现代控制理论(第三章)

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初步了解可控性和可观测性
20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。
可控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。
输入能否控制状态（控制问题）
可观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
例：已知系统的动态方程，理解--可控性、可观测性提出的目的。
2．多输入系统 对多输入系统，其状态方程为： 式中,B 为 阶矩阵； 为 r 维列矢量。 (15)
其能控的充分必要条件是矩阵：
的秩为
注：
。
•1.因M可能非方阵，在实际中考虑到rank(M)=rank(MM’),通过 求rank(MM’)判断系统的能控性。 •2.按能控性定义，找到u(t)将初始状态转移到零点。实际中u(t)并 不唯一。
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3.1能观性定义 能观性所表示的是输出 出方程出发，即 (1) 如果对任意给定的输入 期间的输出 ，在有限观测时间 ,使得根据 ，则称状态 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 反映状态矢量 的能力，与控制
作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输
(4)
(5) 1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为（图3-3） (6) (7) 不可控
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2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为（图3-4）
(8) (9) 却为0，其微分子方程组为（图3-5）： (10) (11) 不可控 可控
3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4* 离散时间系统的能控性与能观性 3.5* 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
[例3-1]：判别下列对角标准型线性定常系统的可控性。
1、
1 2 0 x1 1 x u x 2 0 1 x2 0
1 8 0 0 x1 0 1 x x 2 0 1 0 x2 3 0 u 3 x 0 0 2 x3 0 2
[例3-8---教材上是个能控的例子] 判别如下系统的能控性
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1 1 3 2 x1 2 1 x u1 x 0 2 0 x2 1 1 2 u 2 x 0 1 3 x 1 1 3 3
。否则，当
时，系统为不能控的。
例[3-4]----------三阶能控标准型，无论系数如何取，都可控。
注：输入与状态矢量间的传递函数也可以判断能控性：无零极点对消的情况 [例3-6；3-7]
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3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
状态完全能控
教材[例3-2；3-3]：当状态空间表达式不为约当标准型时，先进行线性变换！
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3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统
线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵： (14)
满秩，即
3.3.2 定常系统能观性的判别
定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将
系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判 别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。 1．转换成约旦标准型的判别方法 线性时不变系统的状态空问表达式为： (2) 现分两种情况叙述如下： (1)A为对角线矩阵
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根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出
，就能唯
一地确定任意初始状态矢量 导能观性条件。从式(1)，有：
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
(3) 若系统能观，那么在知道 ， 时，应能确定 ，现从式(7)可得：
C CA y (t ) ( 0 I , 1 I ,..., n 1 I ) x0 CA n 1 c cA 单输出： dim A n rankN rank n 1 cA n n 阶可观测性矩阵
，在有限时间
。在这种情况下，称为状态的能达性。 驱动到 ，而不计较
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将 的轨迹如何。 2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统： 3．离散时间系统
这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
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2．具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为：
若进行非奇异线性变换将其变换为约当标准型：令
(12)
x Tz
Jz T 1Bu z
非奇异线性变换不改变系统的能控性！
一般系统的能控性判据： •系统矩阵A的特征值互异，则 T 1B 无全零行； •系统矩阵A有相同特征值时— T 1B 中与互异特征值部分对应的行中无全 零行； T 1 B 中与相同特征值部分（即约当块）最后一行对应的行非全零行。
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性； 另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。 3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： (1) 或 (2) 式中
约旦标准型
系统具有串联型 的结构，如图所示：
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只要串在最后面的
那个状态变量被测
量到（被任一输出 测量到），前面的
变量也能测量得到。
2．直接从A、C阵判断系统的能观性
根据系统的解及输出方程（凯莱 哈密顿定理）可得到：
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有全零行 系统不可控！
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2、
没有全零行
系统可控！
3、
状态完全能控
4、
1 4 1 x 0 x 2 0 4 1 1 x3 0 0 1 x4
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为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。 (3)
(4)
(5)
(3)
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从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：
(2)A 为约旦标准型矩阵 以三阶为例：
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这时，状态方程的解为：
从而
(5)
结论： 当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y( t )
中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。
是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测 的，或简称是能观的。
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3.3 线性连续定常系统的能观性
关于能观性定义的几点说明：
1）能观性反应 与 的关系，考虑控制作用的输出是可以算出来的，
因此不妨设输入恒为零，只需从齐次方程和输出方程出发判定能观性。
[ 解 ]：
3 2 5 4 2 1 1 1 2 2 2 4 4 M B AB A B 1 1 2 2 4 4


rankM rankMMT 2 dim A 3
系统不可控！
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2）系统输出的维数一般小于状态变量的个数，为了能唯 一求出这些状态的
初始值，则需要多测几组数据，且观测时间要略长才不会破坏观测的独立性。 3）在定义中规定对初始状态的确定，原因是初始状态一旦确定，便可利用状 态转移方程求出各个瞬时的状态。
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多输出：
C CA dim A n rankN rank n 1 C A
条件满足即可， 不必写出所有的行！
nm n
阶可观测性矩阵
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3.4* 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下： (1) 当系统为单输入系统时，式中 列矢量；G为系统矩阵 3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。 (2) 式中, 为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。 ； 为标量控制作用．控制阵 为状态矢量 。 为 维
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这时式(2)用方程组形式表示，可有：
(3)
(4)
结论：在系统矩阵A为对角阵时，系统能观的充要条件是输出矩阵C中不含 全零列。若哪一列为全零列，则与之对应的状态变量不能观。
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，转移到指定的任一终端状态工
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
为
，而任意终端状态就指定为零状态。即
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2)也可以假定
=0，而工
为任意终端状态，换句话说，若存在 内，能将 由零状态驱
一个无约束控制作用 动到任意
1 4 1 0 x x 2 0 4 0 3 0 2 x 0 x1 0 x 4 u 2 x3 3
x1 1 x 0 2 x3 0 x4 0 0 0 0 1 1 2 u 0 0
4
1 x

x1
u
2 x


5
x2
6
y
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3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义
线性连续定常系统： 如果存在一个分段连续的输入 系统由某一初始状态 或简称系统是能控的。 几点说明： 1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻 ，初始状态 ，能在有限时间区间 内，使 ，则称此状态
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1 4 0 x1 1 x u x 2 0 5 x2 2
x1 y 0 6 x2
系统完全可控！
系统不完全可观！
1 4 x1 u x u可以控制 x1 , x2 2 5x2 2u x y 6x2 y 无法反映 x1