六年级数学竞赛上册奥数高思第10讲立体几何(彩色)

六年级上册第10讲
10立体几何
首先，我们来复习长方体、正方体的体积与表面积的计算方法．
图形体积表面积
c V=abc
长方体S=2×(ab+bc+c a)
长方体
a b
V=a=
3 S6a
2
正方体正立方体
a
70身体健康
立体几何
课本例题1
将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个实心铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．请问：这个大正方
体的体积是多少立方厘米？
分析所给的每个正方体的棱长是多少？体积是多少？熔铸成一个大正方体的
体积怎么求？
练习
1.3个相同的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积为350平方厘米，那么每个正方体的体积是多少立方厘米？
例题2
一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；
如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积
增加96立方厘米．请问：这个长方体的表面积是多少平方厘米？
分析我们先考虑第一种情况，长增加2厘米，高和宽保持不变．如下图（1），多出的体积用虚线表示，我们就会发现，这一块的体积为2×高×宽=40（立方厘米），由此可以求出左右两个侧面的面积．当然另两对侧面也可以用类似的方法求出．
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71身体健康
六年级上册第10讲
练习
2.一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积将减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积将增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积则会增加352立方厘米．那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？
例题3
有30个棱长为1米的正方体，如图所
示堆成一个四层的立体图形．请问：该立体图形的表面
积等于多少平方米？
分析所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积．我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了．
练习
3.把棱长为1厘米的正方体，像下图这样层层重
叠放置，那么当重叠到第五时，这个立体图形的表
面积是多少平方厘米？
三视图
众所周知，一个物体从正面看与从后面看，从左边看与从右边看、从上面看与从下面看得到的图形都是相同的，于是我们把从正面、左面、上面看过去得到的图形，
分别叫做正视图、左视图、俯视图，三个图形合起来我们就称之为三视图．
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72身体健康
立体几何
课本
那么请同学们想一想，一个圆锥的三视图是什么样子的呢？给定了三视图，它所对应的物体形状是不是唯一确定的呢？如果一个物体的三视图如下所示，它的形
状又可能有哪几种呢？
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例题4
一个正方体被切成24个大小形状相同的小
长方体（见右图），这些小长方体的表面积之和为162平方
厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？
分析我们先来分析一下切成小块的过程中，图形的表面积是如何变化的．同
学们请看下图：
一刀下去，正方体被一分为二．表面积和原来相比，正好多出了A、B 两个面．不难看出，这两个面的面积都等于原正方体6个面中1个面的面积．按这种方法，每切一刀，增加的都是两个面的面积．同学们可以计算一下，按如
图的方式切了6刀后，表面积究竟增加了多少？
练习
4.如图所示，有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀．切完第
一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二
刀后得到的四个小长方体的表面积之和是632平方厘米，切完第三刀
后得到的八个小长方体的表面积之和是752平方厘米．那么在原来长
73身体健康
六年级上册第10讲
方体的6个面中，面积最小的面是多少平方厘米？
除了长方体、正方体之外，圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见．
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如图，圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高．圆锥的圆面叫做底面；尖点叫做顶点；顶点到底面的距离叫做高；顶点到底面圆周上任意一点的连线叫做母线．关于圆锥的内容，我们不作深入的学习，同学们只需要学会如何计算它的体积即可．
立体图形体积侧面展开图
h V
圆柱= 底面积×高= r2h
圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高．
r
圆锥的侧面展开图为扇形，半
h
r V圆锥=
1
3
1
3
×底面积×高
2h
径为母线（不是圆锥的高！），弧
长为圆锥底面周长．
（注：圆锥侧面展开只需了解，
不需掌握）
大家可以把圆柱想象成一个底面是圆形的柱子，那其他柱体也就
是底面是其他图形的柱子．如图，所有“上下一般粗”的图形都称为柱体，
图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱，它们的体积计算公式都是：
V= 底面积×高
埃及金字塔
金字塔是4000多年前古埃及法老的陵墓，因为其造型的雄伟和年代的久远，被誉为
世界七大奇迹之首．其中最大的一座是兴建于公元前2760年的胡夫金字塔．据历史学家推测，当年建造这座金字塔一共动用了10万人的劳力，前后历时30年，才得以竣工．
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立体几何
课本
在胡夫金字塔的东南面还有著名的狮身人面像，是法老胡夫的儿子哈佛拉的形象．两者
交相辉映，甚为壮观．
从形状上看，胡夫金字塔是一个正四棱锥，底座是一个正方形，侧面是4个形状一
胡夫金字塔侧视图胡夫金字塔俯视图
模一样的等边三角形．正方形底座每边长约230米，塔高约147米，有将近50层楼高！这么一个庞然大物，它的体积究竟是多少呢？
例题5
张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤．今年他改用长3米、宽2米的长方形苇席来围，
也同样围成容积最大的圆柱囤．请问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积
的多少倍？
分析用长方形苇席成圆柱体的粮囤只有两种围法，如下图所示．用去年的
苇席怎样围，得到的圆柱体粮囤最大？用今年的苇席呢？
练习
5.有一根长为20厘米、底面直径为6厘米的圆柱体钢材，在
它的两端各钻一个深为4厘米、底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，
做成一个零件（如右图）．这个零件的体积为多少立方厘米？
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六年级上册第10讲
例题6
一个底面长30分米、宽10分米、高12分米的长方形水池，存有四分之三的池水．
（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高
度变为几分米？
（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了几分米？
（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了几分米？
分析圆柱放入水中可能有如下几种情况：
（1）水浸没了圆柱的一部分．这时的情况如图所示：
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（2）水把圆柱都浸没了，但是水没有溢出池面，如图所示：
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（3）水溢出了水池．这时水面的新高度就是水池的高度．如图所示：
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因此，在一次次放入圆柱时，我们要做两次判断：先要判断放入圆柱后，水是否完全浸没圆柱；如果完全浸没，再判断水是否会溢出水池．然后才来求解．
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立体几何
课本
练习
6.一个底面长20分米、宽8分米、高15分米的长方
形水池，存有三分之二池水．将一个高50分米，体积400
立方分米的长方体竖直放入池中，那么长方体被水浸湿的
部分有几分米高？
思考题
右图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、
上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，做成一
种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打
穿，表面积又变成了多少平方厘米？
本讲知识点汇总
一、长方体、正方体的表面积与体积公式．
二、圆柱体、圆锥体的体积公式．
三、三视图法求表面积．
四、立体图形与排水问题．
作业
1.一个长方体的体积是120立方厘米，底面是面积为4平方厘米的正方形，求长方体的表面积．
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六年级上册第10讲
2.如图，同样大小的立方体木块堆放在房间的一角，一共垒了
10层，那么在这10层中看不见的木块共有多少个？
3.一个正方体棱长10厘米，在它的表面上挖去一个棱长3厘米的小正方体．请求出
剩下立体图形表面积的所有可能．
4.求下面图形的体积：（取＝3.14）
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5.一个圆柱形玻璃杯内装着水，水面高2.5厘米．从里面量，玻璃杯的底面积是72平方厘米．将一个棱长为6厘米的正方体铁块放入杯中，水面会淹没铁块吗？如果没有，
这时水面高多少厘米？
78。