分析法与综合法

分析法与综合法

一、分析法与综合法的定义

1、定义

所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法． 分析法的思维全貌可概括为下面形式： “结论需知1需知2…已知”．

所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．

综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式： “已知可知1可知2…结论”．

二 、例题赏析

例1、已知：a b ∈R ，，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+．

证明一：（分析法）要证3322

a b a b ab +>+， 即证2

2

()()()a b a ab b ab a b +-+>+， 因为0a b +>，

故只需证22

a a

b b ab -+>， 即证22

20a ab b -+>， 即证2

()0a b ->， 因为a b ≠，

所以2()0a b ->成立， 所以3322

a b a b ab +>+成立．

证明二：（综合法）由a b ≠，知2

()0a b ->，即2220a ab b -+>，则

22a ab b ab -+>．

又0a b +>，则2

2

()()()a b a ab b ab a b +-+>+，即3322

a b a b ab +>+．

实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．

特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：

综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法．

下面举一具体例子加以说明：

例2、若a b c ，，是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222

a b b c c a

a b c +++++>

++．

证明：要证lg

lg lg lg lg lg 222a b b c c a

a b c +++++>++ 只需证lg lg()222a b b c c a

a b c +++>，

只需证222a b b c c a abc +++>．

但是，02a b ab +>≥，02b c bc +>≥，02

c a ca +>≥．

且上述三式中的等号不全成立，所以222

a b b c c a

abc +++>．

因此lg lg lg lg lg lg 222

a b b c c a

a b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．

例3、例1 如图1，在四面体A VBC -中，

60VA VB VC AVB AVC ==∠=∠=，，90BVC ∠=，

求证：平面VBC ⊥平面ABC ．

分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？ 我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC 内作VD BC ⊥，则VD ⊥平面ABC ，所以VD 即为我们所要寻找的直线． 要证明VD ⊥平面ABC ，除了已知的VD BC ⊥之外，还需要在平面ABC 内找一条直线与VD 垂直，哪一条呢？ 假设已知知道VD ⊥平面ABC ，则VD 与平面ABC 内的任意直线均垂直，即必有VD AB VD AC ，⊥⊥，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？ 连结AD 呢？假设已经知道VD ⊥平面ABC ，则必有VD AD ⊥．通过计算可得到

90VDA ∠=，原题得证．

证明：设BC 的中点为D ，连结VD AD ，，因为VB VC =，所以VD BC ⊥；

设1VA VB VC ===，因为6090AVB AVC BVC ∠=∠=∠=，，

所以

2

122

AB AC BC VD AD =====

，，，所以90VDA ∠=，即VD AD ⊥，又已知AD BC D =，所以VD ⊥平面ABC ，又VD ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平

面ABC ．

例4、如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中， 证明：平面1A BD ∥平面11CB D ．

分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．

假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有

11A B A D BD ，，均与平面11CB D 平行，选择任意两条均可，不妨选择11A B A D ，．

要想证明11A B A D ，与平面11CB D 平行，需在平面11CB D 内寻找两条直线分别与

11A B A D ，平行，假设11A B A D ，与平面11CB D 平行已知，则根据线面平行的性质定理，过

1A B 的平面11A BCD 与平面11CB D 相交所得的交线1CD 与1A B 平行；过1A D 的平面11A DCB 与平面11CB D 相交所得的交线1B C 与1A D 平行．11CD B C ，即为所要寻找的直线．

从而易知11CD B C ，分别与11A B A D ，平行，原题得证．

证明：因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以有11A D BC

∥，即四边形11A BCD 为平行四边形，从而有11A B CD ∥，又已知1A B ⊄平面111CB D CD ⊂，平面11CB D ，进而有1A B ∥平面11CB D ；同理有11A D B C ∥，从而有1A D ∥平面11CB D ；又已知111A B A D A =，所以

有平面1A BD ∥平面11CB D ．

从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.

例4、 设A 、B 、C 是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC 的垂心H 必在此

双曲线上．

分析：如图1－1，设H 的坐标为(x 0，y 0)，要证H 在此双曲线上，即证x 0y 0=1．而H 是两条高AH 与BH 的交点，因此需求直线AH 、BH 的方程，进而从所得方程组中设法推出x 0y 0=1．