真空中的静电场
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第六章 静电场
参考教材：
《新概念物理学》电磁学 赵凯华、陈熙谋著 电磁学 梁灿彬 著
一. 电场
（1）静电场：相对于参考系或观测者静止的电 荷在其周围空间产生的电场，又叫库仑场。 （2）电荷受到电场的作用力仅由其所处的电场 决定，与其他地方的电场无关；
Leabharlann Baidu
（3）电场和磁场与实物一样，具有动量和能量， 服从一定的运动规律，可以脱离电荷和电流单 独存在，是物质的一种形式。
2
D B
r2 R Q 2 O O a P
r1
1
d
Q r P
2 r12 (1 cos 1 ) 2 r22 (1 cos 2 ) 2 r 2 (1 cos ) Q Q Q Q 2 2 2 4 r 4 r1 4 r2
cos cos 1 cos 1
应用：直线
应用：平面
应用：球面
续41
应用：球体
比较结果
解答：
（ 1）导体球壳上感应电荷的总电量 UO Q 4 0 d Q 4 0 R 0
R Q Q d
Q
R
O
d
Q P
（ 3） 据电场线的性质（电场线永不相交）和电场的叠加原理： 2 r12 (1 cos 1 ) 2 r22 (1 cos 2 ) 2 r 2 (1 cos ) Q Q Q Q 2 2 2 4 r 4 r1 4 r2
注意：以上两条等价地给出了静电场的全部性质
电势差
续56
简例
电势计算法
带电薄球壳
等势面
场势微分式
续78
电势梯度
电场线 6-3
电场线的性质：
电场线，无论是否属于静电场，都不相交 静电场的电场线只能起于正电荷或无穷远，
终于负电荷或无穷远
静电场的电场线不闭合
电场线的数密度与该点的场强的大小成正比。 电场线的数密度，就是通过垂直于场强方向的单位 面积的电场线的条数； 电场线上每一点的切线方向与相应点场强方向一致。 若体系正负电荷一样多，则正电荷发出的电场线全 部终止于负电荷；
0
续32
续33
续28
• 闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只 要 S内电荷不为零 ，则通量不为零——有源
–正电荷 —— 喷泉形成的流速场—— 源 –负电荷 —— 有洞水池中的流速场——汇
讨论： Gauss 定理说明
• 闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不 意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场 强是空间所有带电体所产生的 • 高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重 要的理论地位，是静电场基本方程之一 ，它 是由库仑定律导出的， 反映了电力平方反比 律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定 理也不成立。
点电荷系
续47
保守力小结
环路定理
电势能
续51
点电荷例
电势 6-4
electric potential
点电荷电场的电势：
q q V k r 4 0r （标量）
注意：上式已选无穷远处电势为零 注意：上式与空间中是否存在电介质、导体等无关
电势的叠加原理
V k
i 1 N
qi 1 N qi ri 4 0 i 1 ri
cos 2
R (1 cos 2 ) d
2
d R cos d R 2dR cos
2
2
D B
a R cos a 2 R 2 2aR cos R d cos d 2 R 2 2dR cos
r1 r2 R Q 2 O O a P
电通量
（1）定义
d E E d S E cosdS
电通量的正负取决于场强与曲面的法线方向的 夹角θ 。 曲面法线方向的规定： 开曲面：凸侧一方的外法线方向为正； 闭曲面：外法线方向为正，内法线方向为负。
三、高斯定理
1、高斯定理 • 表述： 通过一个任意闭合曲面S的电通量等于 该曲面所包围的所有电量的代数和 q 除以 0 ，与闭合曲面外的电荷无关。 • 可由库仑定理和场强叠加原理导出； • 直接运用高斯定理求场强的情形，必须 具有一定的对称性。
静电场的电势、电势能
静电场是保守场，感生电场不是保守场。
只有静电场才可以定义电势、电势能；感生电场 不能定义电势及电势能。 静电场中，一个点电荷从给定点出发、沿任一闭 合回路运动重新回到出发点，在这个过程中静电
力做的总功为零。
静电保守力
6-4
electric potential energy
续45
• 静电力是有心力，但高斯定理只给出了 源和通量的关系，并没有反映静电场是 有心力场这一特性，它只反映静电场性 质的一个侧面（下一节还要讲另一个定 理——环路定理）
–所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价 –若不添加附加条件（如场的对称性等）， 无法从高斯定理导出库仑定理 –电力平方反比律 ——高斯定理 –电荷间的作用力是有心力 ——环路定理
d
1
Q r P
R d 2 R2 cos 1 2 2 d R d R 2dR cos
R d 2 R2 arccos 1 2 2 d R d R 2dR cos
证明： 从特殊到一般
• 点电荷q被任意球面包围 设q >0，场具有球对称性
q E E d S EdS dS 2 4 0 r S S S 2 4 r 1 q q 1 q dS E 2 2 4 0 r 4 0 r S 0
1
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为 q 中心的任意球面的电通量等于
参考教材：
《新概念物理学》电磁学 赵凯华、陈熙谋著 电磁学 梁灿彬 著
一. 电场
（1）静电场：相对于参考系或观测者静止的电 荷在其周围空间产生的电场，又叫库仑场。 （2）电荷受到电场的作用力仅由其所处的电场 决定，与其他地方的电场无关；
Leabharlann Baidu
（3）电场和磁场与实物一样，具有动量和能量， 服从一定的运动规律，可以脱离电荷和电流单 独存在，是物质的一种形式。
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D B
r2 R Q 2 O O a P
r1
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Q r P
2 r12 (1 cos 1 ) 2 r22 (1 cos 2 ) 2 r 2 (1 cos ) Q Q Q Q 2 2 2 4 r 4 r1 4 r2
cos cos 1 cos 1
应用：直线
应用：平面
应用：球面
续41
应用：球体
比较结果
解答：
（ 1）导体球壳上感应电荷的总电量 UO Q 4 0 d Q 4 0 R 0
R Q Q d
Q
R
O
d
Q P
（ 3） 据电场线的性质（电场线永不相交）和电场的叠加原理： 2 r12 (1 cos 1 ) 2 r22 (1 cos 2 ) 2 r 2 (1 cos ) Q Q Q Q 2 2 2 4 r 4 r1 4 r2
注意：以上两条等价地给出了静电场的全部性质
电势差
续56
简例
电势计算法
带电薄球壳
等势面
场势微分式
续78
电势梯度
电场线 6-3
电场线的性质：
电场线，无论是否属于静电场，都不相交 静电场的电场线只能起于正电荷或无穷远，
终于负电荷或无穷远
静电场的电场线不闭合
电场线的数密度与该点的场强的大小成正比。 电场线的数密度，就是通过垂直于场强方向的单位 面积的电场线的条数； 电场线上每一点的切线方向与相应点场强方向一致。 若体系正负电荷一样多，则正电荷发出的电场线全 部终止于负电荷；
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续32
续33
续28
• 闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只 要 S内电荷不为零 ，则通量不为零——有源
–正电荷 —— 喷泉形成的流速场—— 源 –负电荷 —— 有洞水池中的流速场——汇
讨论： Gauss 定理说明
• 闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不 意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场 强是空间所有带电体所产生的 • 高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重 要的理论地位，是静电场基本方程之一 ，它 是由库仑定律导出的， 反映了电力平方反比 律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定 理也不成立。
点电荷系
续47
保守力小结
环路定理
电势能
续51
点电荷例
电势 6-4
electric potential
点电荷电场的电势：
q q V k r 4 0r （标量）
注意：上式已选无穷远处电势为零 注意：上式与空间中是否存在电介质、导体等无关
电势的叠加原理
V k
i 1 N
qi 1 N qi ri 4 0 i 1 ri
cos 2
R (1 cos 2 ) d
2
d R cos d R 2dR cos
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D B
a R cos a 2 R 2 2aR cos R d cos d 2 R 2 2dR cos
r1 r2 R Q 2 O O a P
电通量
（1）定义
d E E d S E cosdS
电通量的正负取决于场强与曲面的法线方向的 夹角θ 。 曲面法线方向的规定： 开曲面：凸侧一方的外法线方向为正； 闭曲面：外法线方向为正，内法线方向为负。
三、高斯定理
1、高斯定理 • 表述： 通过一个任意闭合曲面S的电通量等于 该曲面所包围的所有电量的代数和 q 除以 0 ，与闭合曲面外的电荷无关。 • 可由库仑定理和场强叠加原理导出； • 直接运用高斯定理求场强的情形，必须 具有一定的对称性。
静电场的电势、电势能
静电场是保守场，感生电场不是保守场。
只有静电场才可以定义电势、电势能；感生电场 不能定义电势及电势能。 静电场中，一个点电荷从给定点出发、沿任一闭 合回路运动重新回到出发点，在这个过程中静电
力做的总功为零。
静电保守力
6-4
electric potential energy
续45
• 静电力是有心力，但高斯定理只给出了 源和通量的关系，并没有反映静电场是 有心力场这一特性，它只反映静电场性 质的一个侧面（下一节还要讲另一个定 理——环路定理）
–所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价 –若不添加附加条件（如场的对称性等）， 无法从高斯定理导出库仑定理 –电力平方反比律 ——高斯定理 –电荷间的作用力是有心力 ——环路定理
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Q r P
R d 2 R2 cos 1 2 2 d R d R 2dR cos
R d 2 R2 arccos 1 2 2 d R d R 2dR cos
证明： 从特殊到一般
• 点电荷q被任意球面包围 设q >0，场具有球对称性
q E E d S EdS dS 2 4 0 r S S S 2 4 r 1 q q 1 q dS E 2 2 4 0 r 4 0 r S 0
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一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为 q 中心的任意球面的电通量等于