第一讲 函数极限连续1003
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
【精品】第一章极限与连续
第一章 极限与连续第一节 函数函数是微积分研究的对象,中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质.在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论。
一、函数的概念在日常生活、生产活动、经济活动中，经常遇到各种不同的量。
这些量可分为两类。
一类是常量，一类是变量.而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径r 与该球的体积V 的关系可用式子34π3V r =给出，当半径r 在[0,)+∞内任取一个值时，体积V 有确定的值与之对应,我们称体积V 是半径r 的函数。
1.函数的概念定义1 设有两个变量x 、y ,如果变量x 在一个非空数集D 内每取一个数值时，变量y 按照某个对应法则f 都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作()y f x =.其中x 称为自变量，y 称为因变量或函数，f 是函数符号，表示y 与x 的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如()y g x =,()y x ϕ=等.数集D 称为函数的定义域。
当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系()y f x =求出的对应值0y 称为当0x x =时的函数值，记作0|x x y =或0()f x .函数值的集合称为函数的值域.例1 已知2()321f x x x =-+，求(0)f ，1()2f ,()f x -，(1)f a +.解：2(0)302011f =⨯-⨯+=21113()3()2()12224f =⨯-⨯+= 22()3()2()1321f x x x x x -=⨯--⨯-+=++ 22(1)3(1)2(1)1342f a a a a a +=⨯+-⨯++=++例2 求下列函数的定义域（1)2()531f x x x =++ （2)2()23xf x x x =--（3）()f x =（4)()ln(21)f x x =-（5）arcsin(41)y x =+ （6)12y x =- 解：(1)函数的定义域为(,)-∞+∞(2）要使函数有意义，须满足2230x x --≠.即：1x ≠-且3x ≠，即定义域为(,1)(1,3)(3,)-∞--+∞(3)要使函数有意义，须满足24x -≥0，解得－2≤x ≤2，即定义域为[2,2]-(4）要使函数有意义，须满足210x ->，解得12x >，即定义域为1(,)2+∞ （5)要使函数有意义，须满足－1≤41x +≤1,解得12-≤x ≤0,即定义域为1[,0]2-（6)要使函数有意义，须满足29x -≥0且20x -≠，解得－3≤x ≤3且2x ≠，即定义域为[3,2)(2,3]-需要注意的是，在实际应用问题中，除了要根据解析式本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑变量的实际意义.如半径为r 的球的体积34π3V r =这个函数，从函数本身来说，r 可取任意实数，从它的实际意义来说，半径r 不能取负数，因此它的定义域是区间[0,)+∞.2.函数的两个要素函数的定义反映了自变量x 与因变量y 之间的依赖关系.它涉及到定义域，对应法则和值域.显然，只要定义域和对应法则确定，则值域也就确定了.因此，函数的定义域和对应法则是确定函数的两个要素.两个函数,只要它们的定义域和对应法则相同，就是相同的函数.例3 判定下列各对函数是否相同（1）2lg y x =与2lg y x = （2）||y x x =与2y x =（3)w =y =解:(1)2lg y x =的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lg y x =的定义域是(0,)+∞，它们的定义域不同,所以这两个函数不是相同的函数.（2)这两个函数的定义域都是(,)-∞+∞，但是它们的对应法则不同，所以它们不是相同的函数。
第1章 函数极限与连续
例 2 证明 证
p lim 0 ，其中 ( 0), n n
p 为常数。
任给 0, 因为
1
p | p| 0 = < , n n
即
1
|p| n .
所以,
取N [(
| p|
) ],
则当n N时, 就有
p 0 < , 即 n
数列的极限(86) 31
3、数列概念：
按自然数 1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列，其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
如：
2,4,8,,2 n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
第1章 函数、极限与连续
1.1 函数
1.1.5 初等函数
2018/11/20
北京师范大学
1
1.1.5
初等函数
y
y x
(1,1)
1. 基本初等函数
(1) 幂函数
y x ( 为常数 )
1 y x
y x2
1
y
x
o
1
x
函数(63)
2
(2) 指数函数
1 x y( ) a
y ax
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)
(0,1)
函数(63)
3
(3) 对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
函数的极限与连续
第一章函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础， 连续、微分、积分等重要概念都归结于极限•因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条 件•本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念§ 1-1函数一、函数的概念 定义1.1设有一非空实数集一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法(或称公式法) .三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用二、函数的性质 1、 单调性设函数y f(x)在(a,b )内有定义，若对(a,b )内的任意两点，当％ x ?时，有f(xj f (X 2)，则称y f (x)在(a,b )内单调增加；若当为X 2时，有f (xj f 化)，则称f (x) 在(a,b )内单调减少，区间(a,b )称为单调区间.D ，如果存在一个对应法则f ，使得对于每一个 x D ，都有是定义在D 上的一个函数.记作y=f(x)，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上称y 是x 的函数，D 称为定义域.当自变量x 取定义域D 内的某一定值x o 时，按对应法则f 所得的对应值 在x=x o 时的函数值，记作 f(x o ),即y o =f(x o ).当自变量x 取遍D 中的数， 构成的集合称为函数的 值域，记作M ,M2xy o ，称为函数y=f(x)所有对应的函数值 y1已知f (x)f(0) 02 0f(1) 12 f( x)(f(x),x Df(0)，f (1)，f( x)1 1 x)2 X )2求下列函数的定义域 4 x 21 0,x1 x2 0(1)y(1)x 2 (2)6，所以定义域为x (, 1)2x3 ，所以定义域为 x 1x 2 ln(x(1,1) (1,x 1,31)由函数定义可知， 义域和对应法则称为函数的两个要素 两个函数是同一函数.反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数2 2 2cos x 与(x)1,因为sin x cos x 1,即这两个函数的对应法所以它们是相同的函数. x 21(x) x 1，虽然x 1，但由于这两个函数的定义域不同，x 1定义域与对应法则一旦确定， 则函数随之惟一确定• .如果两个函数的定义域、 因此，我们把函数的定 对应法则均相同，那么可以认为这 2例如：f(x) sin x则相同，而且定义域均为 R ，x 21 又如f(x)与x 12、奇偶性设函数y f (x)在D 上有定义，若对于任意的x D ,都有f ( x) f (x),则称y f (x) 为偶函数；若有f( x) f(x)，则称y f(x)为奇函数.在直角坐标系中，奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称 •3、 有界性若存在一个正数 M ，使得对任意的x (a,b)，恒有f (x) M ，则称函数y=f(x)在(a,b ) 内有界• 女口 y=sinx 与y=cosx 者$在( ，)内有界.4、 周期性设函数y f (x)在D 上有定义，若存在一个正实数T ,对于任意的x D ，恒有f(x T) f(x)，则称f (x)是以T 为周期的周期函数•通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期•如y sinx 的周期是2 ，y tanx2的周期是，y Asin(wx)的周期是 •函数y c ,( c 为常数)是周期函数，但不存在最w小正周期，此类函数称为平凡周期函数 •三、反函数定义1.2 设函数yf(x)，其定义域为 D ，值域为M.如果对于每一个 y M ，有惟一的一个x D 与之对应，并使y f(x)成立，则得到一个以 y 为自变量，x 为因变量的函数，称 此函数为y=f(x)的反函数，记作x f 1(y)1显然，x f (y)的定义域为M ，值域为D.由于习惯上自变量用 x 表示，因变量用y 表示,所以y f (x)的反函数可表示为y f 1(x) _ 例如y . x 的反函数是 yx 2 (x 0)，其定义域就是 y . x 的值域 0,，值域是y x 的定义域0, ，如图1-1 (a )所示•1在同一直角坐标系中， 函数y=f(x)和其反函数y f (x)的图象关于直线 y x 对称•如图四、初等函数 1、基本初等函数1-1 ( b )所示•(a )，值域为R ，这三个函数的图形如图1-4 所示.y 二-1・11 H 11 1 1 || 1 1 1 !| 1 | 1 1 *1 1 1 1 i I 1 1 1 / 1 1 11 / 1 ! 1 1 1]1 . i 1 1 -n 1 /1 n 1 11 1 1 1 1』 1 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1111F 列六种函数统称为基本初等函数（1 ）常数函数y c （ c 为常数），其图形为一条平行或重合于x 轴的直线.（2）幕函数y x （ 为实数），其在第一象限内的图形如图1-2所示.图1-3（4）对数函数y log a X （a 0,a 1），定义域（0,），值域为R ，图形如图1-3（b ）所示.（5） 三角函数 y sinx ， y cosx ， y tanx ， y cotx ， y secx ， y cscx .其 中正弦函数ysinx 和余弦函数y cosx 的定义域都为 R ，值域都为 1,1，正切函数y tanx图1-2（3）指数函数y a x （ a 0,a 1），定义域为R ，值域为（0, ），图形如图1-3 （a ） 所示.(a )的定义域为 (b )图1-4（6）反三角函数y arcsinx , y arccosx , y arctanx , y arccotx，其中反正弦函数y arcsinx与反余弦函数y arccosx的定义域都为1,1，值域分别为，一和0,2 2反正切函数y=arcanx 的定义域R，值域为，一，这三个函数的图形如图1-5所示.2 2（L）图1-52、复合函数定义1.3 设函数y f（u）的定义域为D f ,函数u （x）的值域为M ，若M D f，则将y f （x）称为y f （u）与u （x）复合而成的复合函数，u称为中间变量，x为自变量.2 2如函数y In u, u x 1，因为u x 1的值域1, 包含在y ln u的定义域（0, +）内，所以y ln（x 1）是y ln u与u x 1复合而成的复合函数.注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如y arcsinu与u 2 x就不能复合.因为u 2 x的值域为2, ，而y arcsinu的定义域为1,1 ，所以对于任意的x所对应的u，都使y arcsinu无意义；（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合例4指出下列函数的复合过程（1）y3、2X 1 ；（2）yxln tan2解（1）y 3 2x 1是由y3 u与u 2x1复合而成的；（2）xy ln tan—是有y2ln u,u tan ,x复合而成的215度但不超过60度时，超过的部分每度按 0.6元收费,当用电超过60度时，超过部分按每度 0.8元 收费,试建立居民月用电费 G 与月用电量 W 之间的函数关系.解当 0 W 30 时，G=05W当30W 60 时,G= 0.5 30 0.6 (w 30) 0.6w 3当w60 时,G=0.5 30 0.6 30 0.8 (W 60) 0.8W0.5w0 w 30所示Gf (w)0.6w 3 30 w 600.8w 15w60例5已知 f ( x )的定义域为1In x 1 得 xe1,1，求f (Inx )的定义域.所以 f (In x)的定义域为1 -,e . e3、初等函数定义1.4 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合， 数，称为初等函数•有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函 且可用一个解析式表示的函数称为分段函数，分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数x 1，求 f ( 1例6已知f(x)2)，1f(0)，f(2)，f(2)，并作出函数图形 2)2xf (0) 2x1；f(1)(1 x)图形如图 五、建立函数关系举例运用函数解决实际问题, 1-6 所示 f(2)1x2通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后 把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来(即建立函数关系) ，最后进行分析、计算.例7如图1-7，从边长为a 的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为 x ，周长为P ,面积为A ,试分别将 P 和A 表示为x 的函数.-3(a x)2解 设矩形的另一条边长为 该矩形周长P=i 3(ax) a x 22x 0tan 60(2 3) x 3a ， x (0,a)V3(a矩形面积A2 2例8电力部门规定，居民每月用电不超过 x)■. 3ax.3 2 2 x ，30度时, x (0, a).图1-7每度电按 0.5元收费，当用电超过 301、求下列函数的定义域3、求下列函数的反函数(1) y 3x 1(2) y4、判断下列函数的奇偶性 (1) y x 2 sin x (3) y x 2 2cosx5、分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程(1)y . x 21(2) ysin xe(3) y cos 2(x 1) (4) ylg sin(x 1)6、把一个直径为50厘米的圆木截成横截面为长方形的方木，若此长方形截面的一条边长 厘米，截面面积为 A 平方厘米，试将 A 表示成x 的函数，并指出其定义域.§ 1-2极限的概念图1-911 由图1-8可以看出，当n 无限增大时，表示x n —的点逐渐密集在点 x 0的右侧，且x n -nn习题1-1(1) y (3) y1 2~ 2x x2 ln(1 x 2)2、已知 f(x)1 3x(2)yx 2 3x 2(4) y arcs in2xx 0x 0，求 f (1)， f (0), f (1)的值，并作出函数的图形x 01 In x(3)x 1 y x1(2) y sin x cosx (4) yx e 1x e 1 .、数列的极限F 面两个按 2 2 3先看 (1)(2)1 3 34定次序排列的一列数 1 » ? 4 「 4 我们称它们为数列，分别记作nn n 1' 1nn n 1X 1，X 2现在来考察n 无限增大时，这两个数列的变化趋势 X n 分别在数轴上表示出来(如图1-8， .为清楚起见，我们把这两个数列的前图1-9所示).n 项:图1-8无限接近于0 ;由图1-9可以看出，当n 无限增大时，表示 x n般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即lim c c ( c 为常数)nX n 2n，当n 无限增大时,大，不能无限接近于一个确定常数， 所以它没有极限•又如数列X n在-1和1这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没有极限对于没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散 二、函数的极限对于函数的极限，根据自变量的不同变化过程分两种情况介绍 1、当X 时，函数y f(x)的极限 当自变量X 的绝对值无限增大时，记作X .的左侧，且X n—无限接近于1.n 1上述两个数列具有相同的变化特征，即当 对于具有这样特征的数列，我们给出定义 •定义1.5如果当n 无限增大时，数列 列X n 的极限(也称数列X n 收敛于A ) n 无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数X n 无限接近于一个确定的常数A ，则把常数记作 A 称为数lim X n A n或当n 时，X nA因此，上述数列(1)有极限为例1观察下面数列的变化趋势， 1 2* 1 1 1 市的项依次为2n 1(1) (3) 所以limX(2) (3) 于0,所以 (4) X n X n(1) X n=0 ；X nX nlimXX n0，记作limX并写出它们的极限 口的项依次为2，n1 n 的项依次为(3)1 孑=0 ；(3)4为常数数列，无论10 ;数列(2)有极限为1，记作limX(2)X n丄27， (4) X n 4，当n 无限增大时，X n 无限接近于，当n 无限增大时，X n 无限接近于1，1—,……，当n 无限增大时,811.X n 无限接近n 取怎样的正整数, X n 始终为4，所以lim 4n4.-的点逐渐密集在点当1需要指出的是，并不是所有数列都有极限，如数列 X n 也无限增(1)n ，当n 无限增大时，X n定义1.6 设函数y f (X)在X a时有定义(a为某个正实数)，如果当自变量X的绝对值无限增大时，函数y f (X)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当X时，函数y f (x)的极限，记作lim x f x A (或当 x 时，f (x)需要指出的是，x 对值无限增大(记作 x 显然，函数f (x)在X 定理 1.1 lim f (x) 例2 讨论下列函数当 1 (1) y -；X 表示X 既取正值而无限增大 ) 时的极限与在XA 的充要条件是Jim f (x) 时的极限.(2) y 2x ； 解(1)由反比例函数的图形及性质可知, (2 )由指数函数的图形及性质可知, (3)由反正切函数的图形及性质可知, lim arctanx 不存在. X 2、当X 当自变量 定义1.7 (记作 ,x lim x f(x) (3) 当x 无限增大时, lim 2X X ,lim x ),同时又取负值而其绝 时的极限存在以下关系: A .y arcta nx . 1 1 —无限接近于o ,所以lim — =o ；x 2X X x 所以lim 2x 不存在. x lim x arcta nx — 2 lim x arcta n x ，所以 2 x o 时，函数y f (x)的极限 x 无限接近于某一定值 X o 时，记作x 设 0 ,我们把集合｛x | x X o X o . ｝称为点x °的 邻域，点X 。
2021年考研-数学基础班-高等数学-第一讲-函数极限连续
2021数学基础班-高等数学-第一讲-函数 极限 连续
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关于大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：⑵当0x x →时，)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim xf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。
第1章 函数、极限与连续
2019/10/31
7
例1.1.2 已知函数f(x)x21, 求f(2) , f[f(x)]。
解： f(2)2215
f[f(x) ]f(x)21
(x2 1 )2 1x4 2 x2 2
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例1.1.3 已知函数f(x1)x23x2, 求f(x)。 解： 令x1t, 则xt1, 将其代入原式, 得 f( t) ( t 1 )2 3 ( t 1 ) 2 t2 5 t 6 f(x)x25x6
1ex 1ex
ln1x 1x
ex ex
1ln1x 1 1x
f (x)
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三、有界性
设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数 M,使得对于D中某一个子区间I内任意一点x,总有 |f(x)|M (即Mf(x)M),则称函数在I上是有界的， 否则是无界的。
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二、反函数
定义4 设函数f(x)的定义域为D,值域为R, 若对于任意一个yR，有唯一一个xD， 使f(x)y成立,则x与y的对应关系在R上定 义了一个新函数,称为函数yf(x)的反函数, 记为xf 1(y)。
若把函数yf(x)称为直接函数,则直接 函数的定义域(或值域)恰好是它的反函数 xf 1(y)的值域(或定义域)。
2
2
2
2
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(5) 反三角函数
反正弦函数 yarc x,x s i[ n 1 ,1 ]
y
yarcx,x s i[ n 1 ,1 ]
2
1
o1
x
2
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反余弦函数 yarcx,cx o[ s1,1]
高三数学函数的极限与连续性PPT精品课件
如果 li m f(x)＝a 且 li m f(x)＝a，那么就说当
x→＋∞
x→－∞
x 趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.记作
li m f(x)＝a
___x→_∞__________.也记作当 x→∞时，f(x)→a.
对于常数函数 f(x)＝C(x∈R)，也有 li m f(x)＝C.
x→∞
x→0
x→0
A．1 B．2
C．3 D．4
• 【解析】 ①②正 确．
• 【答案】 B
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• 3．若f(x)在区间[a，b]上连续，则 下列说法中不正确的是( )
• A．在(a，b)内每点都连续
• B．在a点处左连续
• C．在b点处左连续
• D．在[a，b]上有最大值
• 【解析】 f(x)在闭区间[a，b]上连
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4．函数的连续性的概念
(1)如果函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义， 而且 lix→mx0 f(x)＝__f_(x_0_)_，就说函数 f(x)在点 x0 处连续．
(2)如果函数 f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处都 连续，就说函数 f(x)在开区间(a，b)内_连___续___．
(3)对于闭区间[a，b]上的函数，如果 f(x)在开区间
(a，b)内连续，在左端点 x＝a 处有 li m f(x)＝f(a)，
x→a＋
在右端点 x＝b 处有 li m f(x)＝__f(_b_)__，就说函数
x→b－
f(x)在闭区间[a，b]上连续．
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5．最大值、最小值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数， 那 么 f(x) 在 闭 区 间 [a ， b] 上 有 ______最__大__值__和__最__小__值__________．
高等数学(上册)图文 (1)
M y y f (x), x D
第一章 函数的极限与连续
需要指出，按照上述定义，记号f和f(x)的含义是有区别 的： 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则；而后者表 示与自变量x对应的函数值.表示函数的记号是可以任意选 取的，除了常用的f外，还可用其他的英文字母或希腊字母， 如“g”、 “F”、 “φ”等.有时还可直接用因变量的记号来表 示函数，即把函数记作y=y(x). 在同一问题中讨论几个不同的 函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们.
10 y 10 0.20(x 30)
(x 30) ( x＞0)
第一章 函数的极限与连续
像这种在自变量的不同范围内，对应法则用不同的式子
来表示的函数通常称为分段函数.分段函数是微积分中常见
的一种函x
0,
x0
1, x 0
可以表示成图1-2的形式.
第一章 函数的极限与连续
注意: (1) 分段函数是用几个解析表达式表示一个函数， 而不是表示几个函数.
第一章 函数的极限与连续 图 1-1
第一章 函数的极限与连续
有时，在分析中需要把用到的邻域的中心去掉. 点x0的δ 邻域在去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记
作 N (xˆ0 , )
N(xˆ0, ) x 0 x x0
第一章 函数的极限与连续
例1-1 设f(x)=2x2+3x-1是一个特定的函数，试写出其 对应法则.
x≤0
(－∞，0］∪［1，+∞).
于是，所求函数的定义域为(－2，0］∪［1，+∞).
(2) 要使arcsin (2x－1)有意义，必须满足 |2x－1|≤1，即
高等数学第-讲极限与连续PPT课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
函数极限及连续
技术资料专业分享第1章 函数的极限与连续极限是现代数学的最基本的概念，是学习微积分学的重要基础.在后面的几章学习中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的.本章将介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，并讨论连续函数的性质．1.1 初等函数1.1.1 函数1．函数的定义设D 是一个数集，如果对属于D 中的每一个数x ，依照某个对应关系f ，y 都有确定的数值和它对应，那么y 就叫做定义在数集D 上的x 的函数，记作)(x f y =．x 叫做函数的自变量，数集D 叫做函数的定义域．函数y 的取值范围M 叫做函数的值域. 由定义可知，对应关系和定义域构成函数的二要素. 2．函数的定义域在实际问题中，根据所考察问题的实际意义来确定其定义域．对于不具有实际意义的抽象函数，其定义域是使得函数有意义的全体自变量的集合．常见的有:(1) 在分式函数中，分母不能为零； (2) 在根式函数中，负数不能开偶次方； (3) 在对数函数中，真数大于零；(4) 在三角函数和反三角函数中，要符合它们的定义域； (5) 在含有多种式子的函数中，应取各部分定义域的交集. 例1 求下列函数的定义域：（1）2412xx y -++=； （2）11lg-+=x x y ． 3．反函数在研究函数的同时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念．例如，在函数21+=x y 中，定义域和值域都是R ，按照x 和y 的对应关系，任意给出一个y ∈R ，都有唯一确定的21x y =-与之对应．一般地，设函数)(x f y =，定义域为D ，值域为M ．如果对于M 中的每一个y 值，都可由)(x f y =确定唯一的x 值与之对应，这样就确定一个以y 为自变量的函数x ，该函数称为函数)(x f y =的反函数，记作)(1y fx -=．显然，函数)(1y fx -=的定义域为M ，值域为D ．习惯上常用x 表示自变量，y 表示函数，故常把)(x f y =的反函数记为)(1x fy -=．若把函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形画在同一个平面直角坐标系内，则这两个图形关于直线y ＝x 对称．因此，函数21x y =-是函数21+=x y 的反函数，其定义域为R ，值域为R ．将函数改为y ，自变量改为x ，则函数21+=x y 的反函数为21y x =-（图1－1）．图1－1例2 求23+=x y 的反函数．4．分段函数在自然科学及工程技术中，用公式表示函数时，经常会遇到一个函数在不同的范围内用不同的式子表示的情况.如函数0,() 0.x f x x x ≥=-<⎪⎩是定义在区间(, )-∞+∞内的一个函数.当0x ≥时，()f x =；当0x <时，()f x x =-.在不同的区间内用不同的式子来表示的函数叫分段函数.分段函数是用几个解析式子来表示的一个函数，而不是表示几个函数.求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算.如在上面的分段函数中，12x + x =专业整理分享(4)2f ==；(4)(4)4f -=--=.5．函数的几种特性 （1）奇偶性如果函数()y f x =的定义域D 关于原点对称，且对于任意的x D ∈，都有()()f x f x -=-，那么()y f x =叫做奇函数；如果函数()y f x =的定义域D 关于原点对称，且对于任意的x D ∈，都有()()f x f x -=，那么()y f x =叫做偶函数；如果函数()y f x =既不是奇函数也不是偶函数，则称()y f x =为非奇非偶函数.如3x y =是奇函数，2x y =是偶函数.奇函数的图象关于原点对称(如图1－2)；偶函数的图象关于y 轴对称(如图1－3).图1－2 图1－3例3 判断下列函数的奇偶性 (1) x x x f cos )(2=； (2) xx x f 1)(+=； (3) x x x f -=2)(. （2）单调性如果函数)(x f 在区间(, )a b 内随着x 的增大而增大，即对于(, )a b 内任意两点1x 与2x ，当12x x <时，有12()()f x f x <，那么称函数)(x f 在区间(, )a b 内是单调增加的，区间(, )a b 叫做函数)(x f 的单调增加区间．如果函数)(x f 在区间(, )a b 内随着x 的增大而减小，即对于(, )a b 内任意两点1x 与2x ，当12x x <时，有)()(21x f x f >，那么称函数)(x f 在区间(, )a b 内是单调减少的，区间(, )a b 叫做函数)(x f 的单调减少区间.显然，单调增加函数的图象沿x 轴正向是逐渐上升的；单调减少函数的图象是沿x 轴正向是逐渐下降的.如图1－4为单调增加函数，图1－5为单调减少函数.在整个区间上单调增加（减少）的函数，称为这区间上的单调增（减）函数，这个区间称为这个函数的单调区间.例如，指数函数xe y =在其定义域R 内是单调增加的．而幂函数2x y =在(0, )+∞内是单调增加的，在(, 0)-∞内是单调减少的，所以在(, )-∞+∞内不是单调函数.例4 判断函数12)(2+=x x f 的单调性. （3）周期性对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得对于其定义域内的每一个x ，都有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f 是周期函数，T 称为其周期.显然，如果T 是)(x f 的周期，则nT （n 是整数）均为其周期．一般提到的周期均指最小正周期.我们常见的三角函数sin , cos y x y x ==都是以π2为周期；tan , cot y x y x ==都是以π为周期.（4）有界性设函数)(x f 在区间)(b a ，内有定义，如果存在一个正数M ，使得对于任意x ∈)(b a ，，恒有|()|f x M ≤，那么称)(x f 在)(b a ，内有界；如果不存在这样的数M ，那么称)(x f 在)(b a ，内无界.例如，函数x y sin =，存在正数1M =，使得对于任意的x R ∈，均有1|sin |≤x ,所以函数x y sin =在其定义域R 内是有界的．1.1.2 基本初等函数我们学过的幂函数αx y = (α为实数）、指数函数xy a = (0a >且1)a ≠、对数函数log a y x = (0a >且1)a ≠、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.1．幂函数αx y =（α为实数）(1) 当0α>时，函数经过两定点(0, 0)和(1, 1)，图象在第Ⅰ象限内单调增加且无界（如图1－6（1））.专业整理分享(2) 当0α<时，函数经过定点(1, 1)，图象在第Ⅰ象限内单调减少且无界（如图1－6（2））.图1－62．指数函数 (0xy a a =>且1)a ≠它的定义域为(, )-∞+∞，值域为(0, )+∞，图象经过定点(0, 1)． (1) 当01a <<时，函数单调减少且无界（如图1－7（1））． (2) 当时，函数单调增加且无界(如图1－7（2））．（1） （2）图1－73．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠它的定义域为(0, )+∞，值域为(, )-∞+∞，图象经过定点(1, 0)． (1) 当01a <<时，函数单调递减且无界(如图1－8(1))； (2) 当1a >时，函数单调递增且无界(如图1－8(2))．1)2-(1,1)x = =23(1,1)(1,0)(1,0)图1－84．三角函数(1) 正弦函数x y sin =定义域为(,)-∞+∞，值域为[1, 1]-，奇函数，周期为2π的周期函数，有界（如图1－9）．图1－9(2) 余弦函数x y cos = 定义域为(, )-∞+∞，值域为[1, 1]-，偶函数，周期为2π的周期函数，有界（如图1－10）.图1－10(3) 正切函数x y tan =专业整理分享定义域为{|, , }2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，值域为(, )-∞+∞，奇函数，周期为π的图1－11 图1－12(4) 余切函数x y cot =定义域为{|, , }x x R x k k Z π∈≠∈，值域为(, )-∞+∞，奇函数，周期为π的周期函数，无界（如图1－12）．5．反三角函数（1）反正弦函数x y arcsin =定义域为[1, 1]-，值域为, 22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，奇函数，单调增加，有界（图1-13）. （2）反余弦函数x y arccos =，定义域为[1, 1]-，值域为[0, ]π，非奇非偶函数，单调减少，有界（图1-14）. （3）反正切函数x y arctan =定义域为(, )-∞+∞，值域为, 22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，奇函数，单调增加，且有界（图1-15）. （4）反余切函数定义域为(, )-∞+∞，值域为(0, )π，非奇非偶函数，单调减少，有界（图1-16）.2图1-13 图1-14图1-15 图1-161.1.3 复合函数、初等函数1．复合函数在同一问题中，两个变量的联系有时不是直接的，而是通过另一变量间接联系起来的. 例如：某汽车每公里油耗为a 公升，行驶速度为v 公里/小时.汽车行驶的里程是其行驶时间的函数：vt s =，而汽车的油耗量又是其行驶里程的函数：as y =．于是，汽车的油耗量与汽车行驶时间之间就建立了函数关系：avt y =.这时我们称函数avt y =是由as y =与vt s =复合而成的复合函数.一般地，设)(u f y =是u 的函数，)(x u ϕ=是x 的函数，如果)(x u ϕ=值域与)(u f y =定义域的交集非空，则y 通过中间变量u 成为x 的函数，我们称y 为x 的复合函数.记作)]([x f y ϕ=. 其中u 称为中间变量.例5 指出下列函数的复合过程和定义域：(1) )1(log 2x y a +=；(2) x y 2sin =.xxx专业整理分享例6 已知u y lg =，2sin , u v v x ==，将y 表示成x 的复合函数. 2．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限复合运算构成的，并且能用一个解析表示的函数称为初等函数.例如：)2(log 12x xy a ++=，x y -=3，x x y ln =等都是初等函数. 1.1.4 建立函数关系举例为了解决应用问题，先要给问题建立数学模型，即建立函数关系．为此需要明确问题中有因变量与自变量，再根据题意建立等式，从而得出函数关系，再确定函数的定义域．应用问题的定义域，除使函数的解析式有意义外，还要考虑变量在实际问题中的含义.下面就一些简单实际问题，说明建立函数关系的过程.例7 某市场对西红柿的批发价格如下规定：批发量在50千克以下为1元/千克；批发量在100千克以下超过50千克的部分为0.8元/千克；批发量超过100千克的部分为0.5元/千克．设批发量为x 千克，总费用为y 元，试建立y 与x 的函数关系.例8 一物体作直线运动，已知所受阻力f 的大小与其运动速度v 成正比，方向相反．设物体的速度为100米/秒时，所受阻力为98.1牛顿，试建立f 与v 的函数关系.例9 公共电话收费问题.在公共电话亭打市内电话，每3min 收费0.4元，不足3min 按3min 收费，求电话收费与用时t 的函数关系.1.2 函数的极限1.2.1 数列的极限数列（整标函数）可以看作是)(n f x n =按自然数顺序列出的一串函数值：12, , , , n x x x .现在来考察当自变量n 无限增大时，数列)(n f x n =的变化趋势.试看下面几个下例子：(1) 12n n x =，即12，14，18，116，…，12n ，…； (2) 1(1)n n n x n -+-=，即2，21，43，43，…，1(1)n n n -+-，…；(3) 2n x n =，即2，4，6，…，2n ，…；(4) 1(1)2n n x +-=，即0，1，0，1，…，1(1)2n+-，….通过仔细观察可以发现，当n →∞时，这几个数列的变化情况是大不相同的．数列(1)随着n 的无限增大，12n n x =无限接近常数0；数列(2)随着n 的无限增大，1(1)n n n x n -+-=无限接近常数1；数列(3)、(4)随着n 的无限增大，都不能无限接近于某一个确定的常数，当n →∞时，数列2n x n =的值也无限增大，数列1(1)2nn x +-=的值在0与1两个数上来回跳动.为清楚起见，我们把表示(1)、(2)这两个数列的点分别在数轴上描出一些(图1－18,1－19).图1－182481632图1－19可以看出，当n 无限增大时，数列12n nx =在数轴上的对应点逐渐密集在0x =右侧，即数列12n n x =无限趋近于0；数列1(1)n n n x n -+-=在数轴上的对应点逐渐密集在1x =附近，即数列1(1)n n n x n-+-=无限趋近于1．总之，当n 无限增大时，数列(1)、(2)都趋近于一个常数，这种数列称其为有极限；当n 无限增大时，数列(3)、(4)都不趋近于一个常数，这种数列称为无极限．一般地，有下面定义．定义1.1 设数列｛n x ｝，如果当n 无限增大时，n x 无限趋近于一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列｛n x ｝以A 为极限，记作A x n n =∞→lim 或 ()n x A n →→∞．此时，也称数列｛n x ｝是收敛的；如果数列｛n x ｝没有极限，就称其为发散的．因此，当n →∞时，1n x n =的极限是0，可记作1lim 0n n →∞=；1n nx n =+的极限是1，可记作lim 11n nn →∞=+；而数列2n x n =和1(1)2n n x +-=没有极限，没有极限的数列，也说数列的极限不存在．例1 观察下面数列的变化趋势，写出它们的极限：（1）nx n 1=； （2）312nx n -=； （3）nnn x 21)1(-=； （4）3=n x .一般地，任何一个常数数列的极限就是这个常数本身，即C C n =∞→lim （C 为常数）. 例2（无穷递缩等比数列的求和公式）设数列231, , , , , , n a aq aq aq aq -．其中首项01≠a ，公比1q <，求其所有项的和S ．1.2.2 函数的极限1221 34 656871．当∞→x 时,函数()y f x =的极限例3 考察当x →∞时,函数xx f 1)(=的变化趋势． 定义1.2 如果当x 的绝对值无限增大（即x →∞）时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 就叫做函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作A x f x =∞→)(lim （或当x →∞时，()f x A →）.有时，x 的变化趋向只取+∞→x 或x →-∞中的一种情况.因此，类似地有下面的定义.定义1.3 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作A x f x =+∞→)(lim （或当+∞→x 时，()f x A →）.定义1.4 如果当x →-∞时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当x →-∞时的极限，记作lim ()x f x A →-∞=（或当x →-∞时，()f x A →）.于是，由图1－20可以看出111limlim lim 0x x x x x x→∞→+∞→-∞===. 可以证明：若lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==，则A x f x =+∞→)(lim ．反之也成立.例4 求lim xx e →-∞和lim xx e →+∞.2．0x x →时函数的极限为了研究方便，下面介绍邻域的概念．设δ是任一正数，开区间00(, )x x δδ-+叫做点0x 的δ邻域，记作0(, )U x δ，其中0x 叫做邻域中心，δ叫做邻域半径．去掉邻域中心的邻域叫做去心邻域．下面研究当0x x →时，函数()f x 的极限．0x x →表示x 无限趋近于定值0x （0x x ≠），它包含两种情况：(1) x 从大于0x 的一侧趋近于0x ，记作0x x +→； (2) x 从小于0x 的一侧趋近于0x ，记作0x x -→.例5 考察当3x →时，函数()13xf x =+的变化趋势. 定义1.5 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义(0x 可以除外)，如果当x 无限趋近于定点0x （x 可以不等于0x ）时，函数值无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 就叫做函数)(x f y =当0x x →时的极限．记作lim ()x x f x A →=（或当0x x →时，()f x A →)．需要注意：函数在点0x 的极限状况与函数在该点是否有定义及如何定义无关. 例6 讨论极限C x x 0lim →和x x x 0lim →.解 因为函数C y =是常量函数，函数值恒等于常数C ，所以C C x x =→0lim .因为函数x y =的函数值与自变量相等，所以当0x x →时函数值x y =也趋于0x ，因此00lim x x x x →=.例7 考察极限)211(lim 2x x +→.3．0x x →时函数()y f x =的左极限与右极限定义1.6 如果当0x x -→时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 就叫做函数)(x f 当0x x →时的左极限，记作A x f x x =-→)(lim 0（或当0x x -→时，()f x A →）.如果当0x x +→时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 就叫做函数)(x f 当0x x →时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=（或当0x x +→时，()f x A →）.一般地，当0x x →时，函数)(x f 在点0x 处的极限与左极限、右极限的关系为)(lim 0x f x x -→＝A x f x x =+→)(lim 0⇔A x f x x =→)(lim 0.也就是说，如果函数)(x f 在点0x 处的左、右极限都存在且相等，那么函数)(x f 在点0x 处的极限存在，且与左、右极限相等；反之，如果那么函数)(x f 在点0x 处的极限存在，那么函数)(x f 在点0x 处的左、右极限都存在，且与函数的极限相等.例8 讨论当x →0时，函数,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的极限.例9 讨论当0x →时，函数1, 0,()0, 0,1, 0.x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的极限.例10 讨论当3x →时，函数39)(2--=x x x f 的极限.1.3 极限的运算1.3.1 极限运算法则利用极限的定义只能求一些简单函数的极限，对于复杂函数的极限却无法解决．下面介绍极限的运算法则，进而解决复杂函数的求极限问题．设0lim (),lim ()x x x x f x A g x B →→==，则(1) 0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±；(2) 0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅；(3) 000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x A g x g x B→→→== )0(≠B ；(4) 0lim ()lim ()x x x x Cf x C f x CA →→== （C 为常数）；(5) 00lim[()]lim ()nnnx x x x f x f x A →→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦（n 为正整数）．以上结论仅就0x x →时加以叙述，对于自变量x 的其它变化过程同样成立．其中，法则（1）、（2）可以推广到有限个函数的情况.例1 求极限)32(lim 2+→x x ．例2 求极限633lim 221+++→x x x x ．例3 求极限39lim 23--→x x x ．例4 求极限15263lim 22++++∞→x x x x x ．例5 求极限2212lim 32++++∞→x x x x x ．例6 求极限34252lim 23----∞→x x x x x ．由以上三例，可得一般结论（0,000≠≠b a ）：10110101100 (),lim (), ().n n n n mm x m m n m a x a x a x a a n m b x b x b x b b n m ---→∞-⎧<⎪++++⎪==⎨++++⎪⎪∞>⎩.1.3.2 两个重要极限1．极限1sin lim0=→xxx例7 求极限x xx 32sin lim 0→．例8 求极限x xx tan lim 0→．例9 求极限20cos 1lim xxx -→． 例10 求x x x 1sin lim ∞→．一般地，sin(())lim1()f x f x =，这就是说不论在怎样的情况下，只要lim ()0,f x =这种特定形式的极限均为1.2．极限e xxx =+∞→)11(lim例11 求极限xx x)11(lim -∞→．例12 求极限xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→21lim ．例13 求极限13)211(lim +∞→+x x x．1.4 无穷小量与无穷大量1.4.1 无穷小量1．无穷小量的定义在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量.例如，当关掉电源时，电扇的扇叶会逐渐慢下来，直至停止转动；又如，电容器放电时，其电压随时间的增加而逐渐减少并趋近于零；再如，用抽气机来抽容器中的空气，容器中的空气含量将随着时间的增加而逐渐减少并趋近于零.对于这种变量，给出下面的定义.定义1.7 如果当0x x →（或∞→x ）时， ()0f x →，则称当0x x →（或∞→x ）时，函数)(x f 为无穷小量，简称无穷小，通常用, , αβγ等表示.例如，当0→x 时，函数2, 2x x 都是无穷小；当1→x 时，函数1-x ，12-x 都是无穷小；当∞→x 时，函数x1是无穷小量. 应当注意：(1) 无穷小是以零为极限的函数．当我们说函数)(x f 是无穷小量时，必须同时指明自变量x 的变化趋向．例如，当∞→x 时，函数1()f x x=是无穷小量，而当1→x 时，函数1()f x x=就不是无穷小量. (2) 常数中只有“0”是无穷小，这是因为 0()lim 00x x →→∞=.而对其它函数，尽管它的值可以很小，因其值已取定（不为零），极限都不是0，因此都不能说成是无穷小.2．无穷小量的性质（1）有限个无穷小的代数和是无穷小. （2）有限个无穷小的乘积是无穷小. （3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例1 求极限xx x 1sinlim 0→. 3．无穷小与函数极限的关系定理 函数)(x f 以常数A 为极限的充分必要条件是)(x f 可以表示为A 与一个无穷小α之和.即α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0，其中0lim )(0=∞→→αx x x .例如11lim=+∞→x x x ，x x x 111+=+，x1=α，而01lim =∞→x x .4．无穷小的阶无穷小虽然都是趋近于0的变量，但不同的无穷小趋近于0的速度却不一定相同，有时可能差别很大.如当时，2, 2, x x x 都是无穷小，但它们趋近于的速度却不一样，列表如下：→0 x 比x 与2x 趋近于0的速度都快得多.快慢是相对，是相互比较而言的，下面通过比较两无穷小趋于0的速度引入无穷小的阶的概念.定义1.8 设, αβ是同一过程中的两个无穷小.如果lim0βα=，则称β是比α较高阶的无穷小. 如果lim 0c βα=≠，则称β与α是同阶的无穷小.特别是当1c =时，称β与α是等价无穷小，记作αβ.如果lim βα=∞，则称β是比α较低阶的无穷小.例如，200lim lim 0x x x x x →→==，所以当0x →时，2x 是比x 较高阶的无穷小量.反之，当0x →时，x 是比2x 较低阶的无穷小量.又如，01lim 22x x x →=，所以当0x →时，x 与2x 是同阶无穷小量.1.4.2 无穷大量1．无穷大量的定义定义1.8 如果当0x x →（或∞→x ）时，函数)(x f 的绝对值无限增大，则称当0x x →（或∞→x ）时，函数)(x f 为无穷大量，简称无穷大．例如，当1→x 时，函数11-x 是无穷大量.应当注意：(1) 说函数)(x f 是无穷大量，必须同时指明自变量x 的变化趋势.例如，当1→x 时，函数11)(-=x x f 是无穷大量，但当∞→x 时，函数11)(-=x x f 就不是无穷大量.(2) 一定要把绝对值很大的数与无穷大量区分开.因为绝对值很大的数，无论多么大，都是常数，不会随着自变量的变化而绝对值无限增大，所以都不是无穷大量.根据定义，函数)(x f 是无穷大时，其极限是不存在的，但为了便于叙述，我们常说函数)(x f 的极限是无穷大，并记作∞=∞→→)(lim )(0x f x x x .如果当0x x →（或∞→x ）时，)(x f 取正值而无限增大，记作+∞=∞→→)(lim )(0x f x x x .如果当0x x →（或∞→x ）时，)(x f 取负值而绝对值无限增大，记作-∞=∞→→)(lim )(0x f x x x .例如，当∞→x 时，函数2()f x x =取正值而无限增大，所以)(x f 是∞→x 时的无穷大量，记作+∞=∞→2lim x x ；当+→0x 时，函数()lg f x x =取负值而绝对值无限增大，所以)(x f 是+→0x 时的无穷大量，记作-∞=+→x x lg lim 0.2．无穷大与无穷小的关系为了说明无穷大与无穷小的关系，我们先考察下面的例子： 当∞→x 时，函数1()f x x=是无穷小，而函数()f x x =则是无穷大；当1→x 时，函数11)(-=x x f 是无穷大，而函数()1f x x =-是无穷小. 一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 是无穷大量，那么)(1x f 是无穷小量；如果)(x f 是无穷小量，且()0f x ≠，那么)(1x f 是无穷大量. 例2 求极限112lim1--→x x x .例３ 求极限)23(lim 2+-∞→x x x .1.5 函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，它反映了许多自然现象的一个共性．例如气温的变化、动植物的生长、空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着的.这些现象反映在数学上，这是函数的连续性.1.5.1 连续函数的概念1．函数的增量设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 从0x (称为初值)变化到1x (称为终值)时，终值与初值之差10x x -称为自变量的增量(或改变量)，记为10x x x ∆=-.相应地，函数的终值1()f x 与初值0()f x 之差1000()()()()f x f x f x x f x -=+∆-称为函数的增量，记为)()(00x f x x f y -∆+=∆.容易理解，增量可以是正值，可以是负值，也可以是零.例1 设231y x =-，求适合下列条件的自变的增量x ∆和函数的增量y ∆： （1）x 从1变到1.5时；（2）x 从1变到0.5时；（3）x 从1变到x ∆+1时. 2．函数)(x f 在点0x的连续性函数)(x f 在点0x 连续，反映到图形上即为曲线在0x 的左右近旁是连绵不断的，如（图1－26）所示，给自变量一个增量x ∆，对应就有函数的增量y ∆，且当x ∆趋于0时，y ∆的绝对值将无限变小．图1－26定义1.10 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果在0x 点自变量的增量x ∆趋于0时，相应函数的增量y ∆也趋于0，即0lim 0=∆→∆y x ，那么，称函数)(x f y =在点0x 连续．例2 利用定义证明函数12+=x y 在点1x =处连续．令x x x ∆+=0，则当0x ∆→时，0x x →，同时0()()0y f x f x ∆=-→时，0()()f x f x →．于是，函数)(x f y =在点0x 处连续可描述成下面的定义. 定义1.11 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果当0x x →时，函数)(x f 的极限存在，且等于)(x f 在0x 点的函数值)(0x f ，即)()(lim 00x f x f x x =→，那么，称函数)(x f y =在点0x 处连续.由定义可以看出，函数)(x f y =在点0x 处连续，必须同时满足如下条件： (1) 函数)(x f y =在点0x 处必须有定义； (2) 函数)(x f y =在点0x 处必须有极限；(3) 函数)(x f y =在点0x 处的极限值必须等于它在点0x 处的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→.函数()f x 在点0x 处连续和函数()f x 当0x x →时有极限的区别.函数()f x 在点处连续能保证0lim ()x x f x →存在，同时还能保证()f x 在点0x 有定义，并且极限值为函数值0()f x .反之，仅当0lim ()x x f x →存在时，()f x 在点0x 处不一定连续，甚至()f x 在0x 处可能没有定义，所以，函数()f x 在0x x →时有极限，是()f x 在点0x 处连续和必要条件.如果00lim ()()x x f x f x -→=，则称函数()f x 在点0x 处左连续. 如果00lim ()()x x f x f x +→=，则称函数()f x 在点0x 处右连续. 函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是()f x 在点0x 处既左连续又右连续. 3．函数)(x f 在区间的连续性如果函数)(x f y =在区间(, )a b 内的任一点都连续，那么称函数)(x f y =在区间(, )a b 内连续．此时，函数)(x f y =叫做区间(, )a b 内的连续函数，区间(, )a b 叫做)(x f y =的连续区间.如果函数)(x f y =在闭区间[], a b 上有定义，在区间(, )a b 内连续，且在区间的左端点a 处右连续，即lim ()()x af x f a +→=，在区间的右端点b 左连续，即lim ()()x bf x f b -→=，那么称函数)(x f y =在闭区间[], a b 上连续.1.5.2 函数的间断点专业整理分享如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，那么称函数)(x f y =在点0x 处间断，点0x 称为函数)(x f y =的间断点． 由函数连续的定义可知，函数在0x 点间断有下列几种情况：(1) 函数)(x f 在点0x 处没有定义；(2) )(lim 0x f x x →不存在； (3) 虽然)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 即在点0x 处出现上述一种或几种情况时，点0x 是函数)(x f 的间断点．例3 判断函数xx f 1)(=在点0=x 处连续性. 例4 判断函数22,0,()1,0,x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩在点0=x 处的连续性． 例5 判断函数24,2,()23,3,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩在点2x =处的连续性.1.5.3 初等函数的连续性1．基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.例如指数函数 (0xy a a =>且1)a ≠在定义域(, )-∞+∞内是连续的．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠在定义域(, )-∞+∞内是连续的.2．连续函数的和、差、积、商的连续性可以证明，连续函数经过四则运算仍然是连续函数，即若函数)(x f 、)(x g 在点0x 处连续，则()()f x g x +、()()f x g x -、()()f x g x ⋅、()()f x g x （()0g x ≠）在点0x 处都是连续的.3．复合函数的连续性如果函数()u x ϕ=在点0x 处连续，而函数)(u f y =在对应点00()u x ϕ=处连续，那么复合函数[()]y f x ϕ=在点0x 处也是连续的．即000lim [()][lim ()][()]x x x x f x f x f x ϕϕϕ→→==. 上式说明，求复合函数的极限时，函数记号与极限记号可以交换运算次序，也可以直接代入求值．例6 求极限4limsin 2x x π→.例7 求极限1limln(1)x x x →+. 4．初等函数的连续性根据以上所述，可以得出：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数()y f x =，当0x 是其定义域内的点时，就有00lim ()()x x f x f x →=，即求连续函数的极限时只需把0x 直接代入函数式求出函数值即可.例8 求极限21lim(31)x x x →+-. 例9 求极限213lim x x -→.例10 求极限2limlnsin x x π→. 1.5.4 闭区间上连续函数的性质1．最大值和最小值性质闭区间上的连续函数，一定取得最大值和最小值．如图1－27所示，函数)(x f y =在闭区间[, ]a b 上连续，那么至少存在一点1[, ]x a b ∈，使得函数)(x f y =在点1x 处取得最大值．即对于任意的[, ]x a b ∈，都有1()()f x f x ≥；又至少存在一点2[, ]x a b ∈，使得函数)(x f y =在点2x 处取得最小值．即对于任意的[, ]x a b ∈，都有()()f x f x ≤.图1－27专业整理分享 2．介值性质如果函数)(x f y =在闭区间[, ]a b 上连续，M 和m 分别是函数)(x f y =在[, ]a b 上的最大值和最小值，那么对于任意介于M 和m 之间的常数c ，至少存在一点(, )a b ξ∈，使得c f =)(ξ.特别地，如果函数)(x f y =在闭区间[, ]a b 上连续，且函数在两端点的函数值()f a 与()f b 异号，那么至少存在一点(, )a b ξ∈，使得0)(=ξf .由图1－28可以看出，曲线)(x f y =连续地从负值()f a 变到正值()f b ，必定要与x 轴相交(至少相交一次)，交点的横坐标1ξ、2ξ、3ξ处的就是性质中的ξ． 图1－28例11 证明方程330x x -+=在(2, 1)-内至少有一个根.。
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第一讲 函数、极限与连续一、考试要求1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存 在与左、右极限之间的关系。
6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。
7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。
8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数: y=f(u), u=ϕϕ()[()]x y f x ⇒=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。
（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。
特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则⎰xdt t f 0)(为奇函数；若)(x f 为奇函数，则⎰xadt t f )(为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。
特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。
4、若f(x+T)=f(x), 且0)(0=⎰T dt t f ，则⎰xdt t f 0)(仍为以T 为周期的周期函数.5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰⎰⎰-+==2/2/0)()()(T T TTa adxx f dx x f dx x f ，⎰⎰=TnTdxx f n dx x f 0)()(6、 若)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(；若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aa adxx f dx x f 0)(2)(7、设)(x f 在),(b a 内连续且)(),(-+b f a f 存在，则)(x f 在),(b a 内有界。
2、 极限(1) 数列的极限： lim n n a A →∞=(2) 函数在一点的极限的定义：lim (),lim ()x x x f x A f x A →→∞==0(3) 单侧极限: 1) 左右极限f x f x (),()0000-+2) 极限存在的充要条件：lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A →→→=⇔==-+(4) 极限存在的准则1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形 2) 单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算 *1）极限不等式 )(lim )(lim )()(x g x f x g x f ≤⇒≤注：)(lim )(lim )()(x g x f x g x f <⇒<不成立 2）局部保号性,0)(lim 0>=→A x f x x 则在某)(00x U 内)2(0)(A x f >3）局部有界性 ,)(lim 0A x f x x =→则在某)(00x U 内)(x f 有界。
4）)0()()(lim →+=⇔=ααA x f A x f(6) 两类重要极限(7) 无穷小量与无穷大量1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （注意与无界变量的差异） 3) 无穷小量与无穷大量的关系 (8) 无穷小量阶的比较 (9) 罗比达法则3、连续1) 连续的定义2) 区间上的连续函数 3) 间断点及其分类4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理三、 * 重要公式与结论1、常见极限不存在的情形：1) ,1sinlim 0x x x x -→,1coslim 0x x x x -→lim sin ,x x →∞lim cos x x→∞方法：用无穷小量乘有界变量 2） 01lim ,1arctanlim ,arctan lim x x x x x x x ax x x -→→∞→-方法：分-∞→+∞→x x ,或+-→→00,x x x x 讨论. 2 、 lim (),,lim ()x x n n n n f x A x x x f x A →→∞=⇔∀→=00有特别：若lim ()lim ()x n f x A f n A →+∞→∞=⇒=3、 无穷小量的等价代换 若0)(→x α，则有)(~),(~)](1ln[),(~)(tan ),(~)(sin )(x ex x x x x x x αααααααα+特别注意： kx x k ~1)1(-+（→0)，⎰xx tdt 0221~sin （0→x ）， ⎰+x x dt t 0221~)1ln( （0→x ）a eaaln ~11ln ααα-=-，αα21~11-+设0)(→x α，0)(→x β且α～α'，β～β' (1) )()(lim )()(lim x f x x f x αα'= (2) )()()(lim)()()(limx f x x x f x x βαβα''=(3) ααα~)(o +（0712）当+→0x 时，与x 等价的无穷小量是 （A ）xe -1 （B ）xx -+11ln（C ）11-+x （D ）x cos 1-4 、 若 .)(lim )(lim ,0)(lim )(B x g A x f B x g A x f =⇒=>=由此有 .)]1)((1[lim )1()(lim )()1)((lim )()1)((1)(1)(x g x f x g x f x f x g ex f x f --⋅-∞=-+=5、极限的形式与关系（1）A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0（2）A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim（3）A n f A x f n x =⇒=∞→+∞→)(lim )(lim ，A nf A x f n x =⇒=∞→→+)1(lim )(lim 06、若A x g x f =)()(lim，则 (i) 0)(lim 0)(lim =⇒=x f x g(ii) 0)(lim 0,0)(lim =⇒≠=x g A x f若A x g x f =)()(lim ，则(i) 0)(lim )(lim =⇒∞=x g x f(ii) ∞=⇒≠=)(lim 0,0)(lim x g A x f 7、设)(x f 在0x 处连续，则（1）)()(lim )(lim ),()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ===-+→→→（2）A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→)(,0)()(lim0000（3）0)(,0)()1()()(lim0000='=⇒>=-→x f x f k A x x x f kx x （4）)(,0)()10()()(lim0000x f x f k A x x x f kx x '=⇒<<=-→不存在四、 典型题型与例题题型一、 函数的概念和性质 例1、设1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则{[()]}f f f x =（A ） 0 （B ） 1 （C ） 11,10,x x ≤⎧⎨≥⎩ （D ） 10,11,x x ≤⎧⎨≥⎩例2、对下列函数 （1）2sin x x（2）12111xx ex --- （3） arctanln(1)x x x -在（0，1）内有界的有（ ）个 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3例3、（0434）函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（A ）（-1，0） （B ）（0，1） （C ） （1，2） （D ）（2，3）例4、（0534）以下四个命题中正确的是（ ） （A ） 若'()f x 在（0，1）内连续，则()f x 在（0，1）内有界 （B ） 若()f x 在（0，1）内连续，则()f x 在（0，1）内有界 （C ） 若'()f x 在（0，1）内有界，则()f x 在（0，1）内有界 （D ） 若()f x 在（0，1）内有界，则'()f x 在（0，1）内有界例5、（051、2）设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，则必有 （A ）()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 （B ）()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数（C ）()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数 （D ）()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数题型二、 极限的概念和性质 例6、 当0x →时，311cosxx是（A ） 无穷小 （B ）无穷大（C ）有界的但不是无穷小（D ）无界的但不是无穷大例7、设对n ∀，总有n n n y x z ≤≤，且lim ()0n n n z y →∞-=，则 lim n n x →∞（A ） 存在且等于0 （B ）存在但一定不为0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在例8、已知()f x 在0x =处连续，且2sin ()lim ()2x x f x xx→+=，求'(0),(0)f f题型三、求函数的极限 基本思路： 1、先化简（1）约掉零因子（无穷因子） （2）提出极限不为零的因子 （3）根式有理化 （4）无穷小替换（5）变量替换（尤其是倒代换） 2、再用洛必达法则或其它求极限的方法 3、上述步骤可重复进行 1、 常规方法： 1) 运算法则，2)无穷小量等价代换， 3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题 例9、 求极限 limsin x x x x x x→-∞+-+++41122例10、 求极限))1ln(sin 12(lim 41x x e e xxx ++++→罗毕达法则1、00或∞∞型1、先化简2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式3、综合题（结合导数的定义等） 例11、求 lim(3sin cos )(1cos )arctan[ln()]()x xxt t tdtx t dt →+++⎰⎰021100例12、 求极限 limln(1sin )()sin x x xe ex →-+0300例13、（042）求极限312cos lim [()1]3xx xx→+-例14、（0734）3231lim(sin cos )2xx x x x x x→+∞++++=罗毕达法则2、1∞ 型1∞型未定式有两种处理方法lim ()lim {(())}()()(())()lim [()]()f x f x eg x f x f x g x f x g x =+-=--⋅-111111或 lim ()lim ()()ln ()lim ()ln ()f x e e g x f x g x f x g x ==例15、求2sin2lim (cos )x x x -→例16、11lim (sincos)xx xx→∞+例17、（101）极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 . (B)e . (C)a b e -. (D)b a e -. 【 】罗毕达法则3、其他类型000,,0,⋅∞∞-∞∞ 1、∞⋅0型转化为⎪⎭⎫⎝⎛∞∞00型，用洛必达法则等 2、∞⋅⋅=∞=ln 000ln 00,0e e3、∞-∞型 (i) 通分 (ii) 变量替换（重点倒代换） 转化为⎪⎭⎫⎝⎛∞∞00型。