2.3等腰三角形的性质定理(2)
2.3.2 等腰三角形的性质定理2(共25张PPT)
B．20°
C．25°
D．15°
夯实基础·巩固练
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：
①∠BAD＝∠CAD；②BD＝CD；
③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
④若点P在直线AD上，则PB＝PC.
其中正确的是( D )
A．①
B．①②
C．①②③
整合方法·提升练
(2)由(1)可以得到的结论是：等腰三角形底边上的中点到两腰的 距离相等．问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分 线，它们还相等吗？
整合方法·提升练
解：相等．理由如下．
由(1)知 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，
夯实基础·巩固练
10．作一个等腰三角形，使它的底边长为2.1 cm，顶角的平 分线长为2.4 cm.
解：如图． (1)作线段BC＝2.1 cm. (2)作线段BC的垂直平分线DE交BC于D. (3)在射线DE上截取DA＝2.4 cm. (4)连结AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
整合方法·提升练
浙教版 八年级上
第2章 特殊三角形
第3节 等腰三角形的性质 第2课时 等腰三角形的性质定理2
习题链接
提示：点击 进入习题
1C
2D
3A
4D 5D 6C
答案显示
7B 8 37° 9 130°或90°
习题链接
提示：点击 进入习题
10 步骤见习题，图略
答案显示
(1)证明见习题 14 (2)相等，理由见习题
整合方法·提升练
浙教版数学八年级上册《2.3 等腰三角形的性质定理》教案2
浙教版数学八年级上册《2.3 等腰三角形的性质定理》教案2一. 教材分析《2.3 等腰三角形的性质定理》是浙教版数学八年级上册的一个重要内容。
这部分内容主要让学生掌握等腰三角形的性质定理，并能够运用这些性质定理解决实际问题。
在教材中，已经给出了等腰三角形的性质定理，本节课的目标是让学生通过一系列的实践活动，理解和掌握这些定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有一定的了解。
但是，对于等腰三角形的性质定理，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实践活动，加深对等腰三角形性质定理的理解。
三. 教学目标1.让学生理解等腰三角形的性质定理。
2.培养学生运用等腰三角形的性质定理解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习的习惯，提高学生的团队合作能力。
四. 教学重难点1.等腰三角形的性质定理的理解和运用。
2.如何引导学生通过实践活动，加深对等腰三角形性质定理的理解。
五. 教学方法1.实践活动：通过实践活动，让学生直观地感受等腰三角形的性质定理。
2.合作学习：分组进行实践活动，培养学生的团队合作能力。
3.引导式教学：教师引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.教具：等腰三角形模型、直尺、量角器。
2.学具：学生用书、练习本、彩色笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾三角形的基本性质。
然后，引入等腰三角形的性质定理，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现等腰三角形的性质定理。
同时，解释这些定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，每组选择一个等腰三角形模型，用直尺和量角器测量等腰三角形的边长和角度，验证等腰三角形的性质定理。
4.巩固（10分钟）教师选取一些练习题，让学生独立完成。
然后，学生进行分享和讨论，加深对等腰三角形性质定理的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用等腰三角形的性质定理进行解决。
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。
本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。
以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。
1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。
(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。
(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。
3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。
(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。
4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。
因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
2.3 第1课时 等腰三角形的性质定理1及推论
在△ABC中
∵AB=AC
B
C
∴ ∠B=∠C
例题精讲
A
例1 求等边三角形ABC的内角度数.
解 在△ABC中，
∵ AB=AC （已知）
B
C
∴ ∠C=∠B （同一个三角形中等边对等角）
∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°
推论 等边三角形的各角都相等， 推论也可以和定理、定义、性质、基 并且每一个角都等于60 º 本事实一样作为推理、论证的依据
例2 求证“等腰三角形两底角的平分线相等”.
已知： 如图 ，在△ABC中，AB＝AC，
BD, CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线 . 求证： BD=CE
BD=CE
∆BCE≌ ∆CBD
BC=CB ∠ABC=∠ACB BC=CB
AB=AC
BD, CE是
△ABC平分线
【想一想】你能证明前两个吗？
等腰三角形 两腰上的中线
相等
等腰三角形 两腰上的高线
相等
等腰三角形两 底角的平分线
相等
课堂小结
1）等腰三角形一个性质定理： 两底角相等 简称：等边对等角
2）等腰三角形一个推论：等边三角形的每个内角都等于60° 3）利用等腰三角形的性质定理 可进行简单的 推理，计算。
随堂演练
1．如图2－3－1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠C的度数
_轴__对___称____图形,它的对称轴是顶角平分线所
底角 底角
B
C
在的直线.底边Fra bibliotek获取新知
等腰三角形的性质定理1
等腰三角形的两个底角相等
在同一个三角形中，等边对等角
等腰三角形角平分线定理垂直平分线定理
如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数
设∠A为x
∵CA=CB
∴ ∠A=∠B=x
E
∵DF=DB
∴∠F=∠B=x
∴ ∠A=∠B= ∠F =x
∴∠ADE=2x
∵AE=AD
∴∠AED=∠ADE=2x
∴ ∠A=180÷5=36°
△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作 DG//BC,交AB于点G，在GD的延长线上取 一点E，使DE=DC，连接AE,BD。 （1）求证△AGE≌△DAB。
下列命题中真命题的个数是( B)； ①等边三角形也是等腰三角形，任何一 边都可以作为底或腰； ②不等边三角形是遍都不相等的三角形 ； ③不等边三角形是三边不都相等的三角 形； ④三角形按边可分为不等边三角形、等 腰三角形、等边三角形。 A.1 B.2 C.3 D.4
已知一个三角形的边长为4cm，5cm，且第 三边长x为整数，问： （1）由4cm,5cm,xcm为边可组成多少个不同
∠CAD+∠C=90°， ∴∠BFD=∠CAD
又∵∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠AFE， ∴EA=EF（等角对等边）， ∴E在AF的垂直平分线上
谢谢！
谢谢！
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD 垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F
，求证：BD＝2CE．
F A
E D
B
C
如图，在△ABC中，已知AB＝AC， ∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC， EC＝BD，DF＝FE． 求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．
∵ＢＰ，ＣＰ分别是△ABC的外角平 分线
∴PE=PQ, PF=PQ ∴PE=PF ∵ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＡＣ ∴点P在∠A的平分线上
等腰三角形的性质与定理
等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。
本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。
等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。
由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。
证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。
首先证明AD=DE。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。
又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。
因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。
同理，∠DCE=30度。
再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。
根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。
又已知BD=DC，所以AD=DE。
3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。
证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。
同理，∠ACB=180度-2∠C。
由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。
因此，等腰三角形的对顶角相等。
二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。
等腰三角形的定理
等腰三角形的定理
等腰三角形的判定定理：
1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3、顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
4、所有的等边三角形为等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
等腰三角形的性质定理2课时含答案
2.3 等腰三角形的性质定理(一)A组1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)A．36°B．60°C．72°D．108°(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)A．30°B．45°C．50°D．75°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为(A)A．40°B．30°C．70°D．50°(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)A．①②③B．②③④C．①③⑤D．①③④(第5题)5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为(D)A．50°B．51°C．51．5°D．52．5°(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．【解】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°．∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°．(第7题)7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．【解】∵D是AB的中点，∴BD＝AD．由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．∴∠BA′D＝∠B＝50°．∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．(第8题)8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理，∠ADE＝∠AED．设∠EDC＝α，∠C＝β，则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．B组(第9题)9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM ＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)A．44°B．66°C．88°D．92°【解】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．在△AMK 和△BKN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝BK ，∠A ＝∠B ，AK ＝BN ，∴△AMK ≌△BKN (SAS )．∴∠AMK ＝∠BKN ． ∵∠MKB ＝∠MKN ＋∠BKN ＝∠A ＋∠AMK ， ∴∠A ＝∠MKN ＝44°， ∴∠P ＝180°－∠A －∠B ＝92°．10．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，…．若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为(C)(第10题)A ． ⎝⎛⎭⎫702n °B ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋1°C ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°D ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫702n ＋2°【解】 在△ABA 1中，∵∠A ＝70°，AB ＝A 1B ， ∴∠BA 1A ＝∠A ＝70°．∵A 1A 2＝A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A2＝35°．同理，∠B 2A 3A 2＝12∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A 22，∠B 3A 4A 3＝12∠B 2A 3A 2＝∠BA 1A 23，…， ∴∠B n －1A n A n －1＝∠BA 1A 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫702n －1°．11．如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连结AE ，BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．(第11题)【解】设AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE(SAS)，∴∠CDB＝∠CAE．又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠AHO，∴∠AOH＝∠DCH＝60°．∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB＝OC．(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．(第12题)【解】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°．又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB(AAS)，∴BE ＝CD ．又∵∠BOE ＝∠COD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°， ∴△BOE ≌△COD (AAS )， ∴OB ＝OC ． (2)连结DE ．∵∠ABC ＝70°，AB ＝AC ， ∴∠A ＝180°－2×70°＝40°．∵∠A ＋∠AED ＋∠ADE ＝180°，∠OED ＋∠ODE ＋∠DOE ＝180°， ∴∠A ＋∠AEO ＋∠ADO ＋∠DOE ＝360°． 又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴∠A ＋∠DOE ＝180°，∴∠BOC ＝∠DOE ＝180°－40°＝140°．(第13题)13．如图，在△ABC 中，已知BC ＝AC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ．若∠ADC ＝12∠CAD ，求∠ABC 的度数．(第13题解)【解】 如解图，设∠ABC ＝x ，∠CAD ＝y ， 则∠ACD ＝2x ，∠ADC ＝12∠CAD ＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝180°，2x ＋32y ＝180°，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36°，y ＝72°.∴∠ABC ＝36°．数学乐园14．(1)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．(2)已知在△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．(第14题)导学号：91354010【解】 (1)如解图①②(共有2种不同的分割法)．(第14题解)(第14题解③)(2)设∠ABC ＝y ，∠C ＝x ，过点B 的直线交边AC 于点D ． 在△DBC 中，①若∠C 是顶角，如解图③，则∠CBD ＝∠CDB ＝90°－12x ，∠A ＝180°－x －y ． 故∠ADB ＝180°－∠CDB ＝90°＋12x ＞90°，此时只能有∠A ＝∠ABD ，即180°－x －y ＝y －⎝⎛⎭⎫90°－12x ，∴3x ＋4y ＝540°，∴∠ABC ＝135°－34∠C ．②若∠C 是底角，第一种情况：如解图④，当DB ＝DC 时，∠DBC ＝x ．在△ABD 中，∠ADB ＝2x ，∠ABD ＝y －x ．若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ，∴∠ABC＝3∠C．若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．, ④), ⑤)(第14题解)第二种情况：如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°(∠C是小于45°的任意锐角)．2.3 等腰三角形的性质定理(二)A组1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD 的度数为__32°__．,(第1题)),(第2题))2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B ＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C)A．35°B．45°C．55°D．60°,(第3题)),(第4题)) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B)A．18 B．20C．22 D．24(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．【解】连结AD．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．(第6题)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，AD⊥BC．又∵BE＝DC，∴BD＝BE．又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，∴△ABD≌△ABE(SAS)，∴∠BAD＝∠BAE，即AB平分∠EAD．(第7题)7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF＝ED．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．B组(第8题)8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当β为定值时，∠CDE为定值D．当γ为定值时，∠CDE为定值【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，∴2∠CDE＝α．9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．(第9题)【解】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．同理可得∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，∠A 5A 4B ＝54°，∠A 6A 5C ＝63°，∠A 7A 6B ＝72°，∠A 8A 7C ＝81°，∠A 9A 8B ＝90°，∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，BF ⊥AC 于点F ，交AD 于点E ，∠BAC ＝45°．求证：△AEF ≌△BCF ．(第10题)【解】 过点F 作FG ⊥AB 于点G ．∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴∠ABF ＝45°．∵FG ⊥AB ，∴∠AGF ＝∠BGF ＝90°．在△AGF 和△BGF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GAF ＝∠GBF ＝45°，∠AGF ＝∠BGF ，GF ＝GF ，∴△AGF ≌△BGF (AAS )，∴AF ＝BF ．∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF ＋∠C ＝90°．∵BF ⊥AC ，∴∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∠CBF ＋∠C ＝90°，∴∠EAF ＝∠CBF ．在△AEF 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠CBF ，AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ，∴△AEF ≌△BCF (ASA )．(第11题)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．(1)求证：DE ＝DF ．(2)问：如果DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，那么它们还相等吗？【解】 (1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．(2)相等．理由如下：由(1)知AD ⊥BC ，∠DAE ＝∠DAF ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∵DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，∴∠ADE ＝12∠ADB ，∠ADF ＝12∠ADC ，∴∠ADE ＝∠ADF ．在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，AD ＝AD ，∠ADE ＝∠ADF ，∴△ADE ≌△ADF(ASA)，∴DE ＝DF ．数学乐园(第12题)12．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，求∠CEF 的度数．【解】 连结BO ．∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝12∠BAC ＝25°．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°．∴∠OBC ＝65°－25°＝40°．根据等腰三角形的对称性，得∠OCB ＝∠OBC ＝40°．∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO ＝EC ，∠CEF ＝∠OEF ，∴∠EOC ＝∠ECO ＝40°，∴∠CEF ＝∠OEF ＝180°－2×40°2＝50°．。
等腰三角形的性质(二
A x
D
x x 2x 2x C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD（已知）， AB=AC，BD=BC=AD（已知），
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边 ABC=∠C=∠BDC， A=∠ 对等角）。 对等角）。 设∠A=X，则∠BDC=∠A+∠ABD=2X（三角 A=X， BDC=∠A+∠ABD=2X（ 形的外角等于与他不相邻的两个内角的和）。 形的外角等于与他不相邻的两个内角的和）。 又∠ABC=∠C=∠BDC=2X，于是有 ABC=∠C=∠BDC=2X， X+2X+2X=180º 三角形内角和定理）。 X+2X+2X=180º（三角形内角和定理）。解得 ）。解得 X=36º 所以△ABC中 X=36º。所以△ABC中， ∠A=36º， A=36º ABC=∠C=72º ∠ABC=∠C=72º。
等腰三角形的性质（二） 等腰三角形的性质（
饶阳县第二中学 郭杏好
从前，有个不学无术的 从前， 富家子弟，有一次， 富家子弟，有一次，父母出 远门去办事， 远门去办事，把他交给厨师 照看…… 照看……
我每天三餐每顿 那么就一天给你吃六个， 给你两个馒头， 够吗？ 够吗？
பைடு நூலகம்
够了！够了！！ 不够，不够！
A
已知：如图， 已知：如图， AB=AC， AB=AC， DB=DC，AD的 DB=DC，AD的 延长线交BC于点 延长线交BC于点 E，求证： 求证： BE=EC。 BE=EC。
B E
D
C
一题多变： 一题多变：
若将课本72页 若将课本72页A组6中的图形改为下图，条 72 中的图形改为下图， 件仍为AB=AC BD=DC，结论BE=EC AB=AC， BE=EC是否成 件仍为AB=AC，BD=DC，结论BE=EC是否成 若成立请给出证明。 立，若成立请给出证明。
初中数学等腰三角形定理公式
初中数学等腰三角形定理公式等腰三角形定理是初中数学中一个非常重要的概念，它是指具有两边长度相等的三角形。
等腰三角形有很多有趣的性质和公式，下面我们就来具体探讨一下。
1.等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两个边长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，如果AB=AC，则称三角形ABC是等腰三角形，且BC称为等腰边，∠B=∠C称为底角，而∠A称为顶角。
2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的底角相等：在等腰三角形ABC中，∠B=∠C，即等腰三角形的两个底角相等。
(2)等腰三角形的顶角是底角的一半：在等腰三角形ABC中，顶角∠A是底角∠B的一半，即∠A=1/2∠B。
(3)等腰三角形的高线和底边是垂直的：在等腰三角形ABC中，高线AD和底边BC垂直，即AD⊥BC。
(4)等腰三角形的高线也是中线和角平分线：在等腰三角形ABC中，高线AD既是底边BC的中线，也是底角∠B和∠C的角平分线。
3.等腰三角形的周长和面积：(1)等腰三角形的周长等于两边和底边的和：在等腰三角形ABC中，周长P=AB+AC+BC。
(2)等腰三角形的面积可以用高线和底边的乘积的一半表示：在等腰三角形ABC中，面积S=1/2×AD×BC。
4.等腰三角形的角平分线和中线：(1)等腰三角形的底角的角平分线也是高线：在等腰三角形ABC中，底角∠B的角平分线也是高线。
(2)等腰三角形的角平分线和中线重合：在等腰三角形ABC中，底边BC的中线也是底角∠B的角平分线。
(3)等腰三角形的底角和顶角的角平分线重合：在等腰三角形ABC中，底角∠B和顶角∠A的角平分线重合。
5.等腰三角形的一些特殊性质：(1)等腰三角形的高线也是垂直平分线：在等腰三角形ABC中，高线AD也是底边BC的垂直平分线。
(2)两条高线互相垂直：在等腰三角形ABC中，高线AD和高线BE互相垂直，并且交于顶点O。
(3)等腰三角形的高线和底边上每个点的连线等于底边的一半：在等腰三角形ABC中，连接高线上的任意一点D与底边C和B，有BD=CD=1/2BC。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
专题：等腰三角形的性质与判定(答案)
专题：等腰三角形的性质与判定※题型讲练考点一等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”1．等腰三角形的性质定理：(1)性质定理1：等腰三角形的两个相等(该定理可以简写成“”)．注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是50°或80°．(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是108°．(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．变式训练1：1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是50°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．考点二等腰三角形的性质定理2：“三线合一”(2)性质定理2：等腰三角形的的角平分线、底边上的、底边上的互相重合，简写成“”．【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD ＝35°，则∠C的度数为___55°_____．(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．变式训练2：1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是___35°___．2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，作∠EAB ＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．试证明：BE＝CF．考点三等腰三角形的判定定理：“等角对等边”1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“”)．【例2】(1)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( D )A．3个B．4个C．5个D．6个(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．(3)如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F．求证：AF＝FB．变式训练3：1．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是____30____．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．考点四等腰三角形的综合问题【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB 、BC 、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．※课后练习1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )A．过顶点的直线B．腰上的高所在的直线C．顶角的角平分线D．底边的垂直平分线2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B) A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图所示，已知AB＝AC＝BD，那么∠1和∠2之间的关系是(D)A．∠1＝2∠2 B．2∠1－∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°4．已知等腰三角形中有一个内角为70°，则该等腰三角形的顶角度数为70°或40°．5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于____4 cm ___．6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．若AF=3，BF=5，则CE的长度为11．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2，4)，在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有8 个．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB．则∠A的度数为45°．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE 交AD于F，交AC于E．(1)若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由；(2)若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC．10．如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC+DC．求证：∠C=2∠B．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AB=AC+DC，AE=AC，∴BE=DC．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD( SAS )．∴DE=DC=BE，∠AED=∠C，∴∠B=∠EDB．∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，∴∠C=2∠B．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D 分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明．(2)过点C作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明．解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF．∵D为BC的中点，∴BD=CD．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∴△BED≌△CFD( AAS )，∴DE=DF．(2)CG=DE+DF．连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，AB×CG=AB×DE+AC×DF，又∵AB=AC，∴CG=DE+DF．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)以图2为例证明：PD=PE；(2)△PBE能否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．。
八年级数学上册第2章特殊三角形2-3等腰三角形的性质定理第2课时作业浙教版
CBE 的度数为( A )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
4．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，点 O 是△ABC 内一点，且 OB＝OC，连结 AO 并延长交边 BC 于点
D，如果 BD＝6，那么 BC 的值为__1_2____．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°， AD 是 BC 边上的中线，M 为 AC 上一点，且 CM＝CD，
EF 垂直平分 AD；其中正确的有( C )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．如图，在△ABC 中， ∠ABC＝120°，BD 是 AC 边上的高，若 AB＋AD＝DC，
则∠C 等于___2_0____°.
11．如图，△ABC 中，AB＝AC， AD⊥BC 于 D 点，DE⊥AB 于点 E， BF⊥AC 于点 F，DE＝2 cm，则
BF＝__4__ cm.
12．如图，△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 是 BC 边上的中线．求证：BE＝BD.
证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 为 BC 边上的中线， ∴AE＝AD，AD 为∠BAC 的角平分线， 即∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴∠BAE＝∠BAD＝30°，在△ABE 和△ABD 中， AE＝AD， ∠BAE＝∠BAD， ∴△ABE≌△ABD(SAS)，∴BE＝ AB＝AB， BD.
解：(1)△DAE≌△CFE. 理由如下：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E 是 CD 的中点，∴DE＝EC.∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE ≌△FCE(ASA)； (2)由(1)得△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，AE＝EF， ∴E 为 AF 中点，即 BE 是△ABF 中 AF 边上的中线， ∵AB＝BC＋AD，∴AB＝BC＋CF＝BF，∴BE⊥AF； (3)∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠BCE＝90°，∵CE ＝5，∴E 到 AB 的距离等于 5.
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理：1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。
再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。
将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。
化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得∠A=90°-∠B/2同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得∠A=90°-∠C/2将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。
2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是∠B和∠C的平分线。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。
再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。
假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。
根据∠BCD和∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。
而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。
代入已知条件，得到2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。
由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。
所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。
从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。
二、判定定理：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。
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12
∵ AB=AC，∠1=∠2，
∵ AB=AC，AB__D_⊥=_C_B_D_C，，
∴BD=CD，AD⊥BC.
∴∠__1_=__∠__2，_AB_D_⊥_=_CB_D_C.. B
D
C
问题情境
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否 水平，你知道为什么吗？
巩固新知
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D.若AB＝5，BD＝4， 求△ABC的周长.
A
证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE.
这样的证法对吗？
B D HE C
例题解析
例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边 BC=a, 底边BC边上的高为h.
作法: 1.作线段BC=a. 2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. 3.在直线 l 上截取DA=h，连结AB，AC. △ABC就是所求的等腰三角形.
相等的角: ∠B=∠C，
∠BAD=∠CAD，
∠ADB=∠ADC.
等腰三角形性质定理2：
B
D
C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角源自形三线合一.探索新知
等腰三角形性质定理2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角
形三线合一.
几何语言：
A
等腰三角形的顶角平分线 等腰三角形的底边上的中 高线
布置作业
《作业本》2.3（2） 《全效学习》2.3（2）
2.3 等腰三角形的性质定理（2）
浙教版 八年级上册
问题情境
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否 水平，你知道为什么吗？
探索新知
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线.在图中找出所有相等的线段 和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？
A 相等的线段: AB=AC，BD=CD
解：∵AB=AC，AD⊥BD，
∴BC=2BD=8， ∴△ABC的周长 =AB+AC+BC =5+5+8 =18.
例题解析
例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC. 求证：AD⊥BC.
A
D
B
E
C
巩固运用
已知：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE. 求证：BD=CE.
巩固运用
如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使顶 角∠BAC=∠α，角平分线AD=a.
课堂小结
经验 方法 知识
当堂检测
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D. E为AD上 的一点，EF⊥AB，EG⊥AC，F，G分别为垂足. 求证：EF=EG.
拓展延伸
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为直CA线延C长A上线一上点一，点， DE⊥BC，交AB于点F. 求证：∠∠ADD=F∠=A∠FADF. D.