线性代数笔记

线性代数笔记

第一章行列式 (1)

第二章矩阵 (2)

第三章向量空间 (8)

第四章线性方程组 (11)

第五章特征值与特征向量............................................................................ 错误!未定义书签。第一章行列式

1.3.1 行列式的性质

给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

性质1 转置的行列式与原行列式相等。即

(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)

性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。

可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。

性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。

以二阶为例

推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。

性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，

注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。

性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。

范德蒙德行列式

例10 范德蒙行列式……

.

=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)

1.4 克莱姆法则

定理1.4.1 对于n阶行列式

定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:

定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。

推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。

第二章矩阵

一、矩阵的运算

1、矩阵的加法

设A=（a ij）m×n ，B=（b ij）m×n ，则

A+B=（a ij+b ij）m×n

矩阵的加法适合下列运算规则：

（1）交换律：A+B=B+A

（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）

（3）A+0=0+A=A

此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（a ij）m×n ，0=0m×n

（4）矩阵A=（a ij）m×n，规定-A=（-a ij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=0

2、矩阵的数乘

设A=（a ij）m×n，K为数，则

KA=（Ka ij）m×n

矩阵的数乘适合下列运算规则：

（1）K（A+B）=KA+KB

（2）（K+L）A=KA+LA

（3）（KL）A=K（LA）

（4）1*A=A

（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。）

3、矩阵的乘法

设A=（a ij）m×n，B=（b jk）n×l，则

A*B=C=（c ik）m×l

其中C=Σa ij b jk（j=1，n）

注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子，即A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能A*B=0（零矩阵）

矩阵的乘法适合以下法则：

（1）结合律：（AB）C=A（BC）

（2）分配律（A+B）C=AC+BC

C（A+B）=CA+CB

（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。

由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幂是有意义的，即A k=A*A…A共k 个A相乘，从而有

（1）A k A l=A k+l

（2）（A k）l=A kl

（3）I n A=AI n=A

4、矩阵的转置

将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作A T或A/

注意A是m×n矩阵，则A T为n×m矩阵

矩阵的转置适合下列运算法则：

（1）（A T）T=A

（2）（A+B）T=A T+B T

（3）（kA）T=kA T

（4）（AB）T=B T A T

5、方阵的逆矩阵

设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则

1.可逆，且。AA-1=A-1A=E

2.AB可逆，。

3.也可逆，且。（A-1）k=（A k）-1

4.kA也可逆，且。（注：K不能为0）

5.消去律设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。

若a≠0，ab=ac则b=c。

6.设A是n阶可逆方阵。定义，并定义。则有，其中k，l是任意整数。

7.设A 是 n阶可逆方阵，则。

2.3.1 逆矩阵的定义

定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。

则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。

若这样的B不存在，则称A不可逆。

定理2.3.1可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。

定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。

推论设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。

2.4.1 分块矩阵的概念

对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算

（1）准对角矩阵