近似算子

四算子研究
算子方程是矩量法建模的关键，它应该有两个方面的要求：一方面算子方程必须符合物理（或工程）问题的主要本质；另一方面它又必须适合数值计算。

这两方面构成了算子研究的基础。

1. 近似算子
近似算子含义相当广泛。

作为例子，可采用有限差分取代微分。

()()
()()()[]()
35-7-5 21
221)(34-17-5 221)(2
''2
2
x x u x u x x u x x x u x x u x dx
x u d x x u x x u x dx
x du ∆-+-∆+∆≈
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
∆--⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆≈
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
∆--⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆≈
[例5] 研究()g u L =的Harrington 问题，即()()010,41,2
2
2==+=-=u u x g dx
d L ，试采
用差分近似算子L L a ≈，脉冲展开点选配的矩量法求解。

[解] 为确保()()010==u u 的边界条件，在两端各保留出半段为强制置零段。

因此当选择N 个脉冲函数时，全部区域（0，1）应分成（Ｎ＋１）段，即 1
1+=∆N x
于是有
()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1121112x x u x u x x u N u L a
且做点选配有
()1
,+=
-=N m x x x m m m δω
这样，可以获得矩阵单元mn l 的表达式
()()
()dx x x N n x P N n x P N n x P N dx
P L l m n a m mn -⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+==
⎰
⎰
δω1
2
1
1112111
()()dx x x x gdx g m
m
m -+=
=
⎰⎰δω
1
1
2
41
可以归纳为
()()⎪⎩
⎪⎨⎧>=+-=+=1|n -m | 01|n -m | 1n
m 122
2N N l mn
2
141⎪⎭
⎫
⎝⎛++=N m g m
情况1：1=N
2,8111==g l
于是得到
25.0411==
α
对比
270833.048
13210==⎪⎭⎫ ⎝⎛u 这里的()x u 1和()x u 0的对比如图5—17－16所示。

x
图5－17－16 ()x u 1和()x u 0
表面看来，与图5－17－13类似，实际上脉冲函数和三角形函数意义有很大不同，又注意到图5－17－16中⎪⎭⎫ ⎝⎛
41,
0和⎪⎭
⎫
⎝⎛0.1,43各强制置零半段。

情况2：2=N
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=251391g 189
918
l
于是有
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2592592.02098765.0567459218712513189
9182187121αα 对比 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2674897.0218107.0323
100u u ()x u 2和()x u 0的对比如图5－17－17所示。

图5－17－17 ()x u 2和()x u 0
情况3：3=N
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=13854
1g 3216
163216
01632l
于是
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234375
.0265625.0171875
.015360
17408
11264
6553611385768512
256
5121024512256512768
655361321ααα x
6
3
2
3
6
1
作为对比有
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2382812.02708333
.01757812.043214
1000u u u ()x u 3和()x u 0的对比如图5—17－18所示。

图5－17－18 ()x u 3和()x u 0
x
8
4
8
2
8
1
4
8。