固体物理 第一章 晶面和晶向
固体物理_第一章（1.4晶向、晶面指数）
固体物理_第⼀章（1.4晶向、晶⾯指数）第1章晶体结构1.1 晶格的周期性1.2 典型晶格实例1.3 晶格的对称性1.4 晶向、晶⾯指数1.5 倒格⼦、布⾥渊区和晶体散射1.4.1 晶列指数（晶胞中）特别性质：所有平⾏晶列组成晶列族，包含所有格点晶列上的格点也是周期性的，且每⼀列格点分布⼀致同⼀个截⾯内，晶列是平⾏等距的晶列：连接任意格点的平⾏直线晶向：晶列的取向晶列指数：晶向的⽮量表达1.4.2 晶⾯指数（密勒指数）*平⾏的晶⾯组成晶⾯族，晶⾯族包含所有格点；* 晶⾯上的格点分布具有特定周期性，是⼆维格⼦* 同⼀族晶⾯中，每⼀个晶⾯的格点分布⼀致* 同⼀族晶⾯中，相邻晶⾯平⾏等距：系列平⾏等距晶⾯构成晶族晶⾯：晶格中任意三个不在同⼀直线上的格点决定的平⾯向与晶⾯正交（即为该晶⾯的法向⽮量）：⽤平⾯的法线式⽅程可证明若截距为负数，则对应指数头上加“-”号等效晶⾯常⽤⼤括号表⽰{hkl}，例如(100)，(010)统⼀⽤{100}表⽰，同样包括{110}、{111}晶⾯；晶⾯指数较⼩的⾯，⼀般为解理⾯晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的夹⾓等效于法线⽮量的夹⾓：⼆者内积/模的乘积晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的间距：等效于离原点最近的晶⾯上任意⼀点的格⽮长度，在法线⽅向的投影即，假设基⽮长度分别为a、b、c，晶⾯指数为(h, k, l)，则对应⽴体坐标系下的截距分别为a/h, b/k, c/l，继⽽，该晶⾯的法线⽮量为(h/a, k/b, l/c)，写成⽅向向量为(h/a, k/b, l/c)222选择在a轴上的截距，在法线的投影，即a/h在⽅向的投影d222。
固体物理(黄昆)第一章总结
第一章晶体结构1.晶格实例1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+vvvv vvv vv原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=v v vNaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-vv vvvv vvvv vv原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=v v v体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等1.5金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构2.1基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++v v v v晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a v 、2a v 、3a v确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞2.2维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n]晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢2 2h h k G G ⋅=v v4.1简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方） 基矢123a ai a aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩v v v v v v 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩v v v v v v4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方） 基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩v v v v v v v v v v v v 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩v v v v v v v v v倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++v v v v v v v 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G v 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体。
固体物理学：第一章 第二节 晶列和晶面
互质的证明：
取第一个晶面，即μ=1，根据公式1.2.2有：
同样考虑该晶面上某结点，其矢量为R。对 其做法线上投影，得到长度就是晶面距离d
把前面的公式得到的方向余弦带入上式：
如果h1,h2,h3不互质，有公因子m，m为大于1 的整数。令：
上式化作：
由于上面式子中m大于1，括号内整数求和为非零 整数，所以上式不能成立。所以h1,h2,h3必然为互 质的整数。
以晶体学单胞的基矢a,b,c为坐标来表示的 晶面指数，也是互质的整数，称为密勒指 数，记作（hkl）。 密勒指数的确定方法同前面的晶面指数， 只是基矢和元胞不同。 同一点阵的晶面指数和密勒指数可能不同 。由密勒指数确定的晶面族可能会遗漏部 分结点。
密勒指数简单的晶面族中，面间距大，这种 晶面容易解理。
取a1,a2, a3为三个基矢的长度，晶面的面间距为d， 法线为矢量en 即过原点的晶面为第0个晶面，其余晶面均与切割 坐标轴。考虑第μ个晶面，到原点距离为μd，设它 在坐标轴上的截距为：
分别求三个截距在法线方向的投影长度即为μ d.
因此很容易得到： 即晶面法线方向余弦之比，等于三个截距倒 数之比。两者标志晶面是等价的。
[100] [110] [111]
a3 a2
a1
例：如图在立方体中，D是BC的中点
，求BE,AD的晶列指数。
解： OB i , OE i j k,
A
a3
a2
BE OE OB j k
晶列BE的晶列指数为：[011]
O
a1
E
C D B
求AD的晶列指数。 OA k , OD i 1 j,
2
AD OD OA i 1 j k 2
AD的晶列指数为: [212]
固体物理(黄昆)第一章总结
固体物理(黄昆)第一章总结.doc固体物理（黄昆）第一章总结固体物理学是一门研究固体物质微观结构和宏观性质的学科。
黄昆教授的《固体物理》一书为我们提供了深入理解固体物理的基础。
本总结旨在概述第一章的核心内容，包括固体的分类、晶体结构、晶格振动和固体的电子理论。
一、固体的分类固体可以根据其结构特征分为晶体和非晶体两大类。
晶体具有规则的几何外形和有序的内部结构，而非晶体则没有长程有序性。
晶体又可以根据其内部原子排列的周期性分为单晶体和多晶体。
二、晶体结构晶体结构是固体物理学的基础。
黄昆教授详细讨论了晶格、晶胞、晶向和晶面等概念。
晶格是描述晶体内部原子排列的数学模型，而晶胞是晶格的最小重复单元。
晶向和晶面则分别描述了晶体中原子排列的方向和平面。
三、晶格振动晶格振动是固体物理中的一个重要概念，它涉及到晶体中原子的振动行为。
黄昆教授介绍了晶格振动的量子化描述，包括声子的概念。
声子是晶格振动的量子，它们与晶体的热传导和电导等性质密切相关。
四、固体的电子理论固体的电子理论是固体物理学的核心内容之一。
黄昆教授从自由电子气模型出发，介绍了固体中电子的行为和性质。
自由电子气模型假设电子在固体中自由移动，不受原子核的束缚。
这一模型可以解释金属的导电性和热传导性。
五、能带理论能带理论是固体电子理论的一个重要组成部分。
黄昆教授详细讨论了能带的形成、能隙的概念以及电子在能带中的分布。
能带理论可以解释不同固体材料的导电性差异，是现代半导体技术和电子器件设计的基础。
六、固体的磁性固体的磁性是固体物理中的另一个重要主题。
黄昆教授讨论了磁性的来源，包括原子磁矩和电子自旋。
磁性固体可以分为顺磁性、抗磁性和铁磁性等类型，它们的磁性行为与电子结构密切相关。
七、固体的光学性质固体的光学性质涉及到固体对光的吸收、反射和透射等行为。
黄昆教授介绍了固体的光学性质与电子结构之间的关系，包括光的吸收和发射过程。
八、固体的热性质固体的热性质包括热容、热传导和热膨胀等。
固体物理第一章(2)
例2解答：
c
b
0a （101）
c
b
0a （1-22）
c
b
0a （021）
c
b
a （2-10）
例3、在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示， 它们代表一个晶面的基矢的截距分别为a1/h，a2/k， a3/m，在c轴上的截距为c/l。
证明（1）h+k=-m；
（2）求出O’A1A3、A1A3B3B1、A2B2B5A5和 A1A3A5四个面的面指数。
例1解答：
晶面族（123）截a1、a2和a3分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近 的晶面，OA长度等于a1的长度，OB长度等于a2长度的1/2，OC长度等于a3 长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则 A、B和C都不是格点。
例2、在简立方晶胞中，画出（101）、（021）、（1-22）和（2-10）晶面。
ra1 n ra1 cos a1, n d
sa2 n sa2 cos a2 , n d
ta3 n tas cos a3 , n d
由此得： c o sa 1 ,n:c o sa 2 ,n:c o sa 3 ,n1:1:1
r a 1 s a 2 ta 3
与上式相比较，有
cos
h1h2k1k2l1l2
h12k12l12 h22k22l22
指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。 这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶 体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石 的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（110）面。
立方晶格的等效晶面
(参考资料)固体物理习题带答案
D E ( ) ，其中 ， 表示沿 x ， y ， z 轴的分量，我们选取 x ， y ， z
沿立方晶体的三个立方轴的方向。
显然，一般地讲，如果把电场 E 和晶体同时转动， D 也将做相同转动，我们将以 D' 表示转
动后的矢量。
设 E 沿 y 轴，这时，上面一般表达式将归结为：Dx xyE, Dy yyE, Dz zy E 。现在
偏转一个角度 tg 。（2）当晶体发生体膨胀时，反射线将偏转角度
tg ， 为体胀系数
3
解：（1）、布拉格衍射公式为 2d sin ，既然波长改变，则两边同时求导，有
2d cos ，将两式组合，则可得 tg 。
（2）、当晶体发生膨胀时，则为 d 改变，将布拉格衍射公式 2d sin 左右两边同时对 d
考虑把晶体和电场同时绕 y 轴转动 / 2 ，使 z 轴转到 x 轴， x 轴转到 z 轴， D 将做相同
转动，因此
D'x Dz zy E
D'y Dy yyE
D'z Dx xy E 但是，转动是以 E 方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动时立方晶体
的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，所以电位移矢量实际上应当不变，即
第一章：晶体结构 1． 证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
证 明 ： 晶 向 [hkl] 为 h1 k2 l3 ， 其 倒 格 子 为
b1
2
a1
a2
a3
(a2 a3 )
b2
2
a1
a3 a1 (a2 a3)
b3
2
a1
a1
a2
(a2 a3)
。可以知道其倒格子矢量
固体物理第一章晶体结构-晶向 晶面和它们的标志
hv＋kv＋lw=0
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
—— 晶带中任何两晶面指数分别为（h1k1l2）和 （h2k2l2），求两晶面的晶带轴的指数 [uvw]
h1v＋k1v＋l1w=0 h2v＋k2v＋l2w=0
则u：v：w k1l1 ：l1h1 ：h1k1 k2l2 l2h2 h2k2
—— 三晶面指数分别为（h1k1l2）,（h2k2l2）,（h3k3l3）是
否属于同一晶带判据
h1k1l1 h 2k 2l2 h3k3l3
0
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
—— 在三个基矢末端的 格点必分别落在该 族的不同晶面上
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
设
a1, a2 , a3
末端上的格点分别落在离原点的距离
h1d , h2d , h3d 的晶面上
h1, h2 , h3 —— 整数
d —— 晶面间距
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义, 在晶体内部这些面都是等效的
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
a3
a2 a1
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
晶带定律 所有相交于某一直线或平行于此直线的所有晶面
的组合称为晶带。 —— 同一晶带的晶面的面值数和面间距可能不 同，但它们之间互相平行
面称为晶体的晶面
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
同一个格子，两组不同的晶面族
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
固体物理基础第1章-晶体结构
ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞
固体物理1-3晶向、晶面
立方晶格中的[100]，[110]， [111]晶向
立方边,面对角线,体对角线,不止一个,它们的晶向 指数确定方法同上.
简单立方晶格 立方边共有6 个不同的晶向：
[001]
av3 av2
av1
[100]
[100],[010],[001]
[100],[0 10][00 1]
由于立方晶格的对称 性,6个晶向是等效 的,<100 >晶向族
立方边[100] 垂直的晶面（100） 面对角线[110] 垂直的晶面（110） 体对角线[111] 垂直的晶面（111）
av3
(
v k)
av2
(
v j)
av1
v (i )
3 、密勒指数计算方法：
p
具体步骤：
m
n
① 建立坐标系：以晶胞的某一点格点为原点，过原 点平行于晶胞的三棱边为坐标轴，晶格常数为坐 标轴的度量单位。注意：坐标原点不能在待定晶 面上。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{110}: (110), (011), (101)
(1 10), (01 1),10 1
立方晶格中与(111)面 等效的晶面：4 个
{111}: (111),(111),(111),111
符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外 表面时才有意义，在晶体内部这些面都是 等效的。
简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。
E A
c
b
Oa
C
D B
半导体物理学 固体物理1-3ppt
解决方法如下：人为地加入合理的限制条件（也称 21 0 1
为等价性条件）——前三个指标之和为0。例如， 晶向指标为［uvtw］，则u+v+t=0，故a1轴的指标只
能选
。
晶向四指数的解析求法：先求待求晶向在三轴系a1、a2、 c下的指数U、V、W，然后通过解析求出四指数［uvwt］。由 于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故 ua1+va2+ta3+wc=Ua1+Va2+Wc
例如，六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学上
应是等价的，但其用三指数表示的晶面指数却分别 为(100)和(110)；夹角为120°的密排方向是等价的， 但其晶向指数却为［100］和［110］。在晶体结构
上本来是等价的晶面、晶向却不具有类似的指数，
这给研究带来不方便。
解决的办法是引入第4个指数，即
引入4个坐标轴：a1、a2、a3和c。其中 a1、a2、c不变，a3= - (a1+a2)，如图146(a)所示，相互夹角为120°的三个轴 和原来的c轴一起构成四轴体系。引入 四指数后，晶体学上等价的晶面即具 有类似的指数。
图1-44 立方晶体中晶面族的米勒指数
图1-45 立方晶格(111)及其等效晶面
通常晶面指数表示晶面族中某一个具体 的晶面时，也可以不化为互质整数。 可以证明，在立方晶系中，晶面指数和 晶向指数相同的晶面和晶向，彼此互相垂直。 例如［100］⊥(100)、［110］⊥(110)、 ［111］⊥(111)。在其它晶系中，这种关系 不一定成立。
晶向指数：
对无限大的理想晶体，通过布拉菲格 子中任意两个格点连一直线，这一直 线将包含无限多个周期性分布的格点， 这样的直线便称为晶列。
固体物理与半导体物理第一章 晶格结构-晶面晶向
{110}＝？ {111｝＝？
27
{h k ห้องสมุดไป่ตู้} 晶面族：等价晶面
立方 {110}=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T) 晶系 +(0T1)+(01T)+(TT0)+(T0T)+(0TT) 晶体 Total: 12 晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果。 晶面族中等价晶面的个数用于多晶x射线衍射中多重性因 子的表示。
e.g., x-axis [100] y-axis [010] z-axis [001]
[110]
8
9
若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：
（1）找出该晶向上两点的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2); （2）将(x1-x2)，(y1-y2)，(zl-z2)化成互质整数u，v，w; （3）满足u：v：w＝(x1一x2)：(y1一y2) ：(zl—z2)。
晶向指数和晶面指数
1
Ⅰ.什么是晶向和晶面?
晶向（crystal directions） ： 通过晶体中任意两个结点的连线的方向，代表了 晶体中原子列的方向。 晶面： （crystal planes） 晶体结构中不在同一直线上任三个阵点所构成的 平面，代表了晶体中原子面的方向。
2
（1）.不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。 （2）.材料的许多性质和行为(如各种物理性质、力学行为、 相变、X光和电子衍射特性等)都和晶面、晶向密切相关；
同一晶向族中晶向上原子排列因对称关 系而等同。
13
<U V W> 晶向族：等价晶向 e.g., <100>=[100]+[010]+[001] +[100]+[010]+[001] (立方晶体)
固体物理_晶面与晶向_2013
100 [100]、 [100] [010]、 [010] [001]、 [001]
课堂练习
1、画出立方晶系的如下晶向：
100 , 110 , 111 , 211 , 121
二、晶面
（一）定义： 通过布喇菲格子的任意三个不共线的格点 可以作一个平面，该平面将包含无限多个周期 性分布的格点，称之晶面。
相应的的指数由四个数字构成， 分别记为[uvtw]、(hkil)。
4、列括号 将上述各整数依次列入方括号内，即得晶向指数 [uvw]。若某一 坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
[100] [110]
[310]
[140]
（四）晶向族 由于对称性，由对称性联系着的晶向可以只是方向 不同，但它们的格点分布（规律）相同，因而可以视为 是等效的。 这些等效的晶面同一用 uvw 表示。
第五节
晶面与晶向
晶体各向异性 研究晶体的物理性质时，必须标明是位于 沿晶体的什么方向或什么方位的面上。
晶向
晶面
一、晶向
（一）定义： 通过布喇菲格子中任意两个格点连一直线， 这一直线将包含无限多个周期性分布的格点， 这样的直线称为晶向。
（二）特性： 1、周期性 一个晶向中必然包含着无限多个相同的格点， 晶向上格点的分布具有一定的周期性。 不同的晶向具有不同的周期性。
2、求坐标值 选出晶面族中不经过原点的晶面，确定该晶面在各坐标轴上 s、t 就是截距。 交点的位矢 ra 、sb 、tc ，r、 3、取倒数后化整数 将截距 r、 s、t 倒数连比，并化为互质整数 h、k、l 。 4、列括号 将上述各整数依次列入圆括号内，即得晶向指数 ( hkl )。若某一 坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础
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1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵 常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下 一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ； 化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b） 两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点 阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵 点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且 （ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
《讲晶面和晶向》课件
晶面的符号表示和表达方法
晶面可以用米勒索引、穆勒索引或汉索式表示。米勒索引是使用方向余弦表示，穆勒索引是使用坐标轴上的直 线截距表示，而汉索式是使用晶体的理想晶面来表示。
晶向的表示和计算方法
晶向可以用布拉维指数法或符号法表示。布拉维指数法使用整数序列来表示 晶向，而符号法使用希腊字母和方向余弦来表示。
《讲晶面和晶向》PPT课 件
欢迎大家来到本次关于晶面和晶向的课程。本课程将带您深入了解晶面和晶 向的定义、符号表示、计算方法，以及它们在晶体结构分析中的应用。让我 们一起开始探索晶体世界的奥秘吧！
晶面和晶向的定义
晶面是晶体中原子排列相对规则的表面，具有特定的晶面间距和晶面角度。 晶向是晶面的延长线方向，用来描述晶体中原子间的相对位置和排列方向。
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案例三
使用扫描电镜观察晶胞参数和晶面形貌，研究矿物颗粒的晶体生长机制。
总结和要点
晶面和晶向是晶体结构 分析的重要概念。
它们可以用来描述晶体中原 子的相对位置和排列方向。
晶面的符号表示和计算 方法
可以使用米勒索引、穆勒索 引或汉索式。
晶向的表示和计算方法
可以用布拉维指数法或符号 法表示。
晶面和晶向的关系
晶面是晶向的延长线经过相邻原子所形成的表 面。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
可用于确定晶体的晶系、解析晶格常数、预测 物理性质等。
晶面和晶向的关系
晶面和晶向之间存在一种对应关系，晶面是晶向的延长线经过晶体中的相邻 原子后所形成的表面。 通过研究晶面和晶向之间的关系，我们可以更好地理解晶体的结构和性质。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
1 确定晶体的晶系和结 2 解析晶格常数和晶胞 3 预测晶体的物理性质
固体物理与半导体物理第一章 晶格结构-晶面晶向
一. 晶向符号(三轴，如立方)
用三指数u，v，w表示晶向符号。 确定三轴坐标系下晶向指数［ｕｖｗ]的步骤如下： (1)设坐标 以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。
立方 晶系 中阵 点坐 标
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(2) 求坐标 过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。在直线 OP上任取（除原点外）一个阵点P，确定P点的3个坐 标值X、Y、Z。
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<111>=?
<111>=[111]+[111]+[111]+[111]＋ [TT1]＋[1TT]＋[T1T]＋[TTT] 晶向族:任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数。
<112>=?
<123>=?
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二. 晶面指数(三轴，如立方)
晶面符号中应用最广的是米氏符号，由英国学者米勒尔在 1839年创立。 1、确定立方晶系晶面指数（ｈｋｌ）的步骤如下: 设坐标： 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时 相同；原点设在待求晶面以外。
e.g., x-axis [100] y-axis [010] z-axis [001]
[110]
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若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：
（1）找出该晶向上两点的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2); （2）将(x1-x2)，(y1-y2)，(zl-z2)化成互质整数u，v，w; （3）满足u：v：w＝(x1一x2)：(y1一y2) ：(zl—z2)。
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晶面间距的计算
晶面间距可根据一些几何关系求得
h、k、l为晶面指数（hkl），a、b、c为点阵常数， α、β、γ为晶面法线方向与晶轴夹角。
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晶体结构1
晶向(crystal direction)
布拉维格子的格点可以看成分布在一系列相互平 行等距的直线族上，每一直线族定义一个方向， 称为晶向. 这些相互平行的直 线可以将所有的格 点包括无遗，称为 晶列(crystal array)； 在一个平面内，相 邻晶列之间的距离 相等。
晶向
晶面
{ }表示一组由于对称性而相互等价的晶面； 如对简单立方格子，{100}表示3个相互等价的晶 面，(100), (010), (001).
晶面
晶面
对于简单立方格子，晶向[h1, h2, h3]与晶面(h1, h2, h3)正交.
单胞(unit cell)
晶体学中，习惯用晶系的基矢a, b, c构成的 平行六面体作为周期性重复排列的基本单 元，称为单胞或惯用单胞(conventional unit cell). 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期 性重复单元，单胞则不同，可含有一个或 者数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
更多见 /wiki/Crystallographic_database
网络学习资源
EDU-COD /search/edu/ CCDC Mercury http:// /products/mercury/ 晶体结构三维显示软件CrystalMaker, etc. / 分子结构三维显示软件Rastop, etc. /rastop/
如沿晶向方向的最短格矢为 l1a1 则该晶向可记为l l 1l 2 3
l a2 2 l a3 3
如右图中， a1轴方向记为[1 0 0]， a2轴方向记为[0 1 0]， a3轴方向记为[0 0 1]， a1轴和a2轴的夹角方向 记为[1 1 0]；
晶向
< >表示一组由于对称性而相互等价的晶向； 如对简单立方格子，<100>表示6个相互等价的方 向，[100],[1 00],[010],[0 1 0],[001],[00 1] 其中数字1上有负号，分别表示-a1, -a2, -a3方向；
本课小结
晶体结构=晶格+基元 布拉维格子、基矢、格矢、格点 原胞，晶体中体积最小的周期性重复单元 维格纳-塞茨(WS)原胞及其构造方法 常见的布拉维格子及其WS原胞 晶向、晶面、米勒指数
ห้องสมุดไป่ตู้
晶体结构数据库
(CCDC) /AMS/amcsd.php (AMCSD) (COD) /pcd/ (PCD) http://www.cryst.ehu.es/ http://www.fiz-karlsruhe.de/icsd.html (ICSD)
晶向
晶面
布拉维格子还可以看成分布在一系列平行等距平 面族上，这些平面称为晶面。
这些相互平行、等间距的平面可以将所有的格点包 括无遗
晶面
如某一晶面族把基矢a1, a2, a3分成h1, h2, h3等份，则该晶 面族标记为(h1, h2, h3), 其中h1, h2, h3称为该晶面族的米 勒指数(Miller indices). （ h1, h2, h3 一般要化为互质数）
单胞和原胞
单胞
单胞强调了晶系归属，突出了晶格的对称性; 单胞的边长称为晶格常数（lattice parameter）; 晶向、晶面和基元位置的标记，也通常以单胞为 准。
单胞中原子的坐标
单胞中原子的坐标用其在基矢轴上的投影表示，投影 通常写成轴长的分数形式. 如立方晶系单胞中心点记为(½ , ½ , ½ )，沿体对角线到 体心的一半处， 记为(1/4, 1/4, 1/4)，单胞原点附近3 个面心分别记为(½ , ½ , 0), (½ , 0, ½ ), (0, ½ , ½ ).
课后任务（不需要上交）
下载晶体结构显示软件，学会其使用； 预习“点群”、“空间群”概念，熟悉“7 个晶系”、“14个布拉维格子”。
作业（需要上交）
计算面心立方晶格固体在(100), (110), (111) 晶面上的原子堆积密度的比值，找出其中 原子堆积最密集的面。 简单立方、体心立方和面心立方的晶格常 数都是a，分别计算其原胞体积；