二次函数中有关线段和角度的问题

与线段有关的问题

类型一:已知共线的线段关系-----------------转化为A 字型或8字型

1.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2()8y a x h =-+（a ≠0，a 、h 为常数）与x 轴交于点A

、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，且AB=12，B(9,0). （1）如图1，求a ，h 的值；

（2）如图2，点P 在第一象限对称轴右侧的抛物线上，PE⊥x 轴于点E ，交线段BC 于点D ，点F 在线段BD 上，且PF ，FQ⊥BC，交直线PE 于点Q ，当PQ=8时，求点P 的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，R 是线段CD 上的一点，过点R 作RG 平行于x 轴，与线段PQ 交于点G ，连接OG 、OQ ，恰好使∠GOQ=45°，延长QR 到点H ，使QR=RH ，连接AH ，求线段AH 的长，并直接判断点H 是否在此抛物线上？

类型二: 已知不共线的两条线段关系---------利用三角函数解决问题

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

12

y x bx c =

++交x 轴正半轴于点A 、点B ，交y 轴于点C, 直线y=-x+6经过点B 、点C ； （1）、求抛物线的解析式 ； （2）、点D 在x 轴下方的抛物线上，连接DB 、DC ，点D 的横坐标为t ，△BCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值围 ； （3）、在（2）的条件下，点E 在x 轴上方的抛物线上，过点E 作EF ⊥x 轴，垂足为点F ，连接DE ，将射线ED 沿直线EF 折叠，得到对应射线EG ，直线DF 交射线EG 于点H, 当S=12, EF=5FH 时，求点E 的坐标 .

类型三:等腰+直角-----------构造中点直角三角形 3.如图，已知抛物线622

12

+--

=x x y 与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点,连接AC. （1）求直线AC 的解析式；

（2）点P 为直线AC 上方抛物线上的一点，过点P 作PD ⊥AC 点D ，当线段PD 的最长时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，连接PB ，Q 为抛物线上一动点，过点Q 做QF ⊥PB 交直线PB 于点F.若Q 点的横坐标为t ，抛物线的对称轴与AC 交于点E ，求t 为何值时,EF=QE?

类型四:利用已知线段构造可解的三角形

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A （-1,0）在x 轴上，与y 轴交于点B ，点C （1,4）为抛物线上一点，CD ∥x 轴交抛物线于点D. （1）求抛物线的解析式；

（2）点P 为抛物线对称轴左侧图象上一动点，设点P 的横坐标为t ，△PBC 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，延长CP 至点Q ，使PQ=CP ，在线段DB 的延长线上取一 点M ，使∠DMQ=∠DCB ，连接QM 交射线CB 于点N ，当QN=5

5

12时，求t 的值.

（第27题图）

（第27题备用图）

（第27题备用图）

与角有关的问题

类型一:与已知直线成定角问题

1.如图，已知抛物线32

++=bx ax y （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，-1），且与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），连接AC.

（1）求该抛物线的函数关系式

（2）点P 是抛物线上一个动点，从点C 出发沿抛物线向点A 运动，过点C 作射线CD ∥x 轴，交抛物线于点D ，直线PC 交x 轴于点K ，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CK ’，过点K ’作K ’M ∥AC 交射线CD 于点M ，连接MK ，求MK 长.

（3）在（2）的条件下，设点P 的横坐标等于t ，连接MA 、DA ，当t 为何值时，∠MAD 与∠OBC 互余.

类型二:倍角问题(倍角与半角之间的转化)

2.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2

23y ax ax =-+与x 轴负半轴交于A,与x 轴的正半轴交于点B,与y 轴的正半轴交于点C,且AB=4. (1) 如图1,求a 的值.

(2) 如图2,连接AC,BC,点D 在第一象限抛物线上,过D 作DE//AC,交线段BC 于E,若5EC,求点D 的

坐标.

(3) 如图3,在(2)的条件下,连接DC 并延长,交x 轴于点F,点P 在第一象限的抛物线上,连接PF,作CQ ⊥PF,

交x 轴于Q,连接PQ,当2PQC PFQ ∠=∠时,求点P 的坐标.

类型三:转化为基本图形

3在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y=ax ²+c 交x 轴于A 、B ，直线y=43x+4

9

过点A ，交y 轴和抛物线分别于D 、C 的横坐标为

2

3。 （1）求抛物线解析式；

（2）如图2，动点P 在抛物线BC 段上（不与B 、C 重合），连接PA 交OD 于Q ，设线段QD 的长为d ，点P 的横坐标为t ，求d 与t 之间的函数关系式，直接写出t 的取值围； （3）如图3，在（2）的条件下，直线y=-

2

1

x+k 交OB 、y 轴、AP 、AC 分别于E 、T 、F 、H ，连接PE ，若PE=AH ，且∠APE+∠AHE=180°，求点P 的坐标和DQ 的长。

图1 图2

类型四:2∠A+3∠B=180°---------转化为等腰的问题

4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线1)2(2

--=x a y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，OC=3DE ． （1）求a 的值；

（2）如图2，点P 为点B 右侧的抛物线上一点，连接PB 、PA ，直线PB 、PA 分别交对称轴于点Q 、G ，求证:点D 为GQ 的中点；

（3）如图3，点P 为点B 右侧的抛物线上一点，直线PA 交y 轴于点Q ，PF ⊥x 轴于点F ，连接CB ，直线CB 交直线PF 于点K ，点S 在线段PK 上，当SK=2PS ，2∠PQS+3∠QPK=180°时，求点P 的横坐标．

第27题图1

第27题图2 第27题图3