平面上两点间的距离(1)

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平面直角坐标系中两点间的距离公式

平面直角坐标系中两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。

勾股定理是数学中的一个基本定理，描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边平方的关系。

首先，假设平面直角坐标系中的两点分别是A(x1,y1)和B(x2,y2)。

我们可以根据勾股定理计算AB的距离。

勾股定理的公式如下：AB²=(x2-x1)²+(y2-y1)²根据该公式，我们可以计算两点之间的距离。

以下是一个示例，以便更好地理解：假设点A的坐标为A(3,4)，点B的坐标为B(6,8)。

我们可以计算两点之间的距离。

先计算两点在x轴方向上的差值：x2-x1=6-3=3再计算两点在y轴方向上的差值：y2-y1=8-4=4根据勾股定理，计算AB的平方：AB²=(3)²+(4)²=9+16=25最后，计算AB的距离：AB=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5从上述示例可以看出，由于平面直角坐标系中的两点可以移到任意位置，所以两点之间的距离计算公式是通用的。

除了直接使用勾股定理，我们还可以使用中点公式和距离公式来计算两点之间的距离。

中点公式：在平面直角坐标系中，中点公式可以用来计算两点连线的中点坐标。

中点公式如下：中点坐标=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)为了计算两点之间的距离，我们可以首先使用中点公式计算出连线的中点坐标，然后再使用中点和两个点之间的距离公式计算距离。

距离公式：中点公式和两点之间的距离公式之间的关系如下：两点之间的距离=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)因此，使用中点公式计算出中点坐标后，我们可以再使用该距离公式来计算两点之间的距离。

总结起来，在平面直角坐标系中，计算两点之间的距离的步骤如下：1.根据给定的两点坐标，计算两点在x轴和y轴方向上的差值。

2.使用勾股定理计算出两点之间的平方距离。

3.对平方距离取平方根，得到最终的距离。

平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式

两点间的距离公式学案学习目标与要求（1）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程；（2）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。

学习重点：（1）平面内两点间的距离公式；（2）如何建立适当的直角坐标系学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题一、预习案预习课本104-106P 完成以下内容1、知识填空：平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12PP 两点间的距离12||=PP 特别地：当12,P P 所在直线与y 轴垂直时，12||=PP 当12,P P 所在直线与x 轴垂直时，12||=PP原点与任一点P （x,y ）的距离||=OP 2、完成课本P106的练习1、23、已知A ，B 两点都在直线1y x =-上，且A ，B ，则AB=_________．4、在直线40-+=x y 上求一点P ，使它到点(2,4),(4,6)--M N 的距离相等.5、已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =．二、探究讲解案已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12P P 。

新知探究 1、提出问题：（1）如果A 、B 是X 轴上两点，C 、D 是Y 轴上两点，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ，那么,AB CD 又怎么样求？（2）求(3,4)B 到原点的距离；（3）已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求12,P P 的距离12P P 。

2、解决问题（1）由图形观察得出 A B AB x x =-，C D CD y y =-；（2）3,4OM BM ==，由勾股定理可求得OB（3）由图易知11221PQ N N x x ==- 21221P Q M M y y ==-∴2221212PP PQ P Q =+12PP ⇒=3、讨论结果例题精讲例1、求下列两点间的距离。

151平面上两点间的距离共17张PPT

第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e

2点之间距离怎么求

2点之间距离怎么求在几何学中，计算两点之间的距离是一个基本问题。

无论是在平面上还是在三维空间中，我们经常需要计算两个点之间的距离。

本文将介绍一些常见的方法和公式来计算两点之间的距离，旨在帮助读者更好地理解和解决这个问题。

1. 在平面上的两点之间的距离在平面上，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理计算两点之间的距离。

勾股定理表明，对于一个直角三角形，设其两个直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有：c^2 = a^2 + b^2。

应用到平面上的两点之间，我们可以将该问题转化为计算两个坐标点之间的直线距离，即斜边的长度。

根据勾股定理，可以得到两点之间的距离公式：距离= √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)2. 在三维空间中的两点之间的距离在三维空间中，给定两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们仍然可以利用勾股定理来计算两点之间的距离。

类似于平面上的情况，我们将该问题转化为计算两个坐标点之间的直线距离。

根据勾股定理，可以得到三维空间中两点之间的距离公式：距离= √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)3. 利用向量计算两点之间的距离除了勾股定理，我们还可以用向量来计算两点之间的距离。

在平面上和三维空间中，我们可以将两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)分别表示为向量P和Q。

•在平面上，向量P = (x1, y1)和Q = (x2, y2)，两个向量的差向量为V = Q - P = (x2 - x1, y2 - y1)。

两点之间的距离等于差向量的模，即距离为||V|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

•在三维空间中，向量P = (x1, y1, z1)和Q = (x2, y2, z2)，两个向量的差向量为V = Q - P = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。

1.5.1平面上两点间的距离.(正式)

x yD(2,4)C(6,-1)B(3,-2)A(-1,3)O xyP(-1,-2)B(3,-2)A(-1,3)O课题：平面上两点间的距离一．教学目标：（一）知识与技能：1．掌握平面上两点间的距离公式，能运用距离公式解决一些简单的问题 2．掌握中点坐标公式，能运用中点坐标公式解决简单的问题3．培养学生从特殊问题开始研究逐步过渡到研究一般问题的思维方式（二）过程与方法：①问题导入的方式；②分组合作、研究与交流；③通过对数学公式的推导过程，体会数学中常用的数形结合和化归思想（三）情感态度与价值观：①渗透数形结合和化归等思想，进行对立统一观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神；②通过数学活动感受数学与显示世界的联系，进一步认识辨证唯物主义的普遍联系观点．二．教学重点难点：重点：掌握平面上两点间的距离公式及运用，中点坐标公式的推导及运用难点：两点间的距离公式的推导，中点坐标公式的推导及运用三．教学过程：（一）问题情景:引例．已知(1,3),(3,-2),(6,-1),(2,4)A B C D -，四边形ABCD 是否为平行四边形？问题(1)：证明一个四边形是平行四边形可用什么方法？(○1两组对边分别平行○2一组对边平行且相等○3对角线互相平分)方法○1：54AB CDk k AB CD ==-⇒， 13AD BC k k AD BC ==⇒，则四边形ABCD 是平行四边形．（二）建构数学:1．两点间的距离公式问题(2)：已知两点坐标如何求线段的长？方法○2：过点()1,3A -向x 轴作垂线，过点()3,2B -向y 轴xyy2y1x2x1Q(x2,y1)P2(x2,y2)P1(x1,y1)OxyC1M1A1M(x,y)C(6,-1)A(-1,3)OxyMC(4,7)A(-1,5)O作垂线，两条垂线交于点()1,2P--，且()325PA=--=，()314PB=--=，所以在Rt PAB∆中，2241AB PA PB=+=，同理可得41CD=，则AB CD=，由方法○1得AB CD，所以四边形ABCD是平行四边形．一般地，设两点111222(,),(,)P x y P x y，求12PP的距离．如果12,12x x y y≠≠，过12,P P分别向y轴、x轴作垂线，两条垂线相交于点()21,Q x y．因为121221||,||PQ x x P Q y y=-=-，所以在12Rt PPQ∆中，2222212122121()()PP PQ PQ x x y y=+=-+-(*)当12x x=时，1221||PP y y=-，当12y y=时,1221||PP x x=-，均满足(*)式．结论：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y之间的距离公式为22122121()()PP x x y y=-+-．2．中点坐标公式问题(3)：要证明对角线互相平分，只需要证明对角线AC和BD的中点相同，如何证明呢？方法○3：设线段AC的中点为M(,)x y，过点,,A M C向x轴作垂线，垂足分别为111,,A M C，则111,,A M C的横坐标分别为1,,6x-，由1111A M M C=得(1)6x x--=-，解得16522x-+==，同理得3(1)12y--==，所以线段AC的中点M的坐标为5(,1)2，同理可得线段BD的中点坐标也为5(,1)2，因此四边形ABCD的对角线AC和BD在点M处互相平分，故这个四边形是平行四边形．结论：一般地，对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y，线段12PP的中点是00(,)M x y，则121200,22x x y yx y++==．（三）数学运用:例1．(1)求()()1,3,2,5A B-两点之间的距离；(2)已知()()0,10,,5A B a-两点之间的距离为17，求实数a的值．解：(1)22[2(1)](53)13AB=--+-=．(2)22(0)(510)178AB a a=-+--=⇒=±．例2．已知ABC∆的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C---，求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程．解：如图，设BC中点(,)M x y，xy M A(0,0)C(0,c)B(b,0)则24171,322x y -+-+====，即(1,3)M ，则22[1(1)](35)22AM =--+-=，31:5311AM y x l --=---，即40x y +-=．例3．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =．证：如图，以Rt ABC ∆的直角边,AB AC 所在直线为坐标轴， A 为原点，建立直角坐标系，设()(),0,0,B b C c ，M 是BC 的中点， (,)22b cM ∴，因为2222(0)(0)BC b c b c =-+-=+，22221(0)(0)222b c AM b c =-+-=+，所以，12AM BC =练习：1．已知直线1:12l y x =-，(1)求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；(2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．分析：由直线l 垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．解．(1)设00(,)Q x y ，由于PQ l ⊥，且PQ 中点在l 上，有00004234311222y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅-⎪⎩，解得0029585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴Q 298(,)55- (2)在l 上任取一点，如(0,1)M -，则M 关于点(2,3)对称的点为(4,7)N ．∵所求直线过点N 且与l 平行，∴方程为17(4)2y x -=-，即2100x y -+=．2．一条光线经过点(2,3)P 射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线10x y ++=的对称点．解：入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10x y ++=对称，设P 点关于直线10x y ++=对称点的坐标为00(,)Q x y ，因此PQ 的中点在直线10x y ++=上，且PQ 所xyx+y+1=0RQA(1,1)P(2,3)O在直线与直线10x y++=垂直，所以003(1)12231022yxx y-⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得(4,3)Q--．反射光线经过,A Q两点，∴反射线所在直线的方程为4510x y-+=．由10,4510,x yx y++=⎧⎨-+=⎩得反射点21(,)33R--．入射光线经过,P R两点，∴入射线所在直线的方程为0145=+-yx课堂小结:(1)掌握两点间的距离公式(2)掌握中点坐标公式作业：1.式子22(1)(2)a b++-可以理解为的距离2.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 .3.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为4．已知点)2,1(-P，则点P关于原点对称的坐标为_______，关于x轴对称的坐标为_____关于y轴对称的坐标为___________，点P关于点（0，4）对称的坐标为_______．。

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式平面几何是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、圆等的性质和相互关系。

在平面上，我们经常需要计算两点之间的距离以及点到直线的距离，这些计算方法在实际生活中有着很广泛的应用。

下面我们将分别介绍两点间的距离和点到直线的距离的计算公式。

首先，考虑两点间的距离。

假设平面上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。

根据勾股定理，我们知道两点之间的距离可以通过点与坐标轴的距离的平方和来计算，即：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。

这个公式的理解非常直观，我们可以将两点之间的直线看作是直角三角形的斜边，而点与坐标轴的距离就是直角三角形的两个直角边的长度。

因此，我们可以通过计算两个直角边的长度，然后应用勾股定理来求解斜边的长度，即两点之间的距离。

接下来，我们来讨论点到直线的距离的计算方法。

给定平面上一条直线L和一点C(x0,y0)，我们想要计算点C到直线L的距离d。

为了方便计算，我们需要确定直线L的方程。

在平面几何中，常见的直线方程形式有一般式、斜截式和点斜式。

这里我们以一般式方程为例，一般式方程的形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。

点到直线的距离的计算方法有多种，下面我们介绍其中的一种方法，即点到直线的投影方法。

我们可以将问题转化为求点C到直线L的垂直投影点D，然后计算点C到点D的距离d。

首先，我们可以利用点斜式确定直线L的斜率k。

假设直线L经过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线L的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。

进一步化简，我们得到直线L的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A =-k，B = 1，C = kx1 - y1接下来，我们需要求点C到直线L的垂直投影点D(xd, yd)的坐标。

根据垂直投影的性质，我们知道点D在直线L上，且点CD垂直于直线L。

因此，点D与直线L的斜率之积为-1，即k * kd = -1、由此，我们可以得到点D的坐标：xd = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * C) / (A^2 + B^2)yd = (A * B * x0 - A * A * y0 - B * C) / (A^2 + B^2)最后，我们可以计算点C到点D的距离d，即：d = √[(x0 - xd)^2 + (y0 - yd)^2]这个公式可以通过将点C到点D的距离看作直角三角形的斜边来进行解释。

两点间的距离

两点间的距离在数学和几何学中，距离是衡量两个点之间空间间隔的概念。

它是一种基本的度量方式，常用于解决各种实际问题，例如确定两个地点之间的最短路径、计算物体的运动距离等。

本文将探讨不同情境下计算两点间距离的方法。

一、直线距离的计算在平面几何学中，两点之间的直线距离可以通过勾股定理来计算。

假设有平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的直线距离D 可以通过以下公式得到：D = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]例如，在坐标系上有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用上述公式计算它们之间的直线距离：D = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²]= √[3² + 4²]= √[9 + 16]= √25= 5因此，点A和点B之间的直线距离为5个单位。

二、球面距离的计算当涉及到地理位置、航海导航等问题时，我们需要考虑地球曲面的特性。

在球面几何学中，两点之间的距离可以通过球面三角学公式来计算。

1. 球面距离的柱面投影当球面被视为一个柱面时，我们可以使用经纬度来表示点的位置。

假设有两个点A(φ1, λ1)和B(φ2, λ2)，它们的纬度分别为φ1和φ2，经度分别为λ1和λ2。

这两点之间的球面距离D可以通过以下公式计算：D = R * arccos[sin(φ1) * sin(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(λ2 - λ1)]其中，R代表地球的半径。

2. 球面距离的大圆投影当球面被视为一个平面时，我们可以使用大圆投影来计算两点之间的距离。

假设有两个点A和B，它们的纬度和经度坐标分别为(θ1, φ1)和(θ2, φ2)。

这两点之间的球面距离D可以通过以下公式计算：D = R * a rccos[sin(φ1) * sin(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(θ2 - θ1)]无论是柱面投影还是大圆投影，我们都可以得到两个点之间的球面距离。

平面直角坐标系中的距离公式(经典)

例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.

5《平面上两点间的距离》课件1.ppt

)
如果
x1 x2 , 那么 PP2 y2 y1 1
) 式也成立
，
y
(

y2
P2 ( x2 , y2 )
如果 y1 y2 , 那么 P P2 1
x2 x1
y1
o
(
) 式仍成立.
P1 ( x1 , y1 )
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的 1 距离公式
o
x2
x
合作探究
因为
PQ x2 x1 , 1
P2Q y2 y1
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ P2Q 1
2 1 2 2 2
P1 ( x1 , y1 )
(
o
x2 y1
Q( x2 , y2 )
x
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
分析: 设出两点坐标
B(b, 0), C (0, c)
则由中点坐标公式
M
OA
b c M( , ) 2 2
由两点间距离公式易证得
B(b,0)
x
1 AM BC 2
练
习
Ｐ９２练习１，２，３
小结:
1. 平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1

平面直角坐标系中的距离公式一两点间的距离公式

平面直角坐标系中的距离公式一两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，即在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用这两个点的坐标来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，点A和点B之间的距离d可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，x2 - x1表示两点在x轴上的距离，y2 - y1表示两点在y轴上的距离。

将这两个距离的平方相加，再开根号即可得到两点之间的距离。

举个例子来说明这个公式的使用。

假设有两个点A(1, 2)和B(4, 6)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。

这个距离公式的推导过程并不复杂，但它在实际应用中非常重要。

在几何学和物理学中，我们经常需要计算两点之间的距离。

例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物的尺寸和距离；在导航系统中，我们需要计算车辆之间的距离；在物理学中，我们需要计算物体之间的距离和位移等。

此外，这个距离公式还可以推广到三维空间中。

在三维空间中，我们可以使用类似的方法来计算两点之间的距离。

只需要将平面直角坐标系中的距离公式扩展到三个坐标轴上即可。

总之，在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，可以帮助我们计算任意两个点之间的距离。

无论是在几何学、物理学还是其他领域，这个公式都具有广泛的应用价值。

两平面之间的距离公式

两平面之间的距离公式
（一）两平面的距离当然是指互相平行的两个平面
设两个平面是：ax+by+cz+d＝0
ax+by+cz+e＝0之间的距离为|d-e|/√（a²+b²+c²）
两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。

两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。

（二）扩展资料：
证点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。

在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：当且仅当时取等号所以最小值就是。

证点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。

由柯西不等式，当且仅当时取等号所以最小值就是。

两点间的距离

两点间的距离在几何学中，计算两点间的距离是一个常见的问题。

无论是在平面上还是在三维空间中，计算两点之间的距离都是基础的几何概念之一。

在本文中，我将介绍一些常见的计算两点间距离的方法。

1. 平面上两点的距离假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，要计算这两点之间的距离，我们可以使用勾股定理。

根据勾股定理，两点之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)举例来说，假设A(2, 3)和B(5, 7)是平面上的两个点。

根据上述公式，我们可以计算出它们之间的距离为：d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

2. 三维空间中两点的距离如果我们将问题扩展到三维空间中，计算两点之间的距离的方法也有所不同。

假设空间中有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以使用三维直角坐标系中的公式来计算它们之间的距离。

根据三维空间中两点之间的距离公式，我们可以得到以下计算公式：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)例如，我们有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)。

通过代入上述公式，我们可以计算出它们之间的距离为：d = √((4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2)= √(3^2 + 3^2 + 3^2)= √(9 + 9 + 9)= √27≈ 5.196因此，点A和点B之间的距离约为5.196个单位。

3. 特殊情况下的距离计算除了平面和三维空间外，还存在其他特殊情况下的距离计算。

例如，在球面上计算两点之间的距离需要采用球面三角学的方法。

在球面上，我们使用球面三角学中的定律来计算两点之间的距离。

其中一个著名的定律是球面余弦定律，它可以用以下公式表示：cos(d) = sin(θ1)sin(θ2) + cos(θ1)cos(θ2)cos(Δλ)其中，d表示两点之间的距离，θ1和θ2表示两点的纬度，Δλ表示两点经度的差值。

2.3.2 两点间的距离公式-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)

∴| AC |2 | BD |2 2(| AB |2 | AD |2 ).
如何由平行四边形的性质得到点C
的坐标
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍.
坐标法的应用
利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的
量
第二步：进行有关的代数运
04课堂小结
PART
ONE
课堂小结
1.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为
|P1P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
2.用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数计算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． [注意] 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．
法一：
解:∵|AB|= (3 + 3)2 + (-3-1)2 = 52,
|AC|= (1 + 3)2 + (7-1)2 = 52, |BC|= (1-3)2 + (7 + 3)2 = 104,
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2. ∴△ ABC 是等腰直角三角形.
两点间的距离公式
|P1 P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为
|OP| x2 y2 .
O
x
•
P1(x1,y1)
你还能用其他
方法证明这个
公式吗？
两点间的距离公式
思考1：在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？

选择性必修第一册《1.5.1_平面上两点间的距离》2024年同步练习卷(2)(1)+答案解析

苏教版（2019）选择性必修第一册《1.5.1平面上两点间的距离》2024年同步练习卷（2）（1）一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点，，且，则a 的值为()A.1B.C.1或D.或52.已知的顶点为，，，则AC 边上的中线长为()A.3B. C.4D.3.已知直角坐标平面上连接点和点M 的线段的中点是，则点M 到原点的距离为()A.41B.C.D.394.过点和的直线与直线平行，则()A.2B.C.5D.5.若动点P 到点的距离和它到直线的距离相等，则动点P 的轨迹是()A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

6.下列说法正确的是()A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.点关于直线的对称点为C.过，两点的直线方程为D.经过点且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为7.已知点，点B 在直线l ：上运动，则下列结论正确的是()A.直线AB 的倾斜角的取值范围是B.直线AB 的斜率的取值范围是C.点B 关于点A 对称的点在直线上D.当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为8.已知直线l ：和点，过点A 作直线与直线l 相交于点B ，且，则直线的方程是()A. B.C.D.9.已知直线l：，则下列结论正确的是()A.直线l的倾斜角是B.若直线，则C.点到直线l的距离是2D.过与直线l平行的直线方程是三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

10.已知点关于点的对称点，则点到原点的距离是______.11.已知三个顶点坐标分别为，，，则的面积为______.答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，点，，且，则有，解可得或，故选：根据题意，由两点间距离公式可得，解可得答案．本题考查两点间距离的计算，注意两点间距离的计算公式，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查两点间距离的计算，涉及中点坐标公式，属于基础题．根据题意，设AC的中点为D，由中点坐标公式求出D的坐标，进而由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设AC的中点为D，的顶点为，，，则，，故选：3.【答案】B【解析】解：设点M的坐标为，直角坐标平面上连接点和点M的线段中点是，由中点公式可得，解得，点M坐标为，则点M到原点的距离为故选：设点M的坐标为，根据题意利用中点公式可得a、b的值，即可得到点M坐标，由两点间的距离公式即可求解．本题主要考查线段的中点公式的应用，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：过点和的直线与直线平行，，可得故选：利用平行线的性质可得，再利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线的斜率之间的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：点P到点的距离等于它到直线的距离．因此，点P的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，故选：根据题意，得到点P到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可得P的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，得到选项．本题给出满足条件的动点P，求点P的轨迹方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题．6.【答案】AB【解析】解：直线在两坐标轴上的截距分别为：2，，与坐标轴围成的三角形的面积是：，所以A正确；点与的中点坐标满足直线方程，并且两点的斜率为：，所以点关于直线的对称点为，所以B正确；当，时，过，两点的直线方程为，所以C不正确；经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；故选：求出截距得到三角形的面积判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；直线的两点式方程判断C的正误，利用截距相等判断D的正误．本题考查命题的真假的判断直线方程的求法、对称知识以及直线的截距的应用，是易错题．7.【答案】CD【解析】解：对于A：点，点B在直线l：上运动，可以看作为经过点A的直线在旋转的过程中，直线AB的倾斜角的范围可以大于，故A错误；对于B：由选项A知：直线AB的斜率也成立，故B错误；对于C：设点，点，由于点B关于点A对称的点的坐标为点，故，，代入，整理得，故C正确；对于D：当线段AB的距离最小时，直线AB的方程的斜率为，经过点，所以直线AB的一般式为，故D正确；故选：直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，及直线垂直的充要条件的应用，进一步判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：直线的方程的求法，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】AB【解析】解：设，，，，即，解得或，，，当时，，直线的方程为，即，当时，直线的斜率不存在，其方程为故直线的方程是或故选：根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及斜率公式，即可求解．本题主要考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，属于基础题．9.【答案】CD【解析】【分析】对于求得直线的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可判断A的正误；对于求得直线的斜率，计算是否为，即可判断B的正误；对于利用点到直线的距离公式，求得点到直线l的距离d，即可判断C的正误；对于利用直线的点斜式可求得过与直线l平行的直线方程，即可判断D的正误；本题考查命题的真假判定，着重考查直线方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用．【解答】解：对于直线的斜率，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于因为直线的斜率，，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于点到直线l的距离，故C正确；对于过与直线l平行的直线方程是，整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为故选10.【答案】【解析】解：由题意可知：，解得：故答案是先根据对称性和中点坐标公式求出x，y，然后根据距离公式即可求出结果．本题考查基本公式记忆和应用以及基本运算能力．11.【答案】【解析】解：直线AB的方程为：，化为：点C到直线AB的方程为：故答案为：利用两点之间的距离公式可得，利用点斜式可得直线AB的方程，利用点C到直线AB的方程为：利用即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、点斜式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。