图像的几何变换PPT课件
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几何变换思想-PPT
第一,对一些概念得准确把握
平移、旋转、轴对称变换与生活中物体得平移、旋转和轴对 称现象不是一个概念。数学来源于生活,但不等于生活,是生活现 象得抽象和概括。生活中得平移和旋转现象往往都是物体得运动, 如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体得运动,都可以 称为平移现象或旋转现象。而中小学中得几何变换都是指平面图 形在同一平面得变换,也就是说原图形和变换后得图形都是平面 图形,而且都在同一平面内。几何中得平移、旋转和轴对称现象 来自于生活中物体得平移现象、旋转现象和轴对称现象,如果把 生活中这些物体画成平面图形,并且在同一平面上运动,就可以说 成是几何中得平移、旋转和轴对称变换了。
3、几何变换思想得具体应用 图形变换作为空间与图形领域得重要
内容之一,在图形得性质得认识、面积公 式得推导、面积得计算、图形得设计和欣 赏、几何得推理证明等方面都有重要得应 用。
小学数学中几何变换思想得应用
4、几何变换思想得教学 (1)课程标准关于图形变换得数学要求
课程标准关于图形变换得内容和目标分为以下几个层次:
以保持,但通过改变其位置,组合成新得图形,便于计算和证 明。
(3)反射变换 在同一平面内,若存在一条定直线L,使对于平面
上得任意一点P及其对应点P′,其连线PP′得中垂线 都是L,则称这种变换为反射变换,也就是常说得轴对 称,定直线L称为对称轴,也叫反射轴。
轴对称有如下性质: ①把图形变为与之全等得图形,因而面积和
(1)射线PP’得方向一定;(2)线段PP＇得长度一 定,则称这种变换为平移变换。也就是说一个图 形与经过平移变换后得图形上得任意一对对应点 得连线相互平行且相等。
平移变换有以下一些性质: ①图形变为与之全等得图形,因而面积和周长
不变。 ②在平移变换之下两点之间得方向保持不变。
图像几何变换(旋转和缩放)
图像几何变换的重要性
图像几何变换可以帮助我们更好地理 解和分析图像内容，例如在人脸识别 、目标检测和跟踪、遥感图像处理等 领域。
通过变换可以纠正图像的畸变，提高 图像的清晰度和可读性，从而改善图 像的质量。
图像几何变换的应用场景
医学影像处理
在医学领域，通过对医学影像进行几何变换，可以更好地 观察和分析病变部位，提高诊断的准确性和可靠性。
图像旋转
图像旋转的基本概念
图像旋转是指将图像围绕一个点 进行旋转的操作。这个点被称为
旋转中心或原点。
旋转角度是旋转的度数，通常以 度（°）为单位。
旋转可以是顺时针或逆时针方向， 取决于旋转角度的正负值。
图像旋转的算法实现
图像旋转可以通过多种算法实现，其 中最常用的是矩阵变换和插值算法。
插值算法通过在旋转过程中对像素进 行插值，以获得更平滑的旋转效果。 常用的插值算法包括最近邻插值、双 线性插值和双三次插值等。
矩阵变换算法通过将图像表示为一个 矩阵，并应用旋转矩阵来计算旋转后 的像素坐标。
图像旋转的优缺点
优点
图像旋转可以用于纠正倾斜的图像、 增强图像的视觉效果、实现特定的艺 术效果等。
缺点
图像旋转可能会改变图像的比例，导 致图像失真或变形。此外，对于大尺 寸的图像，旋转操作可能需要较长时 间和较大的计算资源。
双线性插值和双三次插值等。
重采样算法
重采样算法通过重新计算每个像 素的灰度值来实现图像缩放。这 种方法通常比插值算法更精确，
但计算量较大。
多项式拟合算法
多项式拟合算法通过拟合原始图 像中的像素点，然后根据多项式 函数来计算新的像素值。这种方 法适用于对图像进行复杂变换的
情况。
图像缩放的优缺点
图像的几何变换ppt课件
在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这 也是一种插值算法， 称为最邻近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。
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2、图像比例缩放
最简单的比例缩小是当 fx=fy=1／2时，图像被缩到一 半大小，此时缩小后图像中的(0， 0)像素对应于原图 像中的(0， 0)像素； (0， 1)像素对应于原图像中的(0， 2)像素； (1， 0)像素对应于原图像中的(2， 0)像素， 依此类推。
因此，2D图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标 （Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1 时，则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。
由点的齐次坐标（Hx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：
x Hx y Hy
11
H
比例缩放前后两点P0(x0, y0)、P(x, y)之间的 关系用矩阵形式可以表示为：
x
fx
0
0
x
0
y 0
fx
0
y
0
1
0
0
0
1
其中fx,fy>1为放大， fx,fy<1 为缩小。
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2、图像比例缩放
放大 后
(x , y) (x0 , y0)
O
x
缩放 前
6
多见于影视特技及广告的制作。
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1.1齐次坐标
设点P0(x0,y0)进行平移后，移到P(x,y),其中x方向的 平移量为x,y方向的平移量为y。那么，点P(x,y) 的坐标为：
x x0 x y y0 y
图像几何变换ppt课件
算f(u0, v)
f(u0, v) = S(1+α)f(u －1, v)+S(α) f(u,
v)+
f(u+2, v)
S(1-α) f(u+1, v)+ S(2-α)
同理可得f(u , v-1), f(u , v+1), f(u , v+2) 22
三种方法比较
优点 最近邻法 简单快速
双线性插值 法
三次内插法
14
重采样
• 问题：
– 对输出离散图像使用逆映射函数得到的采样位 往往与输入离散图像坐标不相重合
• 解决方法：
1.将输入离散图像转换成一个连续的表面，即图 像重建过程
2.重建后，便可以在任意位置对其进行采样
• 图像重采样的两个步骤：
1.图像重建
2.采样
15
灰度插值方法
• 最近邻法 • 双线性插值法 • 三次内插法
16
出点 (u0, v0)的灰度值 (a)最近邻法； (b)双线性插值法；(c)三次内 插法
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最近邻法
• 将与(u0, v0)点最近的整数坐标(u, v)点的灰度
值取为(u0, v0)点的灰度值
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双线性插值法
• 用线性内插方法，根据(u0, v0)点的四个相
邻点的灰度值，插值计算出(u0, v0) 点的灰
5
几何变换
• 由两个基本操作组成
1.坐标的空间变换 2.灰度内插
6
坐标的空间变换
• (u, v)是原图像中像素的坐标 • (x, y)是变换后图像中像素的坐标 • 例如，变换(x, y) = T{(u, v)} = (u/2, v/2)
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坐标的空间变换
f(u0, v) = S(1+α)f(u －1, v)+S(α) f(u,
v)+
f(u+2, v)
S(1-α) f(u+1, v)+ S(2-α)
同理可得f(u , v-1), f(u , v+1), f(u , v+2) 22
三种方法比较
优点 最近邻法 简单快速
双线性插值 法
三次内插法
14
重采样
• 问题：
– 对输出离散图像使用逆映射函数得到的采样位 往往与输入离散图像坐标不相重合
• 解决方法：
1.将输入离散图像转换成一个连续的表面，即图 像重建过程
2.重建后，便可以在任意位置对其进行采样
• 图像重采样的两个步骤：
1.图像重建
2.采样
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灰度插值方法
• 最近邻法 • 双线性插值法 • 三次内插法
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出点 (u0, v0)的灰度值 (a)最近邻法； (b)双线性插值法；(c)三次内 插法
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最近邻法
• 将与(u0, v0)点最近的整数坐标(u, v)点的灰度
值取为(u0, v0)点的灰度值
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双线性插值法
• 用线性内插方法，根据(u0, v0)点的四个相
邻点的灰度值，插值计算出(u0, v0) 点的灰
5
几何变换
• 由两个基本操作组成
1.坐标的空间变换 2.灰度内插
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坐标的空间变换
• (u, v)是原图像中像素的坐标 • (x, y)是变换后图像中像素的坐标 • 例如，变换(x, y) = T{(u, v)} = (u/2, v/2)
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坐标的空间变换
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取取整整后后，，该该点点在在新新图图的的(2(,22,)1上)上。。
必须进行后处理操作。
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图像旋转后处理
——旋转后的隐含问题分析
图像旋转之后，出现了两个问题： 1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻
像素之间只能有8个方向（相邻为45度），如下图所示。 2）会出现许多的空洞点。
如右图有： (1,3)、(1,3); (2,1)、(2,4); (3,2)、(3,4)； (4,2)、(4,3)。
2021
32
图像旋转的后处理 —— 插值
2）在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空 点的像素值等于前一点的像素值。
3）同样的操作重复到所有行。
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33
图像旋转的后处理
—— 插值效果分析
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图像放大
图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作 ，但是，从信息处理的角度来看，则难易程 度完全不一样。
图像缩小是从多个信息中选出所需要的信息 ，而图像放大则是需要对多出的空位填入适 当的值，是信息的估计。
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图像放大
—— 实现思路
最简单的思想是，如果需要将原图像放大为k 倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像 中对应的k*k大小的子块中。
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图像的镜像
所谓的镜像，通俗地讲，是指在镜子中所 成的像。其特点是左右颠倒或者是上下颠 倒。
镜像分为水平镜像和垂直镜像。
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图像的水平镜像
水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）
xy''xy(水平镜像 )
-3 -2 -1 0 1 2 3
因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进 行镜像计算之后，再进行坐标的平移。
图像基本运算-幻灯片
C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
代数运算的四种基本形式
C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y ) C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y ) C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
20
3.3代数运算与逻辑运算 (Algebra and Logical Operation) 逻辑运算
主要应用举例： 图像的局部显示 改变图像的灰度级
图像的局部显示
36
3.3.3乘法运算(Multiplication)
改变图像的灰度级
(a) 原图
(b) 乘以1.2 图3.8 乘法运算结果
(c) 乘以2
37
3.3.4除法运算(Division)
除法运算 C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
输 L-1 出
灰
度
级 L/2
s
=0.04
=0.1 =0.4 =1 =2.5
=10.0
=25.0
0
L/2
L-1
输入灰度级r
不同的s=cr曲线及图像变换结果
加暗、减亮图像
=1.5
原始图像
=0.66
加亮、减暗图像
17
3.2.2非线性点运算(Non-Linear Point Operation)
加暗、减亮图像
32
图像相减——运动检测
33
3.3.2减法运算 (Subtraction )
混合图像的分离
（a）混合图像 （b）被减图像 （c）差影图
像
图3.6 差影法进行混合图像的分离
34
3.3.2减法运算 (Subtraction )
代数运算的四种基本形式
C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y ) C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y ) C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
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3.3代数运算与逻辑运算 (Algebra and Logical Operation) 逻辑运算
主要应用举例： 图像的局部显示 改变图像的灰度级
图像的局部显示
36
3.3.3乘法运算(Multiplication)
改变图像的灰度级
(a) 原图
(b) 乘以1.2 图3.8 乘法运算结果
(c) 乘以2
37
3.3.4除法运算(Division)
除法运算 C ( x ,y ) A ( x ,y ) B ( x ,y )
输 L-1 出
灰
度
级 L/2
s
=0.04
=0.1 =0.4 =1 =2.5
=10.0
=25.0
0
L/2
L-1
输入灰度级r
不同的s=cr曲线及图像变换结果
加暗、减亮图像
=1.5
原始图像
=0.66
加亮、减暗图像
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3.2.2非线性点运算(Non-Linear Point Operation)
加暗、减亮图像
32
图像相减——运动检测
33
3.3.2减法运算 (Subtraction )
混合图像的分离
（a）混合图像 （b）被减图像 （c）差影图
像
图3.6 差影法进行混合图像的分离
34
3.3.2减法运算 (Subtraction )
《平移》ppt课件
对称性通常是指图形关于某一直线或点对称，而平移则是沿着某一方向等距移动图 形。
在某些情况下，平移可以视为对称性的特殊情况，例如将图形关于原点对称后进行 平移，相当于同时进行了对称和平移两种变换。
02
平移的分类
水平平移
总结词
物体在水平方向上的移动
详细描述
水平平移是指物体在水平方向上沿着直线或曲线进行的移动。这种平移不改变 物体的形状、大小和方向，只是位置发生了变化。例如，火车在铁轨上行驶、 汽车在公路上行驶等都是水平平移。
总结词
考察平移与其他几何知识的综合 运用
题目1
一个正方形在平面直角坐标系中 ，其顶点坐标为(0,0)，(1,0)， (1,1)，(0,1)。现将该正方形先向 右平移3个单位，再向上平移2个 单位，求平移后的顶点坐标。
题目2
一个三角形ABC在平面直角坐标 系中，三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(1,1)，C(-1,-1)。现将三 角形ABC向右平移4个单位，再 向上平移3个单位，求平移后的
进阶练习题
总结词
考察平移在实际问题中的应用
题目1
一个物体在传送带上以每秒2米的速度向右移动，传送带 以每秒1米的速度向左移动。求物体相对于地面的实际移 动速度和方向。
题目2
一个火车在铁轨上行驶，其车厢上的一个窗户在垂直方向 上向上平移了5个单位。求火车相对于地面的实际移动速 度和方向。
综合练习题
《平移》p 平移的定义 • 平移的分类 • 平移的几何表示 • 平移的应用 • 平移的练习题及解析
01
平移的定义
什么是平移
01
平移是一种基本的几何变换，它 通过在平面内移动图形而不旋转 或翻转，使图形在位置上发生变 化。
02
在某些情况下，平移可以视为对称性的特殊情况，例如将图形关于原点对称后进行 平移，相当于同时进行了对称和平移两种变换。
02
平移的分类
水平平移
总结词
物体在水平方向上的移动
详细描述
水平平移是指物体在水平方向上沿着直线或曲线进行的移动。这种平移不改变 物体的形状、大小和方向，只是位置发生了变化。例如，火车在铁轨上行驶、 汽车在公路上行驶等都是水平平移。
总结词
考察平移与其他几何知识的综合 运用
题目1
一个正方形在平面直角坐标系中 ，其顶点坐标为(0,0)，(1,0)， (1,1)，(0,1)。现将该正方形先向 右平移3个单位，再向上平移2个 单位，求平移后的顶点坐标。
题目2
一个三角形ABC在平面直角坐标 系中，三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(1,1)，C(-1,-1)。现将三 角形ABC向右平移4个单位，再 向上平移3个单位，求平移后的
进阶练习题
总结词
考察平移在实际问题中的应用
题目1
一个物体在传送带上以每秒2米的速度向右移动，传送带 以每秒1米的速度向左移动。求物体相对于地面的实际移 动速度和方向。
题目2
一个火车在铁轨上行驶，其车厢上的一个窗户在垂直方向 上向上平移了5个单位。求火车相对于地面的实际移动速 度和方向。
综合练习题
《平移》p 平移的定义 • 平移的分类 • 平移的几何表示 • 平移的应用 • 平移的练习题及解析
01
平移的定义
什么是平移
01
平移是一种基本的几何变换，它 通过在平面内移动图形而不旋转 或翻转，使图形在位置上发生变 化。
02
图像的几何变换
1.1齐次坐标
这种用n＋1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表 示法。 因此，2D图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标 （Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1 时，则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。 由点的齐次坐标（Hx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：
1、几何变换基础
几何变换常用于摄象机的几何校正过程，这对于利用 图像进行几何测量的工作是十分重要的。 如：仿射变换（Affine Transformation），它属于射 影几何变换，多用于图像配准（Image Registration） 作为比较或匹配的预处理过程； 图像卷绕（Image Warping），即用控制点控制变换 过程，通过插值运算，将一幅图像逐渐变化到另一幅 图像的图像变形（Morphing）过程是其典型的应用， 多见于影视特技及广告的制作。
1.1齐次坐标
设点P0(x0,y0)进行平移后，移到P(x,y),其中x方向的 平移量为x,y方向的平移量为y。那么，点P(x,y) 的坐标为：
x x0 x y y0 y
这个变换用矩阵的形式可以表示为：
x 1 y 0
其中fx,fy>1为放大， fx,fy<1 为缩小。
2、图像比例缩放
放大 后
(x , y) (x0 , y0 ) O x
缩放 前 y
2、图像比例缩放
比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不 到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。 插值处理常用的方法有两种， 一种是直接赋值为和它 最相近的像素值；另一种是通过一些插值算法来计算 相应的像素值。 前一种方法计算简单， 但会出现马赛克现象；后者处 理效果要好些，但是运算量也相应增加。 在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这 也是一种插值算法， 称为最邻近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。
二维图形几何变换-PPT
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算(θ很小)
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
光栅变换
任意角度得Байду номын сангаас栅旋转变换:
旋转的 象素阵列
A
1A 3
光栅网格
2
n
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上得覆盖率](Gray(x)表示某点得灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上得覆盖率+ Gray(2) × A在2上得覆盖率+ Gray(3) × A在3上得覆盖率
光栅变换
光栅比例变换:
n
∑ [Gray(i) × Si] Gray(A)= i=1
n
∑ Si
i=1
缩小时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1/2,Xy=1/2
(b)原图
12
1
43
2
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1,Xy=3/2
G=(G1+G2+G3+G4)/4
G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
O
x0
x
图6-9 坐标系间的变换
坐标系之间得变换
分析: y
y'
p,也即p' x'
图像的几何变换
*lpDst = *lpSrc; } else { * ((unsigned char*)lpDst) = 255; // } }
3.2 图像的镜像变换
1． 理论基础
图像的镜像变换分为两种：一种是 水平镜像,另一种是垂直镜像。
图像的水平镜像操作是以原图像的 垂直中轴线为中心，将图像分为左右两 部分进行对称变换；
以此类推。在原图基础上，每行隔一个像素取一 点，每割一行进行操作。如下图3-4所示。
●●
●
●●
（a）原图中的某4个像素 素
（b）对应新图的1个像
从上可见图，3-放4 大图像与缩缩小示小意的图原理不同。
2. 理论验证
（a）原图
（b）长宽缩小0.5倍的效果图
(c）长宽各放大2倍的效果图
3.流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通 过 对 话 框 获 得 放 大 整 数 比 例 ：
1. 理论基础
tx
坐标原点
(x0,y0)
ty
(x1,y1)
图3-1 像素平移示意图
显然（x0,y0）和（x1,y1）的关系如下：
x1=x0+tx y1=y0+ty
2. 理论验证
x
(y
3. 流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通过对话框输入偏移量tx,ty。 (3) 开辟一个同样大小的缓冲区。 (4) 对原图依次循环每个像素，每读入一
第3章 图像的几何变换
本章要点：
➢ 图像的平移 ➢ 图像的镜像变换 ➢ 图像的缩放 ➢ 图像的转置 ➢ 图像的旋转
3.1 图像的平移
1. 理论基础
图 像 平 移 （ Translation ） 是 将 图 像中所有的点都按照指定的平移量,进 行水平、垂直移动。
3.2 图像的镜像变换
1． 理论基础
图像的镜像变换分为两种：一种是 水平镜像,另一种是垂直镜像。
图像的水平镜像操作是以原图像的 垂直中轴线为中心，将图像分为左右两 部分进行对称变换；
以此类推。在原图基础上，每行隔一个像素取一 点，每割一行进行操作。如下图3-4所示。
●●
●
●●
（a）原图中的某4个像素 素
（b）对应新图的1个像
从上可见图，3-放4 大图像与缩缩小示小意的图原理不同。
2. 理论验证
（a）原图
（b）长宽缩小0.5倍的效果图
(c）长宽各放大2倍的效果图
3.流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通 过 对 话 框 获 得 放 大 整 数 比 例 ：
1. 理论基础
tx
坐标原点
(x0,y0)
ty
(x1,y1)
图3-1 像素平移示意图
显然（x0,y0）和（x1,y1）的关系如下：
x1=x0+tx y1=y0+ty
2. 理论验证
x
(y
3. 流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通过对话框输入偏移量tx,ty。 (3) 开辟一个同样大小的缓冲区。 (4) 对原图依次循环每个像素，每读入一
第3章 图像的几何变换
本章要点：
➢ 图像的平移 ➢ 图像的镜像变换 ➢ 图像的缩放 ➢ 图像的转置 ➢ 图像的旋转
3.1 图像的平移
1. 理论基础
图 像 平 移 （ Translation ） 是 将 图 像中所有的点都按照指定的平移量,进 行水平、垂直移动。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
33图像的仿射变换精品PPT课件
0 0 0 0 1 0
0 1
0
0
x0
y0
0 1
1 0
0
0
x0
y0
0 1 1 0 0 1 1
——图像转置的变换公式
2020/10/20
第三章 图像几何变换
15
图像几何变换的应用实例
❖ 事实上，也可以直接得到，因为原图像中P0(x0, y0) 经过转置后坐标将变为P(y0, x0)，即x＝y0, y＝x0， 把这个关系用齐次坐标写成矩阵形式就是图像转置
镜像：
x
y
1
1 0 0
0 1
0
0
x0 y0
0 1 1
2020/10/20
第三章 图像几何变换
14
图像几何变换的应用实例
然后逆时针旋转90°
x y
cos sin
sin 01
cos 00
0 1
0
0
x0
y0
(
90)
1
0
0 1 0 0 1 1
x y 1
0 1 0
1 0 1
2020/10/20
第三章 图像几何变换
13
图像几何变换的应用实例
首先将图像水平镜像，然后逆时针旋转90°才可以实
现。设点P0(x0, y0)进行转置后的对应点为P(x, y)，图像高 度为M，宽度为N，原图像中P0(x0, y0) 经过转置后坐标将 变为(y0, x0)。如果把图像转置看作是图像镜像与旋转的复 合，并且图像的水平镜像在x方向不作平移。此时，水平
❖ 可以定义仿射变换如下：
x' axby x y' cx dy y
有了齐次坐标 ， 就可以用矩阵形 式表示为：
0 1
0
0
x0
y0
0 1
1 0
0
0
x0
y0
0 1 1 0 0 1 1
——图像转置的变换公式
2020/10/20
第三章 图像几何变换
15
图像几何变换的应用实例
❖ 事实上，也可以直接得到，因为原图像中P0(x0, y0) 经过转置后坐标将变为P(y0, x0)，即x＝y0, y＝x0， 把这个关系用齐次坐标写成矩阵形式就是图像转置
镜像：
x
y
1
1 0 0
0 1
0
0
x0 y0
0 1 1
2020/10/20
第三章 图像几何变换
14
图像几何变换的应用实例
然后逆时针旋转90°
x y
cos sin
sin 01
cos 00
0 1
0
0
x0
y0
(
90)
1
0
0 1 0 0 1 1
x y 1
0 1 0
1 0 1
2020/10/20
第三章 图像几何变换
13
图像几何变换的应用实例
首先将图像水平镜像，然后逆时针旋转90°才可以实
现。设点P0(x0, y0)进行转置后的对应点为P(x, y)，图像高 度为M，宽度为N，原图像中P0(x0, y0) 经过转置后坐标将 变为(y0, x0)。如果把图像转置看作是图像镜像与旋转的复 合，并且图像的水平镜像在x方向不作平移。此时，水平
❖ 可以定义仿射变换如下：
x' axby x y' cx dy y
有了齐次坐标 ， 就可以用矩阵形 式表示为：
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(xi, yi, 1) （i=1, 2, 3）的形式，就变成H＝1平面内的三角形 a1b1c1的各顶点。
2. 二维图像几何变换矩阵
采用齐次坐标，并将变换矩阵改成3×3阶的形式后，便可实 现所有二维图像几何变换的基本变换。
变换后的点集 ＝矩 变阵 换矩 变 阵换 T 前的点集
图像上各点标 的 新齐 图次 像坐 上各点标 的 原齐
1 PTP00
0 1
yxxy10 0xy0 0 xyxy
1. 齐次坐标
通常将2×3阶矩阵扩充为3×3阶矩阵以拓宽功能。
1 0 x
T
0
1
y
0 0 1
1 0 xx0 x0x x PTP00 1 yy0y0yy
0 0 11 1 1
这种用n＋1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。
T
a
c
b 平面上点的变换矩阵中没有引入平移常量，无论a、b、c、d
d
取什么值，都不能实现x引入2×3阶变换矩阵（第一、二列构成单位矩阵，第三 y 列元素为平移常量）。
只需将变换矩阵（2×3）乘以图像的点集矩阵（2×n） 即可实现二维图像的几何变换。
1. 齐次坐标
✓ ②通过（线性、样条、…）插值算法计算相应的像素值。
处理效果要好，但运算量也相应增加。
图像的尺寸减半
图像比例缩放（缩小）
最简单的比例缩小是当fx=fy=1/2时，图像被缩到一半大小， 此时缩小后图像中的(0，0)像素对应于原图像中的(0，0)像 素； (0，1)像素对应于原图像中的(0，2)像素； (1，0)像素 对应于原图像中的(2， 0)像素，依此类推。
Hx1 Hy1
Hx2 Hy2
Hxn Hyn
新齐次坐标规范 化后的点集矩阵
x1
y1
H H H 3n
1
x2 y2 1
xn
yn
1 3n
图像的几何变换
几何变换基础 图像比例缩放 图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
图像比例缩放
图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍， 在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。 ✓ 如果fx＝fy，即在x轴方向和y轴方向缩放的比率相同，称 这样的比例缩放为图像的全比例缩放。
✓ 二维图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标(Hx, Hy, H)。
H表示非零的任意实数。 当H＝1时， (x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。 规范化齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标， 没有变化，仅
在原坐标中增加了H＝1的附加坐标。
1. 齐次坐标（几何意义）
齐次坐标相当于点(x, y)落在三维空间H＝1的平面上。 将XOY平面内的三角形abc的各顶点表示成规范化齐次坐标
H x1 H x2 H xn
x1 x2 xn
H y1 H y2 H yn Ty1 y2 yn
H H H3n
1 1 13n
a b p
变换矩阵 T
c
d
q
l m s
二维点集矩阵
x y
i i
2
n
齐次坐标形式 的点集矩阵
xi
y
i
1 3 n
新齐次坐标 的点集矩阵
【解决方法】
✓ 齐次坐标使得可以用统一的矩阵线性变换形式表示和实 现常见的二维图像的几何变换。
1. 齐次坐标
点P0(x0, y0)平移到P(x, y)。x、 y方向的平移量分别为Δx、Δy。
变换前后的坐标关系
x x0 x y y0 y
变换的矩阵表示形式
x 1 y0
10xy00 yx
图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩 小。此时，只需在原图像基础上，每行隔一个像素取一点， 每隔一行进行操作，即取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数 列构成新的图像。
图像缩小一半
图像按任意比例缩小
图像比例缩放（缩小）
如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行和列。 M×N大小的原图像F(x，y)缩小为kM×kN大小（k<1）的新图
✓ 如果fx≠fy，图像的比例缩放会改变原始图像的像素间的相 对位置，产生几何畸变。
x fx 0 0x0
y
0
fy
0
y0
1 0 0 1 1
原图像中的点P0(x0, y0)比例缩放后，在新 图像中的对应点为P(x, y)。
1
x0
fx
y
0
0
1
0
0
0
1 fy
x
0
y
1
（等比例）缩小
（不等比例）缩小
旋转
变形
图像的几何变换（实质及分类）
图像的几何变换是指使（用户获得或设计的）原始图像按照 需要产生大小、形状和位置的变化。
不改变图像的象素值，而是改变象素所在的几何位置。
✓ ①图像的位置变换
平移、镜像、旋转
✓ ②图像的形状变换
放大、缩小、错切
✓ ③图像的复合变换 ✓ ④透视变换
0 1
x
0
x fx
y0
y fx
图像比例缩放（插值）
比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不到相应 的像素点，这样就必须进行插值处理。 ✓ ①直接赋值为和它最相近的像素值——最邻近插值法 (Nearest Neighbor Interpolation)。
最近邻插值法计算简单，但会出现马赛克现象。
【问题】
✓ 二维图像对应的点集矩阵是2×n阶的，而扩展后的变换矩
阵是2×3阶的矩阵，这不符合矩阵相乘时要求前者的列数
与后者的行数相等的规则。 【解决方法】
T
1 0
0 1
x y
✓ 在点的坐标列矩阵[x y]T中引入第三个元素，增加一个附 加坐标，扩展为3×1的列矩阵[x y 1]T，这样用三维空间点 (x, y, 1)表示二维空间点(x, y)实现平移变换。
像I(x，y)，c=1/k。
I x ,y F i c n x ,i t c n y t
图像按任意比例缩小
图像比例缩放（缩小）
当fx≠fy(fx, fy＞0)时，图像不按比例缩小，这种操作因为在x 方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。
图像的几何变换
几何变换基础 图像比例缩放 图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
几何变换基础
【问题】
✓ 变换中心在坐标原点的比例缩放、反射、错切和旋转等 二维图像的几何变换可以用2×2的变换矩阵表示和实现。
T
a c
b
d
✓ 2×2的变换矩阵不能实现图像的平移以及绕任意点的比例 缩放、反射、错切和旋转等二维图像的几何变换。
2. 二维图像几何变换矩阵
采用齐次坐标，并将变换矩阵改成3×3阶的形式后，便可实 现所有二维图像几何变换的基本变换。
变换后的点集 ＝矩 变阵 换矩 变 阵换 T 前的点集
图像上各点标 的 新齐 图次 像坐 上各点标 的 原齐
1 PTP00
0 1
yxxy10 0xy0 0 xyxy
1. 齐次坐标
通常将2×3阶矩阵扩充为3×3阶矩阵以拓宽功能。
1 0 x
T
0
1
y
0 0 1
1 0 xx0 x0x x PTP00 1 yy0y0yy
0 0 11 1 1
这种用n＋1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。
T
a
c
b 平面上点的变换矩阵中没有引入平移常量，无论a、b、c、d
d
取什么值，都不能实现x引入2×3阶变换矩阵（第一、二列构成单位矩阵，第三 y 列元素为平移常量）。
只需将变换矩阵（2×3）乘以图像的点集矩阵（2×n） 即可实现二维图像的几何变换。
1. 齐次坐标
✓ ②通过（线性、样条、…）插值算法计算相应的像素值。
处理效果要好，但运算量也相应增加。
图像的尺寸减半
图像比例缩放（缩小）
最简单的比例缩小是当fx=fy=1/2时，图像被缩到一半大小， 此时缩小后图像中的(0，0)像素对应于原图像中的(0，0)像 素； (0，1)像素对应于原图像中的(0，2)像素； (1，0)像素 对应于原图像中的(2， 0)像素，依此类推。
Hx1 Hy1
Hx2 Hy2
Hxn Hyn
新齐次坐标规范 化后的点集矩阵
x1
y1
H H H 3n
1
x2 y2 1
xn
yn
1 3n
图像的几何变换
几何变换基础 图像比例缩放 图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
图像比例缩放
图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍， 在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。 ✓ 如果fx＝fy，即在x轴方向和y轴方向缩放的比率相同，称 这样的比例缩放为图像的全比例缩放。
✓ 二维图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标(Hx, Hy, H)。
H表示非零的任意实数。 当H＝1时， (x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。 规范化齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标， 没有变化，仅
在原坐标中增加了H＝1的附加坐标。
1. 齐次坐标（几何意义）
齐次坐标相当于点(x, y)落在三维空间H＝1的平面上。 将XOY平面内的三角形abc的各顶点表示成规范化齐次坐标
H x1 H x2 H xn
x1 x2 xn
H y1 H y2 H yn Ty1 y2 yn
H H H3n
1 1 13n
a b p
变换矩阵 T
c
d
q
l m s
二维点集矩阵
x y
i i
2
n
齐次坐标形式 的点集矩阵
xi
y
i
1 3 n
新齐次坐标 的点集矩阵
【解决方法】
✓ 齐次坐标使得可以用统一的矩阵线性变换形式表示和实 现常见的二维图像的几何变换。
1. 齐次坐标
点P0(x0, y0)平移到P(x, y)。x、 y方向的平移量分别为Δx、Δy。
变换前后的坐标关系
x x0 x y y0 y
变换的矩阵表示形式
x 1 y0
10xy00 yx
图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩 小。此时，只需在原图像基础上，每行隔一个像素取一点， 每隔一行进行操作，即取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数 列构成新的图像。
图像缩小一半
图像按任意比例缩小
图像比例缩放（缩小）
如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行和列。 M×N大小的原图像F(x，y)缩小为kM×kN大小（k<1）的新图
✓ 如果fx≠fy，图像的比例缩放会改变原始图像的像素间的相 对位置，产生几何畸变。
x fx 0 0x0
y
0
fy
0
y0
1 0 0 1 1
原图像中的点P0(x0, y0)比例缩放后，在新 图像中的对应点为P(x, y)。
1
x0
fx
y
0
0
1
0
0
0
1 fy
x
0
y
1
（等比例）缩小
（不等比例）缩小
旋转
变形
图像的几何变换（实质及分类）
图像的几何变换是指使（用户获得或设计的）原始图像按照 需要产生大小、形状和位置的变化。
不改变图像的象素值，而是改变象素所在的几何位置。
✓ ①图像的位置变换
平移、镜像、旋转
✓ ②图像的形状变换
放大、缩小、错切
✓ ③图像的复合变换 ✓ ④透视变换
0 1
x
0
x fx
y0
y fx
图像比例缩放（插值）
比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不到相应 的像素点，这样就必须进行插值处理。 ✓ ①直接赋值为和它最相近的像素值——最邻近插值法 (Nearest Neighbor Interpolation)。
最近邻插值法计算简单，但会出现马赛克现象。
【问题】
✓ 二维图像对应的点集矩阵是2×n阶的，而扩展后的变换矩
阵是2×3阶的矩阵，这不符合矩阵相乘时要求前者的列数
与后者的行数相等的规则。 【解决方法】
T
1 0
0 1
x y
✓ 在点的坐标列矩阵[x y]T中引入第三个元素，增加一个附 加坐标，扩展为3×1的列矩阵[x y 1]T，这样用三维空间点 (x, y, 1)表示二维空间点(x, y)实现平移变换。
像I(x，y)，c=1/k。
I x ,y F i c n x ,i t c n y t
图像按任意比例缩小
图像比例缩放（缩小）
当fx≠fy(fx, fy＞0)时，图像不按比例缩小，这种操作因为在x 方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。
图像的几何变换
几何变换基础 图像比例缩放 图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
几何变换基础
【问题】
✓ 变换中心在坐标原点的比例缩放、反射、错切和旋转等 二维图像的几何变换可以用2×2的变换矩阵表示和实现。
T
a c
b
d
✓ 2×2的变换矩阵不能实现图像的平移以及绕任意点的比例 缩放、反射、错切和旋转等二维图像的几何变换。