电磁场习题

(r≥a)
Q E= D= e 2 r ε 4πεr
1
εr −1 Q P = D − ε0E e 2 r ε r 4πεr
介质外(b<r)：
E=
1
ε0
D=
Q 4πε 0 r
2
er
P=0
介质内表面(r=a)的束缚电荷面密度： (r=a)
εr −1 Q ρ SP = P ⋅ n = − P ⋅ er = − 2 ε r 4πa εr −1 Q ρ SP = P ⋅ n = P ⋅ er = − 2 ε r 4πb
2
得
4πa P0 ρ = ez 3
3
例 2 - 8 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介 质球壳， 壳外是空气，如图 2 - 8 所示。求空间任一点的D、 E、 P以及束缚电荷密度。
图 2 -8 例 2 - 8 用图
解：
Q D= e 2 r 4πr
介质内(a<r<b)：
例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
J = er 10r
试求：
1.5
( A / m2 )
(1) 通过半径r=1mm的球面的电流值； (2) 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率； (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
解：(1)
I = ∫ J ⋅ dS = ∫
S
2π
0
∫
π
0
10r
−1.5
⋅ r sin θdθdϕ r =1mm
2
= 40πr
(2) 因为
0 .5 r =1mm
= 3.9738 A
1 d 2 −1.5 − 2.5 ∇ ⋅ J = 2 ( r ⋅ 10r ) = 5r r dr
由电流连续性方程式， 得
∂ρ ∂t
= −∇⋅ J
r =1mm
r =1mm
= −1.58 × 10 ( A / m )
8 2
(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：
dQ = − I = −3.97 A dt
例 5 – 4 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H = e y 2.63 × 10 cos(3 × 10 t − 10 z ) ( A / m )
9
求位移电流密度Jd。 解：无源的自由空间中J=0, 式(5 - 22)变为
−5
∂D Jd = = ∇×H = ∂ ∂ ∂ ∂t ∂x ∂y ∂z = − ex ∂H y ∂z = −ex 2.63 × 10−4 sin(3 × 109 t − 10 z ) ( A / m 2 )
ex
ey
ez
∂D ∇× H = ∂t
例5-5 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。 解： 将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有
∞
n −1
Pn (cosθ ) + ∑ ( n + 1) Bn a
n =0
∞
−n −2
σ 0 cosθ Pn (cosθ ) = ε0
Bn = An a
∞ n −1
2 n +1
σ 0 cosθ ∑ (2n + 1) Ana Pn (cosθ ) = ε n =0 0
使用勒让德多项式的唯一性，即将区间［-1, 1］内的函数可以唯一的用勒让德多 项式展开，并考虑P1(cosθ)=cosθ，得
其中E0、β为常数，求H。 解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0, ρ=0。
ex
ey
ez
∂ ∂ ∂ ∂H ∇×E = = − µ0 ∂x ∂y ∂z ∂t Ex 0 0
例 5 - 7 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z<0 一侧为理想导体，分界面 处的磁场强度为
H ( x, y ,0, t ) = ex H 0 sin ax cos(ωt − ay )
a a 2a a 1 AA2 = = = , q2 = − q = q ' ' 1 AA1 a / 2 + a 3 AA1 3
2
2
依此类推，有
1 1 q3 = − q, q4 = q 4 5
因而，导体系统的总电荷为
1 1 1 Q = 2( q + q1 + q2 + ⋯) = 2q1 − + − + ⋯ = 2q1n 2 2 3 4
∂D ∇×H = J + ∂t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
∂D ∫S J c + ∂t ⋅ dS = ∫S (∇ × H ) ⋅ dS
∂D ∫S (∇ × H ) ⋅ dS = ∫V ∇ ⋅ (∇ × H )dV = 0 = ∫S J c + ∂t ⋅ dS = I c + I d = I
介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度：
例 2-9 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其间填充两种介质， 上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常数为ε2，如图 2 - 11 所示。设内、外导 体带电分别为q和-q， 求各部分的电位移矢量和电场强度。
图 2 -11 例 2 - 9 用图Байду номын сангаас
当b<r≤c时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为
r −b I'= I − 2 I 2 c −b
2 2
则
1 c −r H = eφ 2 2 2πr c − b 2 2 c −r B = eφ µ 0 I 2 2 c −b M =0
2 2
(b < r ≤ c) (b < r ≤ c) (b < r ≤ c)
ρS =
aH 0
ω
sin ax cos(ωt − ay ) + c( x, y )
假设t=0 时，ρS=0，由边界条件n·D=ρS以及n的方向可得
D ( x, y ,0, t ) = ez E ( x, y ,0, t ) = ez
aH 0
ω
sin ax cos(ωt − ay ) sin ax cos(ωt − ay )
J c = σE = σE0 sin ωt
∂D ∂E Jd = =ε = εE0 cos ωt ∂t ∂t
1 −9 2πf × 10 J d ωε 36π = = = 9.6 × 10−19 f 7 Jc 5.8 × 10 σ
例5-2 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 解： 根据麦克斯韦方程
当r>c时，这一区域的B、H、M为零。
例 4-3 空气中有两个半径相同(均等于a)的导体球相切，试用球面镜像法求该孤立 导体系统的电容。
图 4-4 例 4-3 用图
解：
设其位于A1处， 则
a2 a2 a AA1 = = = AA' 2a 2 a 1 q1 = − q = − q 2a 2
右侧的q在左面的导体球面也有一个镜像电荷，大小也是q1，位于A1’处。由问题本身的 对称性可知，左面的电荷总是与右侧分布对称。以下仅分析右面的。左面的q1在右导体 球上也要成像，这个镜像电荷记为q2, 位于A2处。
∂ρ ∂ρ ∇ ⋅ (σE ) + = σ (∇ ⋅ E ) + =0 ∂t ∂t
由于
∇ ⋅ D = ρ , ∇ ⋅ (εE ) = ρ , ε∇ ⋅ E = ρ
∂ρ σ + ⋅ρ =0 ∂t ε
ρ (t ) = ρ 0e
− ⋅t
σ ε
例 5 – 6 已知在无源的自由空间中，
E = ex E0 cos(ωt − βz )
aH 0
ω
例 5 - 9 设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1, μr1=1, σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒质参数εr2=5, μr2=20, σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为
E1 = ex [60 cos(15 × 108 t − 5z ) + 20 cos(15 × 108 t + 5z )](V / m)
ρ ( r ) = −∇ ⋅ P( r ) = 0
极化电荷面密度为
ρ SP = P ⋅ n = P0ez ⋅ er = P0 cosθ
分布电荷对于原点的偶极矩由下式计算：
ρ = ∫ rdq
S
积分区域D是电荷分布的区域。 因此
ρ = ∫ rρ SP dS
S
r = a ( ex sin θ cos ϕ + e y sin θ sin φ + ex cosθ ) dS = a sin θdθdφ
例 3 – 8 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 3 - 16 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I， 两导体之间介质的磁导率为μ，求各区 域的H、B、M。
图 3-16 同轴线示意图
解： 以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为μ0。因 同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化， 该磁场只有φ分量，且其大小只是r的函数。 分别在各区域使用介质中的安培环路定律∮C H·dl=∫S J·dS，求出各区的磁场强度H， 然 后由H求出B和M。 当r≤a时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得
n =0
球面上的边界条件为 ① r=a, φ1=φ2 ② r=a,
∂ϕ 2 ∂ϕ1 − ε0 − = ρ S = σ 0 cosθ ∂r ∂r
∑ A a P (cosθ ) = ∑ B a
n =0 n n n n =0 n
∞
∞
− n −1
Pn (cosθ )
∑ nA a
n =0 n
Ir H = eφ 2 2πa
(r ≤ a)
考虑这一区域的磁导率为μ0，可得
M =0
µ 0 Ir B = eφ 2 2πa
(r ≤ a)
(r ≤ a)
当a<r≤b时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为μ，可得
1 H = eφ 2πr M = e µ − µ 0 I φ µ 0 2πr µI B = eφ (a<r≤b) 2πr
例 2-6 若半径为a的导体球面的电位为U0, 球外无电荷，求空间的电位。 解：
∇ϕ =0
2
1 d 2 dϕ =0 r 2 r dr dr
即
dϕ r = C1 dr dϕ C1 = 2 dr r
2
再对其积分一次， 得
C1 ϕ = − + C2 r 在导体球面上，电位为U ，无穷远处电位为零。分别将r=a、 r=∞代入上式，得
解：
E1 = E2 = Eer
2πε 1r 2 E1 + 2πε 2 r 2 E2 = 2π (ε1 + ε 2 ) r 2 E = q q E= 2π (ε1 + ε 2 ) r 2
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
ε1q D1 = er 2 2π (ε1 + ε 2 ) r ε 2q D2 = er 2π (ε1 + ε 2 ) r 2
0
C1 U 0 = − + C2 a
这样解出两个常数为
C1 = −aU 0 , C2 = 0
所以
aU 0 ϕ (r) = r
总之， 真空中静电场的基本解可归纳为
∇×E = 0
ρ ∇⋅E = − ε0
例2-7 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是P0ez，求极化电荷分布及介质 球的电偶极矩。 解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。 极化电荷体密度为
σ0 A1 = 3ε 0
An = 0 (n ≠ 0)
σ0 r cosθ ϕ1 = 3ε 0 σ 0 a3 ϕ2 = cosθ 2 3ε 0 r
(r≤a)
(r≥a)
例 5-1 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sinωt， 铜的电导率σ=5.8×107S/m, ε≈ε0。 解： 铜中的传导电流大小为
试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。 解：
J S = n × H = ez × ex H 0 sin ax cos(ωt − ay ) = e y H 0 sin ax cos(ωt − ay )
∂ρ S ∂ − = [ H 0 sin ax cos(ωt − ay )] = aH 0 sin ax sin(ωt − ay ) ∂y ∂t
区域Ⅱ中的电场强度为
E2 = ex A ⋅ cos(15 × 108 t − 5z )(V / m)
试求： (1) 常数A； (2) 磁场强度H1和H2； (3) 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。
解：(1) 在无耗媒质的分界面z=0处， 有
E1 = ex [60 ⋅ cos(15 × 10 t ) + 20 ⋅ cos(15 × 10 t )]
导体面的电位为
U0 =
所以，这个孤立导体系统的电容为
q 4πε 0 q
C = 8πε 0a1n 2
例 4-12 假设真空中在半径为a的球面上有面密度为σ0cosθ的表面电荷，其中σ0是常 数，求任意点的电位。 解：
∞
ϕ1 ( r,θ ) = ∑ An r n Pn (cosθ )
n =0 ∞
ϕ 2 ( r,θ ) = ∑ Bn r −n −1Pn (cosθ )