2020-2021学年北京四中九年级(上)开学数学试卷
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析
北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析北京四中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A ．6，7，8B ．2，3，4C ．3，4，6D ．6，8，10 2.下列各式中，运算正确的是（）A B ．3= C ．2+= D 2=-3.如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，点D 为AB 的中点，若2AC =，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处 5.用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为（）A ．()223x += B ．()225x += C ．()223x -= D ．()225x -= 6.下列条件中，不能．．判定一个四边形是菱形的是（）A ．一组邻边相等的平行四边形B ．一条对角线平分一组对角的四边形 C ．四条边都相等的四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形7.若a ，b ，c 满足0,0,a b c a b c ++=??-+=?则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是（）A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息：则下列选项正确的是（） A ．可能会有学生投中了8个B ．五个数据之和的最大值可能为30C ．五个数据之和的最小值可能为20D ．平均数m 一定满足4.2 5.8m ≤≤之间9.如图1，将矩形ABCD 和正方形EFGH 的分别沿对角线AC 和EG 剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN ，中间空白部分的四边形KRST 是正方形.如果正方形EFGH 与正方形KRST 的面积分别是16和1，则矩形ABCD 的面积为（）A ．15B ．16C ．17D ．2510.如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .设AE x =，矩形ECFG 的面积为y ，则y 与x 之间的关系描述正确的是（）A ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先增大再减小B ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先减小再增大C ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变D ．y 与x 之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.计算：已知x =y =xy = ．12.有意义的x 的取值范围是．13.如图，在平行四边形ABCD 中，2ED =，5BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则CD 的长为．14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以是．15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。
北京四中初三数学期中试题 (含答案)
初三数学试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。
3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。
一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是 （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦， 点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3， 则⊙O 的半径长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x -2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB CO第2题图第4题图第6题图7．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x… 2- 1-0 1 23 … y…4-2 24-…下列结论：①抛物线开口向下； ②当−1<x <2时，y >0；③抛物线的对称轴是直线12x =； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大值为2. 其中所有正确的结论为( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ， ⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上 不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作 PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分．．图象是（ ）A. B.C.D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 .10．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°， 那么∠ACB 的度数为 .11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y =x 2+bx +c(a ≠0)上的两个点， 则b = ．第8题图BCAO第10题图12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m ．13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上， 过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示，则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.解：如图2，连接BC. ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径． （依据是___________________________________________）431254312OxyC BA 第13题图图1图2第12题图yx41-4O第14题图图2图1第15题图∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________）∴BC OB 21=．∵OB=2,∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ⊥abc ＜0； ⊥20a b +=； ⊥4a −2b +c >0； ⊥若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.（1）0232=++x x ； （2）01222=--x x .18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.0m n >>C D OAB第16题图20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．21. 如图，⊥ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E . 求证：（1）BD=DC ;（2）DE 是⊙O 的切线.22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？x … ... y …...23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________． （2）化简：当x >0时函数y =_________，当x <0时函数y =________.（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点， 画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1） 求抛物线的对称轴；（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．25. （1）已知等边三角形ABC ，请作出△ABC 的外接圆⊙O .在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC .①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，∠C =90°.在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂直C ABO平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”.右图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”已知点P（0, 4），Q（a, 0）（1）如图1，a=4，在点A（1, 0）、B( 2, 2)、C( 2√3, 2√3) 、D( 5, 5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为.（2）如图2，a=4√3，①已知D(0 , 8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围;②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−√3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围.图1图2初三期中测试数学学科参考答案：一、选择题1、D2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A 二、填空题9、9 10、110 11、-6 12、2 13、（2，1） 14、-3，0 15、90º的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等。
北京市第四中学2020-2021学年九年级数学第一学期期末综合测试十一试卷
AE 期末综合测试十一学校班级 姓名 考号一、选择题(本题共 24 分，每小题 3 分，下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的） 1．抛物线 y = (x -1)2+ 2 的对称轴是A ． x = -1B ． x = 1C ． x = -2D ． x = 22．在△ABC 中，∠C = 90°．若 AB = 3，BC = 1，则sin A 的值为3．如图，线段 BD ，CE 相交于点 A ，DE ∥BC ．若 AB = 4，AD = 2，DE = 1.5， 则 BC 的长为 A ．1 B ．2C ．3D ．4CD4．如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE ．若点 D 在线段ABC 的延长线上，则∠B 的大小为 EA ．30°B ．40°C ．50°D ．60°B C D5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC = 3:2，∠A = α，∠C = β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 S 1 和 S 2 ，△OAB与△OCD 的周长分别是C 1 和C 2 ，则下列等式一定成立的是6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不．经过 A ．点 M B ．点 N C ．点 P D ．点 Q7．如果在二次函数的表达式 y = ax 2 +bx + c 中，a > 0 ，b < 0 ，c < 0 ，那么这个二次函数的图象可能是3 COD（A ） （B ） （C ） （D ）8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC = DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说法正确的是AB图 1图 2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点 D D ．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）9．方程 x 2- 2x = 0 的根为．10．已知∠A 为锐角，且tan A = 3 ，那么∠A 的大小是°．11．如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为 4，则弦 AB 的长为 ． 12．如图，抛物线 y = ax 2+ bx + c 的对称轴为 x = 1，点 P ，点 Q 是抛物线与 x轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点 A ，点 C ，若∠P = 60°，PA= ，则 AB 的长为 ．初三年级（数学） 第 2 页（共 6 页）yO xy O xy Ox y O xyO 1.097.49 9.6817.12xA CODB2 15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2m ，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ．交通 信号灯16．下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算： 2sin 30 ° -2 cos 45 ° + 8 ．18．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB = 3的长．A，AC = 5， sin C = 3，求 BC5BC黄 3.2m绿0.8m20m10mx m已知：平面内一点 A ． 求作：∠A ，使得∠A = 30°． 作法：如图，D（1）作射线 AB ；AO C B（2）在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C ；（3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点 D ，作射线 AD ．∠DAB 即为所求的角．19．已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板， 在边 AB 上选取一点 M ，分别以 AM 和 MB 为边 截取两块相邻的正方形板料. 当 AM 的长为何值时， 截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?20．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = -x 2 + mx + n 经过点 A (-1,0) 和 B (0,3) . （1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与 x 轴的正半轴交于点 C ，连接 BC ．设抛物线的顶点 P 关于直线 y = t的对称点为点 Q ，若点 Q 落在△OBC 的内部，求 t 的取值范围．A21．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC ，过点 D 作 DE ∥AB 交弦BC 于点 E ，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF = DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD = 4，DE = 5，求 DM 的长．22．如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒ ，∠C = 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50°至 AD ' ，连接 BD ' ．已知 AB = 2cm ，设 BD 为 x cm ，B D '为 y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程， 请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）DOB EC F（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x / cm0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3 y / cm1.71.31.10.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段 BD ' 的长度的最小值约为 cm ； 若 BD ' ≥ BD ，则 BD 的长度 x 的取值范围是．23．已知二次函数 y = ax 2- 4ax + 3a ．（1）该二次函数图象的对称轴是 x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最大值是 2，求当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点 P (x 1，y 1 ) 合图象，直接写出t 的最大值．， Q (x 2，y 2 ) ，当t ≤ x 1 ≤ t +1， x 2 ≥ 5 时，均满足 y 1 ≥ y 2 ，请结24．对于⊙C 与⊙C 上的一点 A ，若平面内的点 P 满足：射．线．AP 与⊙C 交于点Q （点 Q 可以与点 P 重合），且 1 ≤PA≤ 2 ，则点 P 称为点 A 关于⊙C 的“生长点”．QA已知点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，点 A （-1，0）．（1）若点 P 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点 P 的坐标；（2）若点 B 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且满足 tan ∠BAO = 1 ，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；2（3）直线 y = 3x + b 与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 N ，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出 b 的取值范围是．yy5 5 4 4 3 3 2211AA–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x25．在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC ．（1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD ，CE 交于点 Q ，请判断“ QB =2QA ”是否正确：（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接 PA ，PB ，且PB = ①如图 2，点 P 在△ABC 内，∠ABP = 30°，求∠PAB 的大小；PA ．②如图 3，点 P 在△ABC 外，连接 PC ，设∠APC = α，∠BPC = β，用等式表示 α，β 之间的数量关系， 并证明你的结论．A AABCB CB C图 1 图 2 图 3PPEQD2。
2020-2021北京第四中学九年级数学上期末模拟试题(含答案)
2020-2021北京第四中学九年级数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（ ） A ．m≥1 B ．m ＞1 C ．m≥1且m≠3 D ．m ＞1且m≠3 2．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．﹣13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．65︒4．一元二次方程的根是（ ）A ．3x =B ．1203x x ==-，C ．1203x x =，D ．1203x x ==，5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜1B ．1＜m ≤2C ．2＜m ＜4D ．0＜m ＜46．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．138．抛物线2y ax bx c =++经过点(1，0)，且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=；③9a-3b+c=0；④若0m n >>，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）A ．3B ．3C ．3D ．810．以3942cx ±+=为根的一元二次方程可能是（ ） A ．230x x c --=B ．230x x c +-=C ．230-+=x x cD ．230++=x x c11．若20a ab -=（b ≠0），则aa b+=（ ） A ．0B ．12 C ．0或12D ．1或 212．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、3二、填空题13．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．14．设二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为A，B，其顶点坐标为C，则△ABC的面积为_____．15．“明天的太阳从西方升起”这个事件属于________事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．16．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是_____．17．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于______．18．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是_____．19．两块大小相同，含有30°角的三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是______度．20．某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．三、解答题21．某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系；（2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？22．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m ，200m ，400m(分别用1A 、2A 、3A 表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用1B 、2B 表示)．()1该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；()2该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 24．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +2＝0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且x 12+x 22＝2，求m 的值．25．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x 的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m 的一元一次不等式组，然后方程组即可. 【详解】解：∵（m-3）x 2-4x-2=0是关于x 的方程有两个不相等的实数根， ∴230(4)4(3)(2)0m m -≠⎧⎨∆=---⨯->⎩ 解得：m>1且m ≠3. 故答案为D. 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.2．A解析：A 【解析】 【分析】把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论． 【详解】解：设抛物线y=2（x-3）2+k 向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1， ∴k=2， 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数． 【详解】 ∵35C ∠=︒∴35BAD C =∠=︒∠ ∵AB 是圆O 的直径 ∴90ADB ∠=︒∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠ 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．4．D解析：D【解析】x2−3x=0，x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3.故选：D.5．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．【详解】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），∴x0＞4，∴对称轴为x=m中2＜m＜4，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．6．D解析：D【解析】【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．B解析：B 【解析】 【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得． 【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49． 【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．8．D解析：D 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1可得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m ＞n ＞0，得出m ﹣1和n ﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图象可知： a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0， 所以①错误；②∵对称轴为直线x ＝﹣1， 即﹣2ba＝﹣1，解得b ＝2a ，即2a ﹣b ＝0，所以②错误；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴33，∴3．故选A．【点睛】本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．10．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．设x 1，x 2是一元二次方程的两个根，∵32x ±=∴x 1+x 2=3，x 1∙x 2=-c ，∴该一元二次方程为：21212()0x x x x x x -++=，即230x x c --=故选A. 【点睛】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠， ∴a(a-b)=0， ∴a=0，b=a ． 当a=0时，原式=0； 当b=a 时，原式=12， 故选C12．A解析：A 【解析】 【分析】让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a ，b 的值． 【详解】解：∵P （-b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点， ∴-b+3=0，2+2a=0， 解得a=-1，b=3， 故选A ． 【点睛】用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．二、填空题13．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.14．8【解析】【分析】首先求出AB 的坐标然后根据坐标求出ABCD 的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y ＝x2﹣2x ﹣3设y ＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A 点的坐标是（﹣10解析：8 【解析】 【分析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0， ∴0＝x 2﹣2x ﹣3， 解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0）， ∵y ＝x 2﹣2x ﹣3， ＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点C 的坐标是（1，﹣4）， ∴△ABC 的面积＝12×4×4＝8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．15．不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起所以明天的太阳从西方升起这个事件属于不可能事件故答案为:不可能解析：不可能 【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起,所以”明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件,故答案为:不可能.16．（0﹣1）【解析】【分析】将x ＝0代入y ＝（x ﹣1）2﹣2计算即可求得抛物线与y 轴的交点坐标【详解】解：将x ＝0代入y ＝（x ﹣1）2﹣2得y ＝﹣1所以抛物线与y 轴的交点坐标是（0﹣1）故答案为：（0解析：（0，﹣1）【解析】【分析】将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．17．16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积依此列式计算即可【详解】解：如图2+2=4恒星的面积=4×4-4π=16-4π故答案为16-4π【点睛】本题考查了扇形面解析：16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．【详解】解：如图．2+2=4，恒星的面积=4×4-4π=16-4π．故答案为16-4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积．18．【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解再由三角形的三边关系确定出第三边最后求周长即可【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0解得：x＝或x＝4当x＝时+2＜4解析：【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可．【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝12或x＝4，当x＝12时，12+2＜4，不能构成三角形，舍去；则三角形周长为4+4+2＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 19．30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB 的中线可得△E′CB是等边三角形从而得出∠ACE′的度数和CE′的长从而得出△CDE旋转的度数【详解】解：∵三角板是两块大小解析：30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB的中线，可得△E′CB是等边三角形，从而得出∠ACE′的度数和CE′的长，从而得出△CDE旋转的度数．【详解】解：∵三角板是两块大小一样且含有30°的角，∴CE′是△ACB的中线，∴CE′＝BC＝BE′，∴△E′CB是等边三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，本题关键是得到CE´是△ABC的中线．20．10【解析】【分析】设年平均增长率为x则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元建立方程2500(1+x)2=3025求解即可【详解】解：设年平均增长解析：10%【解析】【分析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【详解】解：设年平均增长率为x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键.三、解答题21．（1）y ＝﹣10x+700；（2）销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元【解析】【分析】（1）由一次函数的图象可知过(30，400)和(40，300)，利用待定系数法可求得y 与x 的关系式；（2）利用x 可表示出p ，再利用二次函数的性质可求得p 的最大值．【详解】（1）设一次函数解析式为y =kx +b (k ≠0)，由图象可知一次函数的过(30，400)和(40，300)，代入解析式可得3040040300k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：10700k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为y =﹣10x +700；（2）设利润为p 元，由（1）可知每天的销售量为y 千克，∴p =y (x ﹣20)=(﹣10x +700)(x ﹣20)=﹣10x 2+900x ﹣14000=﹣10(x ﹣45)2+6250．∵﹣10＜0，∴p =﹣10(x ﹣45)2+6250是开口向下的抛物线，∴当x =45时，p 有最大值，最大值为6250元，即销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得每天的销售量y 与x 的函数关系式是解答本题的关键，注意二次函数最值的求法．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．23．(1)25;(2)35. 【解析】【分析】 （1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：25． 故答案为25； （2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：123 205．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）详见解析；（2）m＝﹣3或m＝﹣1【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）利用跟与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可解答.【详解】解：（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2，∵无论m取何值，（m+1）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，∵x12+x22＝2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，∴代入化简可得：m2+4m+3＝0，解得：m＝﹣3或m＝﹣1【点睛】此题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．25．（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．。
北京四中2020~2021学年度九年级上期末综合测试三
3
17．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 边上任意一点（不与点 C，D 重合），作 AF⊥AE 交 CB 的延长线于点 F．
（1）求证：△ADE∽△ABF； （2）连接 EF，M 为 EF 的中点，AB＝4，AD＝2，设 DE＝x，
求点 M 到 FC 的距离（用含 x 的代数式表示）．
8．已知二次函数 y x2 2x 3 ． （1）在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数的图象； （2）当 0≤x≤3 时，结合函数图象，直接写出 y 的取值范围．
（2）如图 2，再将纸片分别沿 EC，BD 所在直线翻折，折痕 EC 和 BD 相交于点 O.
那么点 O 到边 AB 的距离与点 O 到边 CD 的距离的比值是
．
图1
图2
16．某游乐园的摩天轮(如图 1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中
可以俯瞰美景，图 2 是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心 O 顺时针方向转
据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为
1
x (单位：m)
0
2
4
y (单位：m)
2.25
3.45
3.05
A．1.5m
B． 2m
C． 2.5m
D． 3m
8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.
除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图 1 )，它是分别以
D．140
5．如图，抛物线 y ax2 bx c (a 0) 的对称轴为直线
x 1 ．下列结论中，正确的是 2
A．a＜0 B．当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大
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北京市西城区第四中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
北京市西城区第四中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y=(x+1)2-2的最小值是（）A．1 B．－1 C．2 D．－22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°3．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y=5（x﹣2）2+1 B．y=5（x+2）2+1 C．y=5（x﹣2）2﹣1 D．y=5（x+2）2﹣14．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知A(12，y1），B(1，y2），C(4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 6．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：下列结论：①抛物线开口向下；②当﹣1＜x＜2时，y＞0；③抛物线的对称轴是直线12x ；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．其中所有正确的结论为（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．若抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个交点，则m 的值为______.10．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB ＝140°，那么∠ACB 的度数为_____．11．若点(1，5)，(5，5)是抛物线y ＝x 2+bx+c （a≠0）上的两个点，则b ＝_____． 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m ．13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上，过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．14．已知关于x 的二次函数2y ax bx 4=++的图象如图所示，则关于x 的方程2ax bx 0+=的根为__________15．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为(2，0)，点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径． 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程． 解：如图2，连接BC ． ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径（依据是_____）． ∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°（依据是_____）． ∴12OB BC =． ∵OB ＝2，∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线y＝ax2+bx+c经过点(1，0)，且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的序号是_____．17．在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是．（2）化简：当x＞0时函数y＝，当x＜0时函数y＝．（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：．（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为．三、解答题18．解关于x的方程．（1）x2+3x+2＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．19．已知抛物线的顶点为(﹣2，2)，且过坐标原点，求抛物线的解析式．20．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，求⊙O半径的长．21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，回答下列问题：（1）画出该函数图象（要求列表、2B铅笔画图）；（2）当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是．22．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC 的垂线，垂足为E．证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．23．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P(0，2)作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m 的取值范围． 25．（1）已知等边ABC ，请作出ABC 的外接圆O ．在O 上任取一点P （异于,,A B C 三点），连结,,PA PB PC ．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断,,PA PB PC 的关系，并给出证明．（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，90C ∠=︒．在O 上任取一点P （异于,,A B C 三点），连结,,PA PB PC ．①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断,,PA PB PC 的关系，并给出证明．26．在平面直角坐标系xOy 中，对于ABC ，点P 在BC 边的垂直平分线上，若以点P 为圆心，PB 为半径的⨀P 与ABC 三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P 为ABC 关于边BC 的“Math 点”．如图所示，点P 即为ABC 关于边BC 的“Math 点”．已知点P(0，4)，Q(a ，0)．（1）如图1，a ＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(、D(5，5)中，POQ 关于边PQ 的“Math 点”为 ．（2）如图2，a=①已知D(0，8)，点E 为POQ 关于边PQ 的“Math 点”，请直接写出线段DE 的长度的取值范围；②将POQ 绕原点O 旋转一周，直线y b =+交x 轴、y 轴于点M 、N ，若线段MN 上存在POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求b 的取值范围．参考答案1．D 【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值. 【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2. 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的最值. 2．B 【详解】试题分析：∵OB ＝OC ，∠OCB ＝40°， ∴∠BOC ＝180°－2∠OCB ＝100°， ∴由圆周角定理可知：∠A ＝12∠BOC ＝50°． 故选B ． 3．A 【详解】试题解析：将抛物线25y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式是()252 1.y x =-+ 故选A.点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减. 4．B 【分析】先根据垂径定理求出AC 的长，再根据勾股定理求出OA 的长即可： 【详解】如图， ∵OC ⊥AB 于C ，AB=8， ∴AC=12AB=4， 在Rt △OAC 中，∵OC=3，AC=4，∴5OA=.故选择：B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理与勾股定理是解题关键5．B【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出y1、y2、y3的大小关系．【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，在对称轴左侧，y随x的增大而增大∴C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），∵﹣12＜0＜1＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：B．【点睛】本题考查比较函数值的大小．解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越大．6．D【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到=BD BG，而=BD DE，所以DE BG=，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而可对③进行判断．【详解】解：∵∠A与∠E都对BD，∴∠A＝∠E，所以①正确；∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，所以②正确；∵AB⊥DG，∴=BD BG，∵点D是弧EB的中点，即=BD DE，∴DE BG=，∴∠DBE＝∠BDG，∴FB＝FD，所以③正确．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．也考查了垂径定理．7．A【分析】利用待定系数法可得二次函数解析式，画出函数图像，根据图像与二次函数的性质对各选项判断即可得答案．【详解】解：∵抛物线经过（-1，0），（0，2），（1，2）三点，∴22 a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：112abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2，∵-1<0，∴抛物线开口向下，故①正确，∵通过结合表格与图像可知，抛物线与x轴两交点的坐标为（-1,0）和（2,0），由抛物线开口向下，在两交点之间，y＞0，当﹣1＜x＜2时，y＞0；故②正确，∵y=-x2+x+2=-(x-12)2+94，∴对称轴为x=12，最大值为94，故③正确，④错误，综上所述：正确的结论有①②③，故选：A．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．8．A【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．【详解】解：连接PC．∵P （3，0），C （0，2）， ∴PC 2＝13． ∵AB 是直径， ∴∠Q ＝90°．又PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ， ∴四边形PEQF 是矩形． ∴PE ＝QF ． ∵PF ⊥QB 于F ， ∴QF ＝BF ． ∴PE ＝BF ．∴y ＝PE 2+PF 2＝BF 2+PF 2＝PC 2＝13． 故选：A ． 【点睛】此题综合运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y 的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线． 9．9 【分析】利用抛物线与x 轴只有一个交点，则b 2-4ac=0进而求出即可 【详解】∵抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个交点， ∴b 2-4ac=36-4m=0， 解得：m=9. 故答案为：9. 【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，熟练掌握抛物线与x 轴交点个数与系数的关系是解题10．110° 【分析】在优弧AB 上取点D ，连接AD 、BD ，根据圆周角定理求出∠ADB 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠ACB 的度数即可． 【详解】解：如图，在优弧AB 上取点D ，连接AD 、BD ， 由圆周角定理得：∠ADB ＝12∠AOB ＝70°， ∵∠ACB +∠ADB ＝180°， ∴∠ACB ＝180°﹣∠ADB ＝110°， 故答案为：110°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的内接四边形，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 11．-6 【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求得b 的值． 【详解】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y ＝ax 2+bx+c 上的两个点，它们的纵坐标相等． ∴抛物线对称轴是直线x ＝152＝3， ∴﹣2b＝3， ∴b ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了二次函数上点的坐标特征，根据抛物线的对称性求得对称轴是解题的关键．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝12AB＝12×8＝4，在Rt△AEO中，OE3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．13．（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 14．0或-3 【分析】求关于x 的方程2ax bx 0+=的根，其实就是求在二次函数2ax bx 4y =++中，当 y=4时x 的值，据此可解． 【详解】解：∵抛物线与x 轴的交点为（-4，0），（1，0）， ∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-3，4）， ∴当x=0或-3时，y=4,即2ax bx 4++=4，即2ax bx +=0 ∴关于x 的方程ax 2+bx =0的根是x 1=0，x 2=-3． 故答案为：x 1=0，x 2=-3． 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．15．90°的圆周角所对的弦是直径 同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】先利用圆周角定理判断BC 是⊙A 的直径，∠OCB ＝∠ODB ＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC 即可． 【详解】解：如图2，连接BC ， ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等）， ∴12OB BC． ∵OB ＝2，∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．【点睛】本题考查圆周角性质，30°角直角三角形性质，推理的依据，掌握基础知识，基本定理是解题关键． 16．③④ 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1可得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m ＞n ＞0，得出m ﹣1和n ﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图象可知：开口向下，所以a ＜0，对称轴为直线x ＝﹣2ba=﹣1，所以b ＜0，抛物线与y 轴交点在正半轴，所以c ＞0， ∴abc ＞0，故①错误； ②∵对称轴为直线x ＝﹣2ba=﹣1， 解得b ＝2a ，即2a ﹣b ＝0， 故②错误；③∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小，可知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；故答案为③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，解题关键是树立数形结合思想，充分理解图象信息，熟练进行推导说理．17．（1）全体实数；（2）x2﹣2x，x2+2x；（3）图像见详解，函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；（4）k＝﹣1或k＞0【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；（2）根据绝对值的意义化简即可；（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；（4）根据图象即可求解．【详解】解：（1）函数y＝x2﹣2|x|是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数，故答案为全体实数；（2）当x＞0时函数y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝x2+2x，故答案为y＝x2﹣2x，y＝x2+2x；（3）列表：描点、连线用平滑曲线连接画出如下函数图象：由图象和表格可知：函数的最小值为﹣1，x ＞1时，y 随x 的增大而增大，答案不唯一； 故答案为函数的最小值为﹣1；x ＞1时，y 随x 的增大而增大，答案不唯一；（4）直线y ＝k 是与x 轴平行的直线，与该函数只有两个公共点，直线y ＝k 图像为x 轴上方，或过函数的做地点，根据图象判断k 的取值范围为k ＝﹣1或k ＞0． 故答案为：k ＝﹣1或k ＞0．【点睛】本题考查自变量取值范围，化简绝对值函数，函数的性质，抛物线与直线交点问题，掌握自变量取值范围，化简函数，函数的性质，抛物线与直线交点问题，利用数形结合思想确定直线y=k 与抛物线的位置是解题关键18．（1）x 1＝﹣1，x 2＝﹣2；（2）12x x ==【分析】（1）利用因式分解法求解即可得答案； （2）利用公式法求解即可得答案． 【详解】 （1）x 2+3x+2＝0（x+1）（x+2）＝0 x+1＝0或x+2＝0解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2； （2）2x 2﹣2x ﹣1＝0 ∵a ＝2，b ＝﹣2，c ＝﹣1，∴△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，则x ＝2b a-＝24±，即1x =，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等；熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键． 19．y ＝﹣12（x +2）2+2 【分析】设顶点式y ＝a （x +2）2+2，然后把（0，0）代入求出a 即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点为(﹣2，2)， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）2+2， 把（0，0）代入得，a （0+2）2+2＝0，解得a ＝﹣12， 所以抛物线的解析式为y ＝﹣12（x +2）2+2． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，解题关键是根据已知设抛物线的顶点式，代入数值后准确计算．20．⊙O 半径的长为52． 【分析】设⊙O 的半径为r ，在Rt △ACO 中，根据勾股定理列式可求出r 的值． 【详解】解：设⊙O 的半径为r ，则OA ＝r ，OC ＝r ﹣1， ∵OD ⊥AB ，AB ＝4， ∴AC ＝12AB ＝2， 在Rt △ACO 中，OA 2＝AC 2+OC 2， ∴r 2＝22+（r ﹣1）2， r ＝52， 答：⊙O 半径的长为52． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题． 21．（1）列表，画图见解析；（2）12-＜y 4≤． 【分析】（1）采用列表、描点法画出图象即可；（2）求得3x =-，3x =时所对应的函数值，结合函数的最大值，即可得到答案． 【详解】解：（1）()222314y x x x =-++=--+ 列表：描点、连线作图如下：（2）把3x =-代入2y x 2x 3=-++得12y =-， 把3x =代入2y x 2x 3=-++得0,y = 当1x =时，函数取最大值： 4.y =∴ 当3-＜x ＜3时，y 的取值范围是12-＜y≤4，故答案为12-＜y≤4． 【点睛】本题考查了二次函数的作图，二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出函数图象是解题的关键． 22．详见解析 【分析】（1）连接AD ，由于AB 是直径，那么∠ADB=90°，而AB=AC ，根据等腰三角形三线合一定理可知BD=CD ；（2）连接OD ，由于∠BAC=2∠BAD ，∠BOD=2∠BAD ，那么∠BAC=∠BOD ，可得OD ∥AC ，而DE ⊥AC ，易证∠ODB=90°，从而可证DE 是⊙O 切线． 【详解】 解：如图所示，（1）连接AD ，∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°， 又∵AB=AC ，∴BD=CD；（2）连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODB=∠AED=90°，∴DE是⊙O的切线．【点睛】切线的判定；圆周角定理．23．（1）6；（2）9.【分析】（1）由“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）”，列出算式，即可；（2）设有x支球队参加比赛，列出关于x得方程，即可求解.【详解】（1）∵每两队之间都赛一场，∴4支球队共进行比赛场数为：4×3÷2=6；故答案是：6.（2）设有x支球队参加比赛，根据题意得：()=3612x x-,解得：129,8x x==-（舍去），答：有9支球队参加比赛.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键.24．（1）x=﹣1；（2）①M(﹣3，2)，N(1，2)；②1132m<≤或1123m-<<-【分析】（1）利用对称轴方程求得即可；（2）①根据题意M、N的纵坐标相同都是2，把y＝2代入解析式，解方程即可求得；②分两种情况讨论，把临界得代入解析式求得m的值，从而求得m的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．∴对称轴为直线x＝﹣22mm＝﹣1；（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，∴M（﹣3，2）；N（1，2）；②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝13，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝12，结合图象可得11 32m<≤．当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3）， 将（0，3）代入y ＝mx 2+2mx ﹣3m +2，得到 m ＝﹣13， 将（﹣1，4）代入y ＝mx 2+2mx ﹣3m +2，得到 m ＝﹣12， 结合图象可得1123m -≤<-． 综上，m 的取值范围为1132m <≤或1123m -≤<-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用二次函数的对称轴公式、开口方向和大小解决问题．25．（1）①见解析；②BP AP PC =+或AP BP PC =+或,CP AP BP =+证明见解析；（2）①见解析；②AP BP -=或AP BP +=，证明见解析；【分析】（1）①分别作,AB AC 的中垂线，以中垂线的交点O 为圆心，以OA 为半径画圆即可得到答案， 再根据点P 分别在,,AB AC BC 上时作图即可；②分三种情况，点P 分别在,,AB AC BC 上时，如图，当P 在AC 上时，在PB 上截取PE PA =，连接,AE 利用等边三角形的性质证明,AEB APC ≌可得 ,BE PC = 从而可得,BP BE PE AP PC =+=+ 同理可得：,CP AP BP =+.AP CP BP =+（2）①作直径AB 的垂直平分线交O 于,C 连接,,AC BC 可得等腰直角三角形,ABC 点P 分两种情况，P 在BC 或AC 上时，P 在ANB 上时，画出图形即可；②当P 在BC 上时，在PA 上截取AK PB =，由45,APC ABC ∠=∠=︒可证明AKC BPC ≌，则CK CP =，可得等腰直角三角形CPK ，从而得出AP BP -=．当P 在AC 上时，同理可得：BP AP -=，当P 在ANB 上时，同理可得AP BP +=．【详解】 解：（1）①如图，O 即为所求作的等边ABC 的外接圆，点P 分以下三种情况画图，②如图，当P 在AC 上时，在PB 上截取PE PA =，连接,AEABC 为等边三角形， 60,ACB BAC ∴∠=∠=︒,AB AC =∴ 60,APB ACB ∠=∠=︒∴APE 是等边三角形，60,EAP ∴∠=︒ ,AP AE PE ==,BAE EAC EAC CAP ∴∠+∠=∠+∠ ,BAE CAP ∴∠=∠∴(),AEB APC SAS ≌∴,BE PC =∴.BP BE PE AP PC =+=+如图，当P 在AB 上时，在PC 上截取PE PA =，连接,AE同理可得.CP AP BP =+如图，当P 在BC 上时，在AP 上截取PE PB =，连接,BE同理可得.AP CP BP =+（2）①如图，ABC 即为所求作的等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒P 分两种情况：P 在BC 或AC 上时，P 在ANB 上时，画出图形如下；②如图，P 在BC 上时，在PA 上截取AK PB =，等腰直角三角形,90,ABC C ∠=︒,AC BC ∴=∵,CAP CBP ∠=∠ ∴(),CAK CBP SAS ≌ ∴,CK CP =∵45,APC ABC ∠=∠=︒45,CKP CPK ∴∠=∠=︒∴CPK 是等腰直角三角形，∴,PK ==∴,PK AP AK AP BP =-=-=当P 在AC 上时，如图，在PB 上截取BK AP =，同理可得：,BP AP -=综上：.AP BP -=如图，当P 在ANB 上时，延长PB 至,K 使,BK AP =同理可得：.PK PB BK AP BP =+=+=【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的外接圆与圆的内接三角形的作图，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．26．（1）B ，C ；（2）①6DE ≤≤②4b ≤<-4b -<≤ 【分析】（1）根据“Math 点”的定义，结合图象判断即可．（2）①首先证明∠PQO ＝30°，当点E 与PQ 的中点K 重合时，点E 是△POQ 关于边PQ的“Math 点”，此时E （2），当⊙E′与x 轴相切于点Q 时，E′（8），推出DE′＝E 在线段KE′上时，点E 为△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出点D 到直线E′K 的最小值，即可解决问题．②如图3中，分别以O 为圆心，2和为半径画圆，当线段MN 与图中圆环有交点时，线段MN 上存在△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出直线MN 与大圆或小圆相切时b 的值，即可判断． 【详解】解：（1）根据“Math 点”的定义，观察图象可知，△POQ 关于边PQ 的“Math 点”为B 、C ． 故答案为：B ，C ．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（，0），∴OP＝4，OQ＝∴tan∠PQO∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（，2），∵D（0，8），∴DE，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（，8），∴DE′＝观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为sin60°＝6，∴6x≤≤②如图3中，分别以O为圆心，2和为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN 与大圆相切时，b ＝±，观察图象可知，满足条件的b 的值为：4b ≤<-4b -≤．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，三角形的外接圆，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象，寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
精品解析：北京四中2020-2021学年九年级上学期数学试题(解析版)
正确的是（ ）
A. ③
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
6. 矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 C. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
【答案】C
【解析】 【分析】 利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等， 互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选 C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
4. 方程 x(x x 的解是（ ）
A. x 1 C. x1 0 ， x2 1
B. x 2
D. x1 0 ， x2 2
【答案】D 【解析】 【分析】 首先移项，然后提取公因式 x，即可得到 x（x-1-1）=0，则可得到两个一次方程：x=0 或 x-2=0，继而求得 答案． 【详解】解：∵x（x-1）=x， ∴x（x-1）-x=0， ∴x（x-1-1）=0， 即 x=0 或 x-2=0， 解得：x1=0，x2=2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式 x，利用提取公 因式法求解．
2024北京四中初三(上)开学考数学
数学练习一、选择题（共20分，每小题2分）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）． AB CD2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．A ．2，3，4BC ．5，6，7D ．5，12，13 3．如图，在平行四边形ABCD 中，由尺规作图的痕迹，下列结论中不一定成立的是（ ）． A ．DAE BAE ∠=∠ B ．AD DE = C ．DE BE =D ．BC DE = 4．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T 恤衫销售情况统计如下：（ ）． A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．众数5．已知关于x 的一次函数(2)3y m x =−+，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．2m >C ．0m >D ．0m < 6．如图所示，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且90AFB ∠=︒，若6AB =，8BC =，则EF 的长为（ ）．A ．1B ．2C ．1.5D ．2.57．如图，正比例函数11y k x =和反比例函数22ky x=的图象交于(1,2)A −、(1,2)B −两点，若12y y <，则x 的取值范围是（ ）．A ．1x <−，或1x >B ．1x <−，或01x <<C ．10x −<<，或1x >D ．10x −<<，或01x <<8．若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．1k < B ．1k C ．1k <，且0k ≠ D ．1k ，且0k ≠9．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x ，则根据题意列出的方程是（ ）．A ．100(12)81x −=B ．100(12)81x +=C ．281(1)100x −=D ．281(1)100x +=10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）．A ．当P ＝440W 时，I ＝2AB ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（共16分，每小题2分）11．一次函数(0)y kx b k =+≠中两个变量x ，y 的部分对应值如下表所示：537b 的解集是 ． 12．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(,2)A a 和(,2)B b −，则a b +的值为 ．13．某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 分．14．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D '处，则点C 的对应点C '的坐标为 ． 15．如图，正方形ABCD 的中心在原点O 上，且正方形ABCD 的四个顶点分别位于两个反比例函数3y x=和ny x=的图象上的四个分支上，则n = ． 16．已知实数x ，y 满足2330x x y ++−=．则x y +的最大值为 ．17．如图，四边形ABHK 是边长为12的正方形，点C 、D 在边AB 上，且2AC DB ==，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长等于 ．18．甲乙两人玩一个游戏：将(n n 为奇数）个数排成一列，记作1[a ，2a ，⋯，]n a ，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．（1）对于[1，2，3，4，5]，被删除一次后可以成为[3，4，5]或[1，4，5]以及一些其他情况，写出未列举的其他情况 ；（写出一种即可） （2）对于[2，9，1，7，3，4，5，8，6]，最后剩下的数为 ．三、解答题（共64分，第19、20题每题6分，第21、22、24、26、27题每题8分，第23题7分，第25题5分） 19．解方程：（1）2610x x +−=； （2）2(2)3(2)x x −=−．20．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个ABC ∆（三边均不相等），以一边的端点B 为顶点在三角形外作角CBF ∠，使其等于这条边另一端点C 为顶点的三角形的内角ACB ∠，射线BF 与这条边上的中线AD 的延长线相交于一点E ，则以A 、B 、C 、E 四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等、平行四边形以及平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空．如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的中点，连接AD ．（1）尺规作图：在BC 下方作射线BF ，使得CBF ACB ∠=∠，且射线BF 交AD 的延长线于点E （不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CE ，求证：四边形ABEC 是平行四边形．（请补全下面的证明过程）证明：点D 为BC 边上的中点，DC DB ∴=.在ADC ∆和EDB ∆中，ACD EBDDC DBADC EDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADC ∴∆≌ ()ASA ， AC ∴= ． CBF ACB ∠=∠，∴ ．∴四边形ABEC 是平行四边形．兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是 ．21．如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点．连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =．连接AF ，CF ，AD ． （1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）连接BF ，若60ACB ∠=︒，2AF =，求BF 的长．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+的图象与x轴交于点(3,0)A−，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图象交点为(,4)C a．（1）求a的值与一次函数y kx b=+的解析式；（2）在y轴上求一点P，使POC∆为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中，函数(0)y kx b k=+≠的图象经过点(1,3)A和(1,1)B−−，与过点(2,0)−且平行于y轴的直线交于点C．（1）求该函数的表达式及点C的坐标；（2）当2x<−时，对于x的每一个值，函数(0)y nx n=≠的值大于函数y kx b=+ (0)k≠的值且小于2−，直接写出n的取值范围．24．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．（1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长；（2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）25．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：a ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：售价涨跌幅100%−=⨯当周售价前周售价前周售价，成本涨跌幅100%−=⨯当周成本前周成本前周成本；b ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为 ，中位数为 ；（2）表中m 的值为 ，从第三周到第五周，甲商品第 周的售价最高； （3）记乙商品这40周售价的方差为21s ，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为22s ，则21s 22s （填“>”，“ =”，或“<” )．26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t = s 时，杯中水位最高，是 cm ；（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 /cm s； （4）求停止注水时t 的值；（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s ．27．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BCA =α，点D为线段BC的延长线上一点，将线段BD 绕点D 顺时针旋转2α得到线段ED ．图1 图2（1） 如图1，当α=30°，且点B 与点D 关于点C 对称时，求证：EC ⊥BD ； （2） 如图2，若点C 关于点D 的对称点为点F ，连结EF ，依题意补全图形，求证：AE ⊥EF ．BA附加题（共10分）28．（3分）有如下的一列等式：00T a =，110T a x a =−，22210T a x a x a =−+，3233210T a x a x a x a =−+−，……， 若将0123n T T T T T +++++记为n A ，其中n 为正整数，n T 的各项系数均不为0．那么以下说法正确的是 ． ①若1x =，则4420A a a a =++；②若44(21)T x =−，那么4T 的所有系数之和为1；③若2221(21)nn n A A x −−=−，那么当5n =时，101086420132a a a a a a ++++++=．29．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点11()P x y ，和22()Q x y ，，我们称01212(,)||||d P Q x x y y =−+−为P 和Q 两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的点R 和图形Ф，Ψ，我们给出如下定义：点R 到图形 Ф上各点的最短亚距离为d ，点R 到图形Ψ上各点的最短亚距离为d '，若d =d '，则称点R 为图形Ф，Ψ 的一个“亚等距点”．如图，已知(4,4),(8,0),(4,4),(2,0)A B C D −−−−−，点A 、C 、D 关于y 轴的对称点分别为点A '、C '、D '，将正方形OABC 向上平移4个单位得到正方形AEFG ． （1）① 0(,)d A B = ；②在点1234(2,2),(2,2),(7,8),(5,1)P P P P −−−中，哪个点是点A 和点C '的亚等距点____________； （2）在坐标系中，画出正方形OABC 和正方形AEFG 的亚等距点所组成的图形； （3）已知线段(04)y kx b y =+≤≤上恰好存在3个线段AA '和线段DD '的亚等距点，直接写出k 的取值范围．备用图。
2021年北京市第四中学九年级上学期期中数学试题(含答案)(2021word版)
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数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知1sin 2A =，则锐角A 的度数是（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒ 2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC 等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6， AC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）A．512B．513C．1213D．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE绕点C旋转得到△ACD，则cos∠ABC的值等于（）A.33 B.21C.31D.1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c=++的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：①0,0,a b<<②20,a b->③0,a b c++>④0,a b c-+<⑤当1x>时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③④9. 若抛物线1222-++-=mmmxxy（m是常数）的顶点是点M，直线2+=xy 与坐标轴分别交于点A、B两点，则△ABM的面积等于（）A．6B．3C．25D．2310．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点'P是点P关于BD的对称点，'PP交BD于点M，若BM=x，'OPP△的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）M OP'PDBACxyxyxyxyO OOO483333848448二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如果23a b b =-，那么ab =________．12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m. 14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于；（2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数；（2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(1) 可求得m的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．ADC B EF图①图②CEADBDCBAxy1234567891012345678910CABo22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD．23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°.（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且kFCEFBCAB==时，若BE=1，AE=2，CE=3，则k的值等于.AF图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值； (3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________；(2)下表是y 与x 的几组对应值求m 的值； (3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点A 关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点E，F分别是AC，BC的中点，线段AF，BE交于点P，将线段AF绕点A顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ.（1）直接写出APPF的值为；（2）如图2，当α=180°时，延长BE到D使得ED=BE，连接QD，证明QD⊥BD；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ交直线BE于点M，当△AMP为等腰三角形时，△AMP的底角正切值为.ED图1 图2图329．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联；10-=x 上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 答案 A A BCCBDCBD16．（Ⅰ）561+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭……………… 3分 1332=+-1.2= ……………… 5分18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBC CDAB =．……………………4分∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分题号11 12 13 1415 16答案 3512y y ＞ 2474±13<≤-t2615+19．解：（1）∵在△ACD中，90C∠=︒，CD=3，AC=3，∴tan3CDDACAC∠==．∴∠DAC =30º．………………………1分∵AD平分∠BAC，∴∠BAC =2∠DAC =60º．……………2分∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30º，AC=3，∴AB =2AC =6．………………………4分tan3ACBCB==……………………5分20．解：(1) m的值为 3 ；1分(2) 二次函数为y=a（x-2）2−1 2分∵过点（3，0）∴a=1 y=x2-4x+3 3分(3) 当y>3时，x的取值范围为x<0或x>4 . 5分21. C1坐标（8,6）．x22. 3160200+米23．设房价为（180+10x ）元利润y=(180+10x ）（50-x)-(50-x)20=-10x 2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.24.（1）（i ）证明：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，，∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF ， ∴△CAE ∽△CBF ．（ii ）解：∵△CAE ∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF ，AE ：BF ＝AC：BC ，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°，又∵AE ：BF ＝AC ：BC ＝2，AE=2，25．（1）322++-=x x y （2）当=x ABP 面积的最大值是827.（3）827 26.27.（3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证；（3） 43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分 （3）),(),,(),,(C 2411024110310--+-- 8分教学反思1 、要主动学习、虚心请教 ，不得偷懒 。
2022-2023学年北京市西城区第四中学九年级上学期开学数学试卷含答案
北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案解析）一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．75．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥96．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是67．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是．10．（2分）比较二次根式的大小：23．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝°．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝，a的值为．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是．（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形（填推理的依据）．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 （1），解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．请你用（2）中的方法求出方程（x2+x）2﹣2x2﹣2x＝8的实数解．26．（7分）已知一次函数y1＝（k+1）x﹣2k+3，其中k≠﹣1．（1）若点（﹣1，2）在y1的图象上，则k的值是．（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求y1的函数表达式；（3）对于一次函数y2＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段P A绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．（1）在图1中补全图形；（2）①求证：EF＝CF．②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；（3）若将线段P A绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2＝y1•y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．（1）在Q1（2，1），Q2（﹣4，﹣1），Q3（8，2）中，点P的等积点是．（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．（3）已知点和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵1+1＝2，∴1，1，2三边不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵1+2＝3，∴1，2，3三边不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝3，22＝4，∴12+（）2≠22，∴1，，2不能作为直角三角形三条边，故C不符合题意；D、∵12+12＝2，（）2＝2，∴12+12＝（）2，∴1，1，能作为直角三角形三条边，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，即可得到图象经过的象限．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴一次函数的图象经过第二四象限，∵b＝1＞0，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴正半轴相交，经过第一象限，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象经过第一二四象限，故选：D．【点评】本题考查一次函数的性质，对一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，函数图象经过第一三象限，k＜0时，函数图象经过第二四象限，b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交，b＜0时，函数图象与y轴负半轴相交．4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【分析】由矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质得出AC＝BD＝2DC＝6即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴AC＝BD＝2CD＝6，故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥9【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，然后求出不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣9．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是6【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．【解答】解：A．平均数为×（2×3+3×6+4×5+5×4+6×2）＝3.8（个），此选项说法正确，符合题意；B．样本为20名学生的编织数量，此选项说法错误，不符合题意；C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4，∴中位数为＝4，此选项说法错误，不符合题意；D．众数是3，此选项说法错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．7．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞0【分析】由k＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，可得出（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．【解答】解：∵k＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，∵BD＝AB，DB＜DC，∴CD＞AB，故①不符合题意；∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，∴FN＝NB，∵GN⊥AB，∴FG＝GB，故②符合题意；∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，∴△AEF≌△AMF，∴FE＝FM，∵EG＝GC，∴FG∥AC，∴∠GFB＝∠CAB，∴∠GBF＝∠EAB，∴EA∥BG，∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，∴△AED≌△BGD（ASA），∴AE＝BG，∴四边形AEBG是平行四边形，故③符合题意；∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°，∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，∴∠EAC+∠FGB＝180°，故④符合题意，故选：D．【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是x≥3．【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（2分）比较二次根式的大小：2＜3．【分析】把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可．【解答】解：∵2＝＝，3＝＝，∴2＜3，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质，注意：当m≥0时，m＝．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝70°．【分析】根据直角三角形斜边上的中线可AD＝CD＝AB，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DCA＝35°，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD＝AB，∴∠A＝∠DCA＝35°，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式y＝x+3（答案不唯一）．【分析】可设x的系数为1或其他不为0的数都可以，把点的坐标代入求b的值即可．【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝x+b，把（0，3）代入得b＝3．∴一次函数的解析式为：y＝x+3，故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入求得常数项．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是14．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝AB＝＝3，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF＝BD＝BC＝8＝4，∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为x＜2．【分析】根据函数图象的上下解不等式．【解答】解：∵x＜kx+b，∴直线y＝x在直线y＝kx+b的下方，即在点A的左边的图象符合要求，∴x＜2．故答案为：x＜2．【点评】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，将不等式转化为函数图象的上下关系是求解本题的关键．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．【分析】如图，连接BD，BE，PB．由PE+PD＝PB+PE≥BE，求出BE的值，可得结论．【解答】解：如图，连接BD，BE，PB．∵四边形ABCD是菱形，∴B，D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PE+PD＝PE+PB≥BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥CB，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝DE，∴BE⊥AD，∴BE＝AB•sin60°＝，∴PE+PD≥，∴PE+PD的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝8，a的值为5．【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和＝最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出a+b+c的值，再结合a＞b＞c，a、b、c均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值．【解答】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为m，则m＝5（a+b+c），∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，∴m＝21+6+9+4＝40．∴5（a+b+c）＝40，∴a+b+c＝8．∵a＞b＞c，a、b、c均为正整数，∴当c＝1时，b＝2，则a＝5；当c＝1时，b＝3，则a＝4，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20＜21分，不符合题意舍去；当c＝2时，b＝3，则a＝3，不满足a＞b，舍去；当c＝3时，b＝4，则a＝1，不满足a＞b，舍去．综上所得：a＝5，b＝2，c＝1．故答案为：a+b+c＝8，a＝5．【点评】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和＝四个班总成绩的和，是解决本题的关键．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．【分析】首先计算二次根式乘法、化简二次根式和去绝对值，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝++﹣2+＝3+3+﹣2+4＝6+5﹣2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝7x，∴x2﹣7x＝0，∴x（x﹣7）＝0，则x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7；（2）∵x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．【分析】（1）分类讨论m＝0和m≠0两种情况下方程根的个数；（2）把mx2+（3m+1）x+3＝0因式分解得到x1＝﹣，x2＝﹣3，根据题意可知﹣是整数，据此求出正整数m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程可化为x+3＝0，方程有实根x＝﹣3；当m≠0时，mx2+（3m+1）x+3＝0是关于x的一元二次方程．∵Δ＝（3m+1）2﹣4m×3＝9m2+6m+1﹣12m＝（3m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根．综上所述，不论m取何值，方程都有实数根．（2）解：∵（mx+1）（x+3）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣3．∵方程有两个整数根且m是整数，∴m＝﹣1或m＝1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0时，方程没有实数根．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．对角线互相平分的四边形为平行四边形（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形对角线互相垂直的平行四边形为菱形（填推理的依据）．【分析】（1）根据作图过程补全图形即可．（2）根据平行四边形和菱形的判定定理可得出答案．【解答】（1）解：补全图形如图．（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．（对角线互相平分的四边形为平行四边形）∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．【点评】本题考查尺规作图、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理是解答本题的关键．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的横坐标为x，根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出纵坐标的值，从而得到其坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（2）设点C的横坐标为x，∵S△BOC＝2，∴•2•|x|＝2，解得x＝±2，∵直线AB上一点C在第一象限，∴x＝2，∴y＝2×2﹣2＝2，∴点C的坐标是（2，2）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）【分析】（1）利用等腰直角三角形和含30度的直角三角形的性质得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∵∠DBC＝30°，∴BD＝CD，∵AB＝（400+400）千米，∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，∴CD＝400千米，∵以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝600km，FC＝600km时，正好影响C港口，∵ED＝＝200（km），∴EF＝400km，∵台风的速度为20千米/小时，∴400÷20≈45（小时）．答：台风影响该海港持续的时间大约为45小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC＝90°，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，则BD＝2，由矩形的性质得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四边形BECO是平行四边形，∵∠BOC＝90°，∴四边形BECO是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，由（1）得：四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．【分析】（1）根据扇形统计图的意义，各组频率之和为1即可求出m的值，利用中位数的意义可求出甲中学得分的中位数，即n的值；（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；（3）求出乙中学延时服务合格所占的百分比即可．【解答】解：（1）乙中学“比较满意”所占的百分比为1﹣40%﹣7%﹣18%﹣10%＝25%，即m＝25，∵甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．∴将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝81.5，因此中位数是81.5，即n＝81.5，答：m＝25，n＝81.5；（2）甲中学的延时服务开展得更好，理由如下：因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数均比乙中学的高，所以甲中学的延时服务开展得更好；（3）1000×（1﹣7%﹣18%）＝750（人）．答：估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数为750人．【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是2022．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常。
北京四中九年级数学上学期开学测验北师大版
北京四中2008-2009学年度第一学期开学测验初三数学试卷及答案A卷（满分100分）一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，各题均为四个选项，其中只有一个是符合题意的。
）1．下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．2．经过点P(-1，2)的双曲线的解析式为（）A．B．C．D．3．⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定4．已知反比例函数的图象上有两点A(，)、B(，)，且，则的值是（）A．正数 B．负数 C．非正数D．不能确定5则这组数据的中位数和平均数分别为（）A．24.5,24.6 B．25,26 C．26,25 D．24,266．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（）A．B．C． D．7．小明用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数图象、如图所示，他解的这个方程组是（）8．已知：M(2,1)，N(2,6)两点，反比例函数与线段MN相交，过反比例函数上任意一点P作轴的垂线PG，G为垂足，O为坐标原点，则△OGP面积S的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．若分式的值为0，则的值为__________。
10．若关于的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_______。
11．设等边△ABC的边长为a，将△ABC绕它的外心旋转60°，得到对应的，则A、两点间距离等于__________。
12．已知抛物线与轴有且只有一个交点，则p=_____________，该抛物线的对称轴方程是__________，顶点的坐标是________。
三、解答题（菜6个小题，共30分）13．计算：。
14．(1)解方程：，并计算两根之和。
(2)求证：无论为任何实数，关于的方程总有实数根。
15.(1)已知，求代数式的值。
(2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：。
北京四中2020—2021学年初三上开学测试数学试题及答案
北京四中2020—2021学年初三上开学测试数学试题及答案（考试时刻为100分钟，试卷满分为120分）班级 学号_________ 姓名 分数________A 卷（共100分）一、选择题（本题共24分，每小题3分）1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）.A ．2,3,2B ．6,8,10C ．4,5,6D ．5,10,12 B2. 在□ABCD 中，假如∠A +∠C ＝140°，那么∠C 等于（ ）. A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° D3．用配方法解方程0242=+-x x ，下列变形正确的是（ ）. A ．2)2(2=-x B ．2)4(2=-x C ．0)2(2=-x D ．1)4(2=-x A4. 由下面条件不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是( ). A ．AB ∥CD ，AD =BC B ．AB =CD ，AB ∥CD C ．AB ∥CD ，AD ∥BC D ．AB =CD ，AD =BC A5. 如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，BD =AB ，BM ⊥AD 于点M ，N 是AC 的中点，连接MN ，若AB =5，BC =8，则MN 的长为( ). A ．6 B ．3 C ．1.5 D ．1 C6. 某排球队12名队员的年龄情形如下：则这12名队员年龄的众数和中位数是( ).NMDCBAA.19，20B.20，20C.20，20.5D.23，20.5 B7．如图，△ABC为等腰三角形，假如把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为( ).A．一样平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形D8. 已知，一次函数bkxy+=A. 0>k，0>b B. 0>k，0<bC. 0<k，0>b D. 0<k，0<bB二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分）9．一元二次方程022=-xx的根是.0,210.已知菱形的两条对角线长分别是10和12，则菱形的面积是.6011．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，假如四边形ABCD的面积为8，那么BE的长为.12.如图，矩形ABCD的对角线AC的长为6，∠AOD=120°，则AB的长为.313.受冷空气阻碍，今年我市入春时刻晚于常年，据气象部门观测，4月1日到4月5日这五天，北京每天的平均气温（单位：℃）依次为：10，9，10，8，8，ABCDABCDEbODCBA则这组数据的方差为. 0.814.如图，在矩形ABCD 中，E 是DC 上一点，AE =AB ，AB =2AD ， 则∠EBC 的度数是 ．15°15．已知整数x 满足y 1=x+1，y 2= -2x+4,对任意一个x ，m 都取y 1 、y 2中的最大值，则m 的最小值是 ． 216. 在平面直角坐标系xOy 中, 正方形A 1B 1C 1O 、 A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2, …,按右图所示的方式放置. 点A 1、A 2、A 3, …和 B 1、B 2、B 3, …分别在直线y =kx +b 和x 轴上. 已知C 1(1, -1), C 2(23,27-), 则点A 3的坐标是 ;点A n 的坐标是 . ()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯-17. 解方程 0262=--x x . 解： 262=-x x ………………………1分2223236+=+-x x()1132=-x ………………………3分113±=-x …………………4分 113±=x∴1131+=x ，1132-=x ． …………5分18. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边，E FA DB C21y=kx+bC 1C 2C B 1B 2B 3A 3A 2A 1y x O-----------------------------------6分-----------------------------------5分 -----------------------------------2分 AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF . 证明：∵□ABCD∴AB=CD ，∠B=∠D 在△ABE 和△DCF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB 21D B∴△ABE ≅△DCF ∴AE=CF19. 已知25140m m --=，求()()()212111m m m ---++的值． 解：()()()212111m m m ---++=22221(21)1m m m m m --+-+++ ………………………2分 =22221211m m m m m --+---+ ………………… 3分 =251m m -+． ………………………………… 4分 当2514m m -=时，原式=2(5)114115m m -+=+=. …………… 6分20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.(1)求AB 的长和点C 的坐标； (2)求直线CD 的解析式．解：(1)依照题意得(6,0)A ，(0,8)B .在Rt △OAB 中，∠AOB =90︒，OA =6，OB =8， ∴10AB =.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分∵ △DAB 沿直线AD 折叠后的对应三角形为△DAC ， ∴ AC=AB=10.∴ 16OC OA AC OA AB =+=+=. ∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为(16,0)C .﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D 的坐标为(0,)D y .（y <0） 由题意可知CD=BD ，22CD BD =. 由勾股定理得22216(8)y y +=-. 解得12y =-.∴ 点D 的坐标为(0,12)D -.﹍﹍﹍﹍﹍4分 可设直线CD 的解析式为 12y kx =-.（k ≠ 0）∵ 点(16,0)C 在直线12y kx =-上，∴ 16120k -=. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分解得34k =.∴ 直线CD 的解析式为3124y x =-.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分 21.已知ABC △的两边AB 、AC 的长分别是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5. （1）当k 为何值时，ABC △是直角三角形；（2）当k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求出ABC △的周长. 解：（1）解方程22(23)320x k x k k -++++=， ∵1∆=，∴不管k 取何值，方程均有实数根11x k =+，22x k =+.………2分 不妨设12AB k AC k =+=+， ∵第三边5BC =，∴当ABC △为直角三角形时，分两种情形： ①当5BC =是斜边时，有222AB AC BC +=，即22(1)(2)25k k +++=。
北京四中2020-2021学年第一学期初三开学测试数学试题及答案
数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为100分）一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各式中，化简后能与75合并的是（）A. V r B. 78 C.寿 D.应2.用配方法解方程r-4x-l=0,方程应变形为（）A. （x+2）2=3 B・（x + 2）2=53.卜面的图形是用数学家名字命名的.的是（）C. （x-2）・=3 D・（x-2），=5其中既是轴对称图形又是中心对称图形A.科克曲线 B.笛卡尔心形线4,方程x （x-l ）=x 的解是（ ）A jt =1 B. x=2 C. xi=O. C.赵爽弦图 D.斐波那契螺旋线X2=ID. X|=0» X2 =25. 如图,在婆形A BCD 中，E.「分别是AB. AC 的中点.若£?' = 2,则菱形48CD 的周长为（ ）A.4B.8C. 16D. 206, 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等R.对角线互相垂直C.对角线互相平分 D .对角线平分对角7. •狙数据中，改动•个数据，下列统计鼠一定变化的是（）A .平均数B 众数 C.中位数 D.方差8.如图，将&4BC 绕点。
顺时针旋转得到△DEC,使点,4的对应点。
恰好落在边Alik ,点8的对应点为EL 连接BE,下列四个结论：①AC=AD ②ABLEB ③BC=EC。
ZAYEBC 其中一定正确的是（）A .③ H .②③ C .③④D.②③④9.将4张长为〃、宽为bBb ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为51,阴影部分的面积之和为S2.若A. 2a = 5bB. 2a = 3bC. a=3bD. a=2bS = ：，，则 a ，/?满足（10.生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段.为『解2019年某市第:季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该rfj 2019年第:季度的机天数据，整理后绘制成统计表进彳r 分析.廿均可回收物回收量（千吨）]<x<22<x<33<x<44<x<55<x<6合计频数12b 3m 频率0.050.10a0.151表中3<r<4组的频率〃满足0.20 <^<0.30.下面有四个推断：①表中m 的值为20：②表中b 的值可以为7：③ 这m 大的LI 均可I 可收物I 可收量的中位数在4<x<5组;④ 这m 大的日均可回收物回收用的平均数不低于3.所有合理推断的序号是（ ）A.①®BCD® C.®@®D j 二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数y = \Jx + 3中，自变量x 的取值范围是.12. 如图，正方形ABCD 的边长为2,点尸为对角线4C 上任意一点.PE LAD,PF LCD ，垂足分别是& F .则PE + PF =________. 牙、、12题图 13题图15题图13.如图，菱形4BCD中,48=10,AC.8。
2020-2021北京第四中学九年级数学上期中模拟试题(含答案)
2020-2021北京第四中学九年级数学上期中模拟试题(含答案)一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=32．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°4．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣45．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 6．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 7．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A．1h B．0.75h C．1.2h或0.75h D．1h或0.75h 8．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是()A．16B．14C．13D．7129．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（）A．13B．14C．15D．1610．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（）．A．摸出的4个球中至少有一个球是白球B．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D．摸出的4个球中至少有两个球是白球11．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm212．如果反比例函数2ayx-=（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a<0B．a>0C．a<2D．a>2二、填空题13．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=_______度．14．新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为_____米．15．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．16．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．17．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________18．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．19．已知点C在以AB为直径的半圆上，连结AC、BC，AB＝10，BC：AC＝3：4，阴影部分的面积为_____．20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．三、解答题21．解方程：2411231x x x -=+-- 22．如图，在中，，是的外接圆，点P 在直径BD 的延长线上，且． 求证：PA 是的切线； 若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号23．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？24．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？25．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：等级成绩（s）频数（人数）A90＜s≤1004B80＜s≤90xC70＜s≤8016D s≤706根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n=，C等级对应的扇形的圆心角为度；（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，4．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误；选项D，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．5．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质．6．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.8．B解析：B【解析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，是偶数只有2个，所以组成的三位数是偶数的概率是13；故选A．10．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．11．C解析：C【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．12．D解析：D【解析】【分析】反比例函数kyx=图象在一、三象限，可得>0k．【详解】解：Q反比例函数2ayx-=（a是常数）的图象在第一、三象限，20 a∴->，2a∴>．故选：D．【点睛】本题运用了反比例函数kyx=图象的性质，解题关键要知道k的决定性作用．二、填空题13．【解析】试题分析：解：连接OD∵CD是⊙O切线∴OD⊥CD∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB∥CD∴AB⊥OD∴∠AOD=90°∵OA=OD∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考解析：【解析】试题分析：解：连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．14．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米根解析：3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：（20﹣2×2x）（12﹣3x）=144整理得：x2﹣9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．∵当x=8时，12﹣3x=﹣12，∴x=8不合题意，舍去，∴x=1，∴3x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．135°【解析】分析：如图连接EC首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E是△ADC的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC和△AEB中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题.详解：如图，连接EC．∵E是△ADC的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°，在△AEC 和△AEB 中，AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C 的横坐标为OC ＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C 的位置然后求出翻转B 前进的距离连接CE 过点D 作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C 的横坐标为12OC ＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C 的位置，然后求出翻转B 前进的距离，连接CE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，则CE ⊥EF ，∠CDH ＝∠EDH ＝60°，CH ＝EH ，求出CE ＝2CH ＝2×CDsin60°＝C 的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠AOC ＝120°，∴∠DOC ＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C 的横坐标为：12OC ＝12×2＝1， ∵正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4， ∴为第336循环组的第4次翻转，点C 在开始时点E 的位置，如图所示：∵A （﹣2，0），∴AB ＝2，∴翻转B 前进的距离＝2×2020＝4040， ∴翻转后点C 的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，则CE ⊥EF ，∠CDH ＝∠EDH ＝60°，CH ＝EH ，∴CE ＝2CH ＝2×CDsin60°＝2×2×33， ∴点C 的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C 所在的位置是解题的关键．17．【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a0c=3即可设出解析式【详解】解：根据题意可知a0c=3故二次函数解析式可以是【点睛】本题考查了二次函数的性质属于简单题熟悉概念是解题关键解析：223,y x =-+【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a <0,c=3,即可设出解析式.【详解】解：根据题意可知a <0,c=3,故二次函数解析式可以是2y 2x 3,=-+【点睛】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 18．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠Q OP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°19．π﹣24【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积根据AB＝10BC：AC＝3：4可以求得ACBC的长再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算【详解】∵AB为直径解析：252π﹣24【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据AB＝10，BC：AC＝3：4，可以求得AC，BC的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算．【详解】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵BC：AC＝3：4，∴sin∠BAC＝35，又∵sin∠BAC＝BCAB，AB＝10，∴BC＝35×10＝6，AC＝43×BC＝43×6＝8，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝12×π×52﹣12×8×6＝252π﹣24．故答案为：252π﹣24．【点睛】本题考查求阴影部分的面积，解题关键在于能找到阴影部分的面积与半圆的面积、直角三角形的面积，三者的关系.20．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm母线长5cm 根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算解析：15π．【解析】【分析】【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm ²．故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥的计算．三、解答题21．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0， 解得：x 1＝－4，x 2＝1． 经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．22．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA ；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB 、扇形AOB 的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA ；，；而， ；而， ；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.23．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：k2b200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．24．（1）6;（2）40或400【解析】【分析】（1）设通道的宽x 米，由图中所示可得通道面积为2×28x+2(52-2x)x ，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a 值即可.【详解】（1）设通道的宽x 米，根据题意得：2×28x+2(52-2x)x+640=52×28， 整理得：x 2-40x+204=0，解得：x 1=6，x 2=34(不符合题意，舍去).答：通道的宽是6米.（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位， 根据题意得：(200+a)(64-10a )=14400， 整理得：a 2-440a+16000=0，解得：a 1=40，a 2=400.答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.25．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a 1和b 1的概率为16． 【解析】【分析】（1）根据D 组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x 的值；（2）用A 、C 人数分别除以总人数求得A 、C 的百分比即可得m 、n 的值，再用360°乘以C 等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a 1和b 1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人， ∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14； （2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%， ∴m=10、n=40，C 等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144； （3）列表如下：a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．。
北京四中2020-2021学年九年级中考综合练习二数学试题
北京四中2020-2021学年九年级中考综合练习二数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≥-且0x ≠ C ．2x ≥- D ．0x ≥且2x ≠ 2．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为( ) A ．4.4×108 B ．4.40×108 C ．4.4×109 D ．4.4×10103．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 |a | +( )A ．－2a + bB ．2a －bC ．－bD ．b4．下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A ．()ax ay a a x y ++=+B ．221()1x y xy xy x y --=--C ．22244(2)a ab b a b -+=-D ．22(2)(2)4x y x y x y +-=- 5．已知11m n -=1，则代数式222m mn n m mn n --+-的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣36．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当1x ≥时，y 的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．07．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC 的长是（ ）A．12B．14 C．16D．188．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．当m= 时，方程133x mx x-=--无解．10．如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD＝2OA＝6，AD：AB ＝3：1．则点B的坐标是_____．11．把直线y＝﹣2x﹣1沿x轴向右平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为_____．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y=k x（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为_____．13．根据下列表格中2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是________． 14．如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为_____．15．某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为_________．16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：a ．男生人数多于女生人数；b ．女生人数多于教师人数；c ．教师人数的2倍多于男生人数．①若教师人数为4，则女生人数的最大值为________ ②该小组人数的最小值为_______三、解答题17．计算：2021|3(4)2tan 60(1)π--+--+-︒．18．解不等式组：2+1-1{1+2x-13x x ≥>，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 19．如图，正方形 ABCD 中， G 为 BC 边上一点， BE ⊥ AG 于 E ， DF ⊥ AG 于 F ，连接 DE .（1）求证：∆ABE≅∆DAF；（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长.20．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．21．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．22．某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位） （2）铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx k =+与双曲线4=y x（x >0）交于点1)（，A a ．（1）求a ，k 的值；（2）已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线y kx k =+，点P （m ，n ）（m >3）是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线4=y x （x >0）于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域（不含边界）记为W ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当4m =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．24．如图，已知AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N ． （1）求证：CA=CN ；（2）连接DF ，若cos ∠DFA=45， ，求圆O 的直径的长度．25．如图，在Rt ABC 中ACB 90∠=，BC 4=，AC 3.=点P 从点B 出发，沿折线B C A --运动，当它到达点A 时停止，设点P 运动的路程为x.点Q 是射线CA 上一点，6CQ x =，连接BQ.设1CBQ y S =，2ABP y S =．()1求出1y ，2y 与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围；()2补全表格中1y 的值；以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x 的取值范围内画出1y 的函数图象：()3在直角坐标系内直接画出2y 函数图象，结合1y 和2y 的函数图象，求出当12y y <时，x 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒．（1）如图1，点E 为线段AB 的中点，连接DE ，CE ．若4AB =，求线段EC 的长． （2）如图2，M 为线段AC 上一点（不与A ，C 重合），以AM 为边向上构造等边三角形AMN ∆，线段AN 与AD 交于点G ，连接NC ，DM ，Q 为线段NC 的中点．连接DQ ，MQ 判断DM 与DQ 的数量关系，并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，若AC =DM CN +的最小值．28．定义：点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离．例如，如图1，正方形ABCD 满足1,0A ，()2,0B ，()2,1C ，()1,1D ，那么点()0,0O 到正方形ABCD 的距离为1．（1）如果点()0,G b ()0b <到抛物线2y x 的距离为3，请直接写出b 的值________． （2）求点()3,0M 到直线3y x 的距离．（3）如果点N 在直线2x =上运动，并且到直线4y x =+的距离为4，求N 的坐标．参考答案1．B【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到x+2≥0且x≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得x+2≥0且x≠0，所以x的取值范围为x≥-2且x≠0．故选：B．【点睛】a≥0．也考查了分式有意义的条件．2．C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：4 400 000 000=4.4×109，故选C．3．A【分析】直接利用数轴得出a＜0，a−b＜0，进而化简得出答案．【详解】由数轴可得：a＜0，a−b＜0，则原式＝−a−（a−b）＝b−2a．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．4．C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A 、∵(1)ax ay a a x y ++=++，故A 错误；B 、应把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、是整式的乘法，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式积的形式，而整式乘法是将几个整式的积展开成一个多项式，它们是互逆的恒等变形.5．D【解析】【分析】 由11m n -=1利用分式的加减运算法则得出m-n=-mn ，代入原式=222m mn n m mn n--+-计算可得． 【详解】 ∵11m n-=1， ∴n m mn mn-=1， 则n m mn -=1， ∴mn=n-m ，即m-n=-mn ，则原式=()22m n mnm n mn ---+=22mn mn mn mn ---+=3mn mn-=-3， 故选D ．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用． 6．B【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，得出其对称轴的直线方程，进而可得出结论．【详解】解：∵由表可知，当x=-1时，y=10，当x=0时，y=5，当x=1时，y=2，∵1052a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得145a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为y=x 2-4x+5，∴其对称轴为直线x=4222b a --=-=． ∵x≥1， ∴当x=2时，y 最小=242016144ac b a --==. 故选择：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键． 7．C【解析】延长线段BN 交AC 于E .∵AN 平分∠BAC ，∴∠BAN =∠EAN .在△ABN 与△AEN 中，∵∠BAN =∠EAN ，AN =AN ，∠ANB =∠ANE =90∘，∴△ABN ≌△AEN (ASA )，∴AE =AB =10，BN =NE .又∵M 是△ABC 的边BC 的中点，∴CE =2MN =2×3=6，∴AC =AE +CE =10+6=16.故选C.8．B【分析】由抛物线的开口方向、对称轴位置、与y 轴的交点位置判断出a 、b 、c 与0的关系，进而判断①；根据抛物线对称轴为x ＝2b a-＝1判断②；根据函数的最大值为：a+b+c 判断③；求出x ＝﹣1时，y ＜0，进而判断④；对ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2进行变形，求出a （x 1+x 2）+b ＝0，进而判断⑤．【详解】解：①抛物线开口方向向下，则a ＜0，抛物线对称轴位于y 轴右侧，则a 、b 异号，即b ＞0，抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线对称轴为直线x ＝2b a-＝1， ∴b ＝﹣2a ，即2a+b ＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴函数的最大值为：a+b+c ，∴当m≠1时，a+b+c ＞am 2+bm+c ，即a+b ＞am 2+bm ，故③错误；④∵抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x ＝﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b+c ＜0，故④错误；⑤∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，∴ax 12+bx 1﹣ax 22﹣bx 2＝0，∴a （x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+b （x 1﹣x 2）＝0，∴（x 1﹣x 2）[a （x 1+x 2）+b]＝0，而x 1≠x 2，∴a （x 1+x 2）+b ＝0，即x 1+x 2＝﹣b a， ∵b ＝﹣2a ，∴x 1+x 2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的是②⑤，有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．2．【分析】按照一般步骤解方程，用含有m的式子表示x，因为无解，所以x只能使最简公分母为0 的值，从而求出m．【详解】解：原方程化为整式方程得：x-1=m因为方程无解所以：x-3=0∴x=3当x=3时，m=3-1=2．考点：分式方程的解．10．(5，1)【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE，根据相似三角形的性质得到AE=13OD=2，DE=13OA=1，于是得到结论．【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO+∠OAD=∠OAD+∠BAE=90°，∴∠ADO=∠BAE，∴△OAD∽△EBA，∴OD：AE=OA：BE=AD：AB∵OD=2OA=6，∴OA=3∵AD：AB=3：1，∴AE=13OD=2，BE=13OA=1，∴OE=3+2=5，∴B（5，1）故答案为：（5，1）【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA是解题的关键．11．y＝﹣2x+5【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】把函数y=﹣2x﹣1沿x轴向右平移3个单位长度，可得到的图象的函数解析式是：y=﹣2（x ﹣3）﹣1=﹣2x+5．故答案为：y=﹣2x+5．【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．5【解析】【分析】连接AC分别交BD、x轴于点E、F．由菱形ABCD的面积为452，可求出AE的长，设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+154），由反比例函数图像上点的坐标特征可列方程求出y的值，从而可求出点B的坐标，进而可求出k的值.【详解】连接AC分别交BD、x轴于点E、F．由已知，A、B横坐标分别为1，4，∴BE=3，∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线∴S菱形ABCD =4×12AE•BE=452，∴AE=154，设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+154）∵点A、B同在y=kx图象上∴4y=1•（y+154）∴y=54，∴B点坐标为（4，54）∴k=5故答案为5．【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像与性质. 反比例函数kyx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．13．6.18＜x＜6.19．【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【详解】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．14．【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，【详解】解：连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴''AN A N∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=即PA+PB的最小值【点睛】本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.15．1 3【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，设草鱼的条数为x，可得：0.51600800x x =++ ； 解得：x=2400，经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为16001160024008003=++， 故答案为：13. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量．16．6 12【分析】首先根据题意，设男生数，女生数，教师数分别为a b c 、、，然后根据条件列出a b c 、、的大小关系式，即可推断取值.【详解】设男生数，女生数，教师数分别为a b c 、、，则2,,,c a b c a b c N ∈＞＞＞①max 846a b b ⇒=＞＞＞②min 3,635,412c a b a b a b c =⇒==⇒++=＞＞＞故答案为：6；12.【点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断.17．3-【分析】根据负指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的性质进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式=3121+-=3-【点睛】本题主要考查了负指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的性质在实数混合计算中的综合运，难度适中．属于中考常考的基础题.18．﹣1≤x＜4【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：x≥-1；解不等式②得：x ＜4．则不等式组的解集是：-1≤x ＜4．19．（1）证明见详解；（2）2【分析】(1)由∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，推出∠BAE=∠ADF ，即可根据AAS 证明△ABE ≌△DAF ；（2）设EF=x ，则AE=DF=x+1，根据四边形ABED 的面积为6，列出方程即可解决问题.【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵DF ⊥AG ，BE ⊥AG ，∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF ，在△ABE 和△DAF 中BAE ADF AEB DFA AB AD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ABE ≌△DAF （AAS ）．（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，∵S四边形ABED=2S△ABE+S△DEF=6∴2×12×（x+1）×1+12×x×（x+1）=6，整理得：x2+3x-10=0，解得x=2或-5（舍弃），∴EF=2．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考常考题型．20．（1）m＜2；（2）m=1．【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+16＞0，然后解不等式即可；（2）先利用m的范围得到m=0或m=1，再分别求出m=0和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值．【详解】（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+16．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．即﹣8m+16>0．解得m＜2；（2）∵m＜2，且m 为非负整数，∴m=0 或m=1，当m=0 时，原方程为x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)，当m=1 时，原方程为x2﹣2=0，解得x1，x2=，综上所述，m=1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（1）y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元；（3）55≤x ≤80，理由见解析【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．（3）求得W ＝1350时x 的值，再根据二次函数的性质求得W ≥1350时x 的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案．【详解】（1）设y ＝kx +b ，将（50，100）、（60，80）代入，得：501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）W ＝（x ﹣40）（﹣2x +200）＝﹣2x 2+280x ﹣8000＝﹣2（x ﹣70）2+1800，∴当x ＝70时，W 取得最大值为1800，答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．（3）当W ＝1350时，得：﹣2x 2+280x ﹣8000＝1350，解得：x ＝55或x ＝85，∵该抛物线的开口向下，所以当55≤x ≤85时，W ≥1350，又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x ≤80，∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x ≤80．【点睛】考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，列出相应的函数解析式，再利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．22．（1）0.7；（2）该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）36【分析】（1）利用频率估计概率求解；（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n 度，则4000×3×360n +4000×0.5（1-360n ）=3000，然后解方程即可． 【详解】（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；故答案为 0.7（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000，所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n 度，则4000×3×360n +4000×0.5（1﹣360n ）＝3000，解得n ＝36， 所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．故答案为36．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了扇形统计图．23．（1）4a =，=2k ；（2）① 3，② 3 4.5m <≤.【解析】【分析】（1）将1)（，Aa 代入4=y x可求出a ，将A 点坐标代入y kx k =+可求出k ； （2）①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W 内的整点个数；②求出直线l 的表达式为24y x =-，根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m 的取值范围即可.【详解】 解：（1）将1)（，Aa 代入4=y x得a=4 将14)（，A代入=4+k k ，得=2k （2）①区域W 内的整点个数是3②∵直线l 是过点(2,0)D 且平行于直线22y x =+∴直线l 的表达式为24y x =-当24=5-x 时，即=4.5x 线段PM 上有整点∴3 4.5m <≤【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合的思想是解题关键.24．（1）证明见解析；（2）503． 【分析】（1）连接OF ，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF ，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC ，由此即可证出CA=CN ；（2）连接OC ，由圆周角定理结合cos ∠DFA=45，AN=即可求出CH 、AH 的长度，设圆的半径为r ，则OH=r ﹣6，根据勾股定理即可得出关于r 的一元一次方程，解之即可得出r ，再乘以2即可求出圆O 直径的长度．【详解】解：（1）连接OF ，则∠OAF=∠OFA ，如图所示．∵ME 与⊙O 相切，∴OF ⊥ME ．∵CD ⊥AB ，∴∠M+∠FOH=180°．∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF ，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF ．∵ME ∥AC ，∴∠M=∠C=2∠OAF ．∵CD ⊥AB ，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF ，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF ，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC ，∴CA=CN ． （2）连接OC ，如图2所示．∵cos ∠DFA=45，∠DFA=∠ACH ，∴CH AC =45．设CH=4a ，则AC=5a ，AH=3a ，∵CA=CN ，∴NH=a ，∴=∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8． 设圆的半径为r ，则OH=r ﹣6，在Rt △OCH 中，OC=r ，CH=8，OH=r ﹣6，∴OC 2=CH 2+OH 2，r 2=82+（r ﹣6）2，解得：r=253，∴圆O 的直径的长度为2r=503．【点睛】本题考查切线的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．25．（1）112y (0x 7)x =<≤，23x (0x 4)y 22x 14(4x 7)⎧<≤⎪=⎨⎪-+<≤⎩；（2）12，6，4，3，2，（3）x 6<<，见解析.【解析】【分析】()1根据题意可以分别求得1y ，2y 与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围； ()2根据()1中的函数解析式，可以将表格补充完整，并画出相应的函数图象；()3根据()1中2y 的函数解析式，可以画出2y 的函数图象，然后结合图象可以得到当12y y <时，x 的取值范围，注意可以先求出12y y =时x 的值．【详解】()1由题意可得，164BC CQ 12x y 22x⨯⋅===， 当0x 4<≤时，2x 33x y 22⋅==， 当4x 7<≤时，()27x 4y 2x 142-⨯==-+， 即112y (0x 7)x =<≤，23x (0x 4)y 22x 14(4x 7)⎧<≤⎪=⎨⎪-+<≤⎩； ()1122y (0x 7)x=<≤， ∴当x 1=时，y 12=；当x 2=时，y 6=；当x 3=时，y 4=；当x 4=时，y 3=；当x 6=时，y 2=；故答案为：12，6，4，3，2；在x 的取值范围内画出1y 的函数图象如图所示；()23x (0x 4)3y 22x 14(4x 7)⎧<≤⎪=⎨⎪-+<≤⎩， 则2y 函数图象如图所示， 当123x x 2=时，得x =122x 14x=-+时，x 6=； 则由图象可得，当12y y <时，x的取值范围是x 6<<．【点睛】本题考查一次函数的图象、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26．（1）C （5，4）；（2）x=1；（3）43a <-或13a ≥或1a =-． 【解析】分析：（1）根据直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B ．即可求出A （1-，0），B （0，4），根据点的平移即可求出点C 的坐标；（2）根据抛物线23y ax bx a =+-过A （1-，0），代入即可求得2b a =-，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴；（3）分①当抛物线过点C 时．②当抛物线过点B 时．③当抛物线顶点在BC 上时．三种情况进行讨论即可.详解：（1）解：∵直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B ．∴A （1-，0），B （0，4）∴C （5，4）（2）解：抛物线23y ax bx a =+-过A （1-，0）∴30a b a --=．2b a =-∴223y ax ax a =-- ∴对称轴为212a x a-=-=． （3）解：①当抛物线过点C 时．251034a a a --=，解得13a =． ②当抛物线过点B 时．34a -=，解得43a =-． ③当抛物线顶点在BC 上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a --=，解得1a =-． ∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-． 点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用.27．（1）EC=（2）DM=2DQ；（3）DM+CN的最小值为2．【分析】（1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN=DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论．（3）先判断出点N在CD的延长线上时，CN+DM最小，最小为CH，再判断出∠ACD=30°，即可用三角函数求出结论．【详解】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠A=60°，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=12∠ABC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AD=4，∵E是AB的中点，由勾股定理得：=，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠DEA=90°，在Rt△DEC中，DC=4，==（2）如图2，延长CD至H，使DH=CD，连接NH、AH，∵AD=CD，∴AD=DH，∵CD∥AB，∴∠HDA=∠BAD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH=AD，∠HAD=60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM=AN，∠NAM=60°，∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，∴∠HAN=∠DAM，在△ANH和△AMD中，AH ADHAN DAMAN AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANH≌△AMD（SAS），∵D 是CH 的中点，Q 是NC 的中点，∴DQ 是△CHN 的中位线，∴HN=2DQ ，∴DM=2DQ ．（3）如图2，由（2）知，HN=DM ，∴要CN+DM 最小，便是CN+HN 最小，即：点C ，H ，N 在同一条线上时，CN+DM 最小，此时，点D 和点Q 重合，即：CN+DM 的最小值为CH ，如图3，由（2）知，△ADH 是等边三角形，∴∠H=60°．∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠ACD=12∠BCD=12∠BAD=30°， ∴∠CAH=180°-30°-60°=90°， 在Rt △ACH 中，CH=cos30AC =2， ∴DM+CN 的最小值为2．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明△ANH ≌△AMD 是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建．28．（1）b=-3；（2）()3,0M 到直线3y x 的距离为（3）(2, 6-)或(2, 6+【分析】（1）作草图可知，当G在原点下方时，b=-3；（2）过点M作直线y=x+3的垂线，与直线y=x+3相交于点H，则线段MH的长即为点MME求解即可；到直线y=x+3的距离.由等腰直角三角形MH=2（3）分N 在直线y=x+4的上方和下方求解即可.【详解】y x的距离，故GO=3，所以b=-3 解：（1）由图可知线段GO长即为点G到抛物线2（2）如图，直线y=x+3与x，y轴分别交于点E(-3，0)，F(0，3)，直线y=x+3与x轴所成的角为45°，过点M作MH⊥EF，交EF与H，线段MH的长度即为点M到直线y=x+3的距离，且易知H点与F点重合.∵FEM ∆为等腰直角三角形，∴FM ，又∵EF=3-(-3)=6，∴×∴即点()3,0M 到直线3y x 的距离为（3）如图K 为直线x=2与x 轴的交点，故K(2,0),F 为直线x=2和直线y=x+4的交点，故F(2,6)①当点N 在直线y=x+4的下方N 1处时，过点N 1作N 1S 垂直直线y=x+4，∵点N 到直线4y x =+的距离为4，∴SN 1=4,点E 是直线y=x+4与x 轴的交点，∴E(-4,0),且∠FEK=45°,∴1,EFK SFN ∆∆为等腰直角三角形∴EK=FK=2-(-4)=6,F N 11S=∴KN 1=FK- F N 1=6-,∴N 1(2, 6-②当点N 在直线y=x+4的上方N 2处时，过点N 2作N 2T 垂直直线y=x+4，同理可得：N 2T=4，N 2F=N 2T=∴N 2K=KF+FN 2=6+∴N 2(2, 6+)故点N 在直线2x =上运动，并且到直线4y x =+的距离为4，N 的坐标为(2, 6-)或(2, 6+【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2020--2021学年北京四中九年级数学上册第2章：二次函数 全章测试(无答案)
北京四中初三《二次函数》全章检测 2020.9.28时间 90 分钟，满分 100 分班级姓名 分数一、选择题：（每题 3 分，共 30 分）1.下列函数：① y = 1- x 2② y =数的有（ ）.2 ③ y = x (3 - x ) ④ y = (x + 2)2 - x 2其中，是二次函 x2A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2. 抛物线 y = (x -1)2 + 2 的顶点坐标是().A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）3. 把抛物线 y = x 2 +1向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线().A ． y = ( x + 3)2 -1B ． y = ( x + 3)2+ 3 C ． y = ( x - 3)2-1 D ． y = ( x - 3)2+ 34. 在抛物线 y = x 2上有两个不同的点 A (m , 1)B (n , 1) ，则 m - n 的值为（ ）.16 16A. 0B.1 C. 1 D.1 24 85. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y125－3－4－35 12利用二次函数的图象可知，当函数值 y ＜0 时，x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜0 或 x ＞2B ．0＜x ＜2C ．x ＜－1 或x ＞3D ．－1＜x ＜36. 下列表格是二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断方程 ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解 x 的范围（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y =ax 2+bx +c-0.03-0.010.020.04A. 6<x <6.17B. 6.17<x <6.18C. 6.18<x <6.19D. 6.19<x <6.207. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc > 0 ；② b < a + c ；③ 4a + 2b + c > 0；④ 2c < 3b ；⑤ a + b > m (am + b ) 其中错误的结论有（）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D.5 个MPC8.二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A．y＝x B．x 轴 C.y＝－x D．y 轴9.如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠B=60°，M 为AB 的中点．动点P 在菱形的边上从点B 出发，沿B→C→D 的方向运动，到达点D 时停止．连接MP，设点P 运动的路程为x，MP 2＝y，则表示y 与x 的函数关系的图象大致为（）.y y y yA D 7 7B4 x 4 xA B 7 74 x 4 xC D10.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）满足的函数系:(a、b、c 是常数). 下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50 分钟B．3.75 分钟 C. 4.00 分钟 D.4.25 分钟第10 题二、填空题（每空 2 分，共 22 分）11.二次函数y＝x2－6x＋c 的图象与y 轴的交点到原点的距离为5，则c＝_ ，二次函数的顶点式为．12.已知a, b, c满足a -b +c = 0 ，4a +c = 2b ，则关于x 的二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠ 0) 的图像与x 轴的交点坐标为.O 1 13. 如图，抛物线 y = ax 2与直线 y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为 A (-2, 4)， B (1,1) ，则关于 x 的方程ax 2 - bx - c = 0 的解为， ax 2- bx - c < 0.14. 如果关于 x 的函数 y = ax 2+ (a + 2)x + a +1的图象与 x 轴只有一y BA个公共点，则实数 a 的值．15. 如图，在坐标系中，点 O 是边长为 2 的正方形 ABCD 的中心．函数 y = x 2+ c ， x使它的图象与正方形 ABCD 有公共点，则c 的取值范围是．CD16.已知抛物线 y = ax 2 + bx + c （ a ＜0）过 A （ -2 ，0）、O （0，0）、B （ -3 ， y ）、C （3，y 2 ）四点，则 y 1 与 y 2 的大小关系是,请说明判断的理由.理由：.17. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8 块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：5 4.5 4 3 2.4 2 种植密度（株数/m 2）单株产量（千克）1.28 1.0 0.72 0.6 0.41O区域6780.2O区域 代号根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大，该区域种植密度为株/ m 2.三、解答题（18、19、20、21 题每题 5 分，22、23、24、25 题每题 7 分，共 48 分）18. 已知二次函数 y = 1x 2 - 3x + 4 .2（1） 将其配方成 y ＝a (x －k )2＋h 的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.（2） 画出图象, 直接写出不等式 y ＜0 的解集． （3） 当0≤x ≤4 时，直接写出 y 的取值范围.19. （1）已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，则二次函数的解 析 式 为 ．(2) 二次函数 y = x 2+2x - 3的图象关于 x 轴对称所得抛物线的解析式为(3) 二次函数 y = x 2 +2x - 3的图象关于 y 轴对称所得抛物线的解析式为(4) 二次函数 y = x 2 +2x - 3的图象关于原点对称所得抛物线的解析式为（5）二次函数 y = x 2 +2x - 3的图象关于直线 x=1 对称所得抛物线的解析式为20. 抛物线 y = x2+ bx + c 与 x 轴分别交于点 A (－1,0)和点 B ，与 y 轴的交点 C 坐标为(0,－3)．（1） 求抛物线的表达式；（2） 点 D 为抛物线对称轴上的一个动点，若 DA +DC 的值最小，求点 D 的坐标. （3） 点 E 为抛物线上的一点，使得△ABE 的面积为 6，求出点 E 的坐标.解:21. 已知抛物线 y = mx 2 - 4mx + 4m - 2(m 是常数) ． （1） 求抛物线的顶点坐标； （2） 若1< m < 5 ，且抛物线与 x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．522.已知二次函数y =x 2 + 2x +m 的图象C1 与x 轴有且只有一个公共点.（1）求C1 的顶点坐标；（2）将C1 向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2 与x 轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2 与x 轴的另一个交点坐标；（3）若P(n, y1 ), Q(2, y2 )是C1上的两点，且y1 >y2 , 求n 的取值范围. (n, y1)Px=-1yP' (-2-n, y1)Q (2, y2)O x23.已知二次函数y =ax2 - 4ax + 3a ．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1 ≤x ≤ 4 时，y 的最大值是2，求当1 ≤x ≤ 4 时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，当t ≤x1≤t +1，x2≥ 5 时，均满足y1 ≥y2，请结合图象，直接写出t 的最大值．24.在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y =mx 2 - 2mx - 2 （m ≠ 0 ）与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B。
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2020-2021学年北京四中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，化简后能与2合并的是()
A．12B．8C．2
3
D．0.2
2．（3分）用配方法解方程2410
x x
--=，方程应变形为()
A．2
(2)3
x+=B．2
(2)5
x+=C．2
(2)3
x-=D．2
(2)5
x-=
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A．科克曲线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．斐波那契螺旋线
4．（3分）方程(1)
x x x
-=的解是()
A．0
x=B．2
x=C．
10
x=，
21
x=D．
10
x=，
22
x=
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC 的中点，若2
EF=，则菱形ABCD的周长为()
A．16B．8C．42D．4
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是()
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线平分对角
7．（3分）一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是()
A．平均数B．众数C．中位数D．方差8．（3分）如图，将ABC
∆绕点C顺时针旋转得到DEC
∆，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC AD
=；②AB EB
⊥；③BC EC
=；④A EBC
∠=∠；
其中一定正确的是()
A．①②B．②③C．③④D．②③④
9．（3分）将4张长为a、宽为()
b a b
>的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为()
a b
+的正方形，图中空白
部分的面积之和为
1
S，阴影部分的面积之和为
2
S．若
12
5
3
S S
=，则a，b满足()
A．25
a b
=B．23
a b
=C．3
a b
=D．2
a b
=
10．（3分）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）12
x<23
x<34
x<45
x<56
x合计
频数12b3m
频率0.050.10a0.151
表中34
x<组的频率a满足0.200.30
a．
下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在45
x<组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
第7页共8页◎第8页共8页
所有合理推断的序号是()
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）函数3
y x
=+中，自变量x的取值范围是．
12．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上任意一点．PE AD
⊥，PF CD
⊥，垂足分别
是E，F．则PE PF
+=．
13．（2分）如图，菱形ABCD中，10
AB=，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，32
AEO
∠=︒，则OE的长等于，ADO
∠的度数为．
14．（2分）若关于x的一元二次方程22
(4)2160
a x x a
+++-=有一个根为0，则a的值为．
15．（2分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为．
16．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于；图2中间的小四边形的面积等于．17．（2分）在矩形ABCD中，AD AB
>，对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是边AD，BC的中点，过点O的动直线与AB，CD边分别交于点M，N．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形四个图形中，四边形EMFN可能是
（只填序号）．
18．（2分）如图所示，在ABC
∆中，AD BC
⊥于点D，E，F分别是AB，AC边的中点，连接DE，EF，FD，当ABC
∆满足条件时，四边形AEDF是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可）
19．（2分）如图所示，ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE
∆向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE
∆的周长为8，FCB
∆的周长为22，则FC的长为．
20．（2分）在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的个数是个．
第7页共8页◎第8页共8页
第7页 共8页 ◎ 第8页 共8页
三、解答题（本题共50分，第21题每小题10分共10分，22-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
21．（10分）计算： （1）48618÷-； （2）11
(
38)(83)22
+-． 22．（5分）解方程．22220x x -+=
23．（5分）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． （1）求证：BF DF =；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．
24．（5分）先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a ．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图（数据分成6组：3040x <，4050x <，5060x <，6070x <，
7080x <，8090):x
b ．先进制造业城市发展指数得分在7080x <这一组的是：71.1，75.7，79.9．
c ．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：
d ．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第 ；
（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数几个城市所对应的点位于虚线l 的上方．请在图中用“〇”圈出代表北京的点；
（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为 亿件．（结果保留整数） 25．（5分）综合与实践 问题情境：
如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB ∠=︒，将Rt ABE ∆绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE ∆'（点
A 的对应点为点)C ．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE FE '的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA DE =，请猜想线段CF 与FE '的数量关系并加以证明； 解决问题：
（3）如图①，若15AB =，3CF =，请直接写出DE 的长．
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26．（6分）如图，正方形ABCD 的两条对角线把正方形ABCD 分割成四个全等的等腰直角三角形，将它们分别沿正方形ABCD 的边翻折，可得到一个面积是原正方形ABCD 面积2倍的新正方形EFGH ．
请你在图1，图2，图3中完成：将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积2倍的三个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形．
27．（7分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 上一点且60ADC ∠=︒，CE AD ⊥于点E ，点A 关于点E 的对称点为点F ，CF 交AB 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求AGC ∠的度数；
（3）写出AD 、BD 、CD 之间的等量关系，并证明．
28．（7分）在ABC ∆中，点D 在AB 边上（不与点B 重合），DE BC ⊥，垂足为点E ，如果以DE 为对角线的正方形上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称该正方形为ABC ∆的内正方形．
（1）如图，在ABC ∆中，4AB =，30B ∠=︒，点D 是AB 的中点，画出ABC ∆的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，点(,2)A t ，(0,0)B ，3
(2
C t ，0)．
①若2t =，求ABC ∆的内正方形的顶点E 的横坐标的取值范围；
②若对于任意的点D ，ABC ∆的内正方形总是存在，直接写出t 的取值范围．。