因式分解方法与技巧

因式分解方法与技巧

因式分解是初二学生学习的一个难点，有些学生在学习时感到不知所措，究其原因是没有掌握因式分解的基本方法。故本人对因式分解的常用方法作了一个小结，希望能对同学们有所帮助。

专题一

分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误：

1、漏项，特别是漏掉

2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化

3、分解不彻底

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底” ［例题］把下列各式因式分解：

1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)

2 2.a a -5

3.3(x 2-4x)2-48

[解析]1中()()22x y y x -=-,可以直接提取公因式(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分解

[答案]1 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2

=(y-x)[x+y-(y-x)]

=2y(y-x)

2 a 5-a=a(a 4-1)=a(a 2+1)(a 2-1)=a(a 2+1)(a+1)(a-1)

3原式=3[(x 2-4x)-16]=3(x 2-4x+4)(x 2-4x-4)

[点拨]看出其中所含的公式是关键

专题二

二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点：

根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：

A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式；

B 、 两项的符号相反；

C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；

D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；

E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的药先提取公因式

[例题]分解因式：3(x+y)2-27

[答案]3（x+y ）2-27=3[(x+y)2-9]=3[(x+y)2-32

]=3()()33-+++y x y x [点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 专题三

三项式的分解因式:如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即222b ab a ++或者222b ab a +-的形式

完全平方公式运用时注意点：

A. 多项式为三项多项式；

B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；

C. 第三项为B 中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。

【例题】将下列各式因式分解：

1）ax 2-2axy+ay 2 2)x 4-6x 2+9

[解答] ax 2-2axy+ay 2 =a(x 2-2xy+y 2 )=a(x-y)2

x 4-6x 2+9=(x 2-3)2

专题四

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(6)应用因式定理：如果f （a ）=0，则f （x ）必含有因式（x-a ）。如f （x ）=652++x x ，f （-2）=0，则可确定（x+2）是652++x x 的一个因式。

分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n ，从而得到(a+b)(m+n)

[例题]分解因式2m +5n-mn-5m

解：2m +5n-mn-5m= 2m -5m -mn+5n =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)