六年级数学竞赛上册奥数高思第10讲立体几何(彩色)

六年级上册第10讲

10立体几何

首先，我们来复习长方体、正方体的体积与表面积的计算方法．

图形体积表面积

c V=abc

长方体S=2×(ab+bc+c a)

长方体

a b

V=a=

3 S6a

2

正方体正立方体

a

70身体健康

立体几何

课本例题1

将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个实心铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．请问：这个大正方

体的体积是多少立方厘米？

分析所给的每个正方体的棱长是多少？体积是多少？熔铸成一个大正方体的

体积怎么求？

练习

1.3个相同的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积为350平方厘米，那么每个正方体的体积是多少立方厘米？

例题2

一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；

如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积

增加96立方厘米．请问：这个长方体的表面积是多少平方厘米？

分析我们先考虑第一种情况，长增加2厘米，高和宽保持不变．如下图（1），多出的体积用虚线表示，我们就会发现，这一块的体积为2×高×宽=40（立方厘米），由此可以求出左右两个侧面的面积．当然另两对侧面也可以用类似的方法求出．

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2?

?

3 Щ

?

4Щ

?1??2??3?

71身体健康

六年级上册第10讲

练习

2.一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积将减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积将增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积则会增加352立方厘米．那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？

例题3

有30个棱长为1米的正方体，如图所

示堆成一个四层的立体图形．请问：该立体图形的表面

积等于多少平方米？

分析所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积．我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了．

练习

3.把棱长为1厘米的正方体，像下图这样层层重

叠放置，那么当重叠到第五时，这个立体图形的表

面积是多少平方厘米？

三视图

众所周知，一个物体从正面看与从后面看，从左边看与从右边看、从上面看与从下面看得到的图形都是相同的，于是我们把从正面、左面、上面看过去得到的图形，

分别叫做正视图、左视图、俯视图，三个图形合起来我们就称之为三视图．

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72身体健康

立体几何

课本

那么请同学们想一想，一个圆锥的三视图是什么样子的呢？给定了三视图，它所对应的物体形状是不是唯一确定的呢？如果一个物体的三视图如下所示，它的形

状又可能有哪几种呢？

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例题4

一个正方体被切成24个大小形状相同的小

长方体（见右图），这些小长方体的表面积之和为162平方

厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？

分析我们先来分析一下切成小块的过程中，图形的表面积是如何变化的．同

学们请看下图：

一刀下去，正方体被一分为二．表面积和原来相比，正好多出了A、B 两个面．不难看出，这两个面的面积都等于原正方体6个面中1个面的面积．按这种方法，每切一刀，增加的都是两个面的面积．同学们可以计算一下，按如

图的方式切了6刀后，表面积究竟增加了多少？

练习

4.如图所示，有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀．切完第

一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二

刀后得到的四个小长方体的表面积之和是632平方厘米，切完第三刀

后得到的八个小长方体的表面积之和是752平方厘米．那么在原来长

73身体健康

六年级上册第10讲

方体的6个面中，面积最小的面是多少平方厘米？

除了长方体、正方体之外，圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见．

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如图，圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高．圆锥的圆面叫做底面；尖点叫做顶点；顶点到底面的距离叫做高；顶点到底面圆周上任意一点的连线叫做母线．关于圆锥的内容，我们不作深入的学习，同学们只需要学会如何计算它的体积即可．

立体图形体积侧面展开图

h V

圆柱= 底面积×高= r2h

圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高．

r

圆锥的侧面展开图为扇形，半

h

r V圆锥=

1

3

1

3

×底面积×高

2h

径为母线（不是圆锥的高！），弧

长为圆锥底面周长．

（注：圆锥侧面展开只需了解，

不需掌握）

大家可以把圆柱想象成一个底面是圆形的柱子，那其他柱体也就

是底面是其他图形的柱子．如图，所有“上下一般粗”的图形都称为柱体，

图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱，它们的体积计算公式都是：

V= 底面积×高

埃及金字塔

金字塔是4000多年前古埃及法老的陵墓，因为其造型的雄伟和年代的久远，被誉为

世界七大奇迹之首．其中最大的一座是兴建于公元前2760年的胡夫金字塔．据历史学家推测，当年建造这座金字塔一共动用了10万人的劳力，前后历时30年，才得以竣工．