现代控制理论第四章作业答案
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系统矩阵
3 0 4 0 20 16 A 0 25 20
系统能观性矩阵为
C CA UO CA2
1 3 0 0 56 45 0 5 4
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
P156 4.3
判断下列系统的能观测性。
x1 1 1 x1 x1 (1) x , y 1 1 x x2 1 0 2 2
(2)
x1 0 1 0 x1 x2 0 0 1 x2 x 3 2 4 3 x 3 x1 y1 0 1 1 y x2 2 1 2 1 x 3
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
易知
C CA 3 n rankU O rank CA2
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
(3) 系统的观测矩阵 C 1 3 0
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
现代控制理论
Modern Control Theory
中南大学 信息科学与工程学院自动化专业 2013年1月7日
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
P155 4.1 判断下列系统的能控性。
x1 1 1 x1 0 (1) x x 1 u 2 1 0 2 1 0 x1 1 0 (2) x1 0 x 0 1 u1 x2 0 0 1 2 u x3 2 4 3 x3 1 1 2 (3) x1 3 1 0 x1 1 1 x 0 0 u1 x 2 0 3 0 2 u x3 0 x3 2 0 2 0 1
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
(2) 系统的观测矩阵 C 0 1 1 1 2 1 系统矩阵 1 0 0
A 0 0 1 2 4 3
1 1 0 系统能观性矩阵为 1 2 1 C 4 4 CA 2 UO 2 2 3 1 CA 8 14 8 2 0 2
1 3 8 1 2 32 1 3 3 4 32 4
1 64 1 0 1 1 64 10 5 64
1 8 bC Pb 1 4
1 8 1 0 3 1 1 4
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第四章作业答案
(3)
3 x1 0 4 x2 0 20 16 x3 0 25 20 x1 y 1 3 0 x 2 x3
x1 x2 x3
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第四章作业答案
解：(1) 系统的观测矩阵 C 1 1
1 1 系统矩阵 A 1 0
系统能观性矩阵为
显然有
C 1 1 UO CA 2 1 C rankUO rank 2 n CA
x1 1 12 x1 p x x 1 u 2 1 0 2 x1 y q 1 x2
解：系统的能控性矩阵为
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第四章作业答案
UC b 1 1 Ab 1 7
知它是非奇异的。求得逆矩阵有
UC
1
7 8 1 8
1 8 1 8
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第四章作业答案
n 1 1
Hale Waihona Puke Baidu
由 P1 0 0 1 b 得
可见
det UO 1 0 rank O 3 U
因此，系统能观测。
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第四章作业答案
P157 4.10 将下列状态方程化为能控标准形
1 2 1 x x 1 u 3 4 解：该状态方程的能控性矩阵为
x11 x2 2 x2 y1 2 1 2 x2 x12 y2 x 2
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第四章作业答案
串联组合系统的状态方程为
1 0 x11 0 x11 0 x 3 4 0 x 1 u 12 12 x2 2 1 2 x 2 0 输出方程为
所以系统的能控性矩阵为 1 1 3 3 9 9 U C B AB A2 B 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 可知
rankUC 2 n
不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
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rankUC 3 n
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
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(3) 由于该系统控制矩阵为
3 1 0 系统矩阵 A 0 3 0 0 0 1
1 1 B 0 0 2 0
第四章作业答案
系统能观测性矩阵为
1 c q UO cA q 1 12q
其行列式为
c det 12q 2 q 1 cA 根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能
观性矩阵的秩为2，亦即 可知
1 p 3 1 或 p 4
第四章作业答案
易知
C CA 3 n rankU O rank CA2
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
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第四章作业答案
P156 4.4 试确定当 p 与 q 为何值时下列系统不能控，
为何值时不能观测。
c det 0 cA
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第四章作业答案
P157 4.7 已知两个系统 S1 和 S2 的状态方程和 输出方程分别为
0 1 1 S1 : x x 1 u 3 4 y 2 1 x
x11 y 0 0 1 x12 x2
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第四章作业答案
2) 串联后系统的能控性矩阵 0 1 4 U C b Ab A2 b 1 4 13 0 1 4 可见
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
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(2) 由于该系统控制矩阵为
1 0 0 系统矩阵 A 0 0 1 2 4 3
1 0 B 0 1 1 1
所以系统的能控性矩阵为 1 0 0 1 1 1 U C B AB A2 B 0 1 1 1 1 7 1 1 1 7 1 15 显然有
S2 : x2 2 x2 u2 y2 x2
若两个系统按如图所示的方法串联，设串联后的 系统为S。
1) 求图示串联系统S的状态方程和输出方程。 2) 分析系统 S1 ， S2 和串联后系统 S 的可控性、可 观测性。
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Ab A b 7 1 8 8 1 1 P1 0 1 U C 0 1 1 1 8 8 8 同理，由 P2 P1 A 得 1 3
P2 4 4
1 8
从而得到
1 8 P1 P P2 1 4
串联系统结构图
解：1) 因为 u u1 , u2 y1 , y y2 因此 x 0 1 x 0 11 11 x x 1 u 12 3 4 12
x11 y1 2 1 x12
1 3 4 8 P 1 8 3 1 4 4
1 6 1 8 1 2 1 8
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第四章作业答案
由此可得
AC PAP 1
1 8 1 4
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解：(1) 由于该系统控制矩 阵 1 1 系统矩阵 A
1 b 0
1 0
所以系统的能控性矩阵为
1 1 UC b Ab 0 1
显然有
rankUC rank b Ab 2 n
det UC 0 rank C 2 3 U
因此，系统不能控。
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串联后系统的能观性矩阵
0 1 c 0 U O cA 2 1 2 cA2 7 4 4
p UC b Ab 1 其行列式为
p 12 p
det b Ab p2 p 12
根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能
控性矩阵的秩为2，亦即 可知
p 4
det b Ab 0
或
p 3
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3 0 4 0 20 16 A 0 25 20
系统能观性矩阵为
C CA UO CA2
1 3 0 0 56 45 0 5 4
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第四章作业答案
P156 4.3
判断下列系统的能观测性。
x1 1 1 x1 x1 (1) x , y 1 1 x x2 1 0 2 2
(2)
x1 0 1 0 x1 x2 0 0 1 x2 x 3 2 4 3 x 3 x1 y1 0 1 1 y x2 2 1 2 1 x 3
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易知
C CA 3 n rankU O rank CA2
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
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第四章作业答案
(3) 系统的观测矩阵 C 1 3 0
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现代控制理论
Modern Control Theory
中南大学 信息科学与工程学院自动化专业 2013年1月7日
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第四章作业答案
P155 4.1 判断下列系统的能控性。
x1 1 1 x1 0 (1) x x 1 u 2 1 0 2 1 0 x1 1 0 (2) x1 0 x 0 1 u1 x2 0 0 1 2 u x3 2 4 3 x3 1 1 2 (3) x1 3 1 0 x1 1 1 x 0 0 u1 x 2 0 3 0 2 u x3 0 x3 2 0 2 0 1
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
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(2) 系统的观测矩阵 C 0 1 1 1 2 1 系统矩阵 1 0 0
A 0 0 1 2 4 3
1 1 0 系统能观性矩阵为 1 2 1 C 4 4 CA 2 UO 2 2 3 1 CA 8 14 8 2 0 2
1 3 8 1 2 32 1 3 3 4 32 4
1 64 1 0 1 1 64 10 5 64
1 8 bC Pb 1 4
1 8 1 0 3 1 1 4
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(3)
3 x1 0 4 x2 0 20 16 x3 0 25 20 x1 y 1 3 0 x 2 x3
x1 x2 x3
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解：(1) 系统的观测矩阵 C 1 1
1 1 系统矩阵 A 1 0
系统能观性矩阵为
显然有
C 1 1 UO CA 2 1 C rankUO rank 2 n CA
x1 1 12 x1 p x x 1 u 2 1 0 2 x1 y q 1 x2
解：系统的能控性矩阵为
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第四章作业答案
UC b 1 1 Ab 1 7
知它是非奇异的。求得逆矩阵有
UC
1
7 8 1 8
1 8 1 8
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第四章作业答案
n 1 1
Hale Waihona Puke Baidu
由 P1 0 0 1 b 得
可见
det UO 1 0 rank O 3 U
因此，系统能观测。
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第四章作业答案
P157 4.10 将下列状态方程化为能控标准形
1 2 1 x x 1 u 3 4 解：该状态方程的能控性矩阵为
x11 x2 2 x2 y1 2 1 2 x2 x12 y2 x 2
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第四章作业答案
串联组合系统的状态方程为
1 0 x11 0 x11 0 x 3 4 0 x 1 u 12 12 x2 2 1 2 x 2 0 输出方程为
所以系统的能控性矩阵为 1 1 3 3 9 9 U C B AB A2 B 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 可知
rankUC 2 n
不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
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rankUC 3 n
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
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(3) 由于该系统控制矩阵为
3 1 0 系统矩阵 A 0 3 0 0 0 1
1 1 B 0 0 2 0
第四章作业答案
系统能观测性矩阵为
1 c q UO cA q 1 12q
其行列式为
c det 12q 2 q 1 cA 根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能
观性矩阵的秩为2，亦即 可知
1 p 3 1 或 p 4
第四章作业答案
易知
C CA 3 n rankU O rank CA2
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
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第四章作业答案
P156 4.4 试确定当 p 与 q 为何值时下列系统不能控，
为何值时不能观测。
c det 0 cA
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第四章作业答案
P157 4.7 已知两个系统 S1 和 S2 的状态方程和 输出方程分别为
0 1 1 S1 : x x 1 u 3 4 y 2 1 x
x11 y 0 0 1 x12 x2
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2) 串联后系统的能控性矩阵 0 1 4 U C b Ab A2 b 1 4 13 0 1 4 可见
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
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(2) 由于该系统控制矩阵为
1 0 0 系统矩阵 A 0 0 1 2 4 3
1 0 B 0 1 1 1
所以系统的能控性矩阵为 1 0 0 1 1 1 U C B AB A2 B 0 1 1 1 1 7 1 1 1 7 1 15 显然有
S2 : x2 2 x2 u2 y2 x2
若两个系统按如图所示的方法串联，设串联后的 系统为S。
1) 求图示串联系统S的状态方程和输出方程。 2) 分析系统 S1 ， S2 和串联后系统 S 的可控性、可 观测性。
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
Ab A b 7 1 8 8 1 1 P1 0 1 U C 0 1 1 1 8 8 8 同理，由 P2 P1 A 得 1 3
P2 4 4
1 8
从而得到
1 8 P1 P P2 1 4
串联系统结构图
解：1) 因为 u u1 , u2 y1 , y y2 因此 x 0 1 x 0 11 11 x x 1 u 12 3 4 12
x11 y1 2 1 x12
1 3 4 8 P 1 8 3 1 4 4
1 6 1 8 1 2 1 8
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第四章作业答案
由此可得
AC PAP 1
1 8 1 4
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第四章作业答案
解：(1) 由于该系统控制矩 阵 1 1 系统矩阵 A
1 b 0
1 0
所以系统的能控性矩阵为
1 1 UC b Ab 0 1
显然有
rankUC rank b Ab 2 n
det UC 0 rank C 2 3 U
因此，系统不能控。
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第四章作业答案
串联后系统的能观性矩阵
0 1 c 0 U O cA 2 1 2 cA2 7 4 4
p UC b Ab 1 其行列式为
p 12 p
det b Ab p2 p 12
根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能
控性矩阵的秩为2，亦即 可知
p 4
det b Ab 0
或
p 3
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