勾股定理的证明微课
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随堂演练
1.下列说法中,正确的是（ C ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
获取新知 问题1 试问三个正方形的面积之间有什么样的数量关系？
S左上 S右上 S下大
问题2 图中等腰直角三角形三边之间有 什么特殊关系？
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
探究 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的 三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下 边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
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2．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字
母B所代表的正方形的面积是( C )
A．12
B．13 C．144
D．194
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a b
ac b
b ca
cb a
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证法3 “总统证法”
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
∴a2 + b2 = c2. 有没有觉得“总统
证法”与“毕达哥 拉斯证法”相似呢？
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3. （例2）在Rt△ABC中，若斜边AB=4，则AC2+BC2=（ D ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16
4. 求图中直角三角形中未知的长度：
b= 12 ，c= 30
.
5. （例3）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是底边BC上的高，若AB=10，BC=12，则AD的长度 为（ C ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
10. 一个长方形的一条边长为3 cm，面积为12 cm2，
那么它的一条对角线长为 5
.
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11. 下列说法正确的是（ D ） A. 若a，b，c是△ABC的三边，则a2+b2=c2 B. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2 C. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则 a2+b2=c2 D. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则 c2+b2=a2
8. 如图所示，已知在长方形ABCD中，AB=3 cm， AD=9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合， 折痕为EF，则△ABE的面积为（ C ） A. 3 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 12 cm2
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D1 A1 D
A
4
C1
1 B1 C
2 B
假如长方形长、宽、高分别是a、b、c（a ＞b＞c），你能求出蚂蚁从顶点A到C1最短 路径吗？
从A到C1最短路径是
a 2 (b c)2
第8页
例1、如图，长方体长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C距离为5cm，一只蚂蚁假如要沿着 长方体表面从A点爬到B点，需要爬行最短距离是多 少？
B C 20
分析 依据题意分析蚂蚁爬行路线有两 种情况(如图①② ),由勾股定理可求得 图1中AB最短.
15 A 10
①
5B
20
B
5
②
20
A 10 15
A 10 15
AB =√202+152 =√625
AB =√102+252 =√725
第9页
台阶中最值问题
例2、如图，是一个三级台阶，它每一级长、宽和高分 别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶两个相正确 端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口食物.请你 想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点， 最短线路是多少？
B 1
6
3
2
A
8
第12页
小溪边长着两棵树，正好隔岸相望，一棵树高 30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间距离是 50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同 时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以 同样速度飞去抓鱼，结果同时到达目的。问这 条鱼出现在两树之间何处？
第13页
如图，等边三角形边长是2。
A
第16页
已知，一轮船以16海里/时速度从港口A出发 向西北方向航行，另一轮船以12海里/时速度 同时从港口A出发向东北方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距（ ）
勾股定理微课课件-PPT
证明1： 赵爽弦图的证法
S S 4S ＝ ＋ 大正方形
小正方形
直角三角形
c
b a
b a
c2＝(b－a)2＋4×1 ab c
2
中黄实 b (b -a)2
c
b a
a
化简得：
c
c2 =a2+ b2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
c 也可以表示为 4 ab 2
2
c a
b
c a
b
∵
(a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c 股b
┏
勾a
a2+b2=c2
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把 弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半 部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较 短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为 勾股定理.
勾股定理微课课件
问题：
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右
图中的地面，看看有 什么发现？
A
B
C
探究一：等腰直角三角形
（1）观察图1
C A
正方形A中含有 9 个
小方格，即A的面积是
___9__个单位面积。
C A
S正方形c
B 图1
C A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
勾股定理证明简述 公开课课件
勾股定理证明简述
直角三角形中两直角边a、
b的平方和，等于斜边c的
平方
a
c
a2+b2=c2
b
方法一:
△ABD≌△FBC， 矩形BL=2△ABD， 方形GB=2△FBC。 于是 矩形BL=正方形GB。 同样有 矩形CL=正方形AK。 所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE
方法二
如图一：两个正方形边长 分别是a ,b, 它们的面积和 为a2+b2
___________________________________________________________________________ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________________________________________________ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） ___________________________________________________________________________
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。 3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。 5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。 8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生 10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。—— 贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具 有这种 观念， 任何事 情十之 八九都 能成功 。—— 威尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。 17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。— —马克 思 19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。— —蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。 21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。—— 爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …—— 罗曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。—— 爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。—— 普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
直角三角形中两直角边a、
b的平方和，等于斜边c的
平方
a
c
a2+b2=c2
b
方法一:
△ABD≌△FBC， 矩形BL=2△ABD， 方形GB=2△FBC。 于是 矩形BL=正方形GB。 同样有 矩形CL=正方形AK。 所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE
方法二
如图一：两个正方形边长 分别是a ,b, 它们的面积和 为a2+b2
___________________________________________________________________________ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________________________________________________ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） ___________________________________________________________________________
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。 3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。 5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。 8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生 10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。—— 贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具 有这种 观念， 任何事 情十之 八九都 能成功 。—— 威尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。 17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。— —马克 思 19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。— —蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。 21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。—— 爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …—— 罗曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。—— 爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。—— 普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
勾股定理的证明(比较全的证明方法)课件
毕达哥拉斯证明法虽然不如欧几里得证明法那么简洁明了，但它也具有其独特的数 学美感和哲学思考。
总统证明法
美国总统加菲尔德在1876年独 立发现了勾股定理的一种新的 证明方法，后来被称为“总统 证明法”。
总统证明法利用了代数和三角 恒等式来证明勾股定理，这种 方法与前两种几何证明方法有 所不同。
总统证明法不仅证明了勾股定 理，而且也展示了数学中代数 和三角学的紧密联系。
05
勾股定理的推广
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形三边满足勾股定理， 则这个三角形是直角三角形。
证明方法
利用勾股定理和三角形的性质， 通过反证法证明。假设三角形不 是直角三角形，则其三边不满足 勾股定理，与已知条件矛盾。
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广
对于任意多边形，如果其内角和为 180度，则其边长满足勾股定理。
对未来研究的展望
深入研究和探索
勾股定理的证明方法有很多种，但还有很多 值得探索和研究的地方。例如，如何将不同 的证明方法进行比较和整合，如何进一步简 化证明过程等。这些问题的研究和探索，有 助于推动数学教育的发展和进步。
与其他学科的交叉研究
勾股定理不仅在数学中有应用，在其他学科 如物理学、工程学、经济学等也有广泛的应 用。如何将勾股定理与其他学科进行交叉研 究，发挥其在解决实际问题中的作用，也是 未来研究的一个重要方向。
03
勾股定理的代数证明方法
哈里奥特证明法
哈里奥特证明法是一种基于无穷小差分的代数证明方法。它 通过将直角三角形转化为等腰直角三角形，利用无穷小差分 的性质，推导出勾股定理。
哈里奥特证明法不仅证明了勾股定理，还为微积分学的发展 奠定了基础。
欧拉证明法
总统证明法
美国总统加菲尔德在1876年独 立发现了勾股定理的一种新的 证明方法，后来被称为“总统 证明法”。
总统证明法利用了代数和三角 恒等式来证明勾股定理，这种 方法与前两种几何证明方法有 所不同。
总统证明法不仅证明了勾股定 理，而且也展示了数学中代数 和三角学的紧密联系。
05
勾股定理的推广
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形三边满足勾股定理， 则这个三角形是直角三角形。
证明方法
利用勾股定理和三角形的性质， 通过反证法证明。假设三角形不 是直角三角形，则其三边不满足 勾股定理，与已知条件矛盾。
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广
对于任意多边形，如果其内角和为 180度，则其边长满足勾股定理。
对未来研究的展望
深入研究和探索
勾股定理的证明方法有很多种，但还有很多 值得探索和研究的地方。例如，如何将不同 的证明方法进行比较和整合，如何进一步简 化证明过程等。这些问题的研究和探索，有 助于推动数学教育的发展和进步。
与其他学科的交叉研究
勾股定理不仅在数学中有应用，在其他学科 如物理学、工程学、经济学等也有广泛的应 用。如何将勾股定理与其他学科进行交叉研 究，发挥其在解决实际问题中的作用，也是 未来研究的一个重要方向。
03
勾股定理的代数证明方法
哈里奥特证明法
哈里奥特证明法是一种基于无穷小差分的代数证明方法。它 通过将直角三角形转化为等腰直角三角形，利用无穷小差分 的性质，推导出勾股定理。
哈里奥特证明法不仅证明了勾股定理，还为微积分学的发展 奠定了基础。
欧拉证明法
第1课时勾股定理微课ppt课件
如图我国古代证明该命题 的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可以
勾股相乘为朱实二，倍之为
朱实四.以勾股之差自相乘为 中黄实.加差实，亦成弦实.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的
如何称呼直角三角形的三 边吗？
弦 股
勾
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
C'
A面、积B/格、C的9面积有25什么关3系4 ？ SA+SB=SC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
小结
等腰直角三角形斜边的平 方等于两直角边的平方和.
证明
赵爽弦图
小正方形的面积= (a-b)2
=c2-4×
1 2
ab
即c2=a2+b2.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
赵爽指出：按弦图，又可以
勾股相乘为朱实二，倍之为
朱实四.以勾股之差自相乘为 中黄实.加差实，亦成弦实.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的
如何称呼直角三角形的三 边吗？
弦 股
勾
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
C'
A面、积B/格、C的9面积有25什么关3系4 ？ SA+SB=SC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
小结
等腰直角三角形斜边的平 方等于两直角边的平方和.
证明
赵爽弦图
小正方形的面积= (a-b)2
=c2-4×
1 2
ab
即c2=a2+b2.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
勾股定理微课课件
01
勾股定理的挑战与 探索
勾股数与费马大定理
勾股数
在数学中，勾股数是指一组特殊的正整数，满足$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a, b, c$为正整数。例 如，$3, 4, 5$就是一组勾股数。
费马大定理
费马大定理是指一个整数幂不可能被分解为两个大于1的整数幂的和。例如，$x^4 + y^4 = z^4$在 整数范围内无解。费马曾宣称自己证明了这一定理，但未给出证明，因此该定理仍是一个著名的数学 难题。
勾股定理的表述形式
勾股定理可以用公式表示为 a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角三角形的两条直 角边，c 是斜边。
勾股定理的重要性
理论意义
勾股定理是几何学中的基石之一 ，它揭示了直角三角形三边之间 的数量关系，对于理解几何图形 和解决几何问题具有重要意义。
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛 的应用，例如在建筑、航空、航 海等领域中，都需要用到勾股定 理来计算角度、距离等参数。
角函数的性质和公式。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例 如在证明一些数学猜想的推导过
程中。
科学领域中的应用
天文学
在天文学中，勾股定理可以用于确定天体的位置和运动轨迹，例 如计算行星的轨道半径等。
物理学
在物理学中，勾股定理可以用于解决与力矩、加速度等相关的物理 问题，例如确定物体的运动轨迹和受力情况等。
工程学
在工程学中，勾股定理可以用于确定结构的稳定性和安全性，例如 计算桥梁的承载力和建筑结构的抗震性能等。
01
勾股定理的拓展与 延伸
勾股定理的逆定理
总结词
勾股定理的逆定理是关于直角三角形三边关系的重要推论，它表明如果三角形的 三边满足勾股定理的条件，则这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理定理 课件
SA+SB=SC
B
图2-2
分割法：
S正方形c
C A
4 1 431 2
25（面积单位）
B
图2-1
C A
B
图2-2
把C分“割”成四个全 等直角边为整数的直角 三角形加一个小正方形
补全法：
S正方形c
C A
72 4 1 34 2
25（面积单位）
B
图2-1
C A
B
图2-2
把C“补”成边长为7的正方形减去四个全等直 角三角形
一、创设情景，兴趣导学:
相传2500年前，一次古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学 们，我们也来观察下面的图案。
A
B
C
猜想： A、B、C的面积有什么关系？ A的面积+B的面积=C的面积
二、尝试探索，获取新知
探究一：以等腰直角三角形三边为边的三个正方形A、B、C面积有什么关系？
议一议
通过前面的探究，我们发现正方形A、B、C面积的关系是：
A
SA+SB=SC
a
你能用直角三角形的三边来表
示这三个正方形的面积吗？
Bb c
C
SA=a2 SB=b2 SC=c2
你能发现直角三角形 三边 之间有什么关系 吗？
a2+b2=c2
a
bc
a2+b2=c2
命题1 如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b, 斜边长为c, 那么a2 b2 c2.
cb
┏
a
a2+b2=c2
勾股定理的有关证明
勾股定理 : 如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b, 斜边长为c, 那么a2 b2 c2.
人教版八年级数学下册精品课件——勾股定理及证明(43页含精美动画)
总统与勾股定理
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩 给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄 清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法．
达芬奇与勾股定理
勾股定理的来历
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一 段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有 梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才 能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识．其 中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角‘勾’等 于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜‘弦’就 必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵．”
国际数学家大会是最高水平的全球性数学 科学学术会议． 2002年在北京召开了第24届国际数学家 大会．如图就是大会的会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图形组成？
知识引入
创设情境 引入课 题相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在 朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地 面图案反映了直角三角形三边的某种数量 关系．我们也来观察一下地面的图案，看 看能从中发现什么数量关系？
勾股定理的历史
这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时 给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个 全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间 的部分是一个小正方形 （黄色）．
勾股定理在数学发展中起到了重大的作用 ，其证明方法据说有400 多种，有兴趣的 同学可以继续研究，或到网上查阅勾股定 理的相关资料．
勾股定理的证明(比较全的证明方法)课件
欧几里得证明：逻辑严密，易于理解，但需要一定的数学基础
海伦证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
卡尔丹证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
费马证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
牛顿证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
欧拉证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
诺特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
冯 ·诺 伊 曼 证 明 ： 简 洁 明 了 ， 易 于 理 解 ， 但 需 要 一 定 的 数 学 基 础
希尔伯特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
罗素证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
哥德尔证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
弦图：由两个直角三角形组成的图形 证明过程：通过比较两个直角三角形的面积，得出勾股定理 应用：适用于解决勾股定理相关的问题 优点：直观易懂，易于理解
添加标题
折弦证明法的原理：通过将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形，从而证明 勾股定理。
添加标题
折弦证明法的步骤：首先，将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形；然后， 比较这两个直角三角形的斜边和直角边的长度，发现它们满足勾股定理。
未来展望：随着科技的发展，勾股定理的证明方法将更加多样化、智能化，为人类探索未知世 界提供更多可能。
汇报人：PPT
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折弦证明法的优点：直观易懂，易于理解。
添加标题
折弦证明法的局限性：只适用于直角三角形，对于其他类型的三角形不适用。
原理：将直角三角 形的两个直角边分 别延长，形成两个 全等三角形
步骤：将两个全等 三角形的斜边分别 延长，形成两个全 等矩形
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2ab+(b-a)2=c2 2ab+a2-2ab+b2=c2 a2+b2=c2
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2002年在北京召开的第24届国际数学家 大会的会徽取材于赵爽弦图，反应了我 国古代对勾股定理的研究成果，体现了 我国古人对数学做出的伟大贡献。
b
c
a
a
a2+b2 = c
2
b 出入相补原理： 一个平面（立体）几何 图形被分割成若干部分 后，面积（体积）的总 和保持不变。
a
B a a C C 朱实 黄实 朱实 朱实
朱实 b 朱实 A
赵爽指出：按弦图，又可 以勾股相乘为朱实二，倍 之为朱实四。以勾股之差 自相乘为中黄实。加差实， 亦成弦实。 ab=两个直角三角形的面积 2ab=四个直角三角形的面积 (b-a)2=黄色小正方形的面积 2ab+(b-a)2=大正方形的面积（c2）
17.1勾股定理
勾股定理的证明方法有很 多，我们选用的是我国古 代数学家赵爽的证法，是 一种面积证法。 a a
B c 朱实 b 黄实 朱实 朱实 这个图案是3世纪 我国汉代的数学家 赵爽在注解《周髀 算经》时给出的， 人们称它为“赵爽 弦图”。 朱实 A
C C
朱实
b a
a2+b2
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。