重庆市南开中学高2020级高三下学期期中考试数学(理)试题及答案

重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．12-

C ．1

2

D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

3．已知曲线2

()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3-

B ．1

C ．2

D ．3

4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（ ） A ．3- B ．1- C ．1

D ．3

5．已知0.3

1.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（ ） A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）

A ．1

B 5

C 6

D ．227．函数2

()sin cos cos 22f x x x x π⎛

⎫

=-- ⎪⎝

⎭

的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0

D ．

12

8．抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，

O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（ ）

A ．511

B ．1022

C ．1023

D ．2046

10．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显

1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1

()E Y p

=

．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则1

1()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（ ）

A ．

11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．2

1

(1)p -

1l ．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双

曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（ ）

A 2

B 3

C ．2

D ．

32

2

12．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，

AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为1

6

，则球O 的表面积为（ ）

A ．32π

B ．2π

C ．94π

D ．83

π

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r

夹角的余弦值为______．

14．已知()*n

x n N x ⎛-∈ ⎪

⎝

⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．

15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，

则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．

16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||

()2x f x e

-=-，

则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；

③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫

⎛⎫

< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；其中所有正确结论的编号______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导． （一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1

sin 3

B =

，点D 在边AB 上．

（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；

（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．

18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，

22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．