线性代数笔记

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线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==ni ii i ax b 1，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价；也就是矩阵方程AX=B 和BX -1=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念（2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关；如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则A P B T=2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==ni ii i ax b 1，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1-=为过渡矩阵，则x P y 1-=1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数：x x xx T ni i==∑=12，n 为向量维数2.广义的向量夹角：ba ba b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =5. 基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作nR 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；若对于实数λ与任一元素V ∈α，总有唯一的元素V ∈δ与之对应，称δ 为λα,的积；Part2：运算的法则八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一（5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。

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一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

线性代数知识点总结完整

线性代数知识点总结第一章行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=1212n nλλλλλλ=;()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =;112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =;行列式TD 称为行列式D 的转置行列式.. 性质1行列式与它的转置行列式相等..性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ;行列式变号.. 推论如果行列式有两行列完全相同成比例;则此行列式为零..性质3 行列式某一行列中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ;等于用数k 乘此行列式；推论1D 的某一行列中所有元素的公因子可以提到D 的外面;推论2 D 中某一行列所有元素为零;则=0D ..性质4若行列式的某一列行的元素都是两数之和;则1112111212222212()()()i i ni i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i ni n i n n n ninnn nninna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去;行列式的值不变..算得行列式的值..4. 行列式按行列展开余子式在n 阶行列式中;把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后;留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式;记作ij M ..代数余子式 ()1i jij ij A M +=-记;叫做元素ij a 的代数余子式..引理一个n 阶行列式;如果其中第i 行所有元素除i;j (,)i j 元外ij a 都为零;那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积;即ij ij D a A =..高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0;保留一个非零元素;降阶定理n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和;即1122i i i i in in D a A a A a A =+++;(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或;(1,2,,)j n =..第二章矩阵1.矩阵111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭行列式是数值;矩阵是数表; 各个元素组成方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A .. 记作：A n.. 行列矩阵：只有一行列的矩阵..也称行列向量.. 同型矩阵：两矩阵的行数相等;列数也相等.. 相等矩阵：AB 同型;且对应元素相等..记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵：不在主对角线上的元素都是零..单位阵：主对角线上元素都是1;其它元素都是0;记作：E注意矩阵与行列式有本质的区别;行列式是一个算式;一个数字行列式经过计算可求得其值;而矩阵仅仅是一个数表;它的行数和列数可以不同..2. 矩阵的运算矩阵的加法 111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算.. 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记;A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-..数与矩阵相乘111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵;,λμ为数()()()1A A λμλμ=；()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+..矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算..矩阵与矩阵相乘设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵;(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵;那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =;其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑;()1,2,;1,2,,i m j n ==;并把此乘积记作C AB = 注意1..A 与B2..矩阵的乘法不满足交换律;即在一般情况下;AB BA ≠;而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵..3..对于n 阶方阵A 和B;若AB=BA;则称A 与B 是可交换的..矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+;()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==()5若A 是n 阶方阵;则称 A k 为A 的k 次幂;即kk A A AA =个;并且mk m kA A A+=;()km mk AA =(),m k 为正整数..规定：A 0＝E 只有方阵才有幂运算注意矩阵不满足交换律;即AB BA ≠;()kk k AB A B ≠但也有例外转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵;叫做A 的转置矩阵;记作A T ;()()1TT A A =；()()2T T T A B A B +=+；()()3T T A A λλ=；()()4TT T AB B A =..方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式;叫做方阵A 的行列式;记作A注意矩阵与行列式是两个不同的概念;n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表;而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数..()1T A A =；()2n A A λλ=；(3)AB A B B A BA ===对称阵设A 为n 阶方阵;如果满足A =A T ;那么A 称为对称阵.. 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.. 性质 AA A A A E **==易忘知识点总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算..2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时;两个矩阵才能相乘;且矩阵相乘不满足交换律.. 3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同..逆矩阵：AB ＝BA ＝E;则说矩阵A 是可逆的;并把矩阵B 称为A 的逆矩阵..1A B -=即..说明1 A ;B 互为逆阵; A = B -12 只对方阵定义逆阵..只有方阵才有逆矩阵 3.若A 是可逆矩阵;则A 的逆矩阵是唯一的..定理1矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠;并且当A 可逆时;有1*1AA A-=重要奇异矩阵与非奇异矩阵当0A =时;A 称为奇异矩阵;当0A ≠时;A 称为非奇异矩阵..即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵..求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。

《线性代数》学习笔记三

主题：《线性代数》学习笔记内容：《线性代数》学习笔记三——矩阵的概念、运算、分块矩阵1．矩阵概念定义：由mxn 个数a ij (i-1.2,……，m;j=1.2,……,n)排成m 行n 列的数表 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个mxn 矩阵，a ij 称为第i 行第j 列上的元素，可简记作A=(a ij )mxn 或Amxn ，当m=n 时也称Amxn 为n 阶方阵，可记为An 。

当m=1时，Amxn=(a 11,a 12,……a 1n )称为行矩阵，当n=1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m mxna a a A 称为列矩阵，有元素皆为0的矩阵称为零矩阵，记作0。

对于n 阶方阵An ，称a n ，a 22 ，…，nn a 为A 的全对角线上元素称∑=ni ii a 1为分阵A 的迹，记作tr A ，即tr A =1nii i a 。

当n 阶方阵A 的主对角线以下（上）的所有元素皆为零称A 为上（下）三角形矩阵，除主对角线上元素外其元素皆为零的方阵为对角形矩阵，主对角线上有元素皆为1的对角形矩阵称为单位方阵，记作F 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001F 2.矩阵运算1加法A=（ij a ）mxn ，B=（ig b ）mxn 则A+B=（a ij +b ij ）mxn即只有两个矩阵都是mxn 矩阵，也称为同型矩阵，才能做加法运算。

称（－a ij ）mxn 为A 的负矩阵，记作－A ，即－A=（－a ij ）mxn 。

由此可定义A －B=A+（－B ）=（a ij －bij ）mxn 。

证与数的加、减运算类似，矩阵的加法运算满足（1）A+B=B+A （交换律）（2）（A+B ）+C=A+（B+C ）（结合律）（3）A+O=O+A=A ，（4）A+（－A ）=（－A ）+A=O 2．数乘：设K 是一个数， mxnijmxnA a 则R 与矩阵A 相乘定义为111212122212n n ijmxnm m mnka ka ka ka ka ka kAka ka kaka也就是ka 是指用k 去乘A 的每一个元素，另证，其满足以下规律：（1）K （A+B ）=KA+KB ，（K+L ）A=KA+LA ，（分配律）（2）（KL ）A=K （LA ）=L （KA ），（结合律），（3）若KA=0，则K=0或A=0。

(完整版)线性代数笔记

等行变换，则得到的是。
对于第二类的可先转化为第一类的，即由
两边转置得
按上例的方法求出进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与
为增广矩阵的方程组同解。定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n）注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能 A*B=0（零矩阵）矩阵的乘法适合以下法则：（1）结合律：（AB）C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章矩阵
一、矩阵的运算

MIT公开课-线性代数笔记

目录方程组的几何解释 (2)矩阵消元 (3)乘法和逆矩阵 (4)A的LU分解 (6)转置-置换-向量空间R (8)求解AX=0：主变量，特解 (9)求解AX=b：可解性和解的解构 (10)线性相关性、基、维数 (11)四个基本子空间 (12)矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 (13)图和网络 (14)正交向量与子空间 (15)子空间投影 (18)投影矩阵与最小二乘 (20)正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 (21)特征值与特征向量 (27)对角化和A的幂 (28)微分方程和exp(At)（待处理） (29)对称矩阵与正定性 (29)正定矩阵与最小值 (31)相似矩阵和若尔当型（未完成） (32)奇异值分解(SVD) (33)线性变换及对应矩阵 (34)基变换和图像压缩 (36)NOTATIONp：projection vectorP：projection matrixe：error vectorP：permutation matrixT：transport signC(A)：column spaceN(A)：null spaceU：upper triangularL：lower triangularE：elimination matrixQ：orthogonal matrix, which means the column vectors are orthogonalE：elementary/elimination matrix, which always appears in the elimination of matrix N：null space matrix, the “solution matrix” of AX=0R：reduced matrix, which always appears in the triangular matrix, “IF00”I：identity matrixS：eigenvector matrixΛ：eigenvalue matrixC：cofactor matrix关于LINER ALGEBA名垂青史的分析方法：由具象到抽象，由二维到高维。

(精选)线性代数-考研笔记

（v.）
设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
其中
都是方阵，那么称为分块对角矩阵
克拉默法则对于个变量、个方程的线性方程组如果它的系数行列式，则它有唯一解
第三章矩阵的初等变换与线性方程组定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
推论（最大无关组的等价定义）设向量组向量组线性无关；向量组的任一向量都能由向量组线性表示，那么向量组便是向量组的一个最大无关组。
是向量组的一个部分组，且满足
定理向量组 =
能够由向量组
线性表示的充分必要条件是
定理若向量组能由向量组线性表示，则
性质 1 若
为
的解，则
也是
的解。
性质 2 若为
数称为第 i 个分量。若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
定义 2 给定向量组 A:
，对于任何一组实数
，表达式
称为向量组 A 的一个线性组合，给定向量组 A:
和向量 b，如果存在一组数
，
使得
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示
乘积，即
定理 3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或
推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
范德蒙德行列式
克拉默法则
①
如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即
，那么，方程组①有唯一解
其中
行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0。

MIT线性代数中文笔记

1.31
31. 线性变换及对应矩阵
1.32
32. 基变换和图像压缩
1.33
33. 复习三
1.34
34. 左右逆和伪逆
1.35
35. 期末复习
1.36
2
MIT 线性代数中文笔记
中文 Linear Algebra （线性代数）笔记
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Contents （目录）
01. 方程组的几何解释 01.01 方程组的几何解释
02. 矩阵消元 02.01 矩阵消元
03. 乘法和逆矩阵 03.01 矩阵乘法和逆矩阵
04. A的LU分解 04.01 A的LU分解
05. 转置-置换-向量空间R
3
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05.01 矩阵转置 05.02 置换 05.03 向量空间 R 06. 列空间和零空间 06.01 列空间 06.02 零空间 07. 求解Ax=0:主变量,特解 07.01 主变量 07.02 特解 08. 求解Ax=b:可解性和解的结构 08.01 可解性 08.02 解的结构 09. 线性相关性、基、维数 09.01 线性相关性 09.02 基 09.03 维数 10. 四个基本子空间 10.01 基本子空间 10.02 四个基本子空间 11. 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 11.01 矩阵空间 11.02 秩1矩阵 11.03 小世界图 12. 图和网络 12.01 图 12.02 网络 13. 复习一 13.01 复习一 14. 正交向量与子空间 14.01 正交向量 14.02 子空间 15. 子空间投影 15.01 子空间投影 16. 投影矩阵和最小二乘 16.01 投影矩阵 16.02 最小二乘 17. 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 17.01 正交矩阵 17.02 Gram-Schmidt正交化 18. 行列式及其性质

宋浩线性代数笔记

•⚗线性代数•.⚗ P1 二阶三阶行列式..⚗ 02:48 二阶行列式划线计算.⚗ 15:00 三阶行列式划线计算.⚗ 22:29 N阶行列式预备知识.⚗ 24:21 名场面：宋浩点名田莎莎等.⚗ P2 n阶行列式..⚗ 00:55 N阶行列式计算.⚗ 20:50 下三角行列式.⚗ 23:14 上三角行列式.⚗ 24:40 对角线行列式.⚗ 25:30 副对角线行列式.⚗ 31:00 三角行列式总结.⚗ 31:09 行列式三种定义.⚗ P3 行列式的性质..⚗ 00:25 性质一转置.⚗ 11:48 性质二两行互换.⚗ 20:38 性质三两行相同.⚗ 23:10 性质四行公因子k.⚗ 28:05 性质五两行成比例.⚗ 34:20 性质六和分解.⚗ 43:36 性质七行叠加.⚗ 51:12 行列式值计算通用法.⚗ P4 行列式按行展开..⚗ 04:36 余子式.⚗ 07:42 代数余子式.⚗ 09:38 降阶：行列式按某一行/列展开.⚗ 16:50 异乘变零定理.⚗ 27:17 拉普拉斯定理.⚗ 30:17 拉普拉斯展开定理.⚗ 38:30 同阶行列式相乘.⚗ P5 行列式的计算（一）..⚗ 14:33 纯数字行列式计算.⚗ 21:50 已知行列式求余子式之和.⚗ 30:06 对角线为x，其余为a的行列式计算技巧.⚗ P6 行列式的计算（二）..⚗ 00:00 行列式计算基础思路.⚗ 01:05 三叉形行列式.⚗ 17:42 范德蒙德行列式.⚗ 40:42 反对称行列式.⚗ 43:12 对称行列式.⚗ P7 克莱姆法则..⚗ 00:05 解方程组.⚗ 09:11 解齐次线性方程组.⚗ P8 矩阵概念..⚗ 22:20 矩阵和行列式比较.⚗ P9 矩阵运算（一）..⚗ 00:00 名场面：宋浩免费赠送自制知识卡片.⚗ 02:50 矩阵加减法.⚗ 07:53 矩阵数乘运算.⚗ 13:58 矩阵乘法.⚗ P10 矩阵运算（二）..⚗ 00:00 矩阵幂运算.⚗ 23:49 矩阵转置.⚗ P11 特殊矩阵.⚗ P12 逆矩阵（一）..⚗ 03:04 方阵的行列式.⚗ 12:54 方阵的行列式的性质.⚗ 24:28 伴随矩阵.⚗ P13 逆矩阵（二）..⚗ 10:58 方阵可逆条件.⚗ 21:16 求逆矩阵方法.⚗ 47:33 解矩阵方程常见错误总结.⚗ 54:42 逆矩阵性质.⚗ 66:58 伴随矩阵`A^*`小专题.⚗ P14 分块矩阵..⚗ 00:00 分块要求.⚗ 04:34 标准形.⚗ 09:34 分块矩阵加法.⚗ 10:39 分块矩阵数乘.⚗ 11:12 分块矩阵乘法.⚗ 20:25 分块矩阵转置.⚗ 23:23 拉普拉斯展开定理在分块矩阵中的应用例题.⚗ 39:08 分块矩阵的逆.⚗ P15 初等变换（一）..⚗ 00:00 三种初等变换.⚗ 11:18 初等变换和行列式变换的对比.⚗ 24:50 矩阵化标准型.⚗ 29:45 矩阵等价.⚗ P16 初等变换（二）..⚗ 00:00 初等方阵.⚗ 09:15 初等方阵的行列式和逆矩阵.⚗ 14:56 初等方阵与矩阵做乘法.⚗ 44:13 初等方阵用处.⚗ P17 初等变换（三）..⚗ 00:00 初等变换法求逆矩阵.⚗ 13:51 解题过程总结.⚗ P18 矩阵的秩（一）..⚗ 00:00 k阶子式.⚗ 02:10 矩阵的秩.⚗ P19 矩阵的秩（二）..⚗ 00:00 矩阵的秩.⚗ 07:35 求矩阵的秩.⚗ 14:23 阶梯形矩阵.⚗ 32:09 行简化阶梯形矩阵.⚗ 41:15 求秩方法.⚗ 53:11 秩的性质.⚗ 58:49 广告：宋浩打油诗.⚗ P20 向量的定义..⚗ 10:11 向量定义.⚗ P21 向量间的线性关系（一）..⚗ 00:00 线性关系.⚗ 19:41 向量组的等价.⚗ P22 向量间的线性关系（二）..⚗ 00:00 线性相关与无关.⚗ 16:37 扩大后向量组与原向量组.⚗ 25:40 接长后向量组与原向量组.⚗ 37:20 行列式判断相关.⚗ P23 线性相关线性无关..⚗ 00:00 定理一.⚗ 04:32 定理二.⚗ 13:57 定理三：替换.⚗ 13:57 定理四.⚗ 21:22 推论.⚗ P24 向量组的秩（一）..⚗ 00:00 极大线性无关组.⚗ 08:04 极大线性无关组性质.⚗ 12:45 向量组的秩.⚗ P25 向量组的秩（二）..⚗ 00:00 行秩与列秩.⚗ 07:06 定理.⚗ 11:12 极大线性无关组的求法.⚗ P26 线性方程组..⚗ 00:00 二元一次方程与初等变换.⚗ P27 线性方程组有解判定..⚗ 00:00 有解判定.⚗ P28 齐次方程组的解..⚗ 00:00 齐次方程组.⚗ P29 方程组解的结构（一）..⚗ 00:00 齐次方程组解的结构.⚗ 06:54 基础解系.⚗ 08:56 齐次方程基础解系求法.⚗ 45:26 定理.⚗ P30 方程组解的结构（二）..⚗ 00:00 导出组.⚗ 04:27 非齐次方程组解的结构.⚗ P32 矩阵的特征值与特征向量（一）..⚗ 00:00 矩阵的特征值与特征向量.⚗ 08:35 求特征值.⚗ P33 矩阵的特征值与特征向量（二）..⚗ 00:00 求特征值（计算含参行列式）思路.⚗ 19:40 完整例题求特征值和特征向量.⚗ 43:12 N阶三角形矩阵的特征值.⚗ P34 特征值与特征向量的性质..⚗ 00:00 基本性质.⚗ 47:49 其他性质.⚗ P35 相似矩阵和矩阵可对角化的条件..⚗ 00:00 相似矩阵.⚗ 07:58 相似矩阵的性质.⚗ 22:06 与对角形矩阵相似（对角化）的条件.⚗ 61:47 利用相似矩阵简单求矩阵的高次幂.⚗ P36 实对称矩阵的对角化（一）..⚗ 00:00 实对称矩阵的对角化.⚗ 02:00 内积.⚗ 21:09 向量的长度/范数/模.⚗ P37 实对称矩阵的对角化（二）..⚗ 00:00 模的性质.⚗ 04:16 柯西-施瓦茨不等式.⚗ 08:13 三角不等式.⚗ 09:55 正交/垂直.⚗ 25:10 施密特正交化.⚗ P38 实对称矩阵的对角化（三）..⚗ 00:00 正交矩阵.⚗ 21:38 实对称矩阵的对角化.⚗ 28:48 正交相似.⚗ 31:24 定理.⚗ 32:34 汇总.⚗ P39 二次型定义..⚗ 00:00 判断二次型.⚗ 03:08 n元二次型.⚗ 04:09 二次型的矩阵表达.⚗ 21:30 标准型.⚗ 24:40 线性替换.⚗ 35:38 合同.⚗ 49:00 矩阵间关系总结.⚗ P40 二次型化标准型（配方法）..⚗ 00:00 二次型化标准型的三种方法.⚗ 02:33 配方法.⚗ P41 二次型化标准型（初等变换法和正交替换法）..⚗ 00:00 初等变换法.⚗ 22:00 规范形.⚗ 31:06 正交替换.⚗ End 感谢宋老师~.⚗ Appendix 浩浩卡片☄P1 二阶三阶行列式⌚02:48 二阶行列式划线计算•行列式一定是方的⌚15:00 三阶行列式划线计算•主对角线：╲•副对角线：╲⌚22:29 N阶行列式预备知识•排列：1，2，……，n组成的一个有序数组叫n级排列，中间不能缺数•如3级排列：123，132，213，231，312，321•逆序：大数排在小数前面•逆序数：逆序的总数•奇/偶排列：逆序数为奇/偶•标准排列：123……N•对换：交换排列中的两个数•做一次对换，排列奇偶性改变⌚24:21 名场面：宋浩点名田莎莎等☄P2 n阶行列式⌚00:55 N阶行列式计算•按行展开：•行标取标准排列•列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘•共有N!项•每一项的符号由列标排列的奇偶性决定，偶正奇负⌚20:50 下三角行列式•右上方三角形区域元素全部为0•下三角行列式= 主对角线元素相乘⌚23:14 上三角行列式•左下方三角形区域元素全部为0•上三角行列式= 主对角线元素相乘⌚24:40 对角线行列式•只有主对角线上有数⌚25:30 副对角线行列式•副对角线行列式=(-1)^(n(n-1)/2) * 副对角线元素相乘⌚31:00 三角行列式总结⌚31:09 行列式三种定义• 1.按行展开，符号由列标排列决定• 2.按列展开，符号由行标排列决定• 3.胡乱展开，符号由行标排列逆序数和列标排列逆序数之和决定(-1)^(N(i1,i2,……,iN)+N(j1,j2,……,jN)), i：行标，j：列标☄P3 行列式的性质•行列式对行成立的性质对列也成立⌚00:25 性质一转置•转置：把行按列写•行列式转置后值不变•行列式转置的转置等于本身•行列式两行互换，值变号⌚20:38 性质三两行相同•行列式两行相同，等于0⌚23:10 性质四行公因子k•行列式某行都乘以k，等于用k乘以这个行列式。

《线性代数》学习笔记一

主题：《线性代数》学习笔记内容：《线性代数》学习笔记一——行列式的定义和性质1、二、三阶行列式的定义解二元线性方程组 a 11x 1+a 12x 2=b 1a 21x 1=a 22x 2=b 2用消元法去x 2得（a 11a 22-a 12a 21）x 1=b 1a 22-b 2a 12, 消去x 1得（a 11a 22-a 12a 21）x 2=a 11b 2-a 21b 1, 当a 11a 22-a 12a 21≠0时，得出211222*********a a a a a b a b x --=， 211222111212112a a a a b a b a x --=分子与分母都是由4个数构成的两对乘积之差，例如分母是由方程的4个系数确定的，若将4个系数按出现在方程中的相对位置排成二行（横为行）二列（纵为列）的数表a 11 a 12 a 21 a 22a 11a 22-a 12a 21就是二对角线上两个数乘积之差定义1 a 11a 22-a 12a 12称为由数表 a 11 a 12 a 21 a 22确定的二阶行列式，记作：11122122,,a a a a 改为 11122122a a a a 即1112112212212122a a a a a a a a数a ij (i,j=1,2)称为行列式的元素，a ij 的第一个下标i 称为行标，第二个下标j称为列标，a ij 表示该元素在第i 行，第j 列。

由以上定义知： 222121122221,,a b a b a b a b =- ，221111121211b a b a b a b a =- 把行列式中元素间的逗号去掉，两个元素间应该有空格。

于是以上所得的方程组的解完全可以用行列式表示。

仿照以上解二元联立方程组，用消元法解三元联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可以引出三阶行列式的概念。

线性代数总结笔记

对于非齐次线性方程组
a11x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
*1
Di D
（1）若 D aij 0 则 *1 有唯一解， xi

， Di 为 D 的第 i 列换为常数列；
6th
（2）若 *1 无解或有无穷多解，则 D 0 ；注： D 0 仅是 *1 有无穷多解或无解的必要条件而非充分条件；对于齐次方程组
a11 a12 a1n
例 1 计算上三角行列式 Dn
0
a22 a2 n ann
Dn 1
j 1
n
j1 j2 jn
a11a22 ann
注：同样地
n a11 0 aii * ann i1
类似地
* an1
1
a1n 0

0 an1
【分析】数学归纳法递推公式解： D2 a2 a1 ，
1 D3 a1 a
2 1
1 a2 a2
2
1 1 a3 a1 a3
2
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2
1 a3
1 0
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2 a1
1 a3 a1
注：1）在降阶时运用展开定理，降阶之前应先用性质将某一行（列）只剩一个非零元素； 2） a j1 Ai1 a j 2 Ai 2 a jn Ain

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a11A11 a12 A12 a13 A13 则 a a a a A a A a A 0 21 22 23 21 21 22 22 23 23 a31 a32 a33 a31 a32 a33

《线性代数》学习笔记十二

主题：《线性代数》学习笔记内容：《线性代数》学习笔记十二 ——二次型1、二次型的矩阵表示定义1 n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n na x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型(quadratic form).当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型. 取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n n n nn n n n nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n nij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x 这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵. 例如：二次型用矩阵可表示为()22223120213,,1223012f x y z xy yz x x y z y z =-+-+⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭二次型f 还可表示成向量内积形式()[][]f A A A '==x x x =x,x x,x .二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.由此可见，如果,A B 都是n 阶对称矩阵，且f A B ''=x x =x x ，则A B =.因此，若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1 写出二次型221231233(,,)(22)f x x x x x x x =++-的矩阵A ，并求f 的秩. 2、二次型的标准形对于二次型11n nij i ji j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n nf y y y λλλ=+++，称为二次型f 的标准形.即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x =y y =y y λλλλλλ其中Λ=diag 12(,,,)n λλλ.因此，我们的问题就转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.一般地，有以下定义：定义2 设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同. 因为若C 可逆，则C '也可逆，所以，由定义，若A 与B 合同，则A 与B 等价.从而，我们有（1）矩阵的合同关系具有反身性：A E AE '=；对称性：由B C AC '=即得11()A C BC --'=；和传递性：由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()()A C C A C C '=；（2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵. 3。

MIT公开课线性代数笔记

矩阵的逆
定义：矩阵A的逆矩阵是矩阵B，使得AB=BA=I
性质：矩阵A的逆矩阵是唯一的，且 A的逆矩阵也是方阵
计算方法：使用高斯-约旦消元法、克莱姆法则等方法计算矩阵的逆
应用：求解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等
矩阵的行列式
定义：矩阵的行列式是一个数值，表示矩阵的体积或面积
子空间
定义：向量空间中的子集，满足加法和数乘运算性质：子空间中的向量线性组合仍然是子空间中的向量例子：二维平面上的直线、三维空间中的平面应用：线性方程组的解空间、矩阵的秩和零空间
正交向量组
定义：一组线性无关的向量，且向量之间的内积为零性质：正交向量组是线性无关的，且向量之间的内积为零应用：正交向量组可以用来求解线性方程组，以及进行矩阵分解例子：二维平面上的单位向量组（1,0）和（0,1）是正交向量组
计算方法：通过行列式的计算公式进行计算
性质：矩阵的行列式与矩阵的转置行列式相等
应用：矩阵的行列式在求解线性方程组、特征值和特征向量等方面有广泛应用
线性变换与矩阵
线性变换的定义
线性变换是一种特殊的函数，它满足线性性质
线性变换可以将一个向量映射到另一个向量
线性变换可以用矩阵来表示，矩阵的每一行代表一个基向量的变换
性、相似性等
矩阵的相似性
定义：两个矩阵A和B相似，如果存在一个可逆矩阵P，使
得B=P^(1)AP
性质：相似矩阵具有相同的特征值和特征
向量
应用：相似矩阵可以用来简化矩阵的运算
和求解
例子：对角矩阵和单位矩阵是相似的，因为它们的特征值和特征向量都是相同的。
矩阵的相似对角化

超详细MIT线性代数公开课笔记_完整版

9
3 倍这一过程。E21 的第二行使矩阵 A 的行向量进行前述的线性组合，而其它两行
为了保持与原矩阵相同，采用同阶单位阵 I 的行向量。左乘的这个矩阵为“初等矩
阵”（Elementary Matrix），因此记做 E。我以为是消元矩阵，所以记做 E 呢。因
为所乘行向量的倍数-3 出现在 E 矩阵的第二行第一列，因此将之标注为 21。完成
回代 Back-Substitution
8
做方程的高斯消元时，需要对等式右侧的 b 做同样的乘法和加减法。手工计算时比较有效率的方法是应用“增广矩阵”（augmented matrix），将 b 插入矩阵 A
之后形成最后一列，在消元过程中带着 b 一起操作。（Matlab 是算完系数矩阵再处
理 b 的。）
0 0 1 0 0 1 0 0 1
11
第 03 讲矩阵的乘法和逆矩阵 Multiplication & inverse matrices
矩阵乘法 Matrix multiplication
我们通过四种方法讨论如何使矩阵 A 与 B 相乘得到矩阵 C。其中 A 为 mn（m
行 n 列）矩阵，而 B 为 np 矩阵，则 C 为 mp 矩阵，记 cij 为矩阵 C 中第 i 行第 j
1 2 3 6
方程组列图像为 x 2
y
5 z 2 4
6 3 1 2
如果改变等号右侧的 b 的数值，那么对于行图像而言三个平面都改变了，而对
于列图像而言，三个向量并没有发生变化，只是需要寻找一个新的组合。
6
那么问题来了，是否对于所有的 b，方程 Ax=b 都有解？从列图像上看，问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间？” 反例：若三个向量在同一平面内——比如“列 3”恰好等于“列 1”加“列 2”，而若 b 不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量 b。此时矩阵 A 为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵 A 不可逆条件下，不是所有的 b 都能令方程 Ax=b 有解。对 n 维情形则是，n 个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。否则这 n 个列向量起不到 n 个的作用，其线性组合无法充满 n 维空间，方程组未必有解。从行图像的角度来看，三元方程组是否有解意味着什么？当方程所代表的三个平面相交于一点时方程有唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。都是示意图，来看看 GS 和 Lay 的作图差异有多大吧……

大一线性代数知识点笔记

大一线性代数知识点笔记一、向量与矩阵1. 向量向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

在线性代数中，向量可以表示为一个有序的数组。

向量的加法和数乘运算可通过对应元素的相加和相乘来完成。

2. 向量的内积向量的内积也称为点积，表示为两个向量的数量积。

内积的计算方法是将对应元素相乘再求和。

内积可以用于计算向量的长度、夹角以及投影等。

3. 矩阵矩阵是由数个元素排列成的矩形阵列。

矩阵的加法和数乘运算与向量类似，对应元素相加和相乘。

矩阵的乘法是将矩阵的行与列进行对应元素的乘积再求和。

4. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素均为零的矩阵。

- 单位矩阵：对角线上的元素为1，其余元素为零的矩阵。

- 对称矩阵：矩阵的转置等于它本身的矩阵。

- 反对称矩阵：矩阵的转置等于它的相反数的矩阵。

二、线性方程组1. 线性方程组基本概念线性方程组由多个线性方程组成，其中的未知数之间的关系是线性的。

每个方程对应平面或空间中的一条直线、平面或超平面。

2. 线性方程组的求解- 列主元消元法：通过行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形，进而求解。

- Cramer定理：使用行列式的方法求解线性方程组。

- 矩阵的逆：若矩阵存在逆矩阵，则可以通过矩阵的逆求解线性方程组。

三、向量空间与线性映射1. 向量空间向量空间是由满足一定条件的向量组成的集合。

向量空间中的向量支持加法和数乘运算，并满足一定的公理。

2. 子空间子空间是向量空间的一个子集，它本身也是一个向量空间，满足向量加法和数乘的封闭性。

3. 线性映射线性映射是一种将一个向量空间的向量映射到另一个向量空间的操作。

线性映射要求对向量的加法和数乘运算保持线性性质。

四、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X和一个数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应于特征值λ的特征向量。

2. 特征值与特征向量的计算- 特征值可以通过求解矩阵的特征方程来得到。

线性代数笔记

1、1二阶行列式和三阶行列式1、定义由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表22211211a a a a)5(42221121121122211a a a a a a a a 行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式-即.2112221122211211a a a a a a a a D -==2、定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.2、2全排列及其逆序数1、定义：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.2、我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3、定义：在一个排列中()n s t i i i i i 21，若数s t i i >则称这两个数组成一个逆序.4、定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.5、排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。

6、计算排列逆序数的方法方法1）分别计算出排在n ,n ,,,121- 前面比它大的数码之和即分别算出n ,n ,,,121- 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法2）分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例：分别用两种方法求排列16352487的逆序数.333231232221131211)5(339a a a a a a a a a 列的数表行个数排成设有,312213332112322311322113312312332211)6(a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a1、3 n 阶行列式1、定义：nnn n nn np p p ta a a a a a a a a D a a an n n n212222111211212.)1(21=-∑记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由2为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中t n p p p n 21213、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式是n ！项的代数和；3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;4、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆；5、nnp p p a a a 2121的符号为().1t-4、1、4 对换1、定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．2、定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.3、定理 n 阶行列式也可定义为()np p p tn a aaD 21211∑-=其中t 为行标排列np p p 21的逆序数.4、定理 n 阶行列式也可定义为()nn q p qp q p t a a a D 22111∑-=其中nn q q q ,p p p 2121是两个n 级排列，t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.).det(ij a 简记作的元素．称为行列式数)det(ij ij a a ()()nnn np p p p p p p p p t nnn n n na a a a a a a a a a a a D 212121212122221112111∑-==1、5 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.[说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.]性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaD=1、6 行列式按行和列展开1、余子式与代数余子式：在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式，记作.ijM()，记ijjiijMA+-=1叫做元素ija的代数余子式．2、引理一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ija 外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijijA a D =．3、定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211()n i ,,2,1 =4、范德蒙德(Vandermonde)行列式∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n nn n nn n x x x x x x x x x x x D()n i ,,2,1 =5、推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++6、⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ1、7克拉默法则1、非齐次与齐次线性方程组的概念：设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,,,,21不全为零若常数项n b b b 则称此方程组为非齐次线性方程组此时称方程组为齐次线性方程组.2、克拉默法则：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111的系数行列式不等,,,,21全为零若常数项n b b b ⎩⎨⎧≠==.,0,1j i j i ij当，当其中δ于零，即nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=0≠那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为.,,,,232211D D x D Dx D D x D D x n n ====其中D j 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即nn j n nj n n nj j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111+-+-=3、定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式D ≠0则（1）一定有解,且解是唯一的 .4、定理2 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.5、齐次线性方程组的相关定理()2000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a1）定理：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D ≠0则齐次线性方程组（2）没有非零解.2）定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它系数行列式D=0。

线性代数(经管类)笔记

第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规则为2．三阶行列式由9个数得到下列式子：称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式对任何一个元素，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成例如，，再记，称为元素的代数余子式.例如，，那么，三阶行列式定义为我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成4．n阶行列式一阶行列式n阶行列式其中为元素的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4行列式可以按行（列）拆开.性质 5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即或前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即或（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2 计算行列式解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与有相同值的五阶行列式：这样得到一个“箭形”行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.例3 三阶范德蒙德行列式（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组如果其系数行列式，则该方程组只有零解：换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.例4当取何值时，齐次线性方程组只有零解？解：方程组的系数行列式由于故当且且时，方程组只有零解.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时，称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示2．3个常用的特殊方阵：①n阶对角矩阵是指形如的矩阵②n阶单位方阵是指形如的矩阵③n阶三角矩阵是指形如的矩阵3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵，，若，，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设，是两个同型矩阵则规定注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算设，k为任一个数，则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设，，则规定其中由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：①不满足交换律，即②在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定特别又若，则规定称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6．矩阵的转置设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A 的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，，，由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则①；②③（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为，从而A与首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则①是可逆矩阵，且；②AB是可逆矩阵，且；③kA是可逆矩阵，且④是可逆矩阵，且⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P为可逆矩阵，则2．伴随矩阵设为一个n阶方阵，为A的行列式中元素的代数余子式，则矩阵称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点）伴随矩阵必满足（n为A的阶数）3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n阶方阵A可逆，且推论：设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且，例1 设（1）求A的伴随矩阵（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求解：（1）对二阶方阵A，求的口诀为“主交换，次变号”即（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵此时（四）分块矩阵1．分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且五）矩阵的初等变换与初等方阵1．初等变换对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A的某两行（列）；（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为对任一个矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A为任一个n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）然后注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求的逆矩阵解：则例3 求解矩阵方程解：令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得也能用初等行变换法，不用求出，而直接求则（六）矩阵的秩1．秩的定义设A为矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩或零矩阵的秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2．秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使A非奇异，即A的等价标准形为EA可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组只有零解对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的行（列）向量组为的一个基任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.A的特征值均不为零为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组可以表示成矩阵形式，其中为系数矩阵，为常数列矩阵，为未知元列矩阵.从而线性方程组与增广矩阵一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.例4解线性方程组解：把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵：得到同解线性方程组即或取为自由未知量，可知方程组有无穷多解，上式就是所给方程组的一般解.例4解线性方程组解：把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵：得到同解线性方程组即或取为自由未知量，可知方程组有无穷多解，上式就是所给方程组的一般解.2．向量的线性组合设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为组合系数.若一个向量可以表示成则称是的线性组合，或称可用线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A为一个矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量能用线性表出的充要条件是线性方程组有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问能否表示成，，的线性组合？解：设线性方程组为对方程组的增广矩阵作初等行变换：则方程组有唯一解所以可以唯一地表示成的线性组合，且（二）向量组的线性相关与线性无关1．线性相关性概念设是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数.否则，称向量线性无关.由定义可知，线性无关就是指向量等式当且仅当时成立.特别单个向量线性相关；单个向量线性无关2．求相关系数的方法设为m个n维列向量，则线性相关m元齐次线性方程组有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵的秩小于m例2 设向量组，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组其系数矩阵于是，秩，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为令，得一个非零解为则3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4无关组的接长向量组必无关.3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4无关组的接长向量组必无关.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地为向量组的一个极大无关组，而且（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，记作定义2 设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是的子空间，也称为向量空间.2．向量空间的基与维数设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n维向量空间的维数为n，且中任意n个线性无关的向量都是的一个基.3．向量在某个基下的坐标设是向量空间V的一个基，则V中任一个向量都可以用唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量在此基下的坐标.例4证明：构成的一个基，并求出在此基下的坐标.解：考虑由这三个3维向量组成的三阶行列式所以线性无关，它们构成的基，令由得唯一解,则所求在此基下的坐标为第四章线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是定理2当n元非齐次线性方程组有解时，即时，那么（1）有唯一解；（2）有无穷多解.定理3 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是推论1设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组有非零解推论2 设A为矩阵，且，则n元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组的解的全体所组成的向量集合显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间的一个子空间，我们称V为方程组的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n元齐次线性方程组的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n元齐次线性方程组有非零解时，即时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为求基础解系与通解的方法是：对方程组先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求的通解解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：，有非零解，取为自由未知量，可得一般解为写成向量形式，令，为任意常数，则通解为可见，为方程组的一个基础解系.（四）非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设为一个n元非齐次线性方程组，为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果是的解，则是的解性质2如果是的解，是的解，则是的解由这两个性质，可以得到的解的结构定理：定理设A是矩阵，且，则方程组的通解为其中为的任一个解（称为特解）,为导出组的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2当参数a，b为何值时，线性方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：_当时，，有唯一解；当时，，，无解；当时，，有无穷多解.此时，方程组的一般解为令为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为第五章特征值与特征向量（一）特征值与特征向量1．实方阵的特征值与特征向量的定义与求法设A为一个n阶实方阵，若存在一个数及一个非零n维列向量，使得，则称为A的一个特征值，称是A的属于这个特征值的一个特征向量.特征值必是特征多项式的根，而相应特征向量必是齐次线性方程组的非零解，反之也对.例1 设，求A的特征值和特征向量.解：A的特征方程为则为A的两个特征值.对，求解，即得方程组的一个基础解系为，则为A的属于的一个特征向量.对，同理可求出的一个基础解系为则为A的属于的一个特征向量2．特征值和特征向量的性质性质1设是n阶方阵的全体特征值，则必有这里为矩阵A的n个对角元之和，称为A的迹.性质2 设已知为A的特征值，为相应特征向量，即，那么对任意多项式必有，特别性质3 n阶方阵A的属于不同特征值的特征向量必线性无关.（二）方阵的相似变换1．矩阵相似的定义与相似矩阵的基本性质设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得，则称A和B是相似的，记为A～B.相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式，但反之不一定.2．方阵相似对角化若n阶方阵A能相似于一个n阶对角矩阵，则说方阵A是可以相似对角化的，有以下基本定理：定理n阶方阵A可相似对角化A有n个线性无关的特征向量.推论当n阶方阵A有n个互不相同的特征值时，A必能相似对角化.3．方阵相似对角化的方法设A为n阶实方阵，若它能相似对角化，即A有n个线性无关的特征向量，不妨设它们属于的特征值依次为（这里可以有重复的）则令为一个n阶可逆矩阵，必有称这个对角矩阵为A的相似标准形.例2 设，求A的相似标准形解：A的特征方程为则为A的特征值.可求出属于的线性无关特征向量为，属于二重特征值的线性无关特征向量为于是为A的三个特征无关特征向量，A可相似对角化令为可逆矩阵.使得，为A的相似标准形解：A的特征方程为则为A的特征值.可求出属于的线性无关特征向量为，属于二重特征值的线性无关特征向量为于是为A的三个特征无关特征向量，A可相似对角化令为可逆矩阵.使得，为A的相似标准形（三）向量内积和正交矩阵1．向量内积的定义和基本性质下面我们在n维向量空间中讨论设为两个n维列向量，把实数，称为向量与的内积向量的内积具有对称性、线性性与正定性.2．向量的长度n维列向量的长度为实数。

线性代数总结-笔记

线性代数总结-笔记●注●结合两位李老师线代辅导讲义整理而成●●一、行列式●1、概念及性质●行列式●定义：不同行不同列元素乘积的代数和（完全展开式）（共n！项）●逆序数：一个排列中逆序的总数●性质●行列式性质：●①提公因式；●②两行互换，行列式变号（两行相等、两行成比例，丨A丨=0）；●③拆分；●④倍加●方阵行列式性质（运算公式）：●※注意：①行列式性质≠矩阵初等变换；②行列式性质≠矩阵运算●余子式●定义：Mij●代数余子式●定义：●展开公式●丨A丨=按第i行展开=按第j列展开●某行（列）元素×其他行（列）元素的代数余子式=0●Aij的值与aij的取值无关●2、主要公式●上（下）三角行列式●关于副对角线的行列式●拉普拉斯展开式●范德蒙行列式●△特征多项式→求特征值●克拉默法则计算方程组的解●系数行列式D≠0（即丨A丨≠0）●推论1：齐次线性方程组D≠0，则方程组只有零解●推论2：齐次线性方程组有非零解，则丨A丨=0●3、题型总结●行列式的计算●数字型行列式●步骤：①观察行列式特征；②利用展开公式或行列式性质●方法：行（列）加法、加边法、分块法、拆项法、递推法●特殊行列式归纳●爪形行列式：●一般思路：利用对角线元素把行或者列消去，变为上/下三角形；●考题中一般不会给明显爪形，需要先进行恒等变换●三对角线行列式●一般思路：把对角线两边的某一对角线化为0●低阶：①每一行加到第一行；②逐行相加●高阶：数学归纳法递推——①把A展开，看A与几个低阶有关②与一个低阶有关，选择第一数学归纳法；与两个或两个以上低阶有关，选择第二数学归纳法●抽象性行列式●丨A+B丨型的计算●给出A=α，β，γ；B=δ，ε，η→把A+B表示出来，用行列式性质●完全抽象：利用E把A+B恒等变形，根据矩阵行列式性质化为已知条件●丨A丨型计算●遇到A的伴随、转置或逆矩阵等，先利用矩阵性质化为A后，再计算●遇到α1，α2，α3是线性无关向量且给有Aα1，Aα2，Aα3：①行列式性质②利用相似“A~B，则丨A丨=丨B丨”●利用特征值●例题●三对角线行列式 @例题●@●加边法求行列式 @例题●@●抽象行列式 @例题●@ 行列式性质拆分、加加减减；相似；由已知条件观察A的伴随、A的转置、A的逆、A之间的关系。