清华大学随机过程作业7答案
随机过程课后习题答案
随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。
解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。
因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。
解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以，该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题七答案
1
t
2
Var
B
1
t
t
1
t
2
1
t
t
t
1
t
cov X s, X t E X s X t E X s E X t s 1t ,0 s t 1
（3）
由 X t 为 Brown 运动， X 1 t
N
0,
c2 t
，
Y
t
tX
1
t
N 0,c2t
因为 X t 有平稳独立增量，所以Y t Y s N 0,t s ，又Y 0 0 ，
所以Y t ,t 0是 Brown 运动。
因为 X t 有平稳独立增量，所以W t W s N 0,ca2 t s
又W 0 0 ，所以W t ,t 0也是 Brown 运动。
3、设 X t 同上，计算给定 X t1 A, X t2 B 时 X s 的条件分布，其中 t1 s t2
s t1 t2 s
t2 t1
4、设Bt ,t 0 是标准 Brown 运动，求下列过程的协方差函数：
（1） Bt Xt, X 与 B t 相互独立，且 X N 0,1 ；
（2）
aB
t a2
，（
a
0
为常数）。
答： （1）
covB t Xt,B s Xs
E B t Xt B s Xs E B t Xt E B s Xs
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
随机过程及其应用-清华大学
4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。
但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。
不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。
定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。
定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。
如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。
事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。
很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。
假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。
清华大学随机过程作业 答案
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3
参考答案:
(1) |X1|, |X2|, |X3|, ... 满足 Markov 性，可以严格证明：P (|Xn+1| = xn+1||X1| = x1, ..., |Xn| = xn) = P (|Xn+1| = xn+1||Xn| = xn)。 当 |Xn| = 0 时，必有：|Xn+1| = 1,P (|Xn+1| = 1||X1| = x1, ..., |Xn| = 0) = 1 = P (|Xn+1| = 1||Xn| = 0) 当 |Xn| = xn ̸= 0 ∨ m 时，则 |Xn+1| = xn+1 必须取值为 |Xn| ± 1
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
0 < i1 = i2 < m 其他
1
P {Zt+1
=
(i1,
i2)|Zt
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
i1 = i2 = m 其他
2. 设一个离散时间、离散状态的随机过程 {Xn, n ⩾ 1} 满足
X1, · · · , Xn−1⊥Xn+1|Xn, ∀n > 1
则成立
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。
答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。
答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。
答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。
答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。
答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。
随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。
它可以是离散的，也可以是连续的。
随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。
随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。
2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。
马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。
其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。
如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。
如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。
清华大学随机过程答案1
Rξξ (n1 , n2 ) = p2 + q 2 − 2pq 常见错误： 把随机过程 {η (n)} 的自相关函数和 {ξ (n)} 的搞混淆。认为 η (n1 ) 和 η (n2 ) 独立。 4. ([1] 第一章习题 7) 设有随机过程 {ξ (t) , −∞ < t < ∞}， ξ (t) = η cos (t)， 其中 η 为均匀分 布于 (0, 1) 间的随机变量，求 {ξ (t)} 的自相关函数 Rξ (t1 , t2 )，自协方差函数 Cξ (t1 , t2 )。 参考答案： Rξ (t1 , t2 ) = E {η cos t1 η cos t2 } { } = E η 2 cos t1 cos t2 ∫ 1 = η 2 dη cos t1 cos t2
8.（[2] 第一章习题 1) 设随机过程 ξ (t) = V sin ωt，其中 ω 为常数，V 为服从 (0, a) 内均匀 分布的随机变量。 (1) 画出 ξ (t) 的某一条样本轨道。 (2) 求 ξ (0)，ξ (π/4ω )，ξ (π/2ω )，ξ (5π/4ω ) 的概率密度。 概念复习： 连续状态连续时间随机变量的一维分布 参考答案： a 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 2 (2) ξ (0) = 0，fξ(0) (x) = δ (x)；ξ (π/2ω ) = V ，其概率密度同 V 一样。 √ a 2, 0 < x < √ (π) V a 2 = √ , fξ( π ) (x) = ξ 4ω 0, 其他 4ω 2 (1) V = ( ξ 5π 4ω ) √ a 2, −√ <x<0 V a 2 = − √ , fξ( 5π ) (x) = 4ω 2 0, 其他
随机过程作业(全部)
作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。
2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。
3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。
2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。
如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。
随机过程习题及部分解答(共享).docx
随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。
2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。
习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。
3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。
4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。
习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。
2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。
(完整版)随机过程习题答案
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
随机过程期末考试题库及答案pdf
随机过程期末考试题库及答案pdf1. 随机过程期末考试题库及答案pdf以下是随机过程期末考试的题库及答案，供同学们参考。
一、选择题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是独立增量过程，那么下列哪个说法是正确的？A. X(t)的增量是独立的B. X(t)的增量是平稳的C. X(t)的增量是独立且平稳的D. X(t)的增量是相关且非平稳的答案：C2. 马尔可夫链具有以下哪种性质？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 有周期性D. 以上都不是答案：A二、填空题1. 如果随机过程{X(t), t≥0}的自相关函数R(τ)满足R(τ) = R(-τ)，则该过程是__________的。
答案：对称2. 随机过程{X(t), t≥0}的均值函数为μ(t)，若μ(t) = 0，则称该过程为__________。
答案：零均值三、简答题1. 简述什么是泊松过程，并给出其特征。
答案：泊松过程是一种计数过程，其特征包括：- 在任意不相交的时间间隔内发生事件是相互独立的。
- 在任意小的时间间隔内，事件的发生次数服从泊松分布。
- 事件的平均发生率是恒定的。
2. 描述布朗运动的基本性质。
答案：布朗运动的基本性质包括：- 连续性：样本路径是连续的。
- 无记忆性：未来的行为不依赖于过去。
- 独立增量：不同时间间隔的增量是相互独立的。
- 正态分布：任意时间间隔的增量服从以零为均值的正态分布。
四、计算题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是标准布朗运动，求X(t)的均值和方差。
答案：对于标准布朗运动，X(t)的均值为0，方差为t。
2. 给定马尔可夫链的状态转移矩阵P，求状态i在时间t+1时刻的概率。
答案：设状态i在时间t时刻的概率为pi(t)，则状态i在时间t+1时刻的概率为pi(t+1) = Σ(pi(t) * Pij)，其中Pij是状态i转移到状态j的概率。
以上是随机过程期末考试题库及答案的部分内容，希望对同学们的复习有所帮助。
清华大学随机过程作业6答案
b2 1 − a2 + e 2 2π
=
ρ − ρ22 , 0 < ρ < ∞, 0 ⩽ θ ⩽ 2π e 2π
f (ρ, θ)dθ = ρe− 2 , ρ > 0 1 , 0 ⩽ θ ⩽ 2π, 2π
ρ2
∫ f (θ) =
0
∞
f (ρ, θ)dρ =
显然，有 f (ρ, θ) = f (ρ) f (θ)，根据随机变量统计独立性的定义得，随机变量 ρ 与 θ 相互独立。
b θ = arctan − a 则变换对应的雅克比行列式为 J (a, b) =
∂g1 ∂a ∂g2 ∂a ∂g1 ∂b ∂g2 ∂a
= =
1 ρ
∂g1 ∂g2 ∂g1 ∂g2 − ∂a ∂b ∂b ∂a
经过简单微分运算得，J (a, b) =
√ 1 a2 +b2
由于 a, b ∼ N (0, 1)，且相互独立，故其联合概率密度为 f (a, b) = 则 ρ, θ 的联合概率密度为 f (ρ, θ) = f (a, b) |J (a, b)| 则随机变量 ρ, θ 的边缘概率密度为 ∫ f (ρ) =
2 E (ξ1 )= 0 0 1 1
xdx = x2 dx = ∫
0 1
1 2 1 3 1 1 − cos t 2 t
1 E (η (t)) = E (ξ1 ) E (sin (ξ2 t) ) = 2
sin(ξ2 t)dξ2 =
E (η (t1 ) η (t2 )) = E (ξ1 ξ2 ) E (sin (ξ2 t1 ) sin (ξ2 t2 ) ) ∫ 1 1 = [cos [ξ2 (t1 − t2 )] − cos [ξ2 (t1 + t2 )] ]dξ2 6 0 1 sin (t1 − t2 ) sin(t1 + t2 ) = [ − ] 6 t1 − t2 t1 + t2 2. 设有随机过程 ξ (t) = A cos(ωt + Θ)，其中相位 Θ 是一个均匀分布于 (−π, π) 间的随机 变量，判断 ξ (t) 是否为严平稳过程。 概念复习：宽平稳与严平稳概念 参考答案： P (ξ (t1 ) ⩽ x1 , ξ (t2 ) ⩽ x2 , · · · , ξ (tn ) ⩽ xn ) = P (A cos (ωt1 + Θ) ⩽ x1 , A cos (ωt2 + Θ) ⩽ x2 , · · · , A cos (ωtn + Θ) ⩽ xn ) ∫ π 1 = p (A cos (ωt1 + θ) ⩽ x1 , A cos (ωt2 + θ) ⩽ x2 , · · · , A cos (ωtn + θ) ⩽ xn ) dθ 2π −π ∫ π 1 = f (θ) dθ 2π −π 其中 f (θ) ≜ p (A cos (ωt1 + θ) ⩽ x1 , A cos (ωt2 + θ) ⩽ x2 , · · · , A 个以 2π 为周期的函数。 ∀h, P (ξ (t1 + h) ⩽ x1 , ξ (t2 + h) ⩽ x2 , · · · , ξ (tn + h) ⩽ xn ) ∫ π 1 = f (ωh + θ)dθ 2π −π 注意，周期函数 f (θ) 在任一个周期的积分都相等。所以 ∫ π ∫ π 1 1 f (θ)dθ = f (ωh + θ)dθ 2π −π 2π −π
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中，样本空间通常表示为：A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案：A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的，则该过程是：A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案：B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质不适用于：A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案：D4. 在随机过程中，如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积，则这两个随机变量是：A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案：A5. 随机游走的期望步长是：A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案：D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。
答案：实值或随机2. 在随机过程中，如果给定当前状态，下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态，那么该过程是一个_________过程。
答案：马尔可夫3. 随机过程的均值函数（或称数学期望函数）是描述过程长期行为的重要工具，它是一个关于_________的函数。
答案：时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程，其样本轨迹具有_________性质。
答案：无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程，其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。
答案：相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链，其状态转移矩阵为：\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布，给定初始状态概率分布为：\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解：首先计算\( P^2 \)，即状态转移矩阵的二次幂，然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。
随机过程作业题及参考答案(第二章)
第二章 平稳过程P1032. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关， 因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
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试问：序列 {Xn , n ∈ N } 是否均方收敛。 参考解答： 由于 ( 2 ) 2 2 ∥Xm − Xn ∥ = E Xm − 2Xm Xn + Xn ( ) 1 1 1 =1−2 +1=2 1− → 2, m, n → ∞ mn mn 所以序列 {Xn , n ∈ N } 不均方收敛。 2. 信息论将信源建模成随机过程。下面讨论信源编码。考虑独立随机序列 {X (n) , n ∈ N }， 各个离散时刻的 X (n) 等概取值于符号集 {a, b, c}。考虑将 a, b, c 分别编码成 00,01,10。 {X (n)} 的编码结果为 0/1 随机序列 {B (n)}。 (a) 求 {B (n)} 的均值函数和自相关函数。 (b) 试判断 {B (n)} 是否为宽平稳？ 概念复习： 均值和自相关函数计算，宽平稳和概念 参考答案： (1) 由自然数定义，从 n=0 开始编码。 对 n1 = 0: 考虑 RB (0, 0) = E [B (0) B (0)] = P (B (0) = 1) =
2 −a|τ | (2) (4)
6. 考虑随机过程 {X (t)}，及与之独立的随机变量 Θ，Θ 均匀分布于 [0, T ]。考虑 Y (t) = X (t + Θ)。试证： (1) 如果 {X (t)} 是周期平稳随机过程，周期为 T ，则 Y (t) 为严平稳过程。 (2) 如果 {X (t)} 是宽周期平稳随机过程，周期为 T ，则 Y (t) 为宽平稳过程。 相关知识点 周期平稳和宽周期平稳 参考解答
其中 j 为整数，且 j ⩾ 0。
1 (2) 不是宽平稳：如 RB (1, 2) = 0，而 RB (2, 3) = 9 ，尽管两者中的时间差相同。
3. 设有随机过程 ζ (t) , −∞ < t < +∞, ζ (t) = η cos t + ξ sin t，其中 ξ η 为统计独立的随机 变量，ξ η 均可取-1 和 +2 两个值，取-1 的概率为 2/3，取 +2 的概率为 1/3。
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5 证： X (t + h) − X (t) E [X (t) X (t)] = E X (t) l.i.m.h→0 h [ ] X (t + h) − X (t) = lim E X (t) h→0 h 1 = lim [Rx (h) − Rx (0)] = 0 h→0 h
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3 （2）承上问，C 为事件 {ω |ξ (t + T ) = ξ (t)}，其概率为 1。有 { } Rξ (t + T ) = E ξ (t + T ) ξ (0) { } { } ( ) { } = E ξ (t + T ) ξ (0)|C P (C ) + E ξ (t + T ) ξ (0)|C P C = E ξ (t + T ) ξ (0)|C { } { } { } ( ) = E ξ (t) ξ (0)|C = E ξ (t) ξ (0)|C P (C ) + E ξ (t) ξ (0)|C P C = Rξ (t) 证毕。 5.（[1] 第四章习题 26）设有平稳随机过程 ξ (t)，其相关函数为 ( Rξ (τ ) = σ e
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4 (1) 由周期平稳（Cyclostationary）定义，考虑 ∀τ0 , ∀n, τ0 一定可表示为 τ0 = KT + τ ， 0 ⩽ τ < T 其中 K 为整数，则对 n 维分布函数 F {x (t1 + Θ + τ0 ) , . . . , x (tn + Θ + τ0 )} = F {x (t1 + Θ + τ ) , . . . , x (tn + Θ + τ )} ∫ T 1 = F {x (t1 + θ + τ ) , . . . , x (tn + θ + τ )} dθ 0 T ∫ T +τ 1 = F {x (t1 + µ) , . . . , x (tn + µ)} dµ T τ ∫ T ∫ T +τ 1 =( + ) F {x (t1 + µ) , . . . , x (tn + µ)} dµ T τ T ∫ T ∫ τ 1 =( + ) F {x (t1 + µ) , . . . , x (tn + µ)} dµ T τ 0 = F {x (t1 + Θ) , . . . , x (tn + Θ)} 证毕。 (2) 1 E [X (t + θ)] dθ 0 T ∫ T ∫ T +t 1 1 E [X (µ)] dµ = ( + ) E [X (µ)] dµ T T t T ∫
T
E [Y (t)] = E [X (t + Θ)] = ∫ = ∫ =
0 t T T +t
1 E [X (µ)] dµ T
与 t 无关。 考虑 ∀τ0 , τ0 一定可表示为 τ0 = KT + τ ，0 ⩽ τ < T 其中 K 为整数，则有 ] [ ] [ E Y (t1 + τ0 ) Y (t2 + τ0 ) = E Y (t1 + τ ) Y (t2 + τ ) [ ] = E X (t1 + + τ )X (t2 + + τ ) ∫ T 1 = E [X (t1 + θ + τ )X (t2 + θ + τ )]dθ 0 T ∫ T ∫ T +τ 1 =( + ) E [X (t1 + µ)X (t2 + µ)]dµ T τ T ∫ T ∫ τ ] 1 [ =( + ) E X (t1 + µ) X (t2 + µ) dµ T τ 0 ] [ = E Y (t1 ) Y (t2 ) 证毕。 7. 设 {X (t)} 为平稳随机过程，试证：E [X (t) X ′ (t)] = 0。 参考答案
′
[
]
注：其中极限换序和 Rx (τ ) 连续均由 X ′ (t) 存在导出。 极限换序参考陆书 P256 定理一。
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6清华大Βιβλιοθήκη 电子工程系版权所有参考文献
[1] 陆大纟金. 随机过程及其应用. 清华大学出版社, 1986.
7
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2 (1) 试计算 E (ζ (t)) , Rζ (t1 , t2 ) (2) 试问：证明 ζ (t) 是否为宽平稳，是否为严平稳? 参考解答： (1) 1 2 +2∗ =0 3 3 E (ξη ) = E (ξ ) E (η ) = 0 ( ) ( ) E ξ2 = E η2 = 2 E (ξ ) = E (η ) = −1 ∗ E (ζ (t)) = E (η cos t + ξ sin t) = 0 Rζ (t1 − t2 ) = E ((η cos t1 + ξ sin t1 ) (η cos t2 + ξ sin t2 )) ( ) ( ) = E η 2 cos t1 cos t2 + E ξ 2 sin t1 sin t2 = 2 cos(t1 − t2 ) 显然它是宽平稳的 (2) t = 0 时，ζ (t) = η, ζ (t) 的取值为 −1 和 2 t = π/4 时，ζ (t) =
√ 2 2
(η + ξ ) , ζ (t) 的取值有三种
ζ (t) 的一维分布与 t 有关，故它不是严平稳的。 4.（[1] 第四章习题 13）设平稳随机过程 ξ (t) 的相关函数为 Rξ (τ ), 且 Rξ (T ) = Rξ (0)，T 为 一常数，T > 0，试证： (a) 有 ξ (t + T ) = ξ (t) 以概率 1 相等。 (b) Rξ (t + T ) = Rξ (t)，即相关函数具有周期性，其周期为 T。 （具有周期性相关函数的平稳随机过程称为周期性随机过程） 参考解答 { } { } 2 2 （1）首先证 E |ξ (t + T ) − ξ (t)| = E |ξ (T ) − ξ (0)| 。 由宽平稳性质 } { } { { } { } 2 2 左边 = E |ξ (t + T )| + E |ξ (t)| − E ξ (t + T ) ξ (t) − E ξ (t) ξ (t + T ) } } { { 2 2 = E |ξ (T )| + E |ξ (0)| − Rξ (T ) − Rξ (−T ) = 右边 } { 2 从而有 E |ξ (t + T ) − ξ (t)| = 0 又设 C 为事件 {ω |ξ (t + T ) = ξ (t)}，则由全概率公式 } { 2 E |ξ (t + T ) − ξ (t)| { } { } ( ) 2 2 = E |ξ (t + T ) − ξ (t)| |C P (C ) + E |ξ (t + T ) − ξ (t)| |C P C = 0 ( ) 从而有 P C = 0。证毕 证明：
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1 概率论与随机过程 (2) ，homework7_ wss2 solution© 清华大学电子工程系 1. 设 {Xn , n ∈ N } 是相互独立的随机变量序列，其分布律为 P (Xn = n) = 1 1 , P (Xn = 0) = 1 − 2 , n = 1, 2, · · · , 2 n n
1 ; RB 3
(0, 1) =
E [B (0) B (1)] = P (B (0) = 1, B (1) = 1) = 0; ∀i ⩾ 2, RB (0, i) = E [B (0) B (i)] =