非线性混沌现象分岔图
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌五：数据处理：1.计算电感L在这个实验中使用了相位测量。
根据RLC 谐振定律，当输入激励频率时LCf π21=，RLC 串联电路达到谐振，L 和C 的电压反向，示波器显示一条45度斜线穿过第二象限和第四象限。
实测：f=32.8kHz ；实验仪器标记：C=1.095nF 所以：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估计不确定性：估计 u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 但：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 这是mH L u 16.0)(=最后结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2、有源非线性负电阻元件的测量数据采用一元线性回归法处理： (1) 原始数据：(2) 数据处理：根据RU I RR =流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11对应的1R I 值。
对于非线性负电阻R1，将实验测量的每个（I ，U ）实验点标记在坐标平面上，可以得到：从图中可以看出，两个实验点（ 0.0046336 ，-9.8）和（ 0.0013899 ，-1.8）是折线的拐点。
因此，我们采用线性回归的方法，分别在V U 8.912≤≤-、 、 和8V .1U 9.8-≤<-三个区间得到对应的 IU 曲线。
0V U 1.8≤<-使用 Excel 的 Linest 函数找到这三个段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算，三段线性回归的相关系数非常接近1（r=0.99997），证明区间IV 内的线性符合较好。
应用相关绘图软件可以得到U<0范围内非线性负电阻的IU 曲线。
非线性混沌实验
非线性电路混沌实验实验目的1、学会双踪示波器观测两个波形组成的相图。
2、改变RC移相器中可调电阻R的值，观察相图周期变化。
记录倍周期分岔、阵发混沌、三倍周期、吸引子和双吸引子相图。
3、了解LF353双运放构成的有源非线性负阻“元件”的伏安特性，结合非线性电路的动力学方程，解释混沌产生的原因。
实验仪器非线性混沌仪。
双踪示波器实验原理实验电路如图1所示，图中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻RV和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
RvC2V（R）图1电路的非线性动力学方程为：dt dUc C 11=G （Uc2-Uc1）-gUc1 C2dtdUc 2=G(Uc1-Uc2)+i L L dtdiL = -Uc2 式中，导纳G=1/Rv,Uc2和Uc1分别是加在电容器C2和C1上的电压，i L 表示流过电感器Ｌ的电流，g 表示非线性电阻的导纳。
实验内容和步骤１、打开机箱，将铁氧化介质电感连接到与面板上对应接线柱相接。
２、用同轴电缆线将实验仪面板上的ＣＨ２插座连接示波器的Ｙ输入。
ＣＨ１插座连接示波器的Ｘ输入，并置Ｘ和Ｙ输入为ＤＣ。
以观测二个正弦波构成的李萨如图。
３、按非线性电路图接好电路。
接通实验板的电源，这时数字电压表有显示，对应＋１５Ｖ和－１５Ｖ电源指示灯都为亮状态，且有电压输出。
４、调节示波器，用示波器观察相图周期变化５、调节图中的Ｗ１和W2的大小，观察并描绘相图周期的分岔混沌现象。
将一个环形相图定为Ｐ，那么要求观测并记录2P 、４P 、阵发混沌、３Ｐ、单吸引子（混沌）、双吸引子（混沌）共六个相图和相应的ＣＨ１－地和ＣＨ２－地两个输出波形。
注意事项１、双运算放大器的正负极不能接反，地线与电源接地点必须接下来触良好。
２、关掉电源以后，才能拆实验板上的接线。
３、一起预热１０分钟以后才开始测数据。
所测图形如下：Ｌ1.按图接好实验面板图,将方程(1)中的1/G即Rv1+Rv2值放到较大某值,这时示波器出现李萨如图,用扫描档观测为两个具有一定相移的正絃波.２.逐步减小1/G值,开始出现两个”分列”的环图,出现了分岔现象,即由原来1倍周期变为2倍周期.3.继续减小1/G值,出现4倍周期等与阵发混沌交替现象.4.再减小1/G,出现单个吸引子和双吸引子。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。
非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。
混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。
在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。
一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。
混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。
混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。
通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。
经典的三体问题就是一个混沌的例子。
对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。
这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。
在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。
此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。
混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。
混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。
二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。
发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。
分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。
分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。
分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。
此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验
非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。
非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济学，生物学，计算机科学等。
本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解和理解非线性混沌现象的本质。
一．实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解⒊理解“蝴蝶效应”。
二．实验原理1、分岔与混沌理论⑴ 逻辑斯蒂映射为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数表示。
逻辑斯蒂映射是x )1(x kx x -→其中是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统k ，，1，2…)1(1n n n x kx x -=+0=n 我们发现：①当小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; k ②当大于3时，随着的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之k k 为周期2循环；继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快在左右就k k 58.3结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条的抛物线，再画一条的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图)1(x kx y -=x y =1）。
A 不动点 B 分岔周期2 C 混沌 D蝴蝶效应0A B图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以为横坐标，迭代200次以后的值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔k x图。
非线性系统的分叉问题.ppt
当μ<0时，系统有唯一的奇点x=0，其导算子的特征 值是μ，该奇点是渐进稳定的。 0 ,x ，其中 1 2 ,3 当μ>0时，系统有三个平衡点， x x=0是不稳定的，x= 是渐近稳定的。
x
x
0
μ
x-
图2. 叉形分叉
Hopf分叉
例2 考虑平面系统
2 2 x y x[ (x y )] 2 2 y x y[ (x y )]
2 r r( r ) f (r, ) 1
当μ<0时，只有唯一的奇点r=0，且是稳定焦点； 当μ>0时，系统有一个奇点r1=0和一条闭轨 r2 并且 r2是稳定的极限环。 r1=0是不稳定焦点，
图3. HopfBiblioteka 叉鞍结分叉例3 考虑平面系统
2 x x y y
常微分方程的分叉也可分为两大类：静态分叉 和动态分叉 静态分叉 奇点数目和奇点稳定性发生变化的分 叉。如例1、例2、例3； 动态分叉 静态分叉以外的分叉，如Hopf分叉， 闭轨分叉和同异宿轨线分叉等。 静态分叉和动态分叉可以在同一系统中同时发生
主要研究方法
• 奇异性方法：研究可微映射的退化性和分类，可处理 静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 • P-B 规范形方法：对于研究高维系统的分叉 • 幂级数方法：应用于静态分叉、Hopf分叉、次谐分 叉和概周期分叉。 • 摄动法：应用于周期或概周期领域。 • 次谐Melnikov 函数法：研究二维扰动Hamilton系统 的m/n阶次谐周期分叉。 • 后继函数法和Shilnikov法：研究二维和高维系统的同 宿分叉问题。 • 群论法：研究对称分叉问题。 • 数值方法：对分叉问题进行定量研究。
非线性机械振动系统的分岔与混沌运动
非线性机械振动系统的分岔与混沌运动非线性机械振动系统的分岔与混沌运动引言随着科学技术的进步，非线性现象在自然界和工程领域中的重要性日益凸显。
非线性机械振动系统是一种典型的非线性动力学系统，它具有分岔和混沌等复杂行为，对于深入理解和应用振动现象具有重要意义。
本文将从非线性机械振动系统的定义、特征、分岔与混沌运动等方面进行探讨。
一、非线性机械振动系统的定义及特征1. 非线性机械振动系统的概念非线性机械振动系统是指在振动系统中，发生能量转换、物体变形等过程中，受到非线性因素的影响导致振动呈现非线性特性的一类系统。
在非线性振动系统中，振动物体会产生各种非线性现象，比如分岔和混沌现象。
2. 非线性机械振动系统的特征非线性机械振动系统具有以下几个特征：（1）非线性现象的普遍性：非线性现象在机械振动系统中普遍存在，其程度会随着系统参数的变化而变化。
（2）振动的频率可变性：非线性机械振动系统的振动频率会随着激励振幅和频率的变化而发生变化，表现出频率响应的非线性特性。
（3）非周期性：非线性机械振动系统不仅会产生周期性的振动，还会产生非周期性的振动。
这种非周期性的振动通常表现为混沌现象。
二、非线性机械振动系统的分岔现象1. 分岔的概念分岔是指在非线性系统参数变化过程中，系统的动力学性质发生突变的现象。
分岔可以使系统从一个稳定状态变为另一个稳定状态，也可以导致系统的振动变得无限混乱。
2. 非线性机械振动系统的分岔类型非线性机械振动系统的分岔类型有很多，其中较常见的有：（1）鞍点分岔：当系统参数处于临界值附近时，系统从一个平衡态突然发生转变，并变为另一个稳定的平衡态。
（2）超临界哈希特分岔：当系统参数变化时，系统从一个平衡态跳动到两个不同的稳定平衡态，然后再跳变为另一个平衡态。
（3）和谐振荡分岔：当振动系统的参数达到某个临界值时，系统会由无穷大周期振幅跳变为有限的周期振幅，并出现周期倍增的现象。
（4）分叉分岔：当系统参数改变时，系统由振动状态向另一种振动状态转变，通常伴随着频率的突变。
非线性电路研究混沌现象
一、实验目的1．了解混沌的一些基本概念；2．测量有源非线性电阻的伏安特性；3．通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。
二、实验原理实验所用电路原理图如图3.7-1所示。
电路中电感L 和电容C 1、C 2并联构成一个振荡电路。
R 是一有源非线性负阻元件，电感L 和电容器C 2组成一损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R 和电容器C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
电路的非线性动力学方程如式（3.7-1）所示2121212d d )(d d )(d d 112C L C C C C L C C C U ti L gU U U G tU C i U U G tU C -=--=+-= （3.7－1）RL图3.7-1 电路原理图 图3.7-2 非线性元件R 的U - I 特性 这里，U C1、U C2是电容C 1、C 2上的电压，i L 是电感L 上的电流，G = 1/R 0是电导，g 为R 的伏安特性函数。
如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数。
电阻R 0的作用是调节C 1 和C 2的位相差，把C 1 和C 2两端的电压分别输入到示波器的x ，y 轴，则显示的图形是椭圆。
如果R 是非线性的，它的伏安特性如图3.7-2所示，由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而此元件称为非线性负阻元件。
本实验所用的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
若用计算机编程进行数值计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象。
除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图3.7-3所示。
图中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的。
电路中，LC 并联构成振荡电路，R 0的作用是分相，使A ，B 两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x ，y 两个信号的合成图形。
双运放TL082的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R 3 /R 0，R 6/R 0有关，负反馈的强弱与比值R 2/R 1，R 5 /R 4有关．当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换定义（或直接假设）及d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
理论力学第28章非线性振动分岔混沌
• Ford J教授认为：20世纪科学将永远被铭记的只有三件事， 那就是相对论，量子力学和混沌。混沌学的出现是20世纪 的第三次科学革命。
• 孔丘（前551~前479）在《易经》中写道：“易有太极， 是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶 生大业。” 孔丘包含了朴素的倍周期分岔通向混沌道路 的思想。
• 李耳和孔丘的思想都是猜想没有经过严格的数学证明。而 在近代，全世界最早给出混沌的第一个严格数学定义的人 是美籍华人李天岩。他和约克教授在1975年12月份那期 《美国数学月刊》上发表了一篇论文，题为“周期3意味 着混沌”。在这篇文章中，他们正式提出混沌一词，并给 出它的定义和一些有趣的性质。
件； • b．当出现分岔时，系统的拓扑结构随参数变化的情况，
即分岔的定性性态的研究； • c．计算分岔解，尤其是平衡点和极限环，并分析其稳定
性； • d．考察不同分岔的相互作用问题，以及分岔与混沌，分
形等其他动力学现象的关系。
28.2.3普适开折的保持性、转迁集
用近似方法分析非线性振动问题时，会 得到响应方程。该方程是分析非线性振动 系统分岔解的基本方程，又称分岔方程。 需计算分岔方程的转迁集和分岔图，以便 完成非线性振动问题的分岔分析。如果所 求得的分岔方程不是普适开折，则需对之 进行识别，并进行普适开折，然后再求转 迁集和分岔图。
f 有m 周期点。如果 n 按Sarkovskii序大于 m ，则 f 有 n 周期点。其中自然数的 Sarkovskii是指如下的先后排列：
3， 5， 7， ， 2n 1, 2n 3,
三自由度复杂非线性系统的混沌与分岔
第３
报
Ｖ０ ． １ Ｎｏ ３ Ｉ３ ．
２１ ０ ２年 ６ 月 文 章 编 号 ：０ １４ ７ （０ ２ ０ －１８０ １０ －３ ３ ２ １ ） ３０ ５ －３
Ｊ ｕ ｌ ｆＬ ｎｈ ｕＪａｔｎ ｉｅｓ ｙ ｏ ｍａ ｏ ａ ｚ ｏ ｉ ｏ ｇＵｎｖ ｒｉ ｏ ｔ
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一
（，，） １２３ （） ４
ｚ ＝丽 ｉ ， ＝ ＸＫ１ ＝
用 — Ｐ表示 振动 系统 的周 期运 动 ， 示 力 周 表 期数 ， Ｐ表示 碰撞 次 数 ． ０一 ｃ，选 择 Ｐ ｉｃｒ 取 ｏ， ｔ ｏｎａ６截
面：
一
｛ ，１ ，２ｚ ，３ ） Ｒ ￣Ｓ ： （ １主 ，２ｘ ， ３主 ， ∈ ６ １ ｌ
吕 １ Ｔｈ ｄ ｌ ｆｔ ｒ ｅ— ｅ ｒ ｅ— ｆ ｆ ｅ ｄ ｍ ｅ ｍｏ ｅ ｈ ｅ ｄ ｇ ｅ ｏ － ｒ ｅ ｏ ｏ
ｖ ｂ ｏ—ｉ ｐ ｃ ｙ ｔｍ ｉｒ ｍ ａ ｔｓ ｓ ｅ
１ 系统 的动力学模型
图 １ 一 个 三 自由度碰 撞 振 动 的力 学 模 型 ， 为 质
１９ ５
一
一＋
ｓ 一
３ 。 ３ ３ ＋
一Ｔ 娶 十 １ １ 娶。 一 ３ 一
一
１ — １ Ｉ
（ ０ ３ ）
无量 纲量 如下 ：
Ｍ
一 ， 女 一
Ｋ。
， ｃ 一
（，
， ｃ 一
ｘ ２
一
，
一
一
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，
ａ ｏ＝ ．９ Ｊ ３３ ３
数 ；卜，Ｈ 和 主 ，计 分别 表示 振子 Ｍ】 ｍ 碰 撞 立 主 卜 主 和 前 后 的瞬时 速度 ； 为恢 复系数 ． Ｒ 由式 （） ： ２得
复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究
复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究引言振动是自然界中广泛存在的一种现象，其研究对于各个领域都具有重要的意义，特别是复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究，可以帮助我们更加深入地了解系统的行为特征以及背后的物理规律。
本文将介绍复杂非线性振动系统的分岔与混沌研究的基本概念和方法，并通过具体案例进行分析和讨论。
一、分岔理论1.1 稳定性和不稳定性在研究振动系统之前，我们需要了解稳定性和不稳定性的概念。
一个系统是稳定的，当其受到微小的扰动时，会回到原来的状态；反之，如果系统受到微小的扰动后会发展出新的行为，我们称之为不稳定。
1.2 分岔现象分岔现象是指随着系统参数的变化，系统行为从一个状态转变到另一个状态的过程。
当参数从某个特定值变化时，系统可能从一个稳定的状态变为两个或多个稳定状态之一，这种情况下被称为分岔。
分岔现象揭示了系统在参数变化过程中产生复杂行为的本质。
1.3 分岔图分岔图是研究分岔现象的重要工具。
在分岔图中，我们将系统参数作为横轴，系统状态（如振动振幅或周期）作为纵轴。
通过绘制分岔图，我们可以观察到系统行为的转变和分支。
根据分岔图的形态，我们可以判断系统的性质和分岔的类型。
二、混沌理论2.1 混沌现象混沌现象是指在复杂非线性系统中出现的无规则、不可预测的行为。
简单的说，混沌是一种没有规律可循的振动状态。
混沌现象的特点是高度敏感依赖初值，微小的变化可能引起系统行为的巨大差异。
2.2 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统行为的数学概念。
它是一种奇怪吸引子，具有分维度较高、分形结构的特征。
混沌吸引子能够揭示混沌系统中的结构和演化规律。
2.3 混沌控制混沌控制是利用混沌现象的特性，通过对系统参数的调节或输入信号的设计，实现对混沌系统行为的控制。
混沌控制的研究对于实际应用具有重要意义，例如在通信、密钥加密、天气预报等领域。
三、分岔与混沌的关联与应用3.1 分岔与混沌的关联分岔和混沌是紧密相关的概念。
非线性振动与混沌简介PPT课件
dt2 dt
三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终 停止于中点---不动点吸引子--- 。
★受迫振动：经过暂 态之后趋于一稳定的 闭合圈---周期吸引子 或极限环。
单摆方程
ml
d2x dt 2
l
dx dt
mg
sin
x
F
cos t
按泰勒级数 sin x x 1 x3 6
取前两项近似，
适当代换，得到非线性振动方程（杜芬方程）
d 2x dx x x3 f cost
dt2 dt
讨论 运动的演变
1. 线性近似下的单摆运动
21
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1. 线性近似下的单摆运动 令 =0，退化为线性方程
§3.2 混 沌
一、混沌现象
混 沌 ➢ 湍流
现 象
雷诺实验
木星大红斑
障碍物后的流体
1
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湍流
2
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喷 气 混机 沌尾 现流
燃 烧 的 蜡 烛
象
➢洛仑兹水轮
3
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➢滴水龙头
混 沌 现 象
➢计算机迭代
x
x2 1的迭代
0.5
5
10 15 20 25 30
o
0.5
对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分
岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常
数 ，称为标度因子或普适常数:
= 2.5029078750958928
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安曲线图3电路的非线性动力学方程为:
11211( dVc C G Vc Vc gVc dt
=--
2212( L dVc C G Vc Vc i dt
=-+ 2Vc dt
di L L -=式中,导纳12V V G R R =+, 1C V和2C V分别表示加在1C和2C上的电压, L i表示流过电感器L的电流, g表示非线性电阻R的导纳。
1(x kx x -→
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统
1(1n n n x kx x -=+ , 0=n , 1, 2„
我们发现:①当k小于3时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时,随着k的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之为周期2循环; k继续增大会出现4, 8, 16, 32„周期倍化级联; ③很快k在58. 3左右就结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0~1的范围称为奇怪吸引子。
图5图6
图7实际非线性混沌电路图
非线性电路中的混沌现象
非线性电路中的混沌现象实验指导及操作说明书北航实验物理中心2013-03-09教师提示：混沌实验简单，模块化操作，但内容较多，需要课前认真预习。
5.2 非线性电路中的混沌现象二十多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了对客观世界的认识。
许多人认为混沌的发现是继上世纪相对论与量子力学以来的第三次物理学革命。
目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通讯、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌（chaos）作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。
理论和实验都证实，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特性。
混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，本实验设计一种简单的非线性电路，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵发混沌和奇导吸引子等现象。
实验要求对非线性电路的电阻进行伏安特性的测量，以此研究混沌现象产生的原因，并通过对出现倍周期分岔时实验电路中参数的测定，实现对费根鲍姆常数的测量，认识倍周期分岔及该现象的普适常数费根鲍姆（Feigenbaum）常数、奇异吸引子、阵发混沌等非线性系统的共同形态和特征。
此外，通过电感的测量和混沌现象的观察，还可以巩固对串联谐振电路的认识和示波器的使用。
5.2.1 实验要求1．实验重点①了解和认识混沌现象及其产生的机理；初步了解倍周期分岔、阵发混沌和奇异吸引子等现象。
②掌握用串联谐振电路测量电感的方法。
③了解非线性电阻的特性，并掌握一种测量非线性电阻伏安特性的方法。
熟悉基本热学仪器的使用，认识热波、加强对波动理论的理解。
④通过粗测费根鲍姆常数，加深对非线性系统步入混沌的通有特性的认识。
了解用计算机实现实验系统控制和数据记录处理的特点。
2．预习要点（1）用振幅法和相位法测电感①按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振频率f。