=∠===∴===∠∴=∠=∠==∴=∠C DB A H C H A C A H C AH HC A C A H C AH ABCD B D DB B DC C B DC C DB DC B D C C B C DB21．（1）设)4.(4,1)1(||||),(222分化简得得代入x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅)14().2,5(),5(12)12(,0)2()5()2(),14(444424:)10).(24,14(4),1(12:)8).(24,14(,242)6(,0484,4)1(2)5().2,1(,14)2,()2(222222221222分过定点即分化简得方程为则直线分得代入同理可设直线分可得由分得代入的方程为设直线分的坐标为点得代入将 ----=+=+--++---+=++--+=--=--+∴-===-+-=-=-∴==x k ky y x k y k k x kk k k k y DE k k E x y x ky AE k kD k y y ky k y x y x k y AD A m x y m A22．（1）)3(),(4:,24241111分相减得且-+-+-=-=-=n n n n n n n a a a a S a S)7.(0.02.4,2,24)5.(2)2(2),2(22121112112111分又分=∴=-∴=∴=-=+⋅-=-∴-=-∴+-+-+C a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n（2） )8(.22,2,221分得 nna n nn n n b a a a ====+)211()211)(211)(211()11()11)(11()9(2)11()11)(11(2222212132n n nb b b b b b ++++=+++<+++ 分猜想.23443211211211211)211()211)(211)(211)(211(1132222222222<<-<--=-++++-=++n n n （12分）。

2023年贵州省贵阳市五校高考数学联考试卷(文科)+答案解析(附后)

2023年贵州省贵阳市五校高考数学联考试卷（文科）（3月份）（五）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D. 2. 设复数，则z 的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 根据如下样本数据得到回归直线方程，其中，则时y 的估计值是( )x 2345y25385055A.B.C.D.4. 已知命题p ：，有成立；命题q ：“”是“”的充要条件，则下列命题中为真命题的是( )A. B.C. D.5.设，，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. B. C.D.6. 在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则( )A.B.C.D.7. 等差数列的首项为2，若，，成等比数列，则的前n 项和( )A. B.C.D.8. 函数在上的图像大致为( )A. B.C. D.9. 十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成.如图1所示，黄金分割比，则( )A. B. C. D.10. 在三棱锥中，已知，，，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为( )A. B. C. D.11. 设点A为椭圆上的动点，点B为圆M；上的动点，则的最大值为( )A. B. C. D. 512. 已知函数的定义域为R，满足为奇函数且，当时，，则( )A. 10B. 4C.D.13. 若，则的最小值为______ .14. 已知数列的前n项和为，且，则______ .15. 由直线上一点P引圆的一条切线，切点为A，则的最小值为______.16. 将函数向右平移个周期后所得的图象在内有3个最高点和2个最低点，则的取值范围是______ .17. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求C；若为锐角三角形，，求周长范围.18. 卡塔尔世界杯期间，为了解某地观众对世界杯的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，将卡塔尔世界杯期间累计收看比赛超过20场的观众称为“体育迷”，不超过20场的观众称为“非体育迷”，下面是根据调查结果绘制的列联表：非体育迷体育迷合计男4060100女6040100合计100100200根据已知条件，你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？在“体育迷”当中，按照男、女比例抽取5人，再从5人当中随机抽取3人进行访谈，求至少抽到2名男性的概率.k附：19. 如图，在三棱锥中，，，O 为AC的中点.证明：平面ABC；若点M在BC上且，求点M到平面PAB的距离.20. 已知坐标原点为O，抛物线为G：与双曲线在第一象限的交点为P，F为双曲线的上焦点，且的面积为求抛物线G的方程；已知点，过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于C，D，求与的面积之比.21. 设函数其中…为自然对数的底数若，求在处的切线方程；证明：，当时，22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为，直线l的普通方程为将C的极坐标方程化为参数方程；设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系.23. 已知函数求函数的最小值；若a，b，c为正实数，且，求的最小值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，故选：可解一元二次不等式求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则，故，所以z的共轭复数对应的点位于第二象限．故选：根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：自变量x的平均数，自变量y的平均数，线性回归直线方程过样本中心点，其中，，即，当时，故选：根据线性回归直线方程过样本中心点，其中，求得，把代入即可求解．本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，对于p，当时，，p是真命题；对于q，或，故“”是“”的充分不必要条件，q是假命题，由复合命题的真假可得，只有选项C中的为真命题．故选：根据题意，分析p、q的真假，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及三角函数的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，故故选：由已知结合指数及对数函数的单调性分别判断a，b，c的范围，即可比较大小．本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．利用向量加法的三角形法则以及中点的性质化简即可求解．【解答】解：因为AD为BC边上的中线，E为AD的中点，所以，故选：7.【答案】A【解析】解：，，成等比数列，可得，即有，即为，则的前n项和故选：由等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项为2，再由等差数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，同时考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由为奇函数，为函数值不为0的偶函数，得，为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，故排除A选项．又，故排除C，D选项．故选：先根据奇偶性排除，再观察函数值的正负即可判断．本题考查三角函数的性质，图象，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：由图形知，，，则，可得，所以，故故选：由图形知，，求出，利用二倍角公式以及诱导公式求解即可．本题考查归纳推理，涉及二倍角公式的应用，诱导公式的应用，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，平面平面ABC，平面ABC，则易知球心O在线段，连接OD，则，由题可知，，，在中，由勾股定理得，，解得，三棱锥的外接球表面积为故选：如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，可得平面ABC，易知球心O 在线段，连接OD，则，可求外接球的半径，进而可求三棱锥的外接球表面积．本题考查空间几何体的外接球的表面积，考查推理论证能力，属中档题．11.【答案】C【解析】解：圆M：的圆心坐标为，半径为1，设椭圆上的动点为，，当时，，则，的最大值为故选：由已知求得圆M的圆心坐标与半径，再求出圆心M与椭圆上动点距离的最大值，加上圆的半径得答案．本题考查圆与椭圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：为奇函数，则的对称中心为，又，则的对称轴为，则的周期为，为奇函数，则则故选：类似于正弦函数的图象，相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，由此确定周期，即可求值．本题考查函数的周期性，对称性，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：变形整理后利用基本不等式求最值．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．14.【答案】54【解析】解：数列的前n项和为，且，，，，，当时，，是以3为公比的等比数列，，解得，则故答案为：由，求出，，，，当时，，得到是以3为公比的等比数列，求出，由此能求出本题考查数列的递推公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析取得最小值的条件，是中档题.根据题意，求出圆的圆心与半径，设圆心为M，分析可得当取得最小值时，取得最小值，由点到直线的距离公式分析可得的最小值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆的标准方程为，圆心为，半径为，设圆心为M，则，则当取得最小值时，取得最小值，的最小值为圆心M到直线的距离，则有，此时；即的最小值为；故答案为：16.【答案】【解析】解：的周期，，将的图象向右平移个周期后得到：，，，所得的图象在内有3个最高点和2个最低点，，解得，的取值范围是故答案为：可得出的周期，进而得出，根据平移变换，得出向右平移个周期后变成，然后根据x的范围得出，再根据平移后的图象在内有3个最高点2个最低点可得出关于的不等式，解出的范围即可．本题考查了三角函数周期的计算公式，平移变换的过程，正弦函数的图象，考查了计算能力，属于中档题．17.【答案】解：，根据余弦定理可得，，，又，；为锐角三角形，又，，，又根据正弦定理可得：，，，又，周长为，又，，周长范围为【解析】根据余弦定理，即可求解；先求出角A的范围，再通过正弦定理将周长转化为A的三角函数，最后通过函数思想，即可求解．本题考查解三角形问题，余弦定理与正弦定理的应用，函数思想的应用，属中档题．18.【答案】解：将联表中的数据代入公式计算得，因为，所以有的把握认为“体育迷”与性别有关；根据题意可知，在“体育迷”当中，按照男、女比例抽取5人，其中2女性观众分别记为A、B，3名男性观众分别记为a、b、c，从“体育迷”中任意选取3人，所有的基本事件数为，其中，事件“至少抽到2名男性”所包含的基本事件数为根据古典概型概率公式可知，至少抽到2名男性的概率为【解析】根据独立性检验公式，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；由题意可知，在“体育迷”当中，按照男、女比例抽取5人，其中2女性观众分别记为A、B，3名男性观众分别记为a、b、c，写出所有的基本事件数和至少抽到2名男性的基本事件数，利用古典概型的概率公式，求解即可．本题考查独立性检验，古典概型的应用，属于基础题．19.【答案】解：证明：连接OB，因为，O为AC的中点，所以，且，又，则，所以，，则，所以，又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；易知OB，OC，OP两两互相垂直，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面PAM的一个法向量为，则，令，则，，所以平面PAM的一个法向量为，又，到平面PAB的距离，点M到平面PAB的距离为【解析】利用勾股定理可得，再结合即可得证；建立空间直角坐标系，求得平面PAB的一个法向量，求得点C到平面PAB的距离，可求点M 到平面PAB的距离．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求点到面的距离，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属中档题．20.【答案】解：由双曲线，双曲线的上焦点，联立，化为，，解得，舍去，的面积为3，，，解得，抛物线为G：设过点作抛物线G的切线方程为，代入抛物线方程化为，令，解得或，取，，，直线AB的方程为，化为：，点M到直线AB的距离，切线MA，MB的方程分别为：，，分别令，解得，，，【解析】联立，化为，解得，根据的面积为3，解得设过点作抛物线G的切线方程为，代入抛物线方程化为，令，解得k，可得点A，B坐标，可得与直线AB的方程，进而得出由切线MA，MB的方程分别令，解得，，可得，，进而得出本题考查了抛物线与双曲线的相交问题、直线与抛物线相切问题、切线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：当时，，所以，所以且，由点斜式可得，所以，所以处的切线方程为证明：由题意可得，则，令，则，令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，当且仅当时等号成立，所以要证，则证：，令，，，则，令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，，所以存在唯一使得，所以在时，，，单调递增，在时，，，单调递减，又，所以恒成立，即不等式得证，所以原不等式得证．【解析】当时，，求导得，由导数的几何意义可得切线斜率为，再计算，由点斜式，即可得出答案．由题意可得，则，令，求导分析单调性，最值，可得，当且仅当时等号成立，要证，则证，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：，，，，，即，故C的直角坐标方程为C的参数方程，设，，，是A，P的中点，又点A的直角坐标为，，，代入圆C的方程可得，，即点P的轨迹为，圆心为，半径为2，故的参数方程为，，圆的圆心到直线的距离为：，与l的位置关系是相离．【解析】根据已知条件，结合极坐标公式，化为普通方程，然后化为参数方程即可．由题意可得，M为A，P的中点，根据中点坐标公式，将点P代入曲线C的方程，即可求出的普通方程，然后求解参数方程，再结合圆心到直线的距离与圆的半径的关系，即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，以及参数方程的应用，属于中档题．23.【答案】解：，在上单调递减，在上单调递增，所以；由已知得当时，，则由得：，即：，则由柯西不等式得：，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为【解析】由绝对值的定义去掉绝对值符号后得函数的单调性，从而得最小值；结合得出，然后利用柯西不等式可得最小值．本题主要考查了分段函数的性质，考查了柯西不等式的应用，属于中档题．。

2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷含解析

2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?2．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=() A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-，B ．[2]-，C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣6．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3πB ．23πC ．2πD ．π8．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（）A ．函数()f x 在()0,3上单调递增B ．函数()f x 在()0,3上单调递减C ．函数()f x 图像关于32x =对称D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 9．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(1,2] C ．(,0][2,)-∞+∞ D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞10．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a11．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．122C ．23D ．16312．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中)高三数学第一次联考试题文

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考文科数学学科试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数Z 满足（2+i ）·Z=1－2i 3，则复数Z 对应的点位于复平面内（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+=Z x x x x P ,21|，集合{}032|2>-+=x x x Q ,则R PC Q =（）A [)03，－B {}123－，－，－C {}1123，－，－，－D {}0123，－，－，－3．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑i ＝110x i ＝20，∑i ＝110y i ＝30，则b 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．－14．已知数列{a n }满足a 1＝1，2121n n n a a a +=-+ ()*n N ∈，则2014a ＝( )A 1B 0C 2014D －20145.设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z =2x －3y 的最小值是（）A 7-B －6C 5-D 9-6．对某市人民公园一个月(30天)内每天游玩人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,537．如图三棱锥,,,30oV ABC VA VC AB BC VAC ACB -∠=∠=⊥⊥若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为（）A．4 B．4 CDC8.()cos3502sin160sin 190o oo-=-( )A．B．D9．以下四个命题:①若{}{}1,2,3,A B x x A ==⊆,则A B ⊆；②为了调查学号为1、2、3、…、69、70的某班70名学生某项数据，抽取了学号为2、12、22、32、42、52、62的学生作为数据样本，这种抽样方法是系统抽样； ③空间中一直线l ，两个不同平面,αβ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β； ④函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. 其中真命题．．．的个数是（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中心O (坐标原点)为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M 点（第一象限），F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为（）A1B1D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．向量,,a b c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则()a b c +＝ .12．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若2,0,111==-=+-m m m S S S ,则=m ________.13．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向左至少平移个单位后，得到的图像解析式为cos y A x ω=．14．过椭圆221164x y +=的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为 .15．若关于x 的方程211x x m --+=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本题满分12分）为了增强中学生的法律意识，某中学高三年级组织了普法知识竞赛.并随机抽取了A 、B 两个班中各5名学生的成绩，成绩如下表所示：（1）根据表中的数据，分别求出A 、B 两个班成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个班更为稳定？（2）用简单随机抽样方法从B 班5名学生中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名学生的分数差值至少是4分的概率.17. （本题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A －3a cos C =0. (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA 丄底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD =2AB =2AP =2，PE =2DE ．（1）若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ；（2）求三棱锥P ﹣ACE 的体积．P AF ED19.（本题满分12分）如图所示，程序框图的输出的各数组成数列{}n a . （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，且12b a =，3123b a a a =++，求数列{}n n a b ⋅前n 项和n T .20. （本题满分13分）如图所示，作斜率为14-的直线l 与抛物线2:2D y x =相交于不同的两点B 、C ，点A (2,1)在直线l 的右上方.（1）求证：△ABC 的内心在直线x =2上；（2）若90oBAC ∠=，求△ABC 内切圆的半径．21. （本题满分14分）已知,a b 是正实数,设函数()ln ,()ln f x x x g x a x b ==-+. (1)设()()()h x f x g x =-,求()h x 的单调递减区间; (2)若存在03[,]45a b a b x ++∈使00()()f x g x ≤成立,求ba的取值范围.五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考文科数学学科试题参考答案：一．选择题二．填空题11．3 12． 3 13． 6π14．51215．32m >- 三．解答题16. （本题满分12分）解：（1）1(8788919193)905A X =++++=,1(8589919293)905B X =++++=…1分 222222124(8790)(8890)(9190)(9190)(9390)55A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦,…3分 2222221(8590)(8990)(9190)(9290)(9390)85A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦…5分法律知识的掌握A 班更为稳定……………6分(2).从B 班抽取两名学生的成绩分数，所有基本事件有：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，91），（89，92），（89，93），（91，92），（91，93），（92，93）共有10个…………………………8分基本事件；抽取的2名学生的分数差值至少是4分的有（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，93）5个基本事件。

安徽省五校联考2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案

2025届高三第一次五校联考数学试题（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月15日考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2P =，{}1,3,4Q =，则()U P Q ⋂=ð（）A.{}0 B.{}3 C.{}0,2 D.{}1,3【答案】C 【解析】【分析】根据补集与交集的定义，可得答案.【详解】由题意可得{}0,2U Q =ð，(){}0,2U P Q =⋂ð.故选：C.2.已知向量()0,2=r a ，()2,b x = ，若()2b a b -⊥ ，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示建立关于x 的方程，解之即可求解.【详解】由(2)b a b -⊥，得(2)0b a b -⋅=，即220b a b -⋅=，又(0,2),(2,)a b x ==，所以222220x x +-⋅=，即2440x x -+=，解得2x =.故选：D3.a=b=b a为有理数；若a=，b=，此时33ba⎛====⎪⎝⎭为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.存在无理数a，b，使得b a为有理数C. D.对任意无理数a，b，都有b a为无理数【答案】B【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断选项.【详解】这段文字中，没有证明是有理数的条件，也没有证明AC错误；这段文字，都说明了结论“存在无理数,a b，使得b a为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，故B正确；这段文字中只提及存在无理数,a b，不涉及对任意无理数,a b都成立的问题，故D错误.故选：B4.由3sin1083sin364sin36=-，可求得cos36 的值为（）A.15- B.14+ C.12- D.13+【答案】B【解析】【分析】由诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出关于cos36 的二次方程，结合cos360> 可得出cos36 的值.【详解】因为()sin108sin18072sin722sin36cos36=-==，又因为3sin1083sin364sin36=-，则3s2isin336co3n664sin336s=-，因为sin360> ，cos360> ，则()2222cos3634sin36341cos364cos361=-=--=-，所以，24cos 362cos3610--=，解得cos36= ，故选：B.5.已知0a >且1a ≠，函数()(),log 1,x a a a x af x x a x a -⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩，若存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()1,2 D.[)2,+∞【答案】A 【解析】【分析】分1a >、01a <<两种情况讨论，结合函数的单调性得到不等式，解得即可.【详解】当1a >时x a y a -=单调递增，()log 1a y x a =++也单调递增，要使存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，只需()log 1a aa aa a ->++，即log 20a a <，不等式无解；当01a <<时x a y a -=单调递减，()log 1a y x a =++也单调递减，要使存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，只需()log 1a aa aa a -<++，log 20a a >，所以02101a a <<⎧⎨<<⎩，解得102a <<，即a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A6.已知复数11i z =+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，若复数z 满足1-=-z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 得周长为（）A.2πB.4πC.6πD.8π【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出,p q ，进而确定图形M 并求其周长.【详解】由复数11i z =+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，得1i -是该方程的另一根，则1i 1i 2,(1i)(1i)2p q -=++-==+-=，解得2,2,||4p q p q =-=-=，由1-=-z z p q ，得|(1i)|4z -+=，因此图形M 是以点(1,1)为圆心，4为半径的圆，所以M 得周长为8π.故选：D7.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数可得,,3AO BO h CO ===，进而根据余弦定理即可求解.【详解】解：如图，设点P 在地面上的正投影为点O ，则30,45PAO PBO ∠=︒∠=︒，60PCO ∠=︒,设山高PO h =，则,,3AO BO h CO ===，在AOC △中，cos cos ABO CBO ∠=-∠，由余弦定理可得：2222223322h b h a h h ah bh+-+-=-，整理得23()2(3)ab a b h b a +=-，∴h =．故选：D ．8.若()41log 1f x a b x=---是奇函数，则b a =（）A.12B.2C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出a 的值，又由()()0f x f x -+=，求出b 的值，计算可得答案.【详解】根据题意，已知()41log 1f x a b x=---是奇函数，当0a =时，()41log 1f x b x=--一定不是奇函数，故0a ≠，则有101a x-≠-，且0a ≠，变形可得()()1110x a x ---≠⎡⎤⎣⎦，所以()11=0a x --的根为1-，解可得12a =，故()411log 12f x b x =---，又因为()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=，即441111log log 01212b b x x --+--=+-，即()()44112log log 02121x x b x x -+-++=+-，所以412log 04b -+=，即210b --=，故12b =-.所以1212b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知复数1322z =--，则下列说法正确的是（）A.z的虚部为i 2-B.复平面内1z z+对应的点位于第二象限C.z z z= D.20251z =【答案】CD 【解析】【分析】根据复数的概念判断A ，由复数的几何意义判断B ，通过复数的运算判断CD ．【详解】z的虚部是2-，A错；1i113132212222222222z z -++=-----，对应的点是(1,0)-在x 轴上，B错；221131(i 2242422z z =--=+-=-+=，所以z z z =，C正确；311(i)(2222z =---+，所以20253675()1zz ==，D 正确．故选：CD ．10.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）：记智力曲线为I ，情绪曲线为E ，体力曲线为P ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（）A.体力曲线P 的最小正周期是三个曲线中最大的B.第462天时，智力曲线I 处于上升期、情绪曲线E 处于下降期C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点D.存在正整数n ，使得第n 天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点【答案】BC 【解析】【分析】观察图象，结合正弦函数周期判断．【详解】由图象，体力P 的最小正周期是三个曲线中最小的，A 错；由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，4623314=⨯相当于[0,2π]的起点，462281614=⨯+，相当于[0,2π]的中间点，B 正确；体力周期是23，只要是33,28,23的公倍数都是它们的公共点横坐标，C 正确；智力曲线处于最高点的天数为11338.25y k =+，情绪曲线处于最高点的天数为22287y k =+，体力曲线处于最高点的天数为3323 5.75y k =+，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D 错．故选：BC ．11.已知函数e ()1xf x x =+，1x >-，()(1)e xg x x =-，1x <，且()() 1.01f a f b ==，()()0.99g c g d ==，若a b <，c d <，则（）A.0a b +> B.0b c +< C.0c d +> D.0d a +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，可得1()()f xg x =-，利用导数结合函数图象推理判断BD ；构造函数()()()h x g x g x =--，利用导数结合函数图象推理判断AC.【详解】依题意，1()()f xg x =-，由()() 1.01f a f b ==，得11 1.01()()g a g b ==--，则10099()()()()101100g a g b g c g d -=-=>==，显然0a b <<，有0a b ->>-，而()e x g x x '=-，当0x <时，()0,()g x g x >'在(,0)-∞上递增；当01x <<时，()0,()g x g x <'在(0,1)上递减，函数max ()(0)1g x g ==，图象如图所示，0c b a d <-<<-<，得0,0a d b c +>+<，BD 正确；令()()()h x g x g x =--，则)()()(()e e x x h x g x g x x -'''=+-=-，当01x ≤<时，()0,()h x h x <'在[0,1)上递减；当10x -<<时，()0,()h x h x <'在(1,0]-上递减；因此当11x -<<时，()h x 单调递减，当01x ≤<时，()(0)0h x h ≤=，即()(),()()()g x g x g b g a g a <--=-<，又0,0b a -<<，则b a -<，即0a b +>，A 正确；而0,0,()()()d c g c g d g d -<<=<-，则c d <-，即0c d +<，C 错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：由函数解析式的特征得出1()()f xg x =-是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.平面四边形ABCD 中，6AB =，10BC =，12CD =，14DA =，则AC BD ⋅=______.【答案】58【解析】【分析】由22()CD AD AC =- ，22()CB AB AC =- 两式相减得出AC AD AC AB AC BD ⋅-⋅=⋅．【详解】()AC BD AC AC AD AB AD A AC B ⋅=⋅-=⋅-⋅,又2222()2CD AD AC AD AC AD AC =-=-⋅+ ,2222()2CB AB AC AB AB AC AC =-=-⋅+ ，所以2222222()2CB CD AB AD AC AD AB AC AB AD AC BD -=-+⋅-⋅=-+⋅，所以2222222210141265822CB AD CD AB AC BD +--+--⋅===，故答案为：58．13.设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>的图象关于直线1x =-和2x =均对称，则()0f 的值可以是______．（写出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分）【答案】1±（答案不唯一，111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中的任意两个）【解析】【分析】利用正弦函数的性质可得π,N 3k k ω*=∈，再利用和角的正弦可得(0)cos f ω=，进而求出其所有值即得答案.【详解】函数()sin()f x x ωϕ=+的周期2πT ω=，依题意，π3,N k k ω*⋅=∈，即π,N 3k k ω*=∈，由()f x 的图象关于直线1x =-，得sin()1,cos()0ωϕωϕ-+=±-+=，因此(0)sin sin[()]sin()cos cos()sin cos f ϕωϕωωϕωωϕωω==-++=-++-+=±πcos(N )3k k *=±∈，(0)f 的值是集合111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中元素，可以取1±.故答案为：1±，（答案不唯一，111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中的任意两个）14.定义在0,+∞上的函数()f x 满足()()1f x f x x +=-，当01x <≤时，()f x x =-，若()f x 在区间0,内有恰4个极大值点，则m 的取值范围是______．【答案】193401,64100⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得当()*1n x n n -<≤∈N时1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，利用导数讨论()f x 的单调性，求出极大值点2114n x n n=-+，结合45x m x <≤即可求解.【详解】(1)()f x f x x +=-,当01x <≤时，()f x x =-，当12x <≤时，()(1)(1)22f x f x x x =---=+，当23x <≤时，()(1)(1)35f x f x x x =---=+，当34x <≤时，()(1)(1)49f x f x x x =---=+，当()*1n x n n -<≤∈N 时，1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，则()f x n '=，令2211()011,()0144f x x n f x x n n n''>⇒-<<-+<⇒>-+，所以()f x 在21(1,1)4n n n --+上单调递增，在21(1,]4n n n -+上单调递减，故()f x 在(1,]n n -内有且仅有一个极大值点2114n x n n =-+，即1234511773193401,,,463664100x x x x x =====.因为()f x 在(0,)m 内有4个极大值点，则19340164100m <≤，即m 的取值范围为193401(,]64100.故答案为：193401(,]64100【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据01x <≤时的()f x x =-，归纳出()*1n x n n -<≤∈N时的1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，再利用导数研究()f x 的性质即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在等腰梯形ABCD 中，2226AD DC CB AB ====，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）令AE a = ，AD b = ，用a ，b 表示BF；（2）求线段AM 的长．【答案】（1）122BF b a=-（2）AM =【解析】【分析】（1）由向量的线性运算求解；（2）利用,,M E D 三点共线，,,M B F 三点共线，求得1133AM AB AD =+ ，同时证明ADE V 是等边三角形，然后把1133AM AB AD =+ 平方可得．【小问1详解】∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴112222BF AF AB AD AE b a =-=-=- ；【小问2详解】设AM x AB y AD =+ ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以22AM xAB y AD xAE y AD xAB y AF =+=+=+，因为,,M E D 三点共线，,,M B F 三点共线，所以2121x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1133AM AB AD =+ ，由已知CD 与BE 平行且相等，因此CDEB 是平行四边形，所以3DE CB AD AE ====，ADE V 是等边三角形，22222111()(2)339AM AM AB AD AB AB AD AD ==+=+⋅+ 221(6263cos 603)79=+⨯⨯︒+=所以AM =．16.已知函数()()()sin 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x -在5ππ[,64--上的值域．【答案】（1）π()2sin(26f x x =+；（2）[-.【解析】【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式.（2）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数性质求出值域.【小问1详解】观察图象知，2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，又02πϕ<<，且0在()f x 的递增区间内，则π6ϕ=，π()2sin()6f x x ω=+，由5π5ππ()2sin()012126f ω=+=，得5πππ,N 126k k ω*+=∈，解得122,N 55k k ω*=-∈，又12π5π412ω⋅<且12π5π212ω⋅>，解得61255ω<<，因此1,2k ω==，所以函数()f x 的解析式是π()2sin(26f x x =+.【小问2详解】由（1）知，π()2sin(2)6f x x -=-+，当5ππ[,64x ∈--时，π2π11π2[,]636x -+∈，而正弦函数sin y x =在2π3π[,]32上单调递减，在3π11π[,]26上单调递增，于是π1sin(2)62x -≤-+≤，π22sin(2)6x -≤-+≤，所以()f x -在5ππ[,]64--上的值域为[-.17.已知函数()cos x f x x=，()1g x ax x =-．（1）函数()f x 在π2x =-处与π2x =处的切线分别为1l ，2l ，且直线1l ，2l 之间的距离为d ，求证53d >；（2）若()(){}A x f x g x ==为空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析．（2）1(,0)[,)2-∞⋃+∞，【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得两切线方程，由平行线间距离公式求得距离d ，然后用分析法证明53d >；（2）转化为方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，先讨论0a =和0a <的情形，然后在0a >时引入函数2()1cos h x x ax =--，求出()sin 2h x x ax '=-，再对导函数求导，然后分21a ≥和021a <<两类，结合零点存在定理说明()h x 是否有0以外的零点，从而得出结论．【小问1详解】由已知2sin cos ()x x x f x x --'=，21()g x a x '=--，π2()2πf '-=-，π2(2πf '=-，ππ()()022f f -==，则12l l //，1l 方程为2π()π2y x =-+，即210πx y ++=，2l 方程为2π(π2y x =--，即210πx y +-=，则d =，要证53d >53>，即证6<，即210011π<，也即证211π100>，而2211π113.1103.51100>⨯=>，所以53d >成立．【小问2详解】由题意()()f x g x =无实解，即cos 1x ax x x=-无实数解，即21cos x ax -=除0以外无其它实数解，0a =时，方程为1cos 0x -=有无数解，不合题意，0a <时，1cos 0x -≥，而20ax ≤，且0x ≠时，20ax <，因此方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，满足题意，0a >时，方程21cos x ax -=化为21cos 0x ax --=，设2()1cos h x x ax =--，则()sin 2h x x ax '=-，记()sin 2p x x ax =-，则()cos 2p x x a '=-，当21a ≥，即12a ≥时，()0p x '≤，()p x 是减函数，即()h x '是减函数，又(0)0h '=，所以0x <时，()0h x '>，()h x 递增，0x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max ()(0)0h x h ==，0x ≠时，()0h x <，所以方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，满足题意，当102a <<时，()cos 20p x x a '=-=有无数解，设锐角α是它的解，则2π,Z x k k α=±∈，0x α<<时，()0p x '>，()p x 递增，又(0)0p =，则0x α<<时，则()0p x >，即()0h x '>，所以()h x 递增，而(0)0h =，所以()0h α>，又2(2π)1cos 2π(2π)0h a =--<，所以()h x 在(,2π)α上有一个零点，即()0h x =有不是0的根，不合题意，综上，a 取值范围是1(,0)[,)2-∞⋃+∞.18.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222sin 4b c B c -+=，且2a =.（1）求sin A ；（2）求tan tan tan A B C的最大值；（3）求实数t 的取值范围，使得对任意实数x 和任意角B ，恒有()()22132sin cos sin cos 32x B B x t B t B +++++>．【答案】（1）255（2）3（3）(13,4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据正、余弦定理可得sin 2cos A A =，结合同角的平方关系计算即可求解；（2）由（1）得tan 2A =，进而tan tan tan()21tan tan B C B C B C++==--，结合基本不等式计算即可求解；（3）由二次函数的最小值可得2min 1()[(32sin cos )(sin cos )]2f x B B t B t B =+-+，进而转化为1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+>①或1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+<-②，结合基本不等式与对勾函数的性质计算即可求解.【小问1详解】由题意知，222sin 4b c B c -+=，2a =，则222sin b ac B c a -+=，即222sin b c a ac B +-=，又2222cos b c a bc A +-=，所以sin 2cos ac B bc A =，由0c >，得sin 2cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B B A =，由sin 0B >，得sin 2cos A A =，即1cos sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，所以221sin sin 14A A +=，由sin 0A >，解得sin 5A =.【小问2详解】由（1）知sin 2cos A A =，得tan 2A =，所以tan()tan 2B C A +=-=-，即tan tan 21tan tan B C B C+=--，又,B C 为锐角，所以tan 0,tan 0B C >>，得tan tan 2tan tan 2B C B C +=-≥当且仅当tan tan =B C 时，等号成立.解得3tan tan 2B C ≥，所以tan 3tan tan A B C ≤=-，即tan tan tan A B C的最大值为3【小问3详解】令22()(32sin cos )(sin cos )f x x B B x t B t B =+++++2222[2(32sin cos )2(sin cos )](32sin cos )(sin cos )x B B t B t B x B B t B t B =++++++++，当(32sin cos )(sin cos )2B B t B t B x +++=-时，()()()min32sin cos sin cos 2B B t B t B f x f ⎡⎤+++=-⎢⎥⎣⎦22(32sin cos )(sin cos )(sin cos )(32sin cos )[][]22B B t B t B t B t B B B +-++-+=+2(32sin cos )(sin cos )2[]2B B t B t B +-+=21[(32sin cos )(sin cos )]2B B t B t B =+-+，由211[(32sin cos )(sin cos )]232B B t B t B +-+>，得21(32sin cos sin cos )16B B t B t B +-->，进而1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+>①或1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+<-②，因为πππ3π02444B B <<⇒<+<，所以()(πsin cos 4B B B ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，由①得212(sin cos )(sin cos )4B B t B B ++-+>，即7(sin cos )4(sin cos )t B B B B <+++，又7(sin cos )4(sin cos )B B B B ++≥+当且仅当7(sin cos )4(sin cos )B B B B =++即sin cos 2B B +=时，等号成立，所以t <；由②得212(sin cos )(sin cos )4B B t B B ++-+<-，即9(sin cos )4(sin cos )t B B B B >+++，由对勾函数的性质知913(sin cos )4(sin cos )4B B B B ++<+，所以134t >.综上，实数t 的取值范围为(13,4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭.19.已知函数()y f x =定义域为I ，D I ⊆．若存在t D ∈，对任意x D ∈，当x t <时，都有()()f f x t <，则称t 为()y f x =在D 上的“Γ点”．（1）求函数2()e (2)e (0)x x f x a ax a =-+-+≥在定义域上的最大“Γ点”；（2）若函数()(2)ln(1)2g x ax x x =++-在1[]0,D =上不存在．．．“Γ点”，求a 的取值范围；（3）设*{1,2,,}()N D n n =⋅⋅⋅∈，且(1)0h =，()(1)1h x h x --≤，证明：()y h x =在D 上的“Γ点”个数不小于()h n ．【答案】（1）0；（2）2e 2log 2a ≤；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再求出其最大值点即可得解.（2）根据给定条件，将问题等价转化为()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立，再利用导数分类探讨求解.（3）根据给定的定义，按“Γ点”个数为0、为1、不小于2分类，并结合累加法思想论证即可.【小问1详解】函数2()e (2)e x x f x a ax =-+-+的定义域为R ，则2()2e (2)e )(2e )(1e x x x x f x a a a '=-+-+=+-，由0a ≥，得2e 0x a +>，令()0f x '>，解得0x <；令()0f x '<，解得0x >，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，即对(,0],(,0]x t ∀∈-∞∃∈-∞，当x t <时，都有()()f f x t <，所以函数()f x 在定义域上的最大“Γ”点为0.【小问2详解】由函数()(2)ln(1)2g x ax x x =++-在0,1上不存在"Γ点"，得()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立，求导得2()ln(1)21ax g x a x x +'=++-+，令2()ln(1)2,[0,1]1ax u x a x x x +=++-∈+，求导得22(1)(2)22()1(1)(1)a a x ax ax a u x x x x +-++-'=+=+++，当0a ≤时，()0u x '<恒成立，函数()u x 在[0,1]上单调递减，则20()()(0)ln12001g x u x g a +''=≤=+-=+，因此函数()g x 在[0,1]上单调递减，()(0)g x g ≤，符合要求；当0a >时，令220ax a +-=，则2222a x a a -==-，①当220a-≤，即1a ≥时，()0u x '≥，即()u x 在[0,1]上单调递增，则()()(0)0g x u x g ''=≥=，函数()g x 在[0,1]上单调递增，()(0)g x g ≥，不符合要求；②当221a -≥，即203a <≤时，()0u x '<恒成立，函数()u x 在[0,1]上单调递减，则()()(0)0g x u x g ''=≤=，函数()g x 在[0,1]上单调递减，此时()(0)g x g ≤，符合要求；③当22(0,1)a -∈，即213a <<时，若2(0,2),()0x u x a '∈-<，若2(2,1),()0x u x a '∈->，函数()u x 在2(0,2)a -上单调递减，在2(2,1)a -上单调递增，而2(0)0,(1)ln 22a u u a -==+，若(1)0u ≤，则()0u x ≤在[0,1]上恒成立，()g x 在[0,1]上单调递减，此时()(0)g x g ≤，若(1)0u >，则存在0(0,1)x ∈，使得0()0u x =，当01x x <≤时，()0u x >，函数()g x 在0[0,]x 上单调递减，在0[,1]x 上单调递增，则要()(0)g x g ≤恒成立，只需(1)(0)g g ≤，解得22ln 2a ≤-，由223e ln 223ln 2ln e ln 28210ln 2ln 2ln 2ln 2----===<，得221ln 2-<，由334e 2ln 222(34ln 2)2ln e ln 21620ln 233l l (n 23n 23l 2)n ----===>，得222ln 23->，即当222l 23n a ≤-<时，符合要求，所以a 的取值范围是22e 22log ln 22a ≤-=.【小问3详解】若()h x 在D 上的"Γ点"个数为0，则()(1)0h n h ≤=，符合要求；若()h x 在D 上的"Γ点"个数为*s ∈N ，令()h x 在D 上的"Γ点"分别为12,,,s i i i ，其中{}**1212,1,,2,,()s s i i i n s n i i i n n <<<≤≤-∈∈∈N N ，若1s =，则若111i -=，由()(1)1h x h x --≤，则10((1)1)h i h <-≤，即10(1)h i <≤，若11k i j -=>，由题意1111(1)(),(1)(),(1)(1)h i h i h h i h i h -<<-≤，于是10((1)1)h i h <-≤，即10(1)h i <≤，又1)()(h n h i ≤，则()1h n ≤，符合要求；若2s ≥，则11121()(1)()0,()()0,,()()0s s h i h h i h i h i h i h i --=>->-> ，由()(1)1h x h x --≤，则0()(1)1k k h i h i <--≤，若11k k i i --=，即11k k i i -=-，则10()()1k k h i h i -<-≤，若11k k i i j --=>，依题意，11(1)(1)(),()()k k k k k h i j h i h i h i h i --+-=-<<，且1()(1)k k h i h i --≤，又0()(1)1k k h i h i <--≤，因此10()()1k k h i h i -<-≤，即21320()()1,0()()1,h i h i h i h i <-≤<-≤ ，10()()1s s h i h i -<-≤，即有213210()()()()()()1s s h i h i h i h i h i h i s -<-+-++-≤- ，即10()()1s h i h i s <-≤-，由10(1)h i <≤，得0()s h i s <≤，又)()(s h n h i ≤，因此()h n s ≤，即()h x 在D 上的"Γ点"个数不小于()h n ，所以()h x 在D 上的"Γ点"个数不小于()h n .【点睛】关键点点睛：本题第2问，根据题意将问题等价转化为()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立是关键.。

福建省宁德市2024-2025学年高三上学期期中五校联考数学试题及答案

福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1. 已知集合{}30,21x M x Q x x x −=≤=∈≤ + N ，则M Q ∩=（）A. {}0,1,2B. []0,2C. (]2,2−D. {}1,22. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：1015ln w w T w w −=−（T 为时间，单位为0min,w 为特殊环境温度，1w 为该物质在特殊环境下的初始温度，w 为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：e 2.72≈）（） A. 54℃B. 52℃C. 50℃D. 48℃3. 在ABC 中，已知tan tan A,B 是关于x 方程2670x x −+=的两个实根，则角C 的大小为（） A.3π4B.2π3C.π3D.π44. 对任意实数()2,x ∈+∞,“4a x x<+”是“4a ≤”的（） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件的..5. 函数221sin ln x y x x+=−⋅的大致图象是（） AB.C. D.6. 已知函数()332e e 1x xf x x x −=−+−+，若()()2232f a f a−+≥，则实数a 的取值范围为（）A. (],1−∞B. []3,1−C. (][),13,−∞−+∞D. (][),31,−∞−∪+∞7. 已知1215sin ,ln ,223a b c −===，则（）A. c b a <<B. a b c <<C. a c b <<D. b a c <<8. 已知函数()2e ln xf x x x x a x =−−−，若对任意的0x >，都有()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. []4,4− B. []3,3− C. []22−,D. []1,1−二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 已知三次函数()f x 的图象如图，则下列说法正确的是（）.A. ()()()Δ01Δ1lim 1Δx f x f f x→+−=−′B. ()()23f f ′′<C. 0f=D. ()0xf x ′>的解集为()(),10,1−∞−∪10. 已知函数()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x =+=−，则（） A. ()f x 与()g x 的图象有相同的对称中心 B. ()f x 与()g x 图象关于x 轴对称 C. ()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称 D. ()()f x g x ≥的解集为()5πππ,π1212k k k−++∈Z11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f ≠，若()()()f x y f x f y xy +−=−，则（） A. ()00f = B. ()f x 关于()1,0−中心对称 C. e xx >ff (xx )D. 函数()y xf x =−有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12. 已知复数z 满足()34i 5i z −=，则z =______． 13. 已知,,20,1a b a b a b ∈>>+=R ，则112a b b+−的最小值为______．14. 已知()()()eln e ,xxf x ax ag x x=−∈=R ，若函数()()y f g x a =−恰有三个零点，则a 的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()1e 1xf x a =++为R 上的奇函数．（1）求a ；（2）若函数()()()2e 12xg x f x x =++，讨论()g x 的极值．16. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且tan tan A B +=. （1）求角A 的大小；的（2）若BC =，点D 是线段BC 的中点，求线段AD 长的取值范围．17. 在三棱锥P ABC −中，PM ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AB =，AC =，,M N 分别为,BC AC的中点，E 为线段AP 上一点．（1）求证：BN ⊥平面APM ；（2）若平面EBN ⊥底面ABC 且12PM =，求二面角A EN B −−的正弦值． 18. 已知函数()()2311ex x f x a x b −=−−−−，其中,a b 是实数．（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）若()0f x ≤恒成立，求5a b +的最小值． 19. 已知函数()(πsin ,0,2f x x ωϕωϕ =+><图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，且函数()f x 图象过点．（1）若函数()y f x m =+是偶函数，求m 的最小值；（2）令()()41g x f x =+，记函数()g x 在17π31π,1212x∈−上的零点从小到大依次为12,,,n x x x ，求1231222n n x x x x x −+++++ 的值；（3）设函数(),y x x D ϕ=∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有()()x T P x ϕϕ+=⋅成立，则称函数()x ϕ是D 上的“P 级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数λ，使函数()1π26xh x f x λ =−是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题：1 【答案】A【详解】不等式301x x −≤+的解集等价于不等式组()()31010x x x −+≤ +≠的解集，即131x x −≤≤≠−，得13x −<≤，又2x ≤，解得22x −≤≤，于是{}30131x M xx x x−=≤=−<≤ +，{}{}{}2220,1,2Q x x x x =∈≤=∈−≤≤=N N ，则{}0,1,2M Q ∩=. 故选：A 2.【答案】C【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min 代入题中式子得：100201515ln20w −=−，即80e 20w =−，即8080202049.41e 2.72w =+≈+≈. 故选：C.3. 【答案】D【详解】由题意，tan tan 6,tan tan 7A B A B +=⋅=，所以()tan tan 6tan 11tan tan 17A B A B A B ++===−−⋅−，由()()tan tan πtan A B C C +=−=−，故tan 1C =，又0πC <<，所以π4C =. 故选：D 4. 【答案】C.【详解】对于函数4y x x=+，根据均值不等式a b +≥（当且仅当a b =时取等号），则44y x x =+≥=. 当4x x =即2x =时取等号，但是(2,)x ∈+∞，所以44y x x=+> 判断充分性: 若4a x x <+，因为(2,)x ∈+∞时44x x+>，那么4a ≤，所以充分性成立. 判断必要性:若4a ≤，当(2,)x ∈+∞时44x x+>，显然4a x x <+，所以必要性成立.所以“4a x x<+”是“4a ≤”的充要条件. 故选：C. 5. 【答案】C【详解】函数221sin ln x y x x +=−⋅的定义域为()(),00,∞∞−∪+， ()()()()()222211sin ln ln x x f x x x f x x x −++−=−−⋅=⋅=−−，则函数为奇函数，排除选项A 和B ；当πx =时，函数值为0，取2π4ln 102πf =−+<，排除选项D , 故选：C . 6. 【答案】D【详解】由已知222()92e e 9290x x f x x x x −′=−++≥−+=≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()f x 是R 上的增函数，又2()33e e 1x x f x x x −−=−++−+2()f x =−，所以不等式()()2232f a f a−+≥化为2()2(23)(32)f a f a f a ≥−−=−，所以232a a ≥−，解得1a ≥或3a ≤−．故选：D ． 7. 【答案】B【详解】令ff (xx )=xx −sin xx (xx >0),gg (xx )=xx −1−ln xx ,ℎ(xx )=ln xx −2(xx−1)xx+1，则()()()()()()22211141cos 0,,011x x f x x g x h x x x x x x −−′=−≥==−=+′′≥+，显然01x <<时()0g x ′<，1x >时()0g x ′>，所以()(),f x h x 在(0,+∞)上单调递增，()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以ff (xx )>ff (0)⇒sin xx <xx ,gg (xx )≥gg (1)=0⇒xx −1≥ln xx （1x =时取得等号）， ()()()()21101ln 1x h x h x x x −≥=≥⇒≥+（1x =时取得等号），故52111523sin ln 5223313−<=<<<+a b c <<. 故选：B 8. 【答案】D【详解】()()2ln 1,e2ln 1x xf x x x x a x +≥∴−++−≥ ，即()2ln e 2ln 11x x x x a x+−+−−≤，令()()e 1e 1xxg x x g x =−−⇒=−′，显然0x >时()0g x ′>，0x <时()0g x ′<，即()g x 在(0,+∞)上单调递增，在(),0∞−上单调递减，所以()()00g x g ≥=，则()2ln e 1,e 2ln 10xx xx x x +≥+∴−+−≥，又∵xx >0,∴ee 2xx+ln xx −(2xx+ln xx )−1xx≥0，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立．()2ln min2ln 10,10,11x x e x x a a x + −+−∴=∴−≤∴−≤≤ ．故选：D ．二、多选题：9. 【答案】ACD【详解】由图可知，三次函数()f x 为奇函数，且()f x 的极值点为1、1−，设()32f x bx cx dx e =+++，则()00f e ==，可得()32f x bx cx dx =++，由奇函数的定义可得ff (−xx )=−ff (xx )，即()()()3232b x c x d x bx cx dx ⋅−+⋅−+⋅−=−−−，所以0c =，可得()3f x bx dx =+，则()23f x bx d ′=+，由题意可得()130f b d ′=+=，可得3d b =−，则()233f x bx b ′=−，由图可知，函数()f x 的单调递增区间为(−1,1)，故不等式ff ′(xx )=3bbxx 2−3bb >0解集为(−1,1)，所以0b <，对于A 选项，由题意可知，()()110f f ′−′==，由导数的定义可得()()()()Δ01Δ1lim11Δx f x f f f x→+−=′′=−，故A 正确；对于B 选项，()21239f b b b −′==，()327324f b b b =−=′，由0b <，924b b >，所以()()23f f ′>′，故B 错误；对于C 选项，()33f x bx bx =−，所以0f=−=，故C 正确；对于D 选项，由xxff ′(xx )=xx ⋅3bb (xx 2−1)=3bbxx (xx −1)(xx +1)>0，可得()()110x x x −+<，解得1x <−或01x <<，因此，不等式()0xf x ′>的解集为()(),10,1∞−−∪，故D 正确. 故选：ACD 10. 【答案】ABD【详解】()()πππ2sin 22cos 2323g x x x f x =+−=−+=−，即()f x 与()g x 的图象关于x 轴对称，令ππππ2π32122k x k x +=+⇒=+，的且有相同的对称中心()ππ,0Z 122k k+∈，故A 、B 正确，C 错误；由不等式()()()π20cos 203f x g x f x x≥⇒≥⇒+≥，令()πππ5ππ2π22ππ,πZ 2321212k x k x k k k+≥+≥−+⇒∈−++∈，故D 正确. 故选：ABD 11.【答案】BD【详解】令0,1x y ==，则()()()1010f f f −⋅=，又()()10,01f f ≠∴=，故A 错误；令1,1x y ==−，则()()()()()0111,110f f f f f −⋅−=∴⋅−=，又()10f ≠，()10f ∴−=，再令()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =−−−⋅−=∴−=，()()1,f x x f x ∴=+∴的图象关于()1,0−中心对称，故B 正确；由B 得()1f x x =+，当0x =时，1x e x =+，故C 错误；由B 得()()21,f x x y xf x x x =+=−=−−，在12x =−时取到最大值，故D 正确．三、填空题：12. 【答案】1【详解】由()()()()5i 34i 5i 3434i 5i i 34i 34i 34i 55z z +−=⇒===−−−+，则1z z ===. 故答案为：113.【答案】4+；【详解】因为20a b >>，1a b +=，所以111132()(23)44222b a ba b b a b b a b b a b b−+=+−+=++≥+−−−，当且仅当322b a b a b b −=−，即a b ==时等号成立，故答案：4+． 14. 【答案】e 1,2【详解】设()g x t =，则()f t a =，()21ln e 0xg x x−′=⋅=，得e x =，当()()()0,e ,0,x g x g x >′∈单调递增，当()()()e,0,x g x g x ′∈+∞<,单调递减，当e x =时，函数()g x 取得最大值1，如图1，画出函数()t x g =的图象，由()f t a =，即e t at a −=，则()()e 1,1a t y a t =+=+恒过点()1,0−，如图，画出函数e t y =的图象，设过点()1,0−的切线与e t y =相切于点()00,e tt ，则00e e 1t t t =+，得00t =，即切点()0,1，所以切线方程为1y x =+，如图2，则()1y a t =+与e t y =有2个交点，1a >，如图可知，若函数()()y f g x a =+恰有三个零点，则110t −<<，201t <<，则()le 11a >+，所以e 2a <，为综上可知，e 12a <<．故答案为：e 1,2四、解答题：15.【答案】（1）12a =− （2）极大值为2ln21−；无极小值.【解析】【小问1详解】因为函数()1e 1x f x a =++为RR 上的奇函数，由()100,2f a =∴=−，此时()()1e 2e 1xx f x −=+，则()()111e e 1e e 11e e ()1e 2(e 1)2(e 1)2(e 1)2e 121e x x x x xxx x x x x x f x f x −−−−−−−−===×==−=−+++ ++ ，所以()f x 为奇函数．所以12a =−；【小问2详解】由（1）得：()()()()2e 122e 1,x x g x f x x x g x =++=−+定义域为RR ， ()2e x g x ∴=−′，由()0g x ′>，得ln2x <；由()0g x ′<，得ln2x >，()g x ∴在(),ln2∞−上单调递增，()g x 在()ln2,∞+上单调递减，所以()g x 在ln2x =处取得极大值，()g x 极大值()ln22ln21f ==−；无极小值.16. 【答案】（1）π3A =；（2）32.【解析】【小问1详解】因为tan tan A B +=，所以由正余弦定理得tan tan A B +===，又()sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B A B B A C A B A B A B A B A B +++=+===，sin cos cos C A B=，又ABC 是锐角三角形，所以sin 0,cos 0C B >>，所以sin A A =，所以tan A =又π0,2A∈ ，所以π3A =. 【小问2详解】由余弦定理可得222222cos 3a c b cb A c b cb =+−=+−=，即223c b cb +=+，又()12AD AB AC =+ ，所以()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+，又由正弦定理可得2sin sin sin a b c A B C===，所以2sin b B =，2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ==−=+，所以2111cos24cos sin 4222B bc B B B B −=+=+⋅111π4cos22cos212sin 214426B B B B B =−+=−+=−+，由题意得π0,22ππ0,32B B << <−< 解得ππ62B <<，则ππ5π2,666B −∈ ，所以π1sin 2,162B−∈，所以(]2,3bc ∈，所以279,44AD ∈ ，所以线段AD长的取值范围为32 . 17. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【小问1详解】解法一：连接AM 交BN 与点O ，则MAC MCA ∠=∠，tan AB MCA AC ∠==，tan AN ABN AB ∠==，故ABN MCA MAC ∠=∠=∠，从而90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=°，从而AM BN ⊥， PM ⊥ 底面ABC ，BN ⊂ABC ，∴PM BN ⊥，又AM PM M = ，AM PM ⊂，平面APM ，故BN ⊥平面APM 解法二：连接AM ，由,M N 分别为BC ，AC 的中点，所以1122AM AB AC =+ ， 12BN AB AC =−+ ，又因为AB AC ⊥，1AB =，AC = 所以1110222AM BN AB AC AB AC ⋅=+⋅−+= ，故AM BN ⊥ ，从而AM BN ⊥， ∵PM ⊥底面ABC ，BN ⊂底面ABC ，∴PM BN ⊥，又AM PM M = ，AM PM ⊂，平面APM ，故BN ⊥平面APM【小问2详解】因为AB AC ⊥，故以点A 为坐标原点，,AB AC 所在直线分别为,x y 轴，过点A 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()C ,()1,0,0B,1122P,N,12M ，则()AC =，BN =−，1122AP = ,因为平面EBN ⊥底面ABC ，且AM BN ⊥，则AM ⊥平面EBN，则12AM =,易得平面EBN的一个法向量为()1n = ，设平面PAC 的一个法向量为()2,,n x y z = ，则2200AP n AC n ⋅= ⋅=，可得110220x y z = =，令1x =可得()21,0,1n =− ，设二面角A EN B −−为θ，则12cos cos ,n n θ=〉〈== 故二面角A EN B −−18. 【答案】（1）()f x 在(),0−∞单调递增，()0,∞+单调递减；（2）413ea ≤−（3）1−．【解析】【小问1详解】当1a =时，()()2311e x x f x x b −=−−−−，则()33e exx x f x −′−=，易知33e x y x =−−单调递减，且0x =时，0y =，所以令ff ′(xx )>0，解得0x <，令ff ′(xx )<0，解得0x >，所以()f x 在(),0∞−单调递增，(0,+∞)单调递减；【小问2详解】函数()f x 的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，()330ex x f x a −∴=−≥′在定义域内恒成立，或()330ex x f x a −=−≤′，在定义域内恒成立．令()()()4ex x g x f x g x =′−⇒′=，显然()g x ′在(),4∞−为负，()4,∞+为正，所以()33ex x f x a −′=−在(),4∞−单调递减，()4,∞+单调递增， ①若()330ex x f x a −=−≥′在定义域内恒成立，只需()min 41()430e f x f a ==−−′≥′，即413ea ≤−， ②若()330e x x f x a −=−≤′在定义域内恒成立， x →−∞ 时，()f x ∞′→+，故该情况a 无解．综上：413e a ≤−；【小问3详解】若()0f x ≤恒成立，则()23110ex x a x b −−−−−≤，当2x =时，510a b −−−≤，即51a b +≥−，下证51a b +=−成立，由51a b +=−得，()23150e x x a x a −−−+≤恒成立，即()()2136230e e x x x a x x a − −−=−−≤，易知12,3ex y x y a =−=−在R 上分别单调递增、单调递减，又记()20F =，要满足题意需12,3e x y x y a =−=−零点相同，即2130e a −=，解得213ea =，即只需证()()221360e 3ex x F x x −=−−≤恒成立，()231e ex x F x ′−=−，由（2）得()F x ′在(),4∞−上单调递减，在()4,∞+上单调递增，又()()20,F F x =′∴′在(),2∞−上为正，在()2,4上为负，在()4,∞+上为负， ()F x ∴在(),2∞−上单调递增，在()2,∞+上单调递减，()max ()20F x F ∴==，即()0F x ≤恒成立，5a b ∴+最小值为1−．19. 【答案】（1）π12．（2）49π6（3）存在，证明见解析【解析】【小问1详解】()f x 图象的相邻的两条对称轴间的距离为π2()f x ∴的最小正周期为π2π2T =×=， 2π0,2Tωω>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+，又()f x 的图象过点(),0sin f ϕ ∴== ． ()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ <∴==+，因为函数()πsin 223y f x m x m=+=++是偶函数， ()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z ． m ∴的最小值π12．【小问2详解】由()()π414sin 2103g x f x x=+=++= 可得π1sin 234x +=−， 17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ∈−∴+∈−，设π23i i x t +=，由sin y t =与14y =−图象可知在5π11π,22 −共有8个交点．182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=，1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=，同理2345672222227πx x x x x x +++++=， 1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=．【小问3详解】()()()π1π1sin 2,sin 23262x xf x x h x f x x λλ =+∴−=假设存在非零实数λ，使得函数()()1sin 22x h x x λ =是R 上的周期为T 的T 级周期函数，即x ∀∈R ，恒有()()h x T T h x +=⋅，则x ∀∈R ，恒有()()11sin 22sin 222x T x x T T x λλλ+ +=⋅成立，则x ∀∈R ，恒有()()sin 222sin 2T x T T x λλλ+=⋅成立，当0λ≠时，x ∀∈R ，则2,22x x T λλλ∈+∈R R ，所以()1sin21,1sin 221x x T λλλ−≤≤−≤+≤，要使得()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅恒成立，则有21T T ⋅=±①当21T T ⋅=时，则0T >，即12T T =，令()12x p x x=−，其中0x >，则()120,121102p p =−<=−=>，且函数()p x 在()0,∞+上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数()p x 在()0,∞+上有唯一的零点，此时，()sin 22sin2x T x λλλ+=恒成立，则()22T m m λπ=∈Z ，即()m m Tπλ=∈Z ； ②当21T T ⋅=−时，则0T <，即2T T −−=，作出函数y x =−、2x y −=的图象如下图所示：由图可知，函数2x y x y −=−=、的图象没有公共点，故方程21T T ⋅=−无实数解．综上所述，存在()πm m Tλ=∈Z 满足题意，其中T 满足21T T ⋅=。

贵阳市五校2023届高三年级联合考试(五)文数-答案

文科数学参考答案·第1页（共7页）贵阳市五校2023届高三年级联合考试（五）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．有集合A 元素满足250x x -≤得05x ≤≤；集合A 元素满足21x n =+，n ∈N ，{135}A B =，，，故选C ．2．由题意得(12i)i 2i z =-+=-- ，z 的共轭复数2i z =-+，z 的共轭复数对应的点位于第二象限，故选B ．3．因为回归直线方程9y x a =+必过()x y ，，由题中表格数据得 3.5x =，42y =，则910.5a y x =-=，故910.5y x =+，则当7x =时，73.5y =，故选A ． 4．由题意得命题p 是真命题，命题q 是假命题，则只有p q ∧⌝是真命题，故选C ．5．由题意得00.0.7.783)1log 1.6log 0.8(001a b c <===∈>，，，，则a b c ，，的大小关系为b c a <<，故选D ．6．在ABC △中，11()24EC EA AC AD AC AB AC =+=-+=-+14AC AB +=-+34AC ，故选D ．7．由题意得2142aa a =，22(23)(2)d d +=+且0d ≠，解得2d =，则22(1)2n a n n =+-=，则{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，故选A ．8．由题意得()f x 是在[ππ]-，的奇函数，当πx =时，(π)0f >，故选B ．9．如图1，过D 作DE AB ⊥于E ，则1151sin sin18224BE AB AB BDE BD BD BC -∠=︒==== ．所以，22cos 2cos144cos36(12sin 18)12DBA ∠=︒=-︒=--︒=-+⎝⎭文科数学参考答案·第2页（共7页）14+=，故选D ． 10．如图2，设外接球的半径为R ，取AB 的中点1O ，连接1O D ，则由AD BD =得1O D AB ⊥，因为平面ABD ⊥平面ABC ，所以1O D ⊥平面ABC ．则易知球心O 在线段1O D 上．连接OD OA ，，则OD OA R ==，由题可知，112O D AO ==，，在1Rt O OA △中，由勾股定理得：22211OO O A OA +=，即：22(2)2R R -+=，解得32R =，所以三棱锥A BCD -的外接球表面积为9π，故选B ．11．设动点00()A x y ，，则220017x y +=，所以220077x y =-，则题目转化为求椭圆上的动点A 到圆心M 的距离的最大值加圆的半径1即可．所以22200||(3)AM x y =+-22000776y y y =-+-9+20135356222y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭≤，当012y =-时，等号成立．即max ||2AM =，所以，max ||1AB =+，故选C ． 12．由题可得：(1)(1)0f x f x ++-+=，即()(2)0f x f x +-=．又(6)()f x f x -=，所以(6)(2)f x f x -=--，即(4)()f x f x +=-．所以(8)(4)f x f x +=-+=()f x ，因此函数()f x 的周期8T =．所以(2023)(1)f f =-=(3)f -=10，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由基本不等式得：44111)1311x x x ++--=++≥ ，当且仅当411x x +=+，1x =时等号成立．14．令1n =，则1131S a λ==-，当2n ≥时，1n n n a S S -=-=11(33)23n n n λλ---= ．所以1231a λλ==-，解得：1λ=，则123n n a -= ，所以454.a =图1图2文科数学参考答案·第3页（共7页）15．由题可得，圆222420x y x y +-++=的圆心(12)O -，，半径r =，圆心到直线的距离为d =，向直线270x y +-=作垂线垂足为P ，此时PA 最小，所以min ||PA ==16．将函数向右平移4T 后的解析式为ππs i n 26f x x ωω⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则ππππ6626x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，，要使得平移后的图象有3个最高点和2个最低点，则需：9πππ11π2262ω<-≤，解得283433ω<≤．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）在ABC △中，由射影定理得cos cos a B b A c +=，则题述条件化简为222a b c ab +-=，由余弦定理得2222cos a b c ab C +-=．可得1cos 2C =，π3C =． ……………………………………………（6分）（2）在ABC △中，由正弦定理得2πsin sin sin sin 3a b c A B C ====，则ABC △周长22sin )3ABC C a b A B =++=++△2π2sin sin 3A A ⎤⎛⎫=++- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，因为2ππsin sin 36A A A ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π24sin 6ABC C A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，因为ABC △为锐角三角形，2π3A B +=，则得ππ62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，ππ2π633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，文科数学参考答案·第4页（共7页）故πsin 16A ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，(26]ABC C ∈+△． …………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（1）证明：因为22200(40406060)8 3.841100100100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．……………………………………（6分）（2）由于“体育迷”中，男女比例为3∶2，故抽取的5人中有3位男性用a ，b ，c 表示， 2位女性用D ，E 表示．从这5人中随机抽取3人，可能的情况共有以下10种：()()()()()()()()a b c a b D a b E a c D a c E a D E b c D b c E ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，()()b D Ec D E ，，，，，，其中至少抽到2位男性的情况有以下7种： ()()()()()()()a b c a b D a b E a c D a c E b c D b c E ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以概率为710． ……………………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：在PAC △中，4PA PC ==，O 为AC 的中点．则中线PO AC ⊥①，且2AO CO OP ===，；同理在ABC △中，有222AB BC AC +=，则AB BC ⊥；因为AB BC ==BO AC ⊥且2BO =；在POB △中，有222PO BO BP +=，则BO PO ⊥②，由①②得PO ⊥平面ABC ． ……………………………………………………（6分）（2）解：由题可得222AB BC AC +=，则AB BC ⊥，所以142ABC S =⨯=△．又由（1）知PO ⊥平面ABC ，所以118423333P ABC ABC V S PO -=⨯⨯==△ ．又2MC MB =，则13M PAB P ABC V V --=，由4PA AB AB ===，得：PAB S =△文科数学参考答案·第5页（共7页）设点M 到平面PAB 的距离为d，则13M PAB PAB V S d -=⨯⨯=△解得21d =，即点M 到平面PAB的距离为21． …………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得：11||322OPF P P S OFx x ==⨯=△，则P x ，代入双曲线方程可得3)P ，又因为P 在抛物线上，所以623p =⨯，解得1p =，故抛物线G 的方程为22x y =． ………………………………………（5分）（2）设点1122()()A x y B x y ，，，，对22x y =求导得：y x =，则切线MA 的方程为111()y y x x x -=-，由2112x y =整理得：11y x x y =-．令0y =，则12x x =，即102x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，同理可求得202x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．将(21)M --，带入直线MA 可得：11210x y +-=，同理可求得直线MB 的方程：22210x y +-=，所以A B ，的直线方程210x y +-=．联立2122y x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，消去y 得：2420x x +-=，则韦达定理：121242x x x x +=-=-，，……………………………………………（8分）则弦长212|44AB x x=-=+⨯= ，点M 到直线AB 的距离d == 所以1662MAB S AB d ==△．又1||2MCD M S CD y =△ 12||42x x -==，文科数学参考答案·第6页（共7页）故12MABMCDS S =△△．………………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）解：由已知得当1a =时，2()e 1x f x x =-+，()e 2x f x x '=-∴，(0)1f '=∴，且(0)2f =．由点斜式得(0)(0)(0)y f f x '-=-，2y x -=∴，∴在0x =处切线方程为2y x =+． ………………………………………………（5分）（2）证明：由题可得：2e 1e 22x a x a x x -+-+≥，则2(e e )(1)0x a x x ---≥．令()e e x g x x =-，则()e e x g x '=-．令()0g x '=，得1x =，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()(1)0g x g =≥，即e e 0x x -≥，当且仅当1x =时等号成立．所以要证2(e e )(1)0x a x x ---≥，则证：2e e (1)0x x x ---≥．令函数2()e e (1)x h x x x =---，则()e e 2(1)x h x x '=---，令函数()e e 2(1)x x x ϕ=---，则()e 2x x ϕ'=-，令()0x ϕ'=，则ln 2x =．当ln 2x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，当0ln 2x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减．又(0)3e 0ϕ=->，(ln 2)4e 2ln 20ϕ=--<，(1)0ϕ=，故存在唯一0(0ln 2)x ∈，使得0()0x ϕ=，当0(0)x x ∈，时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 单调递增，当0(1)x x ∈，时，()0x ϕ<，即()0h x '<，()h x 单调递减．又(0)(1)0h h ==，故此时()0h x ≥恒成立，即不等式2e e (1)0x x x ---≥得证，则原不等式得证．…………………………………………………………………………（12分）注：本题解法不唯一，若考生有其他正确解法，也可酌情给分． 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=； ………………………………（3分）则对应的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，，其中θ为参数， ………………………………（5分）文科数学参考答案·第7页（共7页）（2）由（1）参数方程可设(cos 1sin )M θθ+，，()P x y ，，则由2AP AM = ，(1)A -2，，得12(cos 1)22(sin 2)x +y θθ=+⎧⎨-=-⎩，，2cos 12sin 2x y θθ=+⎧⎨=-⎩，，其中θ为参数． ……………………………（8分）对应的直角坐标方程为22(1)(2)4x y -++=， ………………………………………（9分）圆心(1)-2，到l距离2d ==>，则1C 与l 相离． …………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）3523()|2||23|1223352x x f x x x x x x x ⎧⎪---⎪⎪=+++=---<-⎨⎪⎪+>-⎪⎩，≤，，≤，，，结合图象知函数min ()f x =3122f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． …………………………………（5分）（2）由已知得当0x >时，()35f x x =+，则由()()()21f a +f b +f c =得：3()1521a b c +++=，即：2a b c ++=，则由柯西不等式：111()9a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，所以11192a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时等号成立． ………………………（10分）。

辽宁省五校联考(省实验,育才中学2025届高三下学期联考数学试题含解析

辽宁省五校联考（省实验，育才中学2025届高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（） A ．32B ．23C ．12D ．626．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 7．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅8．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9．中，如果，则的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．215512．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏盐城五校联考2025届高三10月月考数学试题+答案

（总分150江苏盐城五校联考2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准1-8BBDADAAB 9-11ACD,ABD,ABC12-142024,lg x x ∃≥≥,4,405115.（1）44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π=+，7分故()f x 的最小正周期T π=；8分（2）由[0,]2x π∈可得2[44x ππ+∈，5]4π，10分当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，时()min f x =13分16.（1）()f x 为定义在上的奇函数，()0020021af -∴==+，1a ∴=，2分当1a =时，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，符合题意，()21212121x x xf x --∴==+++，20x > ，22021x-\-<<+，()11f x ∴-<<，∴的值域为−1,1；7分（2）由（1）有()10f x +>，8分∴原不等式可化为()()()21231f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅++≤+⎣⎦⎣⎦，令()f x t =，则2210t t --≤，112t ∴-≤≤，即1211221x --≤+≤+，12分123x ∴≥，21log 3x ∴≥，14分∴不等式的解集为21log ,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.15分17.（1）因为A 点的横坐标为35，且1OA =，A 点在第一象限，所以A 点纵坐标为45，所以3cos 5α=，4sin 5α=.2分所以2222πcos 2sin 22sin cos 2sin cos sin ααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-2422sin cos 2sin 853cos cos 35ααααα⨯====.7分（2）因为63cos 65AOC ∠=-，由图可知：16sin 65AOC ∠=.9分而2,k AOC k βπα-+=-∠∈Z ，故2πAOC k αβ+=∠+（Z k ∈）⇒2πAOC k βα=∠-+（Z k ∈），12分所以()()cos cos 2πcos AOC k AOC βαα=∠-+=∠-cos cos sin sin AOC AOC αα=∠+∠633164565565513⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.15分18.（1）由题意可知：()f x 的定义域为0,+∞，且()222121x f x x x x='-=-，2分令'>0，解得12x >；令'<0，解得102x <<；所以()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．6分（2）设()()()12ln h x g x f x ax x x=-=--，当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，即()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，取1x =，解得1a ≥；若1a ≥，则()112ln 2ln h x ax x x x x x=--≥--，设()12ln ,1m x x x x x =--≥，则()()22212110x m x x x x-='=-+≥，可知()m x 在[1,)+∞上单调递增，则()()10m x m ≥=，此时()0h x ≥，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为[1,)+∞．17分19.（1）由{}1,1A =-，112,110,112--=--+=+=，故{2,0,2}A +=-；|1(1)||11|0,|11||1(1)|2---=-=--=--=，故{0,2}A -=.3分（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即213141{0,,,}A x x x x x x -=---6分剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；7分（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12,k a a a <<< 1121312312......2,k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<所以21,A k +≥-1121311...,k a a a a a a a a -<-<-<<-所以||A k -≥，因为,A A +-⋂=∅由容斥原理31,A A A A k +-+-⋃=+≥-A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2,k a 所以21,k A A a +-⋃≤+则()*31214049N ,k k a k -≤+≤∈所以1350k ≤，当{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，证明如下：设{,1,2,...,2024}A m m m =++且N m ∈，则{2,21,22,...,4048}A m m m +=++，{0,1,2,...,2024}A m -=-，依题意有2024202423m m m -<⇒>，故m 的最小值为675，于是当675m =时A 中元素最多，即{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.17分。

浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考试题数学含答案

浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试卷（答案在最后）命题:一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若全集U ,集合A,B 及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是()A.()U A B ⋂ðB.()U A B ⋃ðC.()U A B⋂ð D.()U A B⋂ð2.已知(1,2),||2a b == ,且a b ⊥ ,则a b - 与a的夹角的余弦值为()A.5B.3C.4D.63.设b ,c 表示两条直线,,αβ表示两个平面,则下列说法中正确的是()A.若//,b c αα⊂,则//b cB.若//,b c b α⊂,则//c αC.若,//c αβα⊥,则c β⊥ D.若//,c c αβ⊥,则αβ⊥4.已知角α的终边过点(3,2cos )P α-,则cos α=()A.2B.2-C.2±D.12-5.设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,则“2q =”是“{}1n S a +为等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知实数x ,y 满足3x >,且2312xy x y +-=,则x y +的最小值为()A.1+B.8C. D.1+7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点A 为双曲线的左顶点,以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ,Q 两点,且23PAQ π∠=,则该双曲线的离心率为()C.2138.在等边三角形ABC 的三边上各取一点D ,E ,F ,满足3,90DE DF DEF ︒==∠=,则三角形ABC 的面积的最大值是()A. B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是()A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小C.剩下评分的方差变小D.剩下评分的中位数变大10.在三棱锥A BCD -中,已知3,2AB AC BD CD AD BC ======,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点，则()A.MN ⊥ADB.异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是78C.三棱锥A BCD -的体积为3D.三棱锥A BCD -的外接球的表面积为11π11.已知函数()(sin cos )xf x e x x =⋅+,则()A.()f x 的零点为,4x k k Z ππ=-∈B.()f x 的单调递增区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时,若()f x kx ≥恒成立,则22k e ππ≤⋅D.当10031005,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,过点1,02π-⎛⎫⎪⎝⎭作()f x 的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为502π三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.直线3430x y -+=的一个方向向量是.13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为.14.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若(21),(2)f x g x --均为偶函数,且当[1,2]x ∈时,3()2f x mx x =-,则(2024)g =.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图,斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形,90ACB ︒∠=,点1B 在底面ABC 内的射影恰好是BC 的中点,且2BC CA ==.(I)求证:平面11ACC A ⊥平面11B C CB ;(II),求平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值.16.(本小题满分15分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.17.(本小题满分15分)记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n 次这样的构造,可得到n 个复数,将它们的乘积记为n z .已知复数具有运算性质:|()()||()||()|a bi c di a bi c di +⋅+=+⋅+,其中,,,a b c d R ∈.(I)当2n =时,记2z 的取值为X ,求X 的分布列;(II)当3n =时,求满足32z ≤的概率;(III)求5n z <的概率n P .18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,我们把点*(,),,x y x y N ∈称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点(,)x y 进行赋值记为(,)P x y ,例如(2,3)8P =,(4,2)14,(2,5)17P P ==.(I)求(,1)P x ;(II)求证:2(,)(1,)(,1)P x y P x y P x y =-++;(III)如果(,)P x y 满足方程(1,1)(,1)(1,)(1,1)2024P x y P x y P x y P x y +-+++++++=,求(,)P x y 的值.19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy 中,过点(1,0)F 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于M ,N 两点(M在第一象限).(I)当||3||MF NF =时,求直线l 的方程;(II)若三角形OMN 的外接圆与曲线C 交于点D (异于点O ,M ,N ),(i)证明:△MND 的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;(ii)求凸四边形OMDN 的面积的取值范围.参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.题号12345678答案CBDBCACA二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011答案BCABDACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.31,4⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)13.2514.-6四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(第I 问,6分;第II 问,7分)解:(I)取BC 中点为M ,连接11,B M B 在底面内的射影恰好是BC 中点,1B M ∴⊥平面ABC ,又AC ⊂ 平面1,ABC B M AC ∴⊥,又90,ACB AC BC ︒∠=∴⊥ ,1,B M BC ⊂ 平面111,,B C CB B M BC M AC ⋂=∴⊥平面11B C CB ,又AC ⊂ 平面11,ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .(II)以C 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,2BC CA == ,11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,0),(0,A B M B C ∴-,111((2,2,0),(0,2,0)AB AB B C =-=-=-,设平面1BAB 的法向量为(,,)n x y z =,100n AB n AB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩则有20220x y x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩,令z =,则3,x y n ==∴= ,设平面1BAB 的法向量为(,,)m a b c =,11100m AB m B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩则有2020a b b ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩,令a =则0,2,b c n ==∴=,||5|cos ,||||7| n m n m n m ⋅∴<〉==,平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值为57.16.(本小题满分15分)(第I 问,6分;第II 问,9分)(I)1()f x a x'=-,则(1)1,(1)f a f a '=-=-,故曲线()y f x =在1x =处的切线为(1)(1)y a a x +=--,即(1)1y a x =--,当1a =时,此时切线为1y =-,不符合要求当1a ≠时,令0x =,有1y =-,令0y =,有11x a =-,故111a=--,即2a =,故2a =(II)11()ln ,()axf x x ax f x a x x-=-∴=-= ,①当0a ≤时,()f x 在(0,e]上单调递增,()f x ∴的最大值是(e)1e 3f a =-=-,解得40ea =>,舍去;②当0a >时,由11()0ax f x a x x -=-==,得1x a=,当10e a <<,即1a e >时,10,a x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时,1()0;,e f x x a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时,()0f x <,()f x ∴的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间是1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又()f x 在(0,e]上的最大值为2max 13,()1ln 3,e f x f a a a ⎛⎫-∴==--=-∴= ⎪⎝⎭;当1e a ≤,即10ea <≤时,()f x 在(0,e]上单调递增,max ()(e)1e 3f x f a ∴==-=-,解得41e ea =,舍去.综上,存在a 符合题意,此时2e a =17.(本小题满分15分)(第I 问,6分;第II 问,4分;第III 问,5分)(I)由题意可知,可构成的复数为{1,,1}i i +,|1|||1,||||||| 2.i i =====+=且X的可能取值为,111111224242111111666666122(1),(,(2)999C C C C C C P X P X P X C C C C C C ⋅⋅⋅=========⋅⋅⋅，112211661(3)9C C P X C C ⋅===⋅111142221111666621(,(4)99C C C C P X P X C C C C ⋅⋅======⋅⋅，所以分布列为:(II)共有111666216CC C ⋅⋅=种,满足32z ≤的情况有:①3个复数的模长均为1,共有1112228C C C ⋅⋅=种;②3个复数中,2个模长均为1,1或者2,共有2111322448C C C C ⋅⋅⋅=种;所以()38487221627P z +≤==.(III)当1n =或2时,显然都满足,此时1n P =;当3n ≥时,满足5n z <共有三种情况:①n 个复数的模长均为1,则共有()122nn C =;②1n -个复数的模长为1,剩余1或者2,则共有()11111242n n n n C C C n --+⋅⋅=⋅;③2n -个复数的模长为1,剩余2个模长为2,则共有()221111244(1)2n n n nCCC C n n --+⋅⋅⋅=-⋅.故()()()2112621222(1)212563n n n n n nn nn n n n n P z C ++++⋅+-⋅+<===,此时当1,2n =均成立.所以()21253n nn P z +<=.18.(本小题满分17分)(第I 问,4分;第II 问,7分;第III 问,6分)解:(I)根据图形可知(1)(,1)1232x x P x x +=++++=,(II)固定x ,则(,)P x y 为一个高阶等差数列,且满足(,1)(,)1,(1,)(,),P x y P x y x y P x y P x y x y +-=+-+-=+所以(1)(,1)(,1)12(1)(1)2y y P x y P x y y x y x ++-=++++-=+- (1)(1)(,1)(1)22y y x x P x y y x +++=+-+所以(1)(1)(,)(1)(1)22x x y y P x y x y +-=++--,(1)(1)(1,)(2)(1)22x x y y P x y x y ---=++--,所以(1)(1)(1)(1)(,1)(1,)(2)(1)(1)2222x x y y y y x x P x y P x y x y y x --++++-=++--++-+222322(,)x y xy y x P x y =++--+=(III)P(x +1,y -1)+P(x ,y +1)+P(x +1,y )+P(x +1,y +1)=2024等价于(,)(,1)(1,)(1,1)2023P x y P x y P x y P x y +++++++=,等价于(,1)3(1,)2023P x y P x y +++=即13[(1)(21)][(1)(2)(1)(2)]202322x x y y x x x y y x +++-++++-+=,化简得2221010(1)()21010y xy x y x x y x y x ++-+=⇔+-++=,由于x y +增大,(1)()x y x y +-+也增大,当31x y +=时,(1)()29921010x y x y x +-++<<,当33x y +=时,(1)()210561010x y x y x +-++>>,故当32x y +=时,(1)()210109,23x y x y x x y +-++=⇒==,即9102322(9,23)82247422P ⨯⨯=++⨯=19.(本小题满分17分)(第I 问,4分;第II 问,5分;第III 问,8分)解:(I)设直线()()1122:1,,,,MN X my M x y N x y =+联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得2440y my --=,所以12124,4y y m y y +=⋅=-,||3||MF NF =,则123y y =-122212224,34y y y m y y y +=-=∴⋅=-=-,则213m =,又由题意0,3m m >∴=,直线的方程是y =;(II)(i)方法1:设()()()112233,,,,,M x y N x y D x y 因为O ,M ,D ,N 四点共圆,设该圆的方程为220x y dx ey +++=,联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩,消去x ,得42(416)160y d y ey +++=,即()3(416)160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程3(416)160y d y e +++=的3个根,则()()()3123(416)16y d y e y y y y y y +++=---,因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-,由2y 的系数对应相等得,1230y y y ++=,所以MND 的重心的纵坐标为0.方法2:设()()()112233,,,,,M x y N x y D x y ,则1213234444,,,OM ON MD ND k k k k y y y y y y ====++,因为O,M,C,N 四点共圆,所以MON MDN π∠+∠=,即tan tan 0MON MDN ∠+∠=,()21124tan 116OM ONOM ON y y k k MON k k y y --∠==+⋅+()()()1213234tan ,116ND MDND MD y y k k MDN k k y y y y --∠==+⋅+++化简可得:312y y y =--,所以MND 的重心的纵坐标为0.(ii)记,OMN MND 的面积分别为12,S S ,由已知得直线MN 的斜率不为0设直线:1MN x my =+,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得2440y my --=,所以12124,4y y m y y +=⋅=-,所以11211||22S OF y y =⋅⋅-==由(i)得,()3124y y y m =-+=-,所以2223311(4)444x y m m ==⨯-=,即()24,4D m m -,因为()21212||2444MN x x m y y m =++=++=+,点D 到直线MN的距离d =所以()22211||448122S MN d m m =⋅⋅=⋅+⋅-,所以)221281181S S S m m =+=+-=+-M 在第一象限,即1230,0,40y y y m ><=-<,依次连接O,M,D,N 构成凸四边形OMDN ,所以()3122y y y y =-+<,即122y y -<,又因为122244,2y y y y ⋅=-<,即222y <,即20y <<,所以122244m y y y y =+=->+=,即24m >,即218m >,所以)218116S m m =+-=,设t =,则4t >,令()2()161f t t t =-,则()()222()1611614816f t t t t t ''=-+-=-,因为4t >,所以2()48160f t t '=->,所以()f t在区间4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增,所以()42f t f ⎛⎫>=⎪⎝⎭,所以S的取值范围为,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。

高三年级文科数学五校联考

高三年级文科数学五校联考本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分；共150分；考试用时120分钟．第Ⅰ卷(选择题；共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等填涂在答题卡上；2. 每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净；再选涂其它答案；不能答在试卷上。

一、选择题（本题共12小题；每题5分；共60分；在每个小题给出的四个选项中；有且只有一项符合题目要求）1. 设集合 A B A Z x x x U 则},2,1,2{},2,1{},,3{--==∈<=(B C U )＝A ．{ 1 }B ．{ 1；2 }C ．{－2 }D ．{ 0；1；2 }2．已知对任意实数x ；有()()()()f x f x g x g x -=--=，；且0<x 时；()0()0f x g x ''>>，；则0>x 时A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 3．若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ；且213--=n n B A n n ；则44b a为 A ．３ B ．8 C ．4 D ．5 4．已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=4cos πωx x f ()0>ω的最小正周期为π；则该函数的图象 A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,4π对称B ．关于直线8π=x 对称C ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,8π对称 D ．关于直线4π=x 对称5．在ABC △中；已知D 是AB 边上一点；若BC CA CD BD DA λ+==3,2；则λ=A ．2B ．１C ．－２D ．－１ 6．设γβα、、为平面；l n m 、、为直线；则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαα⊥⊂,,∥mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ． αβα⊥⊥⊥m n n ,,7．)21( 22<<-=x x x y 反函数是A ．)11( 112<<--+=x x yB ．)10( 112<<-+=x x yC ．)11( 112<<---=x x yD ．)10( 112<<--=x x y 8．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|1|22x x 的解集为A ．)3,1(B ．)4,3(C ．)3,3(D ．)3,1()1,3(--9．在正三棱柱111C B A ABC -中；若AB=2；61=AA ；则点A 到平面BC A 1的距离为A ．32 B ．23 C ．32 D ．3310．下列函数中既是奇函数；又是区间[]1,1-上单调递减的是A ．()x x f cos =B ． ()1-=x x fC ． ()xxx f --=22 D ． xxx f +-=22ln)( 11．某校需要在5名男生和5名女生中选出4人参加一项交流活动；由于工作需要；男生甲与男生乙至少有一人参加活动；女生丙必须参加活动；则不同的选法有 A ．56种 B ．49种C ．42种D ．14种12．设双曲线()0,012222>>=-b a by a x x y 42-=的准线重合；则此双曲线的方程为（）Ａ．22136x y -= Ｂ．12322=-y x Ｃ．13222=-y xＤ． 13622=-y x 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分. 13．二项式6)1(xx -展开式中的常数项是（用数字作答）； 14．某长方体各顶点均在同一球的球面上；且一个顶点上的三条棱的长分别为1；6；3；则此球的表面积为； 15．抛物线241x y =上的一点M 到其焦点的距离为5；则点M 的纵坐标是； 16．下列四个命题：①若0cos <α；则α是第二或第三象限角；②若βαsin sin =；则βα和的终边相同； ③α是第三象限角的一个必要不充分条件是0cos sin >⋅αα； ④若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα；则2cos sin 1παα<+<．其中正确的是__________________．三、解答题（本题共6小题；共70分）17．（本题满分10分）甲、乙两人各射击一次；击中目标的概率分别是21和32。

高三数学下学期五校联盟考试试题文试题

五校联盟2021－2021学年度第二学期高三联考创作人：历恰面日期： 2020年1月1日数学试卷〔文科〕第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1. 集合}2{2x x y x A -==，}023{2<-+=x x x B .R 表示实数集，那么以下结论正确的选项是〔〕A. B A ⊆B. A C B R ⊆C. B C A R ⊆D. A B C R ⊆2．复数Z 满足(1)()i Z i i +=为虚数单位，那么在复平面上，复数z 对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，0152573=+-+a a a ，那么9S =〔〕A. 35B. 36C. 45D. 544. 小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间是为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．假如小明每天到路口的时间是是随机的，那么小明上学时到十字路口需要等待的时间是不少于20秒的概率是 A ．34 B ．23 C ．12 D ．135. 设0.50.433434(),(),log (log 4),43a b c ===那么〔〕 A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6、一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积等于〔〕A. 90B. 72C. 68D. 607.执行如下图的程序框图，假设输出k 的值是6，那么判断框内可填入的条件是〔〕 A.12S >B. 35S >C. 710S > D. 45S > 8. 把函数()2sin cos 3cos f x x x x =+的图象向左平ϕ〔0ϕ>〕个单位，得到一个偶函数，那么ϕ的最小值为〔〕 A.3π B. 4π C. 6π D. 12π 9.抛物线2:4C x y =的焦点为F ，定点(22,0)A .假设射线FA 与抛物线C 相交于点M〔点M 在F 、A 中间〕，与抛物线C 的准线交于点N ，那么FM MN=〔〕A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310. ABC ∆中， 2A π∠=， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，那么BQ CP ⋅的最小值为〔〕 A. 4- B. 2- C. 1- D. 0 11. 设函数()244,1 43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，()2log g x x =，那么函数()()()h x f x g x =-的零点个数是〔〕A. 4B. 3C. 2D. 112. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，那么S 1+S 2+S 3的最大值是〔〕 A ． B ．2 C ．4D ．8第II 卷〔非选择题，一共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须答题. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求答题.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在题中横线上) 13.甲、乙两名篮球运发动进展罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如下图，那么命中率较高的为 .14.设实数,x y 满足2020240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，那么32z x y =+的最小值为 .15.椭圆2222111x y a b += 11(0)a b >>与双曲线2222221x y a b -= 22(0,0)a b >> 有公一共的左、右焦点12,F F ,它们在第一象限交于点P ,其离心率分别为12,e e ,以12,F F 为直径的圆恰好过点P ,那么221211e e += . 16. 对大于或者等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：222213,3135,41357,=+=++=+++⋅⋅⋅； 333235,37911,413151719=+=++=+++根据上述分解规律，假设2313511,m p =+++⋅⋅⋅+的分解中最小的正整数是21，那么m p +=___________.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．〔此题满分是12分〕函数()f x =23sin(3)cos()cos ()2x x x πππ+⋅-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设()f A =32，2,4a b c =+=，求,b c . 18．〔此题满分是12分〕如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥,22AB AB EF ==,沿着AB 将图形折成图2，其中AED ∠90,,AE ED H =︒=为AD 的中点.〔Ⅰ〕求证：EH BD ⊥；〔Ⅱ〕求四棱锥D ABFE -的体积.19.〔此题满分是12分〕随着资本场的强势进入，互联网一共享单车“忽如一夜春风来〞，遍布了一二线城的大街小巷．为理解一共享单车在A 的使用情况，某调查机构借助网络进展了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进展抽样分析，得到表格：〔单位：人〕经常使用偶然或者不用合计 30岁及以下 70 30 100 30岁以上 60 40 100 合计13070200〔1〕根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为A 使用一共享单车情况与年龄有关？〔2〕现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用一共享单车的概率．参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0k20．〔此题满分是12分〕如图,椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、,椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为21. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点2F 的直线l 交椭圆C 于B A 、两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PB PA ⋅为定值？证明你的结论. 21．〔此题满分是12分〕函数()()ln 1f x x a x =+- 〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.答题时请写清题号.22.〔此题满分是10分〕选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为3cos sin x ay a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，〔α为参数〕，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ．〔1〕求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；〔2〕设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的间隔的最小值． 23.〔此题满分是10分〕选修45：不等式选讲设函数212)(--+=x x x f . 〔Ⅰ〕求不等式2)(≥x f 的解集;〔Ⅱ〕假设对于任意R x ∈,不等式t t x f 211)(2->恒成立,务实数t 的取值范围.五校联盟2021－2021学年度第二学期高三联考数学参考答案〔文科〕第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在题中横线上) 13.答案：甲. 14. 答案： 4. 15. 答案：2. 16.答案：10.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17、【解析】(1)∵()f x sin(3π+x)·cos(π−x)+cos 2(2π+x)，∴()f x −sin x)·(−cos x)+(−sin x)2=2sin 2x+1cos 22x -=sin(2x −6π)+12．〔3分〕由2k π−2π≤2x −6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π−6π≤x ≤k π+3π，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间是[k π−6π，k π+3π]，k ∈Z ．〔6分〕(2)由()f A =32得，sin(2A −6π)+12=32，∴sin(2A −6π)=1，∵0<A<π，∴0<2A<2π，−6π<2A −6π<116π，∴2A −6π=2π，∴A=3π，〔8分〕 ∵a=2，b+c=4 ①，根据余弦定理得，4=2b +2c −2bccos A=2b +2c −bc=(b+c)2−3bc=16−3bc ， ∴bc=4 ②，联立①②得，b=c=2．〔12分〕18.【解析】〔Ⅰ〕在梯形ABCD 中,∵CD AB //,CB AD =,∴=∠BAD 60ABC ∠=,∴=∠ADC 120=∠BCD ,∵1==DC AD . ∴=∠CAD 30=∠ACD ,∴ 90=∠ACB ,∴AC BC ⊥.〔4分〕∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面 ACFE 平面ABCD AC =,∴⊥BC 平面ACFE . 〔Ⅱ〕在ADC ∆中,-+=222DC AD AC ADC DC AD ∠⋅cos 23=,∴3=AC .分别以CF CB CA ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立平面直角坐标系, 设h CF =,那么)0,0,0(C ,)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,)0,0,21(D ,),0,0(h F ,那么)0,1,21(-=BD ,),1,0(h BF -=,易知平面BCF 的一个法向量为)0,0,1(=m ,设∵平面BDF 的法向量为),,(z y x n =,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BF n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,0,021hz y y x 令1=z ,那么h x 2=,h y =,∴平面BDF 的法向量为)1,,2(h h n =,∵二面角D BF C --的平面角的余弦值为66, ∴>=<n m ,cos 1522+h h 66=,解得1=h ,即1=CF .〔10分〕所以六面体ABCDEF 的体积为：=ABCDEF V ACFE B V -ACFED V -+BC S ACFE ⨯=正方形31D ACFE y S ⨯+正方形3121211311131=⨯⨯+⨯⨯=.〔12分〕 19.【解析】〔1〕由列联表可知： ()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为A 使用一共享单车情况与年龄有关．〔6分〕〔2〕依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用一共享单车的有6053100⨯=〔人〕，偶然或者不用一共享单车的有4052100⨯=〔人〕．设这5人中，经常使用一共享单车的3人分别为a ， b ， c ；偶然或者不用一共享单车的2人分别为d ， e ．那么从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ， (),a c ， (),a d ， (),a e ， (),b c ，(),b d ， (),b e ， (),c d ， (),c e ， (),d e 一共10种，其中没有1人经常使用一共享单车的可能结果为(),d e 一共1种，应选出的2人中至少有1人经常使用一共享单车的概率1911010P =-=．〔12分〕20.【解析】〔Ⅰ〕由题设得622=+c a ,又21==a c e ,解得1,2==c a ,∴3=b . 故椭圆C 的方程为13422=+y x .〔4分〕〔Ⅱ〕)0,1(2F ,当直线l 的斜率存在时,设此时直线l 的方程为)1(-=x k y ,设),(11y x A ,),(22y x B ,把)1(-=x k y 代入椭圆C 的方程13422=+y x ,消去y 并整理得, 01248)43(2222=-+-+k x k x k ,那么2221438kk x x +=+,222143124k k x x +-=, 可得)1)(1(21221--=x x k y y ]1)([21212++-=x x x x k 22439k k +-=.设点)0,(n P ,那么),(),(2211y n x y n x PB PA -⋅-=⋅2122121)(y y n x x n x x +++-=2223412)85(n k k n ++++-=,假设x 轴上存在定点P ,使得PB PA ⋅为定值,那么有312485=+n ,解得811=n , 此时,6413542-=+-=⋅n PB PA , 当直线l 的斜率不存在时,此时直线l 的方程为1=x ,把1=x 代入椭圆方程13422=+y x 解得23±=y , 此时,)23,1(A ,)23,1(-B , =⋅PB PA )23,83()23,83(--⋅-64135-=,综上,在x 轴上存在定点)0,811(P ,使得PB PA ⋅为定值.〔12分〕21.【解析】：〔Ⅰ〕()f x 的定义域为()0+∞，， ()1f x a x'=-.假设0a ≤，那么()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，单调递增. 假设0a >，那么当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当0a ≤时， ()f x 在()0+∞，无最大值；当0a >时， ()f x 在1x a=获得最大值，最大值为1111ln 1f ln a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此122f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭等价于ln 10a a +-<.令()ln 1g a a a =+-，那么()g a 在()0+∞，单调递增， ()10g =. 于是，当01a <<时， ()0g a <；当1a >时， ()0g a >. 因此， a 的取值范围是()0,1.〔12分〕22.【解析】：〔1〕由曲线C 1：，得，∴曲线C 1的普通方程为：，由曲线C 2：，展开可得：，即曲线C 2的直角坐标方程为：x -y +4=0．〔4分〕〔2〕由〔1〕知椭圆C 1与直线C 2无公一共点，椭圆上的点到直线x -y -4=0的间隔为，∴当时，d 的最小值为．〔10分〕23.【解析】〔Ⅰ〕)由题意,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=,2,3,221,13,21,3)(x x x x x x x f当21-<x 时,23≥--x ,解得5-≤x ,∴5-≤x ;当221<≤-x 时,213≥-x ,解得1≥x ,∴21<≤x ;当2≥x 时, 23≥+x ,解得1-≥x ,∴2≥x ;综上,不等式2)(≥x f 的解集为{}1,5≥-≤x x x 或.〔5分〕〔Ⅱ〕当21-<x 时,3)(--=x x f , 25)(->x f ;当221<≤-x 时,2513)(-≥-=x x f ;当2≥x 时, 53)(≥+=x x f . 所以25)(min -=x f . 不等式t t x f 211)(2->恒成立等价于min 2)(211x f t t <-,即252112-<-t t , 解得521<<t .〔10分〕。

江苏镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷含答案

江苏省镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B = （）A. {}3B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,32. 将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g=（）A. B. 1C.D. －13. 已知函数()2121xf x =−+，则对任意实数x ，有（） A. ()()0f x f x −+=B. ()()0f x f x −−=C ()()2f x f x −+=D. ()()2f x f x −−=4. “11a −<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ”的（）A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−，求cos β=（） A.12B.3998 C.5998D.71986. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（）()3.14π≈..A 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒7. 在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（） A. 0.515B. 0.05C. 0.0495D. 0.04858. 已知()2cos f x x x =−−，若34e a f − =，4ln 5b f= ，14c f =− ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同D. 两组数据的标准差相同10. 已知函数π()sin 33f x x=+，下列说法正确的是（） A. ()f x 的最小正周期为2π3B. 点π,06为()f x 图象的一个对称中心 C. 若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈−1a ≤< D. 若()f x 的导函数为()f x ′，则函数()()y f x f x =+′11. 在正方体1111ABCD A B C D −中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则下列结论正确的是（）A. 当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CD.B. 若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C. 当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为D. 当λµ=时，1||||DP A P +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B === ∣，则()P A =______．13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13 −=−= ，若函数()2521xxf x +=+，则函数()y f x = 的值域为___________. 14. 已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +−=，则12m n+的最小值是______四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2AB C +．（1）求角A 的大小；（2）若3b =，BC ABC 的周长． 16. 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.（1）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；（2）设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望.17. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈. （1）求函数22yf x π +的最小正周期；（2）求函数()4yf x f x π−在0,2π 上的最大值.18. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=°，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .（1）求证：CD EF ∥；（2）若CD EF =，求二面角A BC F −−余弦值. 19. 已知函数()1ln f x x a x x=−−. （1）若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− >+∑的.江苏省镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B = （）A. {}3B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】由对数函数的性质求出集合B ，再集合交集的概念求解可得答案.【详解】由题意得{}2e 1e 1Bx x =−<<−，又因为e 2.7≈，所以24e9<<，所以{}2,3A B ∩=，故选：C.2. 将函数()sin f x x =图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g=（）A. B. 1C.D. －1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，先求出yy =gg (xx )的表达式，再求π2g的值. 【详解】函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin()4y x =+，将πsin()4y x =+图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()πsin(2)4g x x =+，所以ππππsin(2+)sin 2244g=×=−，故选：A.的3. 已知函数()2121x f x =−+，则对任意实数x ，有（） A. ()()0f x f x −+=B. ()()0f x f x −−=C. ()()2f x f x −+=D. ()()2f x f x −−=【答案】A 【解析】【分析】计算()f x −后与()f x 比较可得．【详解】()22112121x x x f x −=−=++，则2112()()2112x xx x f x f x −−−−−===−++，即()()0f x f x ，故选：A ．4. “11a −<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，列出不等式求解出a 的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解．【详解】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，所以()2240a −≥，则1a ≤−或1a ≥，“11a −<<”是1a ≤−或1a ≥的既不充分也不必要条件，故选：D ．5. 已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−，求cos β=（） A.12B.3998 C.5998D.7198【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得sin α，()sin αβ+，再利用两角差的余弦公式可得结果.【详解】由1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−以及α，β都是锐角可得sin α=()sin αβ+所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++111491147982=−×+==. 故选：A6. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（）()3.14π≈A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒【答案】C 【解析】【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解．【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为284=33×，高为163，所以细沙体积为()2318161024cm 33381ππ ×××=所以该沙漏的一个沙时为10248119850.02π≈秒，故选：C7. 在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（） A. 0.515B. 0.05C. 0.0495D. 0.0485【答案】D 【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，故这个人患流感概率为5786%5%4%0.0485578578578P =×+×+×=++++++，故选：D8. 已知()2cos f x x x =−−，若34e a f − =，4ln 5b f = ，14c f=− ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a << B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到5ln4b f=，14c f = ，通过指数函数单调性得31411e e e 4−−>=>，再根据幂函数性质证明出145e 4>，同取对数得到15ln 44>，则有3415e ln 44−>>，再利用()f x 单调性即可得到大小关系. 【详解】因为2()cos ,R f x x x x =−−∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x −=−−−−=−−=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x ′=−+，设()2sin g x x x =−+，则()2cos g x x ′=−+，1cos 1x −≤≤ ，()0g x ′∴<，所以()g x 即()f x ′在[0,)+∞上单调递减,所以()(0)0f x f ′′≤=, 所以()f x 在[0,)+∞上单调递减,又因为()f x 为偶函数, 所以()f x 在(,0]−∞上单调递增，的又因为41ln0,054<−<,445ln ln ln 554b f f f==−=, 1144c f f=−=又因为31411ee e 4−−>=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4 =≈<，所以145e 4>, 所以145ln e ln4>，即15ln 44>,所以3415eln 44−>>, 所以3441e 5ln 4f f f − <<,即a c b <<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对,,a b c 进行一定的变形得5ln 4b f = ，14c f =,然后就是比较3415,,ln 44e −的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同【答案】BC 【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D ，根据极差及等差数列的通项公式可判断A ．【详解】对于C ，原数据的平均数为1210511()5(1010x x x x x =+++=×+ 6561)()2x x x =+，去掉1x ，10x 后平均数为2395656111()4()()882x x x x x x x x x ′=+++=×+=+=，则C 正确；对于B ，原数据的中位数为561()2x x +，去掉1x ，10x 后的中位数仍为561()2x x +，即中位数没变，则B 正确；对于A ，原数据的极差为110918x x d −=−=，去掉1x ，10x 后的极差为29714x x d −=−=，即极差变小，则A 错误；对于D ，设公差为d ，则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x=−++−+++−+2221975()()()10222[d d d =−+−+−222311()()()222d d d +−+−++22223579()()()()3322]22d d d d +++=，去掉1x ，10x 后的方差为22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x′=−++−+++−+22222222175311357()()()()()()()()2182222222[]2d d d d d d d d =−+−+−+−++++=，即方差变小．标准差也变小，则D 错误. 故选：BC10. 已知函数π()sin 33f x x=+，下列说法正确的是（） A. ()f x 的最小正周期为2π3B. 点π,06为()f x 图象的一个对称中心 C. 若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈−1a ≤< D. 若()f x 的导函数为()f x ′，则函数()()y f x f x =+′【答案】ACD 【解析】的【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确； π5π1sin 0662f==≠ ，所以π,06不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x −≤≤得π2π63t ≤≤，根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x=+，ππ,189x∈−有两个交点，1a ≤<，故C 正确；设ff ′(xx )为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ+=+++=++≤′，其中tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=−++∈时等号成立，故D 正确，故选：ACD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D −中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则下列结论正确的是（）A. 当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB. 若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C. 当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为D. 当λµ=时，1||||DP A P +【答案】BD 【解析】【分析】对A ，作出如图空间直角坐标系A xyz −，由向量法结合向量垂直判断即可；对B ，由几何关系得出1B P 与平面11CC D D 所成线面角11B PC ∠，可得11C P =，则点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆；对C ，由1λ=得点P 在1D D 上，利用几何关系可得1PAC △的面积最值在端点及中点位置；对D ，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理即可求.【详解】对A ，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，所以()11,0,1CD =− ，11B PB C CP =+ 11B C CD CC λµ=++ (),1,1λµ=−−，则()11,0,1BA − ，()1,1,0BD =−，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，所以100BA n x z BD n x y ⋅=−+= ⋅=−+=，令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n = ，若1//B P 平面1A BD ，则10n B P ⋅=，即λµ=，由1110B P CD λµ⋅=+−= ，则12λμ==，即P 为1CD 中点时，有1//B P 平面1A BD ，且11B P CD ⊥，A 错；对B ，因为11B C ⊥平面11CC D D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则11111tan 1B C B PC C P ∠==，所以1111C P B C ==，即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为π2，B 对；对C ，因为1λ=，所以点P 一定在1D D 上，又因为当0µ=或1时，1PAC △的面积取最大值，此时截设1D D 的中点为H ，由图形的变化可得当点P 在DH 和1D H 运动时，所得截面对称相同，于是当12µ=时，1PAC △，C 错；对D ，如图，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos 24A D A D DD A D DD =+−⋅所以1A D =D 对.故选：BD【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A 中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；（2）B 中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；（3）C 中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；（4）D 中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B === ∣，则()P A =______．【答案】415【解析】【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.【详解】()()1()3P AB P A B P B ==∣，将()35P B =代入可以求得1()5P AB =， ()()()()23P A B P A P B P AB ∪=+−=，将()35P B =，1()5P AB =代入，求得()415P A = 故答案为：415. 13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13 −=−= ，若函数()2521x xf x +=+，则函数()y f x = 的值域为___________. 【答案】{}1,2,3,4 【解析】【分析】分离常数，求出函数()2521x x f x +=+的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.【详解】解：()25411,20,121,01212121x x x x x x f x +==+>∴+><<+++ ，则411521x<+<+，即()15f x <<，当()12f x <<时，()1f x =；当()23f x ≤<时，()2f x = ；当()34f x ≤<时，()3f x = ；当()45f x ≤<时，()4f x = ，综上，函数()y f x = 的值域为{}1,2,3,4. 故答案为：{}1,2,3,4.14. 已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +−=，则12m n+的最小值是______ 【答案】8 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可知()f x 为奇函数，根据单调性可知21m n +=，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()()32f x x x f x −=−−=−，所以()f x 为奇函数，又()2320f x x +′=>，所以函数单调递增，又()00f =，所以()()210f m f n +−=，所以210m n +−=，即21m n +=，所以()121242448n m m n m n m n m n +=++=++≥+= ，当且仅当4n m m n=，即12n =，14m =，等号成立，所以12m n+的最小值为8.故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2AB C +．（1）求角A 的大小；（2）若3b =，BC ABC 的周长．【答案】（1）π3A =（2）5+【解析】【分析】（1）利用内角和为180°化简()sin sin B C A +=，利用二倍角公式化简21cos sin 22A A −=，再利用辅助角公式化简即可求得π3A =；（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】因为A ，B ，C 为ABC 内角，所以()sin sin B C A +=，因为21cos sin22A A−=，所以()2sin 2A B C +可化为：)sin 1cos A A =−，即sin A A，即πsin 3A+，因为ππ4π,333A +∈ ，解得：π2π+33A =，即π3A =．【小问2详解】由三角形面积公式得11sin 22b c A ⋅=，3b =代入得：1π13sin 232c ×⋅=，所以a =，由余弦定理222272cos 4a b c bc A c =+−=得：24120c c −=+，解得：2c =或6c =−舍去，即a =所以ABC的周长为5+.16. 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.（1）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；（2）设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）516（2）分布列见解析；52【解析】【分析】（1）根据题意，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，要使得质点移动5次后移动的到1的位置，只需质点向右移动3次，向左移动2次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】由题意，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位，可得质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，所以概率为332511105C ()()223216P ===. 【小问2详解】由题意知，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，移动5次中向右移动的次数为X ，可得随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，可得0055111(0)C ()()2232P X ===，()14151151C 2232P X === ， 22351110(2)C ()()2232P X ===，33251110(3)C ()()2232P X ===， 4415115(4)C ()()2232P X ===，5505111(5)C ()()2232P X ===，所以变量X 的分布列为则期望为()1510105150123453232323232322E X =×+×+×+×+×+×=. 17. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈. （1）求函数22yf x π +的最小正周期；（2）求函数()4yf x f x π−在0,2π 上的最大值.【答案】（1）π；（2）1+【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =−，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 24y x π=−，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π=++，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x ππππ=++=+=−+=−，所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ=−=+=+22sin cos x x x x x x =⋅++1cos 2222sin 224x x x x x π−=+=−=−+由0,2x π∈可得32,444x πππ −∈− ，所以当242x ππ−=即38x π=时，函数取最大值1+. 18. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=°，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .（1）求证：CD EF ∥；（2）若CD EF =，求二面角A BC F −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由已知利用线面平行的判定定理得CD ∥平面ABFE ，进而由线面平行的性质定理即可证明结论；（2）取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，由等边三角形的性质得OB AD ⊥，又由面面垂直的性质定理可得OE ⊥平面ABCD ，可得,,OA OB OE 三线两两垂直，建立以O 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】因为AB CD ∥，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以CD ∥平面ABFE ，又因为平面ABE 与平面CDE 交于EF ，CD ⊂平面CDE ，所以CD EF ∥；【小问2详解】取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，因为60DAB ∠=°，4AB AD ==，所以ABD △是等边三角形，由三线合一得：OB AD ⊥，又因为ADE 是等腰直角三角形，所以OE AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABC ，平面ADE 平面ABCAD =，OE ⊂平面ADE ，所以OE ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，所以OE OB ⊥，故,,OA OB OE 三线两两垂直，如图以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,,,2,0,0,0,0,2A B C D E −−，因为CD EF =且由（1）知CD EF ∥，所以四边形CDEF为平行四边形，可得()2F −，所以()()3,,2,0,2BC CF =−= ，设平面BCF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1130220n BC x n CF x z ⋅=−−= ⋅=+=，取1x =，则()11,1n =− ，又平面ABC 的一个法向量可取()20,0,1n =，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===，设二面角A BC F −−的大小为θ，由题意θ为锐角，所以12cos cos ,n n θ==所以二面角A BC F −−. 19. 已知函数()1ln f x x a x x=−−. （1）若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− > + ∑. 【答案】（1）(],2−∞ （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，结合导函数特征，分2a ≤与2a >两种情况，结合()10f =，得到实数a 的取值范围；（2）在第一问的基础上，取2a =，得到12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立，令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=()()()2211111n n n n n n >=−−+−，再用裂项相消法求和，不等式得证.【小问1详解】()1ln f x x a x x=−−，()1,x ∈+∞，R a ∈，()10f =， ()22111a x ax f x x x x−+′=+−=， 2a ≤时，()22212110x ax x x x −+≥−+−≥，∴()0f x ′≥，函数()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增，∴()()10f x f >=恒成立，满足条件. 2a >时，对于方程210x ax −+=，其240a ∆=−>，方程有两个不相等的实数根12,x x ， 122x x a +=> ，121x x =，第17页/共17页120x x x ∴<<<，当()21,x x ∈时，()0f x ′<，此时函数()f x 单调递减，()21,x x ∀∈，则()()10f x f <=，不满足条件，舍去. 综上可得：实数a 取值范围是(],2−∞.【小问2详解】证明：由（1）可知：取2a =时，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增， ∴12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立，令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=， ∴()()()221211ln 111n n n n n n n n >=−−+−， ∴()()()()()()2221111111111ln 26612112121ni n n i i n n n n n n n n =+− >−+−++−=−= −+++ ∑ ， ∴()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− > + ∑. 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数n 的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.的。

五校联考数学试题(文科)

吉林省五校高考高端命题研究协作体第二次联考数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，）.1. 已知集合}{101≤≤∈=x N x P ,集合}{062=--∈=x x R x Q ,则Q P ⋂等于( )A.{2}B.{1，2}C.{2，3}D.{3}2.设i 是虚数单位，且ik ik i +-=，则=k （） A 、1- B 、0 C 、1 D 、1±3. 函数的图象大致是（）4．函数在下列哪个区间内是增函数（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ B ．()ππ2, C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ25,23 D ．()ππ3,2 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量()()1,,,1,n n n n c a a b n n n N *+==+∈ .下列命题中真命题是（）A.若n N *∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列 B.若n N *∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列 C.若n N *∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 D. 若n N *∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列6. 运行如右图的程序后，输出的结果为 ( )A ．13，7B ．7， 4C ．9， 7D ．9， 57. 两人相约6时到7时在某地见面，先到者等候另一人10分钟，如果另一人还没到，这时方可离去，则这两人能会面的概率是（）3611. A 3625 . B 3613 . C 3623 . D8.在三棱锥ABC P -中，侧棱PC PB PA ,,两两互相垂直，Q 为底面ABC ∆内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ 为直径的球的表面积为（）π100 .A π05 .B π52 .C π25 .D9．若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的最小值是（）0 . A 2 . -B 25- . C 3 . -D10.已知双曲线1922=-by x ，过其左焦点F 的直线（斜率存在）交双曲线于Q P ,两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，且32=PQMF ，则该双曲线的离心率为（） 2 . A 34 . B 35. C 310 . D 11. O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，若222222+=+=+，则O 是∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 12.对于, log 4, 21,0 , 21,02211x x x a x <⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀恒成立，则a 的取值范围是（）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 , 22 . A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22 , 0 . B () 2 , 1 . C ()2 , 2 . D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）13.已知定义域为R 的偶函数()x f 在[0，＋∞)上是增函数且021=⎪⎭⎫⎝⎛f ，则不等式()0log 4>x f 的解集是_________.14. 已知()αβαα,135cos ,53cos -=+=、β都是锐角，则βcos =____________ 15. 如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为21，则该几何体的俯视图可以是① ② ③ ④ 16. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

2025届福建泉州五校高三11月期中联考数学试题+答案

2025届高中毕业班五校联考模拟检测 2024.11高三数学本试卷共19题满分150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数2()cos f x x x =−，则(0.6),(0),(0.5)f f f −的大小关系是 A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<− B ．(0)(0.5)(0.6)f f f <−< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <−<D ．(0.5)(0)(0.6)f f f −<<2．已知函数()()2224x x f x x x a e e −−+=−−+有唯一零点，则a =（）A ．12−B ．-2C ．12D ．23．正项等比数列{}n a 中，28,a a 是方程210160x x −+=的两根，则25log a 的值是（） A ．2B ．3C ．4D ．54．设全集是R ，集合1|01A x x=> − ，{|B x y==，则R A B = （）A ．[-2,1]B ．(2,)+∞C ．(1,2]D ．(,2)−∞−5．下列关系中，正确的有（） A ．∅ {}0B ．{}(){}0,10,1=C ．∈Q ZD ．{}{}00,1,2∈6．设,x y ∈R ，则“1xy x y +=+”是“1x =”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数()af x x =的图象经过点()8,2，则()1f −的值为（）A ．1B ．1−C ．0D ．28．设()f x 是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈−∞时， ()f x 等于A ．(1)x x +B ．(1)x x −+C ．(1)x x −D ．(1)x x −−二、多选题9．已知0x >，0y >，且1x y +=，则（）A ．122x y −>B ．22log log 2x y +≤−C +D ．2212x y +≥10．如图，平面四边形ABCD 是由正方形AECD 和直角三角形BCE 组成的直角梯形，AD ＝1，π6CBE ∠=，现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成1ACD △（1D 不在平面ABC 内），若P 为BC 的中点，则在Rt ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（）A ．1AD 与BC 可能垂直B ．三棱锥1C BDE −C ．若A ，C ，E ，1D 都在同一球面上，则该球的表面积是2π D ．直线1AD 与EP 所成角的取值范围为ππ,6311．已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则（）A ．a ＝512B ．b ＝14C ．c ＝14D ．P (X ＜1)＝23三、填空题12．已知:42p x −<<−，:q x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是13．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度 x （恒温，单位：0C ）满足函数关系 664,0{2,0kx x t x +≤=>，且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.①食品在08C 的保鲜时间是小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间 .（填“是”或“否”）14．已知方程22224230x y mx y m m ++++−=表示一个圆，则实数m 的取值范围是．半径R 的最大值为．四、解答题 15．化简，求值：（1）3228sin cos cos i 3228s n + ；（2）已知3tan 4α=，求πtan 4α+ 的值；（3）sin 20sin 40cos 20cos 40− .16．（1）已知4cos 5α=−，α在第二象限，求sin α，tan α的值；（2）已知tan 2α ，求sin cos sin 3cos αααα+−的值；17．已知()()()25π3πsin cos tan π22πcos sin π2f αααααα−−+−=−+ (1)化简()f α；(2)若()2f α=，求2sin 3sin cosααα−的值．18．（1）设0,0,m n x >>=化简A =（2）求值：1log log m m b a a b ⋅；（3）设 2()2log (19),f x x x =+≤≤ 求()22()()g x f x f x =+的最大值与最小值. 19．已知圆221:(1)9C x y ++=，圆222:(1)1C x y −+=，动圆P 与圆1C 内切，与圆2C 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为C ； (1)求C 方程；(2)若(1,0)M ，直线l 过圆1C 的圆心且与曲线C 交于A ，B 两点，求MAB △面积的最大值．参考答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B A C B C ABD ACD 题号 11 答案 ABCD1．B【详解】试题分析：由2,()cos ()x R f x x x f x ∈−=−=得函数为偶函数，当(0,)2x π∈时，()2sin 0f x x x +′=>，所以在(0,)2π上单调递增，即(0)(0.5)(0.5)(0.6)f f f f <=−<，选B ．考点：函数性质 2．B【解析】由已知可得()4()f x f x −=，所以()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.【详解】因为函数()()2222224(2)()4x x x x f x x x a e e x a e e −−+−−+=−−+=−−+−，所以()242424(42)()4()x x f x x a ee f x −−−+−=−−−+−=，所以()f x 的图象直线关于2x =对称，函数()f x 有唯一零点，则必有(2)0f =，即420a −−=，解得2a =−. 故选：B【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于难题. 3．A【分析】由韦达定理、等比数列性质以及对数运算即可得解. 【详解】由题意得2816a a =，所以()2425252282211111log log log log 16log 24222222a a a a =====×=. 故选：A. 4．B【解析】化简集合,A B ，按补集和交集定义，即可求解.【详解】1|0(1,)1A x x =>=+∞ − ，{|[2,2]B x y ==−，(,2)(2,)R C B −∞−+∞ ，R (2,)A B =+∞ .故选:B.【点睛】本题考查函数的定义域、集合间的运算，属于基础题. 5．A【分析】利用集合与集合的基本关系判断.【详解】A.空集是任何非空集合的真子集，故正确； B. {}0,1的元素为0,1，(){}0,1的元素为()0,1，故错误； C. 因为Z Q ⊆，故错误； D. 因为{}0 {}0,1,2，故错误故选：A 6．C【分析】由1xy x y +=+得到1x =或1y =，再利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由1xy x y +=+可得()11x y y −=−，所以1x =，或1y =，所以“1xy x y +=+”等价于“1x =，或1y =”，所以“1xy x y +=+”是“1x =”的必要不充分条件，故选：C. 7．B【分析】根据幂函数的定义解出函数()f x 的解析式，进而求出(1)f −即可. 【详解】由题意知，函数()f x 图象过点(8)，2，所以28a =，即322a =，则13a =，得13a =，所以13()f x x =，有13(1)(1)1f −=−=−. 故选：B 8．C【详解】试题分析：当0x <时 0x −>()()1f x x x ∴−=−−，由函数为奇函数可得 ()()f x f x −=− ()()()()11f x x x f x x x ∴−=−−∴=−故选：C考点：奇偶性求函数解析式 9．ABD【分析】利用已知1x y +=，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如211x y x −=−>−，()22222112212x y x x x x +=+−=−+≥，当然也可以用均值不等式求最值，如()222log log 2x y xy +≤，2x y x y x y =++≤+++.【详解】选项A ：因为0x >，0y >，1x y +=，所以211x y x −=−>−，所以122x y −>，故A 正确．选项B ：()2222221log log log log log 224x y x y xy + +=≤==−，当且仅当12x y ==时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B 正确．选项C ：22x y x y x y =++≤+++=，当且仅当12xy ==时取等号，故C 错误．选项D ：()22222211112212222x y x x x x x+=+−=−+=−+≥，当且仅当12xy ==时取等号，（另解：()2221122x y x y +≥+=，当且仅当12x y ==时取等号）,故D 正确．故选:ABD. 10．ACD【分析】对于A 选项：根据线面垂直的判断定理，由11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，1AD ⊥平面1BCD ，则1AD BC ⊥；对于B 选项：取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，根据11C BD E D BCE V V −−=，则平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E −体积的最大值，从而可判断；对于C ，根据1OE OD OA OC ===，可得1,,,A C E D 都在同一球面上，且球的半径为OC ，从而可判断；对于D 选项：由1AD 可以看成以AC 为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，即可求得1AD 与EP 所成角的取值范围.【详解】对于A 选项：由AD CD ⊥，则11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，且1D B AB <，此时满足1AD ⊥平面1BCD ，因此1AD BC ⊥，故A 正确；对于B ，取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，则1OE OD OA OC ====1OD AC ⊥，因为11C BD E D BCE V V −−=，当平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E −体积的最大值，在Rt BCE 中，π,16CBE CE ∠==，则BE =此时1111132C BD E D BCE V V −−==××=所以三棱锥1C BD E −B 错误；对于C ，因为1OE OD OA OC ====所以1,,,A C E D ，所以该球的表面积是24π2π×=，故C 正确；对于D ，作AM EP ∥，因为P 为BC 的中点，所有1EP =，EP BE BP AM AB BM ==，所以AM BM =，所以30BAM ABC ∠=∠=°，所以15MAC ∠=°， 1AD 可以看成以AC 为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，所以AC 与1AD 夹角为45°，AC 与AM 夹角为15°，又1D 不在平面ABC 内，604515°=°+°，304515°=°−°，所以1AD 与DM 所成角的取值范围ππ,63，所以D 正确，故选：ACD . 11．ABCD【分析】利用分布列的性质、方差与期望关系求参数a 、b 、c ，即可判断各选项的正误.【详解】由21()3E X a c =++，而E (X )＝0，则221()()[()]3D XE X E X a c =−=++，由题设有1112106113a b c c a a c+++=−+= ++= ，可得5121414a b c == =，故A 、B 、C 正确；而2(1)(1)(0)3P X P X P X <==−+==，D 正确. 故选：ABCD 12．2a ≥−【分析】根据p 是q 的充分不必要条件，可得{}{}42x x x x a ≠−<<−⊂≤，从而可得出答案. 【详解】解：因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}{}42x x x x a ≠−<<−⊂≤，所以2a ≥−. 故答案为：2a ≥−. 13．①4 ②是【详解】试题分析：①∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：0C ）满足函数关系664,0{2,0kx x t x +≤=>且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.∴46216k +=，即464k +=，解得12k =−，∴16264,0{2,0x x t x −+≤=>，当8x =时，4t =，故①该食品在08C 的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故答案为是.考点：1、函数模型的选择与应用；2、分段函数的解析式. 14． ()1,4−52【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数m 的取值范围即可；再由2223252534244R m m m=−++=−−+≤，进而求出半径R 的最大值即可.【详解】由题意知：()()222234x m y m m +++=−++，所以2340,14m m m −+−>−<<，所以m 的取值范围为()1,4−；由因为2223252534244R m m m=−++=−−+≤，当且仅当32m =时，max52R =. 故答案为：()1,4−；52. 15．（1（2）7；（3）12−.【分析】（1）逆用两角和的正弦公式即可求解；（2）利用两角和的正切公式即可求解；（3）逆用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（1）()32283228sin 3s 228sin 60in cos cos s in +=+== （2）π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 1144ααα++ +===−⋅−×，（3）sin 20sin 40cos 20cos 40− ()cos 20cos 40sin 20sin 40=−− ()1cos 2040cos 602=−+=−=−16．（1）3sin 5α=，3tan 4α=−；（2）15【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；（2）弦化切即可.【详解】（1）∵4cos 5α=−，α在第二象限，∴3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==−；（2）由sin tan 2cos ααα==−，所以sin cos tan 1211sin 3cos tan 3235αααααα++−+===−−−−.17．(1)()tan f αα= (2)25−【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.【详解】（1）()()()()()22cos sin tan cos sin tan tan πsin sin cos sin π2f αααααααααααα−−===− −+（2）由（1）易得tan 2α=，所以22222sin 3sin cos tan 3tan 462sin cos tan 1415αααααααα−−−===−+++ 18．（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【分析】（1）先求24x −，对m ，n 讨论，求出A ；（2）利用log =m a a m ，分别对1log log m m b a a b 、化简、求值；（3）把()g x 化简为222()=log 6log 6g x x x ++，换元后利用()233y t =+−在()20log 3，2上的单调性求出最大值和最小值.【详解】（1）因为22244x −=−=，所以2,m n A m n m n −+−− 故，当0m n ≥>时，m n A n −=，当0m n <<时，n m A m−= (2）()g log log log lo log log =,m m m m m m b b b a a a a m m a m •==∴ ，同理()l l og og m m b a b m −•=∴()()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m m m m m m m b a b b a a m a m m m b −•• −•• ⋅× 即1log log m m b a a b ⋅=1(3)()()2222222()2log 2log =log 6log 6g x x x x x =+++++ 由21919x x ≤≤ ≤≤ 解得13x ≤≤ 令2log t x =，213,0log 3x t ≤≤∴≤≤∴()233y t =+−在()20log 3，上单增， ∴当t =0时，min 6,y =当2log 3t =时，2max 22log 36log 36y ++=（） ∴()g x 的最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【点睛】指对数混合运算技巧：(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质；(2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质.19．(1)()221243x y x +=≠ (2)3【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出P 点轨迹是椭圆，求出,,a b c 后可得轨迹方程；（2）设AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2,yy 2)，设直线l 方程为1x my =−，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由12122MAB S y y =××− 求出面积化为m 的函数，用换元法求得最大值．【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，∵动圆P 与圆内切，与圆2F 外切，∴13MC r =−，且21MC r =+.于是121242MC MC C C +=>=，所以动圆圆心M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆.圆1C 与2C 内切于点(2,0)，因此P 点与点(2,0)不重合，12(1,0),(1,0)C C −，从而2,1a c ==，所以23b =.故动圆圆心M 的轨迹1C 的方程为()221243x y x +=≠．（2）设AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2,yy 2)，设直线l 方程为1x my =−，联立方程组221,431,x y x my += =−整理得()2234690m y my +−−=，则()()()222Δ6363414410m m m =−++=+>，122634m y y m +=+，122934y y m =−+．因为:1l x my =−过点()1,0−，所以12122MAB S y y =××−=．令t ，1t ≥，()13f t t t=+，设121t t ≤<，则121212121212()(31)11()()330t t t t f t f t t t t t t t −−−=+−−=<，即12()()f t f t <，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，则当1t =时，()()min 14f t f ==，则MAB S 的最大值为3．故MAB △面积的最大值为3．【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设出直线方程为y kx b =+（或x my t =+），代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +）然后用两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值．。

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侧面 PAB 底面 ABCD ，BAP 900 , AB AC PA 6, E, F 分
别为 BC, AD 的中点，点 M 在线段 PD 上．
（Ⅰ）求证：平面 EFP 平面 PAC ；（Ⅱ）确定 M 点的位置，使得 ME // 平面 PAB ；（Ⅲ）当 MD 2PM 时，求三棱锥 D MEC 的体积．
D．“ x 2 ”是“ x 2 3x 2 0 ”成立的必要不充分条件 .
3.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容
如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，
求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入 a = 153，
b = 119，则输出的 a 值是( )
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垂足分别是 M , N ，原点为 O ，则四边形 OMPN 的面积是（
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） /
A. 1
B.1
C.2
2
D.不确定
x0
y 0
7.约束条件
y
3x
确定的可行域
3
D
能被半径为
2 的圆面完全覆盖，则实数 k 的 2
（2）已知直线 L 与圆相交于 A, B 两点，求 PA PB 的值.
23.选修 4—5：不等式选讲
设函数 f (x) x 1 .
(1)求不等式 f (x) 5 f (x 3) 的解集；
(2)已知关于 x 的不等式 2 f (x) x a x 4 在[1,1] 上有解，求实数 a 的取值范围．
若这 10 场比赛分数的众数为 16，则这 10 场比赛得分的中位数为______.
14．公差 d 不为零的等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 11，a2 为整数，且对于一切正整数 n 都
有 Sn S6 成立，则公差 d 的值是______.
15．在 PMF 中，点 P 是抛物线 C：x 2 4 y 上除顶点外的任意一点， F 为抛物线 C 的焦点， M（0，-1）,实数 k 满足 sin PFM k sin PMF ，则 k 的最大值是______.
D.4040
an 2 bn 2 ,
11.
已知椭圆
C1
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 与圆 C2
: x2
y2
b2 ，若在椭圆 C1 上存在点 P ，使得过点
P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直，则椭圆 C1 的离心率的取值范围是（）
A. (0， 2 ) 2
B. (0， 3 ) 2
C.[ 2 ,1) 2
A.16 B.17
C.18
D.19
4.要得到函数 y sin(4x ) 的图象，只需将函数 y cos 4x 图象（ 3
A．向左平移单 B．向右平移单位
12
12
5
C．向左平移单位
24
5.设函数
f
(x)
x ln 1 1
x x
，则函数的图像可能为（
）
）
5
D．向右平移单位
24
A.
B
C
D
6.已知点 Px0 , y0 是双曲线 x 2 y 2 1 在第一象限右支上的任意一点，过 P 分别作两渐近线的垂线，
4 18. （本小题满分 12 分）某农科所发现，一种作物的年收获量 y （单位： kg ）与它“相近”作物的株数 x 具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m)，并分别记录了相近
作物的株数为 1,2,3,5,6,7 时，该作物的年收获量的相关数据如下：
x1 235 6 7
y kx 1
取值范围是( )
A.（，3]
B.（，-3] C.（，1]
D.（，1] 3
8. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ，若 a b 2c, 则 A （） sin B sin A
A.450
B.300
C.600
D.900
9. 如图在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点， PM AD 垂足为 M , PM PB 则点 P 的轨迹为（）
22-23 任选一题（本小题满分 10 分） 22.选修 4—4：参数方程与极坐标
在直角坐标系 xoy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的参数方程为
x
y
1 2 cos 2 sin
(为参数)
，直线
L
:
x
y
5 3
2t t
(t为参数)
，定点
P(1,1)
（1）求圆的极坐标方程；
A. 1,2,4
B.2 C．1,2
D． 0,1,2
2.下列选项叙述正确的是（）
A．命题“若 x 1，则 x2 3x 2 0 ”的否命题是“若 x2 3x 2 0 ，则 x 1 ”.
B．已知 i 为虚数单位,复数 z 满足（1 - i）z 1 i ,则 z 2021 2 .
C．若命题 P：x R, x 2 x 1 0 ，则 P：x0 R, x02 x0 1 0
D.[ 3 ,1) 2
12 . f (x) xe-ax ln x ax ,若 f (x) 的最小值恰好为 1，则实数 a 的最大值是（）
1
A.1 B.-
e
1
C.
e
D.
-
1 e2
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 如图是某学校一名篮球运动员在 10 场比赛中所得分数的茎叶图，
参考数据： 1（1 2 3 5 6 7） 4 ， 1（60 55 53 46 45 41） 50
6
6
(3)2 (2)2 (1)2 12 22 32 28 ,
（- 3）10 （- 2） 5 （-1） 3 1（- 4） 2 （- 5） 3（- 9） -84
19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD 1350 ，
附：对于一组数据 x1, y1 , x2 , y2 ,..., xn, yn ，其回归直线 y bx a 的斜率和截距的最小二乘估
n
n
xi yi nx y
(xi x)( yi y)
计分别为, b
i 1 n
i1 n
xi2 n(x)2
(xi x)2
i 1
i 1
, a y bx
宜春中学、高安二中、上高二中、樟树中学、丰城中学
2021 届五校联考文科数学试卷
本试卷总分值为 150 分考试时长 120 分钟考试范围:高考范围
一、选择题:本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合 A 0,1,2, B x Z x2 5x 4 0 ，则 A B =（）
y 60 55 53 46 45 41
（1）求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数 x 的线性回归方程；
（2）农科所在如图所示的直角梯形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，图中每个小正方形的边长均为 1m，若从直角梯形地块的边界和内部分别各随机选取一株该作物，求这
两株作物 “相近”且年产量相差 3kg 的概率．
16.已知点 A, B, C, D 在同一个球面上，球心 O 恰好在侧棱 AD 上， AB BC 2, AC 2 , CD 2 3 ，则这个球的表面积为______.
三、解答题:本大题共小 6 题，共 70 分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， tan A(2 cos C sin A) cos A 2sin C . (1)求角 B 的大小； (2)若角 B 为锐角， b 1, ABC 的面积为 3 ，求 ABC 的周长.
A.线段
B.椭圆一部分 C.抛物线一部分
D.双曲线一部分
10.在数列 an ， bn 中，设 an1 an bn an 2 bn 2 ,bn1 an bn
a1
1,b1
1 ，设 cn
an bn anbn，则数列cn ຫໍສະໝຸດ 前2020项的和为(
)
A. 2016
B. 4020
C. 2020
20. （本小题满分 12 分）
设 C 点为圆 x 2 y 2 4 上的动点，点 C 在 x 轴上的投影为 D .动点 P
满足 PD 2 CD ,动点 P 的轨迹为 E . 2
(1)求 E 的方程； (2) A（- 2,0），B（2,0），点 S 是 E 上位于 x 轴上方的动点，直线 AS, BS 与直线 l : x 3 分别交于
M , N 两点，求 OMN 面积的最小值．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 g(x) 2e x 2x a , h(x) x2 2x(a 1) a 2 (1)求 g(x) 的单调区间；
(2)设 f (x) g(x) h(x),(x 0) .当 a 1时，求证: f x 0 ； (3)若 f x 0 ,在 x [0,) 上恒成立,求 a 的取值范围.

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